Class 12Mathematics3 and 4 .Determinants and MatricesSpecial types of matrices, Transpose of matrices and Trace of matrices
Difficultजब $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ हो,तो $\frac{1}{2}(A+A^{\prime})$ और $\frac{1}{2}(A-A^{\prime})$ ज्ञात कीजिए।
दिया गया आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right].$
अब,$A+A^{\prime}$ की गणना कीजिए:
$A+A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
अतः,$\frac{1}{2}(A+A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
अगला,$A-A^{\prime}$ की गणना कीजिए:
$A-A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0\end{array}\right].$
अतः,$\frac{1}{2}(A-A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right].$
सबसे पहले,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right].$
अब,$A+A^{\prime}$ की गणना कीजिए:
$A+A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
अतः,$\frac{1}{2}(A+A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
अगला,$A-A^{\prime}$ की गणना कीजिए:
$A-A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0\end{array}\right].$
अतः,$\frac{1}{2}(A-A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right].$
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$1$. $A^{2n}$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
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