$\int_0^{\pi /4} \tan^6 x \sec^2 x \, dx = $

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{d}{{dx}}G(x) = \frac{{{e^{\tan x}}}}{x}$ હોય,જ્યાં $x \in (0, \pi/2)$,તો $\int_{1/4}^{1/2} \frac{2}{x} e^{\tan(\pi x^2)} dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=f(x)$ એ $(-5,5)$ માં ત્રણ વાર વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે વક્ર $y=f(x)$ ના $(1, f(1))$ અને $(3, f(3))$ આગળના સ્પર્શકો ધન $x$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{4}$ ના ખૂણા બનાવે છે. જો $27 \int_1^3\left(\left(f^{\prime}(t)\right)^2+1\right) f^{\prime \prime}(t) d t=\alpha+\beta \sqrt{3}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{1}^{2} \frac{\cos(\log x)}{x} \, dx = $