मान लीजिए f:[0,1] rightarrow[0,1] एक फलन है ज | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
सबसे पहले,लाल क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[

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$B, C, D$

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(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
सबसे पहले,लाल क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{18} + \frac{17x}{36} ight]_0^1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + \frac{17}{36} = \frac{3 - 12 + 10 + 17}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
चूंकि वर्ग $S$ का कुल क्षेत्रफल $1 	imes 1 = 1$ है,हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_G = 1 - A_R = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $A_R^-(h)$ और $A_G^-(h)$ रेखा $L_h$ के नीचे लाल और हरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल हैं। मान लीजिए $A_R^+(h)$ और $A_G^+(h)$ $L_h$ के ऊपर के क्षेत्रफल हैं।
$(B)$ के लिए: हम चाहते हैं कि $A_R^+(h) = A_R^-(h)$,जिसका अर्थ है $A_R^-(h) = \frac{1}{2} A_R = \frac{1}{4}$. चूंकि $f(x) \ge \frac{13}{36} > \frac{1}{4}$,$h = \frac{1}{4}$ के लिए,$A_R^-(h) = \int_0^1 \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}$. अतः,$(B)$ सत्य है।
$(C)$ के लिए: मान लीजिए $g(h) = A_G^+(h) - A_R^-(h)$. $h = \frac{13}{36}$ पर,$A_R^-(h) = 0$ और $A_G^+(h) = \frac{1}{2}$,इसलिए $g(h) = \frac{1}{2}$. $h = \frac{181}{324}$ पर,$A_R^-(h) = \frac{1}{2}$ और $A_G^+(h) = 0$,इसलिए $g(h) = -\frac{1}{2}$. इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम द्वारा,एक ऐसा $h$ मौजूद है कि $g(h) = 0$,यानी $A_G^+(h) = A_R^-(h)$. अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ के लिए: मान लीजिए $k(h) = A_R^+(h) - A_G^-(h)$. चूंकि $A_R^+(h) + A_R^-(h) = A_R = 1/2$ और $A_G^+(h) + A_G^-(h) = A_G = 1/2$,हमारे पास $A_R^+(h) = 1/2 - A_R^-(h)$ और $A_G^-(h) = 1/2 - A_G^+(h)$ है। तब $k(h) = (1/2 - A_R^-(h)) - (1/2 - A_G^+(h)) = A_G^+(h) - A_R^-(h) = g(h)$. चूंकि $g(h)$ $1/2$ से $-1/2$ तक के मान लेता है,$k(h)$ भी $0$ मान लेता है। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,विकल्प $(B), (C),$ और $(D)$ सही हैं।

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