Inelastic Collision Questions in Hindi

(A) किसी भी टक्कर में,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,तो रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।
यह सिद्धांत प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ दोनों प्रकार की टक्करों पर लागू होता है।
हालाँकि,कुल गतिज ऊर्जा केवल पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करों में ही संरक्षित रहती है।
अप्रत्यास्थ टक्करों में,कुछ गतिज ऊर्जा ऊर्जा के अन्य रूपों (जैसे ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है,इसलिए यह संरक्षित नहीं रहती है।
अतः,कुल रैखिक संवेग वह राशि है जो हमेशा संरक्षित रहती है।

(C) मान लीजिए कि दोनों पिंडों का द्रव्यमान $m$ है। पहले पिंड का प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ और दूसरे पिंड का प्रारंभिक वेग $u_2 = v/2$ है।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$,जहाँ $v_1$ और $v_2$ अंतिम वेग हैं।
$v + v/2 = v_1 + v_2 \implies v_1 + v_2 = 1.5v$ --- $(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = (v_2 - v_1) / (u_1 - u_2)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है $e = 0.5$,$u_1 = v$,और $u_2 = v/2$,इसलिए $0.5 = (v_2 - v_1) / (v - v/2)$.
$0.5 = (v_2 - v_1) / (0.5v) \implies v_2 - v_1 = 0.25v$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2v_2 = 1.75v \implies v_2 = 0.875v = (7/8)v$.
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $2v_1 = 1.25v \implies v_1 = 0.625v = (5/8)v$.
वेगों का अनुपात $v_1 : v_2 = (5/8)v : (7/8)v = 5:7$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक ऊँचाई जहाँ से पिंड गिरता है,वह $H_0$ है।
जब कोई पिंड $H_0$ ऊँचाई से गिरता है,तो पहली टक्कर से ठीक पहले उसका वेग $v_0 = \sqrt{2gH_0}$ होता है।
पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = e v_0$ हो जाता है और प्राप्त ऊँचाई $H_1 = e^2 H_0$ होती है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = e v_1 = e^2 v_0$ हो जाता है और प्राप्त ऊँचाई $H_2 = e^4 H_0$ होती है।
यहाँ $e = 0.8 = 4/5$ दिया गया है।
दूसरी टक्कर के बाद की ऊँचाई और प्रारंभिक ऊँचाई का अनुपात $H_2 / H_0 = e^4$ है।
$e^4 = (0.8)^4 = (4/5)^4 = 256 / 625$ की गणना करने पर।
अतः,अनुपात $256: 625$ है।

(B) एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा अन्य रूपों जैसे ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ हमेशा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ से कम होती है।
$K_f < K_i$ या $K_i > K_f$।

(B) दिया गया है: $m_1 = 2 \,kg$, $m_2 = 4 \,kg$, टक्कर से पहले सापेक्ष वेग $u_{rel} = u_1 - u_2 = 10 \,ms^{-1}$, टक्कर के बाद सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_2 - v_1 = 4 \,ms^{-1}$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}} = \frac{4}{10} = 0.4$.
टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_{rel})^2 (1 - e^2)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \times 4}{2 + 4} \right) (10)^2 (1 - (0.4)^2)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{6} \right) (100) (1 - 0.16)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 100 \times 0.84$.
$\Delta K = \frac{2}{3} \times 84 = 56 \,J$.

(D) माना $H_0 = 6.25 \ m$ प्रारंभिक ऊँचाई है और $H_2 = 81 \ cm = 0.81 \ m$ दूसरे उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई है।
एक कठोर सतह पर उछलती हुई गेंद के लिए,$n$ उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $H_n = H_0 \cdot e^{2n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
दिया गया है $n = 2$,$H_0 = 6.25 \ m$,और $H_2 = 0.81 \ m$।
मान रखने पर:
$0.81 = 6.25 \cdot e^{2 \times 2}$
$0.81 = 6.25 \cdot e^4$
$e^4 = \frac{0.81}{6.25} = \frac{81}{625}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$e^2 = \sqrt{\frac{81}{625}} = \frac{9}{25} = 0.36$
पुनः वर्गमूल लेने पर:
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$
अतः,प्रत्यावस्थान गुणांक $0.6$ है।

(C) जमीन से टकराने से ठीक पहले पिंड का वेग $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ है,जहाँ $h_0 = 100 \ m$ है।
टक्कर के बाद,उछाल का वेग $v_1 = e v_0 = e \sqrt{2gh_0}$ है।
उछाल के बाद प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(e \sqrt{2gh_0})^2}{2g} = e^2 h_0$ है।
दिया गया है कि $h_1 = 36 \ m$ और $h_0 = 100 \ m$,इसलिए $36 = e^2(100)$ है।
$e^2 = \frac{36}{100} = 0.36$।
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$।

