Approximate Value Questions in Hindi

(D) माना $f(x) = \log_{10} x = \frac{\log_e x}{\log_e 10} = (\log_{10} e)(\log_e x) = 0.4343(\log_e x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \frac{0.4343}{x}$ प्राप्त होता है।
माना $x = 998 = 1000 - 2 = a + h$.
यहाँ,$a = 1000$ और $h = -2$ है।
$f(a) = f(1000) = \log_{10}(1000) = 3 \log_{10} 10 = 3$.
साथ ही,$f'(a) = f'(1000) = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + hf'(a)$ का उपयोग करने पर:
$\log_{10}(998) \approx 3 + (-2)(0.0004343) = 3 - 0.0008686 = 2.9991314$.

(A) माना $f(x) = \cot^{-1}(x)$ है। इसका अवकलज $f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ है।
हम रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हैं: $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$.
यहाँ,$a = 1$ और $h = 0.001$ लें।
$f(a) = \cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ की गणना करें।
$f'(a) = -\frac{1}{1+1^2} = -\frac{1}{2}$ की गणना करें।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} + (0.001) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$.
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} - 0.0005$.

(C) माना $f(x) = \log _{10} x = \frac{\log _{e} x}{\log _{e} 10}$.
अतः,$f'(x) = \frac{1}{x \log_{e} 10} = \frac{1}{x} \log_{10} e$.
माना $a = 100$ और $h = -1$,जिससे $a + h = 99$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h f'(a)$ है।
यहाँ,$f(a) = \log_{10} 100 = 2$.
$f'(a) = \frac{1}{100} \log_{10} e = \frac{0.4343}{100} = 0.004343$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f(99) \approx 2 + (-1)(0.004343) = 2 - 0.004343 = 1.995657$.
दशमलव के चार अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.9957$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^{3} + 5x^{2} - 7x + 10$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 3x^{2} + 10x - 7$।
माना $a = 1$ और $h = 0.1$,इसलिए $x = a + h = 1.1$ है।
$f(a) = f(1) = (1)^{3} + 5(1)^{2} - 7(1) + 10 = 1 + 5 - 7 + 10 = 9$ की गणना करें।
$f'(a) = f'(1) = 3(1)^{2} + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ की गणना करें।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(1.1) \approx 9 + (0.1)(6) = 9 + 0.6 = 9.6$।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x^{3} - 3x + 5$ है।
हमें $x = 1.99$ पर सन्निकट मान ज्ञात करना है।
माना $x = a + h$,जहाँ $a = 2$ और $h = -0.01$ है।
रैखिक सन्निकटन का सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ है।
सबसे पहले,$f(a) = f(2) = 2^{3} - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$ ज्ञात करें।
इसके बाद,अवकलज $f'(x) = 3x^{2} - 3$ प्राप्त करें।
$f'(a) = f'(2) = 3(2)^{2} - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$ की गणना करें।
अब,इन मानों को सन्निकटन सूत्र में रखें:
$f(1.99) \approx f(2) + (-0.01) \cdot f'(2) = 7 + (-0.01)(9) = 7 - 0.09 = 6.91$।
अतः,सन्निकट मान $6.91$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)=3x^{2}+5x+3$।
हमें $x=3.02$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $x = a + h$,जहाँ $a=3$ और $h=0.02$ है।
रैखिक सन्निकटन (linear approximation) का सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ है।
सबसे पहले,$f(a) = f(3) = 3(3)^{2} + 5(3) + 3 = 27 + 15 + 3 = 45$ की गणना करें।
इसके बाद,अवकलज $f^{\prime}(x) = 6x + 5$ ज्ञात करें।
फिर,$f^{\prime}(a) = f^{\prime}(3) = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$f(3.02) \approx 45 + (0.02)(23) = 45 + 0.46 = 45.46$।

