Approximate Value Questions in Hindi

(C) माना कि $f(x) = \sec x$. तब $f^{\prime}(x) = \sec x \tan x$.
हम $a = 60^{\circ}$ और $h = -1^{\circ} = -0.0174$ रेडियन लेते हैं।
$a = 60^{\circ}$ पर,$f(a) = \sec 60^{\circ} = 2$.
साथ ही,$f^{\prime}(a) = \sec 60^{\circ} \tan 60^{\circ} = 2 \times \sqrt{3} = 2 \times 1.732 = 3.464$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(59^{\circ}) \approx f(60^{\circ}) + (-0.0174) \times f^{\prime}(60^{\circ})$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 + (-0.0174) \times (3.464)$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 - 0.0602736$.
$f(59^{\circ}) \approx 1.9397264$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.9397$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y = f(x) = 2x^2 - 3x + 4$,$x = 5$,और $\delta x = 0.02$।
सबसे पहले,वास्तविक त्रुटि $\delta y = f(x + \delta x) - f(x)$ की गणना करें:
$\delta y = f(5.02) - f(5) = [2(5.02)^2 - 3(5.02) + 4] - [2(5)^2 - 3(5) + 4]$
$= [2(25.2004) - 15.06 + 4] - [50 - 15 + 4]$
$= [50.4008 - 15.06 + 4] - 39 = 39.3408 - 39 = 0.3408$।
इसके बाद,अवकलज $dy = f'(x) \cdot dx$ की गणना करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 4) = 4x - 3$।
$x = 5$ पर,$f'(5) = 4(5) - 3 = 17$।
$dy = 17 \times 0.02 = 0.34$।
अंत में,अंतर $\delta y - dy = 0.3408 - 0.34 = 0.0008$ है।

(B) दिया गया है कि $I \propto \tan \theta$,इसलिए $I = k \tan \theta$।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{dI}{I} = \frac{k \sec^2 \theta \, d\theta}{k \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta$ द्वारा दी जाती है।
$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर,$\frac{dI}{I} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है और $\theta$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{d\theta}{\theta} \times 100 = 1\%$ है,इसलिए $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ रेडियन।
मान रखने पर: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{2}{\sin(2 \times 45^{\circ})} \times d\theta \times 100 = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} \times 100 = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \%$.
अतः,धारा में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\pi}{2} \%$ है।

(B) हम जानते हैं कि $45^2 = 2025$ होता है।
चूंकि $2023 < 2025$,इसलिए $\sqrt{2023} < \sqrt{2025}$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{2023} < 45$।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$ का उपयोग करते हुए,मान लें कि $x = 2025$ और $\Delta x = -2$ है।
अतः,$\sqrt{2023} = \sqrt{2025 - 2} \approx \sqrt{2025} + \frac{-2}{2\sqrt{2025}}$।
$\sqrt{2023} \approx 45 - \frac{2}{2(45)} = 45 - \frac{2}{90} = 45 - \frac{1}{45}$।
$\sqrt{2023} \approx 45 - 0.0222 = 44.9778$।
इस प्रकार,निकटतम अनुमानित मान $44.9778$ है।

(C) दिया गया व्यास $d = 42 \text{ cm}$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 21 \text{ cm}$ है।
व्यास में त्रुटि $\Delta d = \frac{1}{77} \text{ cm}$ है,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta d}{2} = \frac{1}{154} \text{ cm}$ होगी।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V$,$\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = 4 \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times (21)^2 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times 441 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times 22 \times 63 \times \frac{1}{154} = \frac{5544}{154} = 36$.
अतः,आयतन में त्रुटि $36 \text{ cm}^3$ है।

(D) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें अवकलज $\Delta S \approx dS = 8 \pi r \Delta r$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\Delta S = 0.02 \text{ cm}^2$ और $r = 10 \text{ cm}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.02 = 8 \pi (10) \Delta r$.
$\Delta r$ के लिए हल करने पर,हमें $\Delta r = \frac{0.02}{80 \pi} = \frac{0.001}{4 \pi} \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V \approx dV = 4 \pi r^2 \Delta r$ है।
$r = 10$ और $\Delta r = \frac{0.001}{4 \pi}$ रखने पर:
$\Delta V = 4 \pi (10)^2 \times \frac{0.001}{4 \pi} = 100 \times 0.001 = 0.1 \text{ cm}^3$.