(A) माना पहली गेंद का द्रव्यमान $m_1 = m$ और दूसरी गेंद का द्रव्यमान $m_2 = 2m$ है।
प्रारंभिक वेग $u_1 = 2 \,m/s$ और $u_2 = 0 \,m/s$ हैं।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.5$ है।
टक्कर के बाद पहली गेंद का वेग $v_1 = \frac{(m_1 - em_2)u_1 + (1 + e)m_2u_2}{m_1 + m_2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_1 = \frac{(m - 0.5 \times 2m)(2) + (1 + 0.5)(2m)(0)}{m + 2m} = \frac{(m - m)(2) + 0}{3m} = 0 \,m/s$.
टक्कर के बाद दूसरी गेंद का वेग $v_2 = \frac{(m_2 - em_1)u_2 + (1 + e)m_1u_1}{m_1 + m_2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_2 = \frac{(2m - 0.5 \times m)(0) + (1 + 0.5)(m)(2)}{m + 2m} = \frac{0 + (1.5)(2m)}{3m} = \frac{3m}{3m} = 1 \,m/s$.
अतः, टक्कर के बाद उनके वेग $0 \,m/s$ और $1 \,m/s$ होंगे।

(C) गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 5 \,m \,s^{-1}$ है जो क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है।
हम इस वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करते हैं:
क्षैतिज घटक, $v_{1x} = u \cos 30^{\circ} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \,m \,s^{-1}$.
ऊर्ध्वाधर घटक, $v_{1y} = u \sin 30^{\circ} = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5 \,m \,s^{-1}$.
जमीन के साथ टक्कर के दौरान, वेग का क्षैतिज घटक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कोई आवेग (impulse) नहीं होता है।
$v_{2x} = v_{1x} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \,m \,s^{-1}$.
ऊर्ध्वाधर घटक प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.2$ के अनुसार बदलता है:
$v_{2y} = e \times v_{1y} = 0.2 \times 2.5 = 0.5 \,m \,s^{-1}$.
गेंद की अंतिम गति $v_f$ परिणामी वेग सदिश का परिमाण है:
$v_f = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (0.5)^2}$
$v_f = \sqrt{\frac{25 \times 3}{4} + 0.25} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19} \,m \,s^{-1}$.

(D) माना $m_1 = 2 \ g$ और $u_1 = 2 \ ms^{-1}$ पहली गेंद का द्रव्यमान और प्रारंभिक वेग है।
माना $m_2 = 8 \ g$ और $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ दूसरी गेंद का द्रव्यमान और प्रारंभिक वेग है।
टक्कर के बाद,पहली गेंद स्थिर हो जाती है,इसलिए $v_1 = 0 \ ms^{-1}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
मान रखने पर: $(2 \ g)(2 \ ms^{-1}) + (8 \ g)(0) = (2 \ g)(0) + (8 \ g)(v_2)$.
$4 = 8 v_2 \implies v_2 = 0.5 \ ms^{-1}$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर: $e = \frac{0.5 - 0}{2 - 0} = \frac{0.5}{2} = 0.25$.

(D) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $v_A = 16 \,ms^{-1}$ और गेंद $B$ का प्रारंभिक वेग $v_B = 0$ है।
टक्कर के बाद,माना $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_A + 0 = m v_1 + m v_2 \implies v_1 + v_2 = 16$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा से: $e = \frac{v_2 - v_1}{v_A - 0} \implies v_2 - v_1 = 16e$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2v_2 = 16(1+e) \implies v_2 = 8(1+e)$.
गेंद $B$ को $h = 5 \,m$ ऊँचाई वाले नत समतल के शीर्ष तक पहुँचने के लिए,नीचे उसकी गतिज ऊर्जा शीर्ष पर उसकी स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए: $\frac{1}{2} m v_2^2 = mgh$.
$v_2^2 = 2gh = 2 \times 10 \times 5 = 100 \implies v_2 = 10 \,ms^{-1}$.
$v_2$ का मान समीकरण में रखने पर: $8(1+e) = 10 \implies 1+e = \frac{10}{8} = 1.25 \implies e = 0.25 = \frac{1}{4}$.

