क्षेत्र {(x, y): xy leq 8, 1 leq y leq x^2} क | vedclass

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Question

(B) यह क्षेत्र $xy = 8$ (या $x = 8/y$),$y = 1$,और $y = x^2$ (या $x > 0$ के लिए $x = \sqrt{y}$) द्वारा घिरा हुआ है।$x = 8/y$ और $x = \sqrt{y}$ के प्रति

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$16 \log_e 2 - \frac{14}{3}$

Vedclass · Answer

(B) यह क्षेत्र $xy = 8$ (या $x = 8/y$),$y = 1$,और $y = x^2$ (या $x > 0$ के लिए $x = \sqrt{y}$) द्वारा घिरा हुआ है।$x = 8/y$ और $x = \sqrt{y}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$\frac{8}{y} = \sqrt{y}$ रखने पर,जिसका अर्थ है $y^{3/2} = 8$,इसलिए $y = 4$ प्राप्त होता है।यह क्षेत्र $y$ के मान $1$ से $4$ तक की सीमा में है,जहाँ दाईं ओर की सीमा $x = 8/y$ है और बाईं ओर की सीमा $x = \sqrt{y}$ है।अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $\int_1^4 \left(\frac{8}{y} - \sqrt{y}\right) dy$ है।$= [8 \ln|y| - \frac{2}{3} y^{3/2}]_1^4$$= (8 \ln 4 - \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2}) - (8 \ln 1 - \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2})$$= (8 \cdot 2 \ln 2 - \frac{2}{3} \cdot 8) - (0 - \frac{2}{3})$$= 16 \ln 2 - \frac{16}{3} + \frac{2}{3}$$= 16 \ln 2 - \frac{14}{3}$.

क्षेत्र $\{(x, y): xy \leq 8, 1 \leq y \leq x^2\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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