(B) माना $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ है। हमें $f(28)$ का सन्निकट मान ज्ञात करना है।
माना $x = 27$ और $\Delta x = 1$,ताकि $x + \Delta x = 28$ हो जाए।
हम जानते हैं कि $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ होता है।
यहाँ,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$ होगा।
$x = 27$ के लिए,$f(27) = (27)^{\frac{1}{3}} = 3$ है।
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^2)} = \frac{1}{3 \times 9} = \frac{1}{27}$ है।
अब,$f(28) \approx f(27) + f'(27) \Delta x$ होगा।
$f(28) \approx 3 + \left(\frac{1}{27}\right)(1) = 3 + 0.037037...$
$3$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $3.037$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) माना $f(x) = x^{4/3} + x^2$. हमें $f(8.01)$ का सन्निकट मान ज्ञात करना है।
माना $x = 8$ और $\Delta x = 0.01$ है।
तब $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ होता है।
सबसे पहले,$f(8) = 8^{4/3} + 8^2 = (2^3)^{4/3} + 64 = 2^4 + 64 = 16 + 64 = 80$ की गणना करें।
इसके बाद,अवकलज $f'(x) = \frac{4}{3} x^{1/3} + 2x$ ज्ञात करें।
$f'(8) = \frac{4}{3} (8)^{1/3} + 2(8) = \frac{4}{3}(2) + 16 = \frac{8}{3} + 16 = 2.6667 + 16 = 18.6667$ का मान निकालें।
अब,परिवर्तन $\Delta f \approx f'(8) \Delta x = 18.6667 \times 0.01 = 0.186667$ की गणना करें।
अतः,$f(8.01) \approx f(8) + 0.186667 = 80 + 0.186667 = 80.186667$ है।
$3$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $80.187$ प्राप्त होता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$80.180$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(D) दिया गया है: शंकु की ऊँचाई $h = 6.125 \text{ cm}$ और अर्ध-शीर्ष कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
शंकु के आधार की त्रिज्या $R$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध: $\tan \theta = \frac{R}{h}$ है।
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \frac{R}{6.125} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{6.125} \Rightarrow R = \frac{6.125}{\sqrt{3}} \text{ cm}$।
लंबवृत्तीय शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ होता है।
$R$ और $h$ के मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6.125}{\sqrt{3}} \right)^2 (6.125) = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6.125^2}{3} \right) (6.125) = \frac{\pi}{9} (6.125)^3$।
$(6.125)^3$ की गणना करने पर: $6.125 \times 6.125 \times 6.125 \approx 229.996$।
अतः,$V \approx \frac{229.996}{9} \pi \approx 25.555 \pi \text{ cm}^3$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,अनुमानित मान $(25.5) \pi \text{ cm}^3$ है।

(A) माना $A$ क्षेत्रफल है और $x$ समबाहु त्रिभुज की भुजा है।
क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $\Delta A$ को $\Delta A \approx \frac{dA}{dx} \cdot \Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x)}{(\frac{\sqrt{3}}{4} x^2)} \times 100 = \frac{2 \Delta x}{x} \times 100$.
दिया गया है $x = 5$ और $\Delta x = 0.05$,तो प्रतिशत त्रुटि $\frac{2 \times 0.05}{5} \times 100 = \frac{0.1}{5} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2\%$ है।
अतः,प्रतिशत त्रुटि $2$ है।