(A) मान लीजिए $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$. हमें $f(66)$ का अनुमानित मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $x = 64$ और $\Delta x = 2$,ताकि $x + \Delta x = 66$ हो।
रैखिक सन्निकटन (linear approximation) के लिए सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ है।
यहाँ,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$.
$x = 64$ पर,$f(64) = (64)^{\frac{1}{3}} = 4$.
और $f'(64) = \frac{1}{3(64)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(4^2)} = \frac{1}{3(16)} = \frac{1}{48}$.
अब,$f(66) \approx f(64) + f'(64) \Delta x$.
$f(66) \approx 4 + \left(\frac{1}{48}\right)(2) = 4 + \frac{1}{24}$.
चूंकि $\frac{1}{24} \approx 0.04166...$,इसलिए $f(66) \approx 4 + 0.04166... = 4.04166...$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $4.0417$ प्राप्त होता है,जो $4.0416$ के सबसे निकट है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 2x + 1$ है।
हमें $x = 2.99$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $x = 3$ और $\Delta x = -0.01$,ताकि $x + \Delta x = 2.99$ हो।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 2x - 2$ प्राप्त होता है।
रैखिक सन्निकटन के लिए सूत्र: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x \cdot f'(x)$ है।
$x = 3$ पर,$f(3) = 3^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$ है।
$x = 3$ पर,$f'(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f(2.99) \approx f(3) + (-0.01) \cdot f'(3)$।
$f(2.99) \approx 4 + (-0.01)(4)$।
$f(2.99) \approx 4 - 0.04 = 3.96$।

(A) रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हुए: $f(x+h) \approx f(x) + h f'(x)$.
यहाँ,$x=1$ और $h=0.1$ लें।
सबसे पहले,$f(1) = (1)^3 + 5(1)^2 - 7(1) + 9 = 1 + 5 - 7 + 9 = 8$ की गणना करें।
इसके बाद,अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 10x - 7$ ज्ञात करें।
$f'(1) = 3(1)^2 + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ की गणना करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$f(1.1) \approx f(1) + 0.1 \times f'(1)$
$f(1.1) \approx 8 + 0.1 \times 6$
$f(1.1) \approx 8 + 0.6 = 8.6$.

(B) माना $f(x) = x^{1/3}$ है। हमें $f(28)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 27$ और $\Delta x = 1$,ताकि $x + \Delta x = 28$ हो जाए।
हम जानते हैं कि $f(x) = x^{1/3}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ है।
अनुमान का सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ है।
यहाँ,$f(27) = (27)^{1/3} = 3$ है।
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27}$ है।
अतः,$f(28) \approx 3 + \frac{1}{27} \times 1$ है।
$f(28) \approx 3 + 0.037037... \approx 3.037$ है।

(B) हम रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हैं: $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$.
मान लीजिए $f(x) = \log_{10} x$.
तब $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} = \frac{\log_{10} e}{x}$.
दिया गया है $a = 1000$ और $h = 2$,इसलिए:
$f(1002) \approx f(1000) + 2 f'(1000)$.
$f(1000) = \log_{10} 1000 = 3$.
$f'(1000) = \frac{\log_{10} e}{1000} = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
अतः,$\log_{10} 1002 \approx 3 + 2(0.0004343)$.
$\log_{10} 1002 \approx 3 + 0.0008686 = 3.0008686$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $3.0009$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \sin x$.
तब $f^{\prime}(x) = \cos x$.
यहाँ,$a = 60^{\circ}$ और $h = 10^{\prime \prime}$.
चूंकि $1^{\circ} = 3600^{\prime \prime}$,इसलिए $h = \frac{10}{3600}^{\circ} = \frac{1}{360}^{\circ}$.
$h$ को रेडियन में बदलने पर: $h = \frac{1}{360} \times 0.0175^{c} \approx 0.0000486^{c}$.
अब,$f(a) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1.732}{2} = 0.866$.
और $f^{\prime}(a) = \cos(60^{\circ}) = 0.5$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(60^{\circ} 0^{\prime} 10^{\prime \prime}) \approx 0.866 + (0.0000486 \times 0.5)$.
$\approx 0.866 + 0.0000243 = 0.8660243$.

