ધારો કે f:[0,1] rightarrow[0,1] એ f(x)=frac{x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
પ્રથમ,લાલ પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{x^4

Vedclass · Accepted Answer

$B, C, D$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
પ્રથમ,લાલ પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{18} + \frac{17x}{36} ight]_0^1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + \frac{17}{36} = \frac{3 - 12 + 10 + 17}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
ચોરસ $S$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $1 	imes 1 = 1$ હોવાથી,લીલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_G = 1 - A_R = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $A_R^-(h)$ અને $A_G^-(h)$ એ રેખા $L_h$ ની નીચેના લાલ અને લીલા પ્રદેશોના ક્ષેત્રફળ છે. ધારો કે $A_R^+(h)$ અને $A_G^+(h)$ એ $L_h$ ની ઉપરના ક્ષેત્રફળો છે.
$(B)$ માટે: આપણે $A_R^+(h) = A_R^-(h)$ ઇચ્છીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $A_R^-(h) = \frac{1}{2} A_R = \frac{1}{4}$. $f(x) \ge \frac{13}{36} > \frac{1}{4}$ હોવાથી,$h = \frac{1}{4}$ માટે,$A_R^-(h) = \int_0^1 \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ માટે: ધારો કે $g(h) = A_G^+(h) - A_R^-(h)$. $h = \frac{13}{36}$ પર,$A_R^-(h) = 0$ અને $A_G^+(h) = \frac{1}{2}$,તેથી $g(h) = \frac{1}{2}$. $h = \frac{181}{324}$ પર,$A_R^-(h) = \frac{1}{2}$ અને $A_G^+(h) = 0$,તેથી $g(h) = -\frac{1}{2}$. ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ દ્વારા,એવો $h$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(h) = 0$,એટલે કે $A_G^+(h) = A_R^-(h)$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે: ધારો કે $k(h) = A_R^+(h) - A_G^-(h)$. $A_R^+(h) + A_R^-(h) = A_R = 1/2$ અને $A_G^+(h) + A_G^-(h) = A_G = 1/2$ હોવાથી,આપણી પાસે $A_R^+(h) = 1/2 - A_R^-(h)$ અને $A_G^-(h) = 1/2 - A_G^+(h)$ છે. પછી $k(h) = (1/2 - A_R^-(h)) - (1/2 - A_G^+(h)) = A_G^+(h) - A_R^-(h) = g(h)$. $g(h)$ એ $1/2$ થી $-1/2$ સુધીની કિંમતો લેતું હોવાથી,$k(h)$ પણ $0$ કિંમત લે છે. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પો $(B), (C),$ અને $(D)$ સાચા છે.

Similar Questions

$A = \{ (x,y) | y \ge x^2 - 5x + 4, x + y \ge 1, y \le 0 \}$ દ્વારા વર્ણવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

પરવલયો $y = x^2 - 1$ અને $y = 1 - x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે ($/3$ માં)?

વક્રો $y-1=\cos x$,$y=\sin x$ અને $x=0$ તથા $x=\pi$ વચ્ચે $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પરવલયો $y=4x^2$,$y=\frac{x^2}{9}$ અને રેખા $y=2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module