(A) माना $r$ त्रिज्या है,$h$ ऊँचाई है और $l$ अर्ध-शीर्ष कोण $45^{\circ}$ वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।
तब $r = h \tan(45^{\circ}) = h$ और $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = h\sqrt{2}$।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r l = \pi (h) (h\sqrt{2}) = \sqrt{2} \pi h^2$ द्वारा दिया जाता है।
माना $h = 20$ और $h + \Delta h = 20.025$,इसलिए $\Delta h = 0.025$।
$S$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन $\frac{dS}{dh} = 2\sqrt{2} \pi h$ है।
$h = 20$ पर,$\frac{dS}{dh} = 2\sqrt{2} \pi (20) = 40\sqrt{2} \pi$।
क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $\Delta S \approx \frac{dS}{dh} \Delta h = (40\sqrt{2} \pi) (0.025) = \sqrt{2} \pi$ है।
$h = 20$ पर प्रारंभिक क्षेत्रफल $S = \sqrt{2} \pi (20)^2 = 400\sqrt{2} \pi$ है।
अतः,अनुमानित क्षेत्रफल $S + \Delta S = 400\sqrt{2} \pi + \sqrt{2} \pi = 401\sqrt{2} \pi$ होगा।

(D) माना $f(x) = 3 \sqrt[3]{x} + \sin(x^{\circ})$. हमें $f(126)$ का अनुमानित मान ज्ञात करना है जहाँ $x = 126$,$125$ के निकट है।
अवकलज का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
$A = 3 \sqrt[3]{126}$ के लिए,$g(x) = 3 x^{1/3}$ लें। तब $g'(x) = x^{-2/3}$.
$x = 125$ पर,$g(125) = 3 \sqrt[3]{125} = 15$.
$A = 3(126)^{1/3} = 3(125+1)^{1/3} = 15(1 + 1/375) = 15.04$.
$B = \sin 61^{\circ} = \sin(60^{\circ} + 1^{\circ}) = \sin 60^{\circ} \cos 1^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 1^{\circ}$.
$1^{\circ} = 0.0174$ रेडियन दिया गया है,इसलिए $\sin 1^{\circ} \approx 0.0174$ और $\cos 1^{\circ} \approx 1$.
$B \approx (\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (\frac{1}{2})(0.0174) = 0.8660 + 0.0087 = 0.8747$.
योग $= 15.04 + 0.8747 = 15.9147$. दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $5.888$ है।

(A) माना $y = \tan ^{-1} x$.
तब $y + \Delta y = \tan ^{-1}(x + \Delta x)$.
हम $x = 1$ और $\Delta x = -0.001$ लेते हैं।
अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$ प्राप्त होता है।
अवकलज सन्निकटन का उपयोग करते हुए $dy = \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{-0.001}{1 + 1^2} = \frac{-0.001}{2} = -0.0005$.
अतः $\tan ^{-1}(0.999) = \tan ^{-1}(1) + dy = \frac{\pi}{4} - 0.0005$.
चूंकि $\frac{\pi}{4} \approx 0.7854$,इसलिए $\tan ^{-1}(0.999) \approx 0.7854 - 0.0005 = 0.7849$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $0.7852$ है।

(A) दिया गया है कि भुजा $l$ में त्रुटि $dl = 0.01$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ का $l$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dl} = \frac{\sqrt{3}}{2} l$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $dA = \frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl$ है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl}{\frac{\sqrt{3}}{4} l^2} \times 100$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{2 \cdot dl}{l} \times 100$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dl = 0.01$ दिया गया है,इसलिए प्रतिशत त्रुटि $\frac{2 \times 0.01}{l} \times 100 = \frac{2}{l}$ है।