(C) $\sqrt{24.99}$ का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज (differentials) की अवधारणा का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $f(x) = \sqrt{x}$ है।
हम जानते हैं कि $24.99 = 25 - 0.01$ है। यहाँ,$x = 25$ और $\Delta x = -0.01$ है।
सन्निकटन (approximation) के लिए सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ है।
सबसे पहले,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ज्ञात करें।
$x = 25$ पर,$f(25) = \sqrt{25} = 5$ और $f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} = 0.1$ है।
अब,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$f(24.99) \approx f(25) + f'(25) \times \Delta x$
$f(24.99) \approx 5 + (0.1) \times (-0.01)$
$f(24.99) \approx 5 - 0.001$
$f(24.99) \approx 4.999$.

(A) माना घन की भुजा $x$ मीटर है।
घन का आयतन $V = x^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dV = 3x^{2} dx$।
दिया गया है कि भुजा में $3\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{dx}{x} \times 100 = 3$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{x} = 0.03$,या $dx = 0.03x$।
$dV$ के व्यंजक में $dx$ का मान रखने पर:
$dV = 3x^{2} (0.03x) = 0.09x^{3} \text{ m}^{3}$।
अतः,आयतन में अनुमानित परिवर्तन $0.09x^{3} \text{ m}^{3}$ है।

(A) वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \text{side}^2$ है।
दिया गया है कि $\text{Area} = 575$ है।
अतः,$\text{side} = \sqrt{575}$।
वर्गमूल की गणना करने पर: $\sqrt{575} \approx 23.9791576$।
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $23.9792$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $f(x) = \cot x$ है।
दिया गया है $1^{\prime} = 0.0175$ रेडियन,इसलिए $2^{\prime} = 0.035$ रेडियन।
अवकलन $f^{\prime}(x) = -\operatorname{cosec}^2 x$ है।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx \cot(45^{\circ}) + (0.035) \times (-\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}))$.
चूंकि $\cot(45^{\circ}) = 1$ और $\operatorname{cosec}(45^{\circ}) = \sqrt{2}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}) = 2$।
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx 1 - 0.035 \times 2 = 1 - 0.07 = 0.93$।

(C) हम जानते हैं कि $1^{\circ} = \alpha$ रेडियन,इसलिए $1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$ रेडियन।
अवकल सन्निकटन (differential approximation) का उपयोग करते हुए,$\cos(x + \Delta x) \approx \cos(x) - \sin(x) \Delta x$।
यहाँ,$x = 60^{\circ}$ और $\Delta x = 1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$।
अतः,$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \frac{\alpha}{60}$।
मान रखने पर,$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ और $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\alpha}{60} = \frac{1}{2} - \frac{\alpha \sqrt{3}}{120}$।

(D) माना $y = f(x) = \cos(x)$ है। हमें $\cos(31^{\circ})$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ और $\Delta x = 1^{\circ} = 0.0174 \text{ rad}$ है।
तब $f(x) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$ है।
अवकलन करने पर $f'(x) = -\sin(x)$ प्राप्त होता है।
$x = 30^{\circ}$ पर,$f'(30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -0.5$ है।
अवकलज के अनुमानित मान के सूत्र $\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x$ का उपयोग करने पर:
$\Delta y \approx (-0.5) \times 0.0174 = -0.0087$ है।
अतः,$\cos(31^{\circ}) = f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta y$ है।
$\cos(31^{\circ}) \approx 0.8660 - 0.0087 = 0.8573$ है।

