$A$ और $B$ ऐसे $3 \times 3$ आव्यूह हैं कि $AB + A + B = 0$,तो:

मान लीजिए कि $A$ कोई $3 \times 3$ नॉन-सिंगुलर आव्यूह है और $(A - 3I)(A - 5I) = O$,जहाँ $I = I_3$ और $O = O_3$ है। यदि $\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ और $X=\sum_{k=1}^6 P_k \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$ जहाँ $P_k^{\top}$ आव्यूह $P_k$ का परिवर्त आव्यूह दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $X - 30I$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है
$(2)$ $X$ के विकर्ण अवयवों का योग $18$ है
$(3)$ यदि $X \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ है,तो $\alpha=30$
$(4)$ $X$ एक सममित आव्यूह है

मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ और $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,जहाँ $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,और $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि आव्यूह $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ का सारणिक $\alpha \omega^{2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A^{2}-B^{2})$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। यदि $A^{5}=B^{5}$ और $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$ है,तो आव्यूह $A^{3}+B^{3}$ के सारणिक का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $A$ और $B$ कोई दो $n \times n$ आव्यूह हैं ताकि निम्नलिखित शर्तें पूरी हों: $A B=B A$ और ऐसे धनात्मक पूर्णांक $k$ और $l$ मौजूद हैं कि $A^k=I$ (तत्समक आव्यूह) और $B^l=0$ (शून्य आव्यूह)। तो,