सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$
(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2(a+b+c) & 2(p+q+r) & 2(x+y+z) \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_2$ और $R_3$ से $-1$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2(-1)(-1) \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2(a+b+c) & 2(p+q+r) & 2(x+y+z) \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_2$ और $R_3$ से $-1$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2(-1)(-1) \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$
Difficult
View Solution$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{array} \right|$ है,तो $f(100)$ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,तो सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}1+\omega & 0 & -\omega \\ 1+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2} \\ \omega+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$ का मान क्या है?
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यदि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}, \dots$ एक $G.P.$ में हैं,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} \right|$ का मान क्या है?
MediumAIEEE 2004
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