(B) एक लंबवृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r^2 + \pi r l$ है,जहाँ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
दिया है $r = 7$,$h = 7$,तो $l = \sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt{2}$ है।
मापन में त्रुटि $\Delta r = \Delta h = 0.002 \times 7 = 0.014$ है।
$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$.
अवकलन लेने पर $dS = \frac{\partial S}{\partial r} dr + \frac{\partial S}{\partial h} dh$.
$\frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \pi \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} = 2\pi r + \pi l + \frac{\pi r^2}{l}$.
$\frac{\partial S}{\partial h} = \pi r \frac{h}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \frac{\pi r h}{l}$.
$r=7, h=7, l=7\sqrt{2}$ और $dr=dh=0.014$ रखने पर:
$\frac{\partial S}{\partial r} = 14\pi + 7\sqrt{2}\pi + 3.5\sqrt{2}\pi = 14\pi + 10.5\sqrt{2}\pi$.
$\frac{\partial S}{\partial h} = 3.5\sqrt{2}\pi$.
$dS = (14\pi + 10.5\sqrt{2}\pi)(0.014) + (3.5\sqrt{2}\pi)(0.014) = 14\pi(1+\sqrt{2})(0.014) = 0.196\pi(1+\sqrt{2})$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$0.196 \times 3.14 \approx 0.616$.
अतः,त्रुटि $(0.616)(\sqrt{2}+1)$ है।

(C) दिया गया है,$y = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots) e^{nx}$.
माना $K = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots)$,जो एक स्थिरांक है।
अतः,$y = K e^{nx}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = K \cdot n e^{nx} = n \cdot (K e^{nx}) = ny$.
अवकलज की अवधारणा का उपयोग करते हुए,$\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$.
इसलिए,$\Delta y = ny \Delta x$.
दोनों पक्षों को $y$ से विभाजित करने पर,हमें $y$ में सापेक्ष त्रुटि प्राप्त होती है:
$\frac{\Delta y}{y} = n \Delta x$.
अतः,$y$ में सापेक्ष त्रुटि $n \times (x \text{ में त्रुटि})$ है।

(A) माना कि $r$ त्रिज्या है और $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ है,इसलिए $\frac{dr}{r} = 0.03$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dA = 2\pi r dr$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dA}{A} = \frac{2\pi r dr}{\pi r^2} = 2 \frac{dr}{r}$ है।
$\frac{dr}{r}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \times 0.03 = 0.06$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6\%$ है।

(B) यहाँ अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 45^{\circ}$ और आधार की त्रिज्या $r = 14 \text{ cm}$ दी गई है।
तिर्यक ऊँचाई $l = \frac{r}{\sin 45^{\circ}} = r\sqrt{2}$ है।
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi r(r + l)$ होता है।
$l = r\sqrt{2}$ रखने पर,$A = \pi r(r + r\sqrt{2}) = \pi r^2(1 + \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
$A$ में अनुमानित त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2\pi r(1 + \sqrt{2})$.
अनुमानित त्रुटि $dA = \frac{dA}{dr} \cdot dr$ है,जहाँ $dr = \frac{\sqrt{2}-1}{11} \text{ cm}$ है।
$dA = 2\pi r(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
$r = 14$ रखने पर:
$dA = 2\pi(14)(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
चूँकि $(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 1$ है,
$dA = 2\pi(14) \cdot \frac{1}{11} = \frac{28\pi}{11}$.
यदि हम $\pi \approx \frac{22}{7}$ लें,तो $dA = 28 \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{11} = 4 \times 2 = 8 \text{ sq. cm}$।

(B) माना $y = f(x) = x^3 - 4x$.
हमें $x = 2$ और $x$ में परिवर्तन $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ दिया गया है।
$y$ में अनुमानित परिवर्तन $\Delta y$ को $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सबसे पहले,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x) = 3x^2 - 4$.
अब,$x = 2$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$.
अंत में,अनुमानित परिवर्तन $\Delta y$ की गणना करने पर: $\Delta y \approx 8 \times (-0.01) = -0.08$.