(B) दिया गया है कि विद्युत धारा $I \propto \tan \theta$ है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = k \tan \theta$ से भाग देने पर,$\frac{dI}{I} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है,और $\theta$ को पढ़ने में $1 \%$ की त्रुटि है,इसलिए $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ रेडियन।
इन मानों को रखने पर: $\frac{dI}{I} = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{400} = \frac{\pi}{200}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{\pi}{200} \times 100 = \frac{\pi}{2} \%$।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) दिया गया है कि,ऊँचाई की सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta h}{h} = 0.02$ है।
त्रिज्या की सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta r}{r} = 0.02$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln V = \ln \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right)$.
$\ln V = \ln \left( \frac{\pi}{3} \right) + 2 \ln r + \ln h$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{\delta V}{V} = 2 \left( \frac{\delta r}{r} \right) + \left( \frac{\delta h}{h} \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\delta V}{V} = 2(0.02) + 0.02 = 0.04 + 0.02 = 0.06$.
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\delta V}{V} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$ है।
अतः,आयतन में प्रतिशत त्रुटि $6$ है।

(A) माना फलन $f(x) = x^3 + 2x^{3/2} + 5$ है।
हमें $x = 1.01$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $x = 1$ और $\Delta x = 0.01$ है।
$y$ का अवकलज $dy = f'(x) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^{3/2} + 5) = 3x^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 3x^2 + 3x^{1/2}$।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 3(1)^2 + 3(1)^{1/2} = 3 + 3 = 6$।
$x = 1$ पर फलन का मान $f(1) = 1^3 + 2(1)^{3/2} + 5 = 1 + 2 + 5 = 8$ है।
अनुमानित मान के सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ का उपयोग करते हुए:
$f(1.01) \approx f(1) + f'(1) \Delta x = 8 + 6(0.01) = 8 + 0.06 = 8.06$।

(C) की गणना:
माना $S$ भुजा $a$ वाले वर्ग का क्षेत्रफल है। अतः $S = a^2$.
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S}{S} = \frac{2a \Delta a}{a^2} = 2 \frac{\Delta a}{a}$ है।
दिया है $\frac{\Delta a}{a} = 0.4$,इसलिए $A = 2 \times 0.4 = 0.8$.
$B$ की गणना:
माना $V$ त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन है। अतः $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ है।
दिया है $\frac{\Delta r}{r} = 0.3$,इसलिए $B = 3 \times 0.3 = 0.9$.
$C$ की गणना:
माना $S'$ त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ वाले एक बंद बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल है। चूँकि $r = h$,$S' = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi h^2 + 2 \pi h^2 = 4 \pi h^2$.
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S'}{S'} = \frac{8 \pi h \Delta h}{4 \pi h^2} = 2 \frac{\Delta h}{h}$ है।
दिया है $\frac{\Delta h}{h} = 0.2$,इसलिए $C = 2 \times 0.2 = 0.4$.
$D$ की गणना:
दिया है $y = x^2 + x - 3$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
अनुमानित त्रुटि $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x = (2x + 1) \Delta x$ है।
$x = 2$ और $\Delta x = 0.1$ के लिए,$\Delta y = (2(2) + 1) \times 0.1 = 5 \times 0.1 = 0.5$.
अतः $D = 0.5$.
मानों की तुलना करने पर: $C = 0.4, D = 0.5, A = 0.8, B = 0.9$.
आरोही क्रम $C < D < A < B$ है।

(C) माना $A$ क्षेत्रफल है और $x$ समबाहु त्रिभुज की भुजा है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x$.
क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $\Delta A$ को $\Delta A \approx \frac{dA}{dx} \cdot \Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x$ द्वारा दर्शाया जाता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} x \Delta x}{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2} \times 100 = \frac{2 \Delta x}{x} \times 100$.
दिया गया है कि $x = 10$ और $\Delta x = 0.05$:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{2 \times 0.05}{10} \times 100 = \frac{0.1}{10} \times 100 = 1 \%$.
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $1 \%$ है।

