विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूहों के संबंध | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $A$,$n 	imes n$ क्रम का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमे

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विषम क्रम का विषम-सममित आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है

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(B) मान लीजिए $A$,$n 	imes n$ क्रम का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\det(A^T) = \det(-A)$ प्राप्त होता है। चूंकि $\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$,इसलिए $\det(A) = (-1)^n \det(A)$ होता है। यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^n = -1$,अतः $\det(A) = -\det(A)$,जिसका अर्थ है कि $2 \det(A) = 0$,या $\det(A) = 0$। जिस आव्यूह का सारणिक $0$ होता है,उसे अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह कहा जाता है। इसलिए,विषम क्रम का विषम-सममित आव्यूह हमेशा अव्युत्क्रमणीय होता है।

विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूहों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

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जब $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ हो,तो $\frac{1}{2}(A+A^{\prime})$ और $\frac{1}{2}(A-A^{\prime})$ ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,तो $AB - BA$ एक . . . . . . है।

एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,यदि $A = B + \frac{C}{2}$ है,जहाँ $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है और $C$ एक सममित आव्यूह है,तो $C = $ . . . . . . .

निम्नलिखित आव्यूह का परिवर्त (transpose) ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ है,तो $A + A^T$ का मान क्या होगा?

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