(A) माना $r$ गोले की त्रिज्या है और $\Delta r$ त्रिज्या मापने में हुई त्रुटि है।
दिया गया है, $r = 9 \ cm$ और $\Delta r = 0.03 \ cm$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुमानित त्रुटि ज्ञात करने के लिए, हम $S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$।
अवकल सन्निकटन का उपयोग करते हुए, $\Delta S \approx \frac{dS}{dr} \times \Delta r$।
मान रखने पर:
$\Delta S = 8 \pi \times 9 \times 0.03$।
$\Delta S = 72 \pi \times 0.03 = 2.16 \pi \ cm^2$।
अतः, पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना में अनुमानित त्रुटि $2.16 \pi \ cm^2$ है।

(A) दिया गया है,$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
$l$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{T} \frac{dT}{dl} = \frac{1}{2l}$.
अतः,सापेक्ष परिवर्तन $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ है।
यह दिया गया है कि लंबाई में $1 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{dl}{l} \times 100 = 1 \%$ है।
इसलिए,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dT}{T} \times 100 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{dl}{l} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times 1 \% = 0.5 \%$ है।
अतः,आवर्तकाल में अनुमानित परिवर्तन $0.5 \%$ है।

(B) दिया गया है $y = f(x) = 5x^2 + 6x + 6$,$x = 2$ और $\Delta x = 0.001$.
सबसे पहले,अवकलज $dy$ की गणना करें:
$\frac{dy}{dx} = 10x + 6$
$dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x = (10x + 6) \Delta x$
$x = 2$ और $\Delta x = 0.001$ रखने पर:
$dy = (10(2) + 6)(0.001) = (26)(0.001) = 0.026$.
अब,वृद्धि $\Delta y$ की गणना करें:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$
$\Delta y = [5(x + \Delta x)^2 + 6(x + \Delta x) + 6] - [5x^2 + 6x + 6]$
$\Delta y = 5(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 6x + 6\Delta x + 6 - 5x^2 - 6x - 6$
$\Delta y = 10x\Delta x + 5(\Delta x)^2 + 6\Delta x$
$x = 2$ और $\Delta x = 0.001$ रखने पर:
$\Delta y = 10(2)(0.001) + 5(0.001)^2 + 6(0.001)$
$\Delta y = 0.020 + 0.000005 + 0.006 = 0.026005$.
अतः,$\Delta y = 0.026005$ और $dy = 0.026$.

(D) दिया गया है, त्रिज्या $(r) = 7 \text{ m}$ और त्रिज्या में त्रुटि $(dr) = 0.02 \text{ m}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $(dV)$, $dV = \frac{dV}{dr} \times dr$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $dV = 4 \pi (7)^2 \times 0.02$।
$dV = 4 \pi (49) \times 0.02$।
$dV = 196 \pi \times 0.02 = 3.92 \pi \text{ m}^3$।
अतः, आयतन की गणना में अनुमानित त्रुटि $3.92 \pi \text{ m}^3$ है। इसलिए, विकल्प $(D)$ सही है।

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक जनसंख्या $P_0$ है। $3 \%$ की वार्षिक वृद्धि दर पर $5 \text{ yr}$ के बाद जनसंख्या $P = P_0(1 + \frac{3}{100})^5$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\frac{P - P_0}{P_0} \times 100 = [ (1 + 0.03)^5 - 1 ] \times 100$
$= [ (1.03)^5 - 1 ] \times 100$
$(1.03)^5 \approx 1.15927$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\approx [1.15927 - 1] \times 100 = 15.927 \% \approx 15.9 \%$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना कि फलन $f(x) = \sqrt{x}$ है।
हम $x = 196$ और $\Delta x = 3$ चुनते हैं क्योंकि $196$,$199$ के निकटतम पूर्ण वर्ग है।
अवकलन सूत्र $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \Delta x$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x = 196$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{196}} = \frac{1}{2 \times 14} = \frac{1}{28}$.
अब,$\Delta y \approx \frac{1}{28} \times 3 = \frac{3}{28} \approx 0.10714$.
अतः,$\sqrt{199} = \sqrt{196} + \Delta y \approx 14 + 0.1071 = 14.1071$.