(C) अप्रत्यास्थ टक्कर में खोई गई ऊर्जा का सूत्र है: $\Delta KE = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (1 - e^2) (u_1 + u_2)^2$।
दिया गया है: $m_1 = 1 \ kg$,$m_2 = 0.5 \ kg$,$u_1 = 6 \ ms^{-1}$,$u_2 = 9 \ ms^{-1}$ (चूंकि वे विपरीत दिशाओं में चलते हैं,सापेक्ष वेग $u_1 + u_2$ होगा),और $e = \frac{1}{3}$।
मान रखने पर:
$\Delta KE = \frac{1 \times 0.5}{2(1 + 0.5)} \left(1 - (\frac{1}{3})^2\right) (6 + 9)^2$
$\Delta KE = \frac{0.5}{3} \times (1 - \frac{1}{9}) \times (15)^2$
$\Delta KE = \frac{1}{6} \times \frac{8}{9} \times 225$
$\Delta KE = \frac{8}{54} \times 225 = \frac{4}{27} \times 225 = 33.33 \ J$.

(B) मान लीजिए कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक वेग $u_P = v$ और $u_Q = -10 \ ms^{-1}$ हैं।
टक्कर के बाद,गेंद $P$ का अंतिम वेग $v_P = 0$ है और गेंद $Q$ का अंतिम वेग $v_Q$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m(v) + m(-10) = m(0) + m(v_Q)$
$v - 10 = v_Q$
अब,प्रत्यावस्थान गुणांक के सूत्र $e = \frac{\text{अलग होने का वेग}}{\text{दृष्टिकोण का वेग}}$ का उपयोग करते हुए:
$e = \frac{v_Q - v_P}{u_P - u_Q}$
यहाँ $e = 0.6$,$v_P = 0$,$u_P = v$,और $u_Q = -10$ दिया गया है:
$0.6 = \frac{v_Q - 0}{v - (-10)}$
$0.6 = \frac{v_Q}{v + 10}$
समीकरण में $v_Q = v - 10$ रखने पर:
$0.6 = \frac{v - 10}{v + 10}$
$0.6(v + 10) = v - 10$
$0.6v + 6 = v - 10$
$16 = 0.4v$
$v = \frac{16}{0.4} = 40 \ ms^{-1}$

(C) जब एक गेंद $h$ ऊँचाई से गिरती है,तो वह फर्श से टकराती है और $h_1 = h e^2$ ऊँचाई तक उछलती है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $h_2 = h_1 e^2 = h e^4$ ऊँचाई तक उछलती है।
सामान्य तौर पर,$n$-वीं उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = h e^{2n}$ होती है।
गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $H$ प्रारंभिक गिरावट और प्रत्येक उछाल के लिए बाद के ऊपर और नीचे के रास्तों का योग है:
$H = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$H = h + 2(h e^2 + h e^4 + h e^6 + \dots)$
$H = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + \dots)$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = e^2$ और सार्व अनुपात $r = e^2$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{e^2}{1-e^2}$ है।
$H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$

(B) $1$. गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है। पहले पतन के दौरान तय की गई दूरी $h$ है।
$2$. फर्श के साथ पहली टक्कर के बाद,गेंद $h_1 = e^2h$ ऊँचाई तक उछलती है।
$3$. इसके बाद गेंद $h_1$ ऊँचाई तक ऊपर जाती है और फिर दूसरी टक्कर के लिए वापस नीचे आती है।
$4$. उछाल के दौरान तय की गई दूरी $h_1$ (ऊपर की ओर) + $h_1$ (नीचे की ओर) = $2h_1 = 2e^2h$ है।
$5$. दूसरी टक्कर से ठीक पहले गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी प्रारंभिक पतन और उछाल की दूरी का योग है: $D = h + 2e^2h = h(1 + 2e^2)$।

(C) $10 \text{ m}$ की ऊँचाई $H$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $E_i = mgH$ है。
जब गेंद जमीन से टकराती है, तो यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है。
टक्कर के बाद, $50\%$ ऊर्जा नष्ट हो जाती है, इसलिए शेष ऊर्जा $E_f = 0.5 \times E_i = 0.5 \times mgH$ है。
गेंद नई ऊँचाई $h$ तक ऊपर जाएगी जहाँ उस ऊँचाई पर उसकी स्थितिज ऊर्जा शेष ऊर्जा के बराबर होगी:
$mgh = 0.5 \times mgH$
$h = 0.5 \times H$
यहाँ $H = 10 \text{ m}$ दिया गया है, इसलिए:
$h = 0.5 \times 10 \text{ m} = 5 \text{ m}$。
अतः, गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $5 \text{ m}$ है。