(D) दिया है,व्यास में त्रुटि $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$।
चूँकि $D = 2r$,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dV = 4 \pi r^2 dr$ प्राप्त होता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dV}{V} = \frac{4 \pi r^2 dr}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{dr}{r}$ है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{dV}{V} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$।
मान $r = 10 \text{ cm}$ और $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ रखने पर:
प्रतिशत त्रुटि $= 3 \times \frac{\pm 0.02}{10} \times 100 = 3 \times (\pm 0.002) \times 100 = \pm 0.6\%$।

(C) माना $y = f(x) = x^{3000}$ है।
हम अवकलज के अनुमानित मान के सूत्र का उपयोग करते हैं: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
यहाँ,$x = 1$ और $\Delta x = 0.0002$ लें।
तब $f(x) = 1^{3000} = 1$ होगा।
अवकलज $f'(x) = 3000 x^{2999}$ है।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 3000(1)^{2999} = 3000$ होगा।
अब,परिवर्तन $\Delta y \approx f'(x) \Delta x = 3000 \times 0.0002 = 0.6$ की गणना करें।
अतः,$f(1.0002) \approx f(1) + \Delta y = 1 + 0.6 = 1.6$ होगा।

(A) हम जानते हैं कि,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$।
प्रथम चतुर्थांश में,$\sin x$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $31^{\circ} > 30^{\circ}$,इसलिए $\sin 31^{\circ} > \sin 30^{\circ}$ होगा।
अतः,$\sin 31^{\circ} > 0.5$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x^{2} - 3x + 2$ है।
हमें $dy$ का मान ज्ञात करना है जब $x$,$2$ से $1.99$ में परिवर्तित होता है।
यहाँ,$x = 2$ और $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ है।
फलन का अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{2} - 3x + 2) = 4x - 3$ है।
$x = 2$ पर,$f'(2) = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$ प्राप्त होता है।
अवकलज $dy$ का सूत्र $dy = f'(x) \Delta x$ है।
मान रखने पर,$dy = f'(2) \times (-0.01) = 5 \times (-0.01) = -0.05$।
अतः,$y$ का अवकलज $-0.05$ है।

(B) माना कि $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V$ है।
तब,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि आयतन में अनुमानित परिवर्तन $\Delta V$ को $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,$\Delta V \approx (4 \pi r^2) \times \Delta r$.
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} \times 100 \approx \frac{4 \pi r^2 \times \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या $0.1 \%$ बढ़ती है,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.1$.
अतः,आयतन में प्रतिशत वृद्धि $3 \times 0.1 \% = 0.3 \%$ है।

(B) दिया गया है,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$.
दिया गया है कि लंबाई में $2 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{dl}{l} = 0.02$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$.
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dT}{T} \times 100 = 0.01 \times 100 = 1 \%$ है।
इसलिए,आवर्तकाल में अनुमानित परिवर्तन $1 \%$ है।

(B) दिया गया फलन $y = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ है।
सन्निकट परिवर्तन $\Delta y$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 + 3x - 5) = 6x^2 - 4x + 3$.
अब,$x = 2$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 6(2)^2 - 4(2) + 3 = 6(4) - 8 + 3 = 24 - 8 + 3 = 19$.
दिया गया है कि $\Delta x = 0.1$,इसलिए $\Delta y$ की गणना करने पर:
$\Delta y \approx 19 \times 0.1 = 1.9$.

(C) माना $f(x) = x^{1/5}$ है। हमें $f(33)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 32$ और $\Delta x = 1$,ताकि $x + \Delta x = 33$ हो।
हम जानते हैं कि $f(x) = x^{1/5} \implies f'(x) = \frac{1}{5} x^{-4/5} = \frac{1}{5 x^{4/5}}$ है।
$x = 32$ पर,$f(32) = (32)^{1/5} = 2$ है।
$f'(32) = \frac{1}{5(32)^{4/5}} = \frac{1}{5(2^4)} = \frac{1}{5 \times 16} = \frac{1}{80} = 0.0125$ है।
अवकलज के सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हुए: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$।
$f(33) \approx f(32) + f'(32) \times 1$।
$f(33) \approx 2 + 0.0125 = 2.0125$।