(C) माना $y = f(x) = x^{1/3}$ है।
हम $x = 27$ चुनते हैं ताकि $x + \Delta x = 26$ हो।
अतः $\Delta x = 26 - 27 = -1$ है।
हम जानते हैं कि $y + \Delta y \approx f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{1/3}$ होता है।
अवकल $\Delta y$ को $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y = x^{1/3}$ है,हमारे पास $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ है।
$x = 27$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27}$ होता है।
अतः,$\Delta y \approx \frac{1}{27} \times (-1) = -\frac{1}{27} \approx -0.037037$ है।
इसलिए,$\sqrt[3]{26} = y + \Delta y = 27^{1/3} - 0.037037 = 3 - 0.037037 = 2.962963$ है।
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.963$ प्राप्त होता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के आधार पर,$2.962$ सबसे निकटतम मान है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) एक सरल लोलक का आवर्त काल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln L - \frac{1}{2} \ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$.
यहाँ,घड़ी प्रति दिन $2$ मिनट खो देती है,इसलिए $\Delta T = -2$ मिनट।
एक दिन में कुल समय $24 \times 60 = 1440$ मिनट होता है।
अतः,समय में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{-2}{1440} = -\frac{1}{720}$ है।
$\frac{\Delta L}{L} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ संबंध का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta L}{L} = 2 \times \left( -\frac{1}{720} \right) = -\frac{1}{360}$.
इसे प्रतिशत परिवर्तन के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta L}{L} \% = -\frac{1}{360} \times 100 = -\frac{10}{36} = -\frac{5}{18} \%$.
इसलिए,लंबाई में $-\frac{5}{18} \%$ का परिवर्तन किया जाना चाहिए।

(C) माना $y = f(x) = x^{1/4}$ है। हम $x = 16$ और $\Delta x = 2$ चुनते हैं क्योंकि $16$,$18$ के निकटतम पूर्ण चतुर्थ घात है।
अवकलज सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta y \approx \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4x^{3/4}}$।
$x = 16$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(16^{3/4})} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32}$।
अब,$\Delta y$ की गणना करें: $\Delta y \approx \left(\frac{1}{32}\right) \times 2 = \frac{1}{16} = 0.0625$।
अतः,अनुमानित मान $y + \Delta y = f(16) + 0.0625 = 2 + 0.0625 = 2.0625$ है।

(D) दिया गया है,व्यास में त्रुटि $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$ है।
चूंकि त्रिज्या $r = \frac{D}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm \frac{0.04}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ होगी।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \Delta r = 4 \pi r^2 \Delta r$ है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = \frac{3 \Delta r}{r} \times 100$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 10 \text{ cm}$ और $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ है,अतः प्रतिशत त्रुटि $\frac{3 \times (\pm 0.02)}{10} \times 100 = \frac{\pm 0.06}{10} \times 100 = \pm 0.6 \%$ है।

(C) वृत्त की दी गई परिधि $S = 2 \pi r = 56 \text{ cm}$ है।
इससे,त्रिज्या $r = \frac{56}{2 \pi} = \frac{28}{\pi} \text{ cm}$ प्राप्त होती है।
परिधि में त्रुटि $\delta S = 2 \pi \delta r = 0.02 \text{ cm}$ दी गई है।
अतः,$\delta r = \frac{0.02}{2 \pi} \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta A}{A} = 2 \frac{\delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\frac{\delta A}{A} = 2 \times \frac{\frac{0.02}{2 \pi}}{\frac{28}{\pi}} = 2 \times \frac{0.02}{2 \pi} \times \frac{\pi}{28} = \frac{0.02}{28} = \frac{2}{2800} = \frac{1}{1400}$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\delta A}{A} \times 100 = \frac{1}{1400} \times 100 = \frac{1}{14} \%$.
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $1/14 \%$ है।

