एक ऑर्थोगोनल (लंबकोणीय) आव्यूह है

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Question

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि $A'A = I = AA'$ हो,जहाँ $A'$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है और $I$ तत्समक आव्यूह (ide

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$\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$

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(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि $A'A = I = AA'$ हो,जहाँ $A'$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है और $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.तब,परिवर्त आव्यूह $A' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.$AA'$ की गणना करने पर:$AA' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.इसी प्रकार,$A'A = I$ होता है।चूँकि $AA' = A'A = I$,इसलिए विकल्प $(b)$ में दिया गया आव्यूह एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

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यदि $A^{\prime}=\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ है,तो सत्यापित कीजिए कि $(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$।

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