(A) $\triangle AOB$ में,अर्ध-शीर्ष कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = \frac{r}{h} \implies 1 = \frac{r}{h} \implies r = h$.
तिर्यक ऊँचाई के सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $l = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r l$ है।
$r = h$ और $l = h\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = \pi (h)(h\sqrt{2}) = \sqrt{2} \pi h^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $h = 20.025 \ cm$,इसलिए $h^2 = (20.025)^2 = 401.000625 \approx 401$.
अतः,$S \approx \sqrt{2} \pi (401) = 401 \sqrt{2} \pi \ cm^2$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना वर्ग की भुजा $x$ है।
दिया गया है कि भुजा में प्रतिशत परिवर्तन $6 \%$ है,इसलिए $\frac{dx}{x} \times 100 = 6 \%$.
वर्ग का क्षेत्रफल $A = x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dA = 2x \, dx$.
दोनों पक्षों को $A = x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dA}{A} = \frac{2x \, dx}{x^2} = 2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times \left( \frac{dx}{x} \times 100 \right)$.
दी गई मान रखने पर,हमें $\text{क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन} = 2 \times 6 \% = 12 \%$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में लगभग $12 \%$ की वृद्धि होती है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(A) $\sqrt{6560}$ का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$.
हम जानते हैं कि $81^2 = 6561$.
मान लीजिए $x = 6561$ और $\Delta x = -1$.
तब,$\sqrt{6560} = \sqrt{6561 - 1} \approx \sqrt{6561} - \frac{1}{2\sqrt{6561}}$.
$\sqrt{6560} \approx 81 - \frac{1}{2 \times 81} = 81 - \frac{1}{162}$.
$\frac{1}{162} \approx 0.0061728$.
अतः,$\sqrt{6560} \approx 81 - 0.0061728 = 80.9938272$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $80.9938$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$80.9939$ सबसे निकटतम अनुमान है।

(B) हमें $\sec 58^{\circ}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\sec 58^{\circ} = \frac{1}{\cos 58^{\circ}}$,हम पहले $\cos 58^{\circ}$ की गणना करते हैं।
$\cos(60^{\circ} - 2^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 2^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 2^{\circ}$ का उपयोग करते हुए।
दिया गया है $1^{\circ} = 0.0175 \text{ रेडियन}$,तो $2^{\circ} = 2 \times 0.0175 = 0.035 \text{ रेडियन}$।
छोटे कोण के अनुमान का उपयोग करते हुए,$\cos 2^{\circ} \approx 1 - \frac{(0.035)^2}{2} = 0.9993875$ और $\sin 2^{\circ} \approx 0.035$।
इन मानों को रखने पर: $\cos 58^{\circ} \approx (0.5 \times 0.9993875) + (0.866 \times 0.035) = 0.53000375$।
अतः $\sec 58^{\circ} = \frac{1}{0.53000375} \approx 1.8867$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $1.8788$ है।

(D) माना $\theta = A = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{3\pi}{8} \text{ रेडियन}$.
माप में त्रुटि $d\theta = 9 \text{ min} = \frac{\pi}{1200} \text{ रेडियन}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2}bc \sin \theta$.
अवकलन करने पर,$\frac{dS}{d\theta} = \frac{1}{2}bc \cos \theta$.
अतः,क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dS}{S} = \cot \theta d\theta$.
मान रखने पर,$\frac{dS}{S} = \cot \left( \frac{3\pi}{8} \right) \times \frac{\pi}{1200} = (\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200}$.
प्रतिशत त्रुटि = $(\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200} \times 100 = \frac{\pi}{12}(\sqrt{2}-1)$.

(D) शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। $h = 9$ दिए जाने पर,$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (9) = 3 \pi r^2$ होता है।
आयतन में सटीक परिवर्तन: $\Delta V = V(2.12) - V(2) = 3 \pi (2.12)^2 - 3 \pi (2)^2 = 3 \pi (4.4944 - 4) = 3 \pi (0.4944) = 1.4832 \pi$.
आयतन में अनुमानित परिवर्तन: $dV = \frac{dV}{dr} \Delta r$.
चूंकि $V = 3 \pi r^2$,इसलिए $\frac{dV}{dr} = 6 \pi r$ होता है।
$r = 2$ और $\Delta r = 2.12 - 2 = 0.12$ के लिए,$dV = 6 \pi (2) (0.12) = 12 \pi (0.12) = 1.44 \pi$.
अतः,सटीक परिवर्तन $1.4832 \pi$ है और अनुमानित परिवर्तन $1.44 \pi$ है।

(D) दिया गया है: माप में त्रुटि $\Delta x = 0.03 \text{ cm}$. चूँकि $1 \text{ foot} = 30.48 \text{ cm}$,फीट में त्रुटि $\Delta x = \frac{0.03}{30.48} \text{ feet} \approx 0.001 \text{ feet}$.
बेलन की ऊँचाई $h = 3.5 \text{ feet}$,गोले का व्यास $d = 3.5 \text{ feet}$,इसलिए त्रिज्या $r = 1.75 \text{ feet}$.
चूँकि त्रिज्या समान है,$r = 1.75 \text{ feet}$ लें।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_1 = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 18.375\pi$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_2 = 4\pi r^2 = 12.25\pi$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = S_1 + S_2 = 30.625\pi$.
अनुमानित त्रुटि $\Delta S = \frac{dS}{dr} \Delta r$.
$S = 6\pi r^2 + 2\pi rh$ होने के कारण,$\frac{dS}{dr} = 12\pi r + 2\pi h = 28\pi$.
$\Delta S = 28\pi \times 0.001 = 0.028\pi \approx 0.1925 \text{ sq feet}$ (गणना के अनुसार)।

(C) माना व्यास $D = 14 \ cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 7 \ cm$ है। व्यास में त्रुटि $\Delta D = 0.02 \ cm$ है,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = 0.01 \ cm$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 45^{\circ}$ दिया गया है,अतः शंकु की ऊँचाई $h = \frac{r}{\tan(\alpha)} = \frac{r}{\tan(45^{\circ})} = r$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^3$ है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ है।
मान रखने पर,$\Delta V \approx \pi \times (7)^2 \times 0.01 = 49 \pi \times 0.01 = 0.49 \pi$।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\Delta V \approx 0.49 \times \frac{22}{7} = 0.07 \times 22 = 1.54 \ cm^3$ प्राप्त होता है।

(A) माना $r$ त्रिज्या है और $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ दी गई है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{dr}{r} \times 100)$ है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times 3\% = 6\%$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $6\%$ है।

(A) दी गई त्रिज्या $r = 7 \text{ cm}$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल में त्रुटि $dA = 0.08 \text{ cm}^2$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$ प्राप्त होता है।
अतः,$dA = 8 \pi r \cdot dr$.
मान रखने पर,$0.08 = 8 \pi (7) \cdot dr$.
$dr = \frac{0.08}{56 \pi} = \frac{0.01}{7 \pi} \text{ cm}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $dV = \frac{dV}{dr} \cdot dr$ है।
$dV = (4 \pi r^2) \cdot \left( \frac{0.01}{7 \pi} \right)$.
$r = 7$ रखने पर,$dV = 4 \pi (7^2) \cdot \frac{0.01}{7 \pi} = 4 \times 7 \times 0.01 = 0.28 \text{ cm}^3$.

(A) माना $f(x) = x^{1/3}$. हमें $f(730)$ का सन्निकट मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $729 = 9^3$,इसलिए $x = 729$ और $\Delta x = 1$ लें।
अवकलज के सूत्र का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
यहाँ,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$.
$x = 729$ पर,$f(729) = (729)^{1/3} = 9$.
$f'(729) = \frac{1}{3(729)^{2/3}} = \frac{1}{3(9^2)} = \frac{1}{3 \times 81} = \frac{1}{243}$.
अतः,$f(730) \approx 9 + \frac{1}{243} \times 1$.
$f(730) \approx 9 + 0.004115... \approx 9.0041$.