(A) मान लीजिए कि गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है। प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgh$ है।
टक्कर के बाद,गेंद $h_f = \frac{3}{4}h$ की अंतिम ऊँचाई तक पहुँचती है।
अतः,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh_f = mgh(\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}mgh$ है।
ऊर्जा में हानि $\Delta U = U_i - U_f = mgh - \frac{3}{4}mgh = \frac{1}{4}mgh$ है।
ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta U}{U_i} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत हानि $= \frac{\frac{1}{4}mgh}{mgh} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$।

(D) जब एक गेंद को $H$ ऊँचाई से गिराया जाता है और प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ होता है,तो पहले उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = e^2 H$,दूसरे उछाल के बाद $h_2 = e^4 H$ आदि होती है।
गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $D$ प्रारंभिक गिरावट और उछालों (ऊपर और नीचे) की अनंत श्रृंखला के योग के बराबर होती है:
$D = H + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = H + 2(e^2 H + e^4 H + e^6 H + ...)$
$D = H + 2e^2 H (1 + e^2 + e^4 + ...)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$ और $r = e^2$:
$D = H + 2e^2 H \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$D = H \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$
यहाँ $H = 42 \ m$ और $e = 0.4$ दिया गया है:
$e^2 = (0.4)^2 = 0.16$
$D = 42 \times \left( \frac{1 + 0.16}{1 - 0.16} \right) = 42 \times \left( \frac{1.16}{0.84} \right)$
$D = 42 \times \frac{116}{84} = 42 \times \frac{116}{2 \times 42} = \frac{116}{2} = 58 \ m$.

(A) दिया गया है: $m_1 = 0.5 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$m_2 = 1 \ kg$,$u_2 = 0$,$e = 0.4$.
एक-विमीय टक्कर के बाद अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार हैं:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 = \left( \frac{0.5 - 0.4 \times 1}{0.5 + 1} \right) \times 10 = \left( \frac{0.1}{1.5} \right) \times 10 = \frac{1}{15} \times 10 = \frac{2}{3} \ ms^{-1}$.
$v_2 = \frac{(1 + e) m_1 u_1}{m_1 + m_2} = \frac{(1 + 0.4) \times 0.5 \times 10}{0.5 + 1} = \frac{1.4 \times 5}{1.5} = \frac{7}{1.5} = \frac{14}{3} \ ms^{-1}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2/3}{14/3} = \frac{2}{14} = 1:7$ है।

(A) दिया गया है: $m_1 = m_2 = m = 1.2 \ kg$,$u_1 = 12 \ ms^{-1}$,$u_2 = 0$,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$12 + 0 = v_1 + v_2 \Rightarrow v_1 + v_2 = 12$ ...$(i)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_2 - v_1}{12}$
$v_2 - v_1 = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2v_2 = 12 + 6\sqrt{2} \Rightarrow v_2 = 6 + 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
समीकरण $(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$2v_1 = 12 - 6\sqrt{2} \Rightarrow v_1 = 6 - 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)_i = \frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (12)^2 = 0.6 \times 144 = 86.4 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE)_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (v_1^2 + v_2^2)$.
$v_1^2 + v_2^2 = (6 - 3\sqrt{2})^2 + (6 + 3\sqrt{2})^2 = (36 + 18 - 36\sqrt{2}) + (36 + 18 + 36\sqrt{2}) = 54 + 54 = 108$.
$(KE)_f = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 108 = 0.6 \times 108 = 64.8 \ J$.
अनुपात $\frac{(KE)_f}{(KE)_i} = \frac{64.8}{86.4} = \frac{648}{864} = \frac{3}{4} = 3:4$.

(A) जब कोई पिंड $h$ ऊँचाई से गिरता है,तो वह $v = \sqrt{2gh}$ वेग के साथ फर्श से टकराता है।
पहली टक्कर के बाद,यह $v_1 = ev = e\sqrt{2gh}$ वेग के साथ वापस उछलता है।
पहले उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $v_2 = ev_1 = e^2v$ वेग के साथ वापस उछलता है,और $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ ऊँचाई प्राप्त करता है।
तय की गई कुल दूरी $D$ प्रारंभिक गिरावट और उसके बाद की सभी उछाल ऊँचाइयों के दोगुने का योग है:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + \dots)$
$D = h + 2e^2h(1 + e^2 + e^4 + \dots)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=e^2$ है:
$D = h + 2e^2h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left[ 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1+e^2}{1-e^2} \right]$.

(B) जब गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो वह $v = \sqrt{2gh}$ वेग के साथ तल से टकराती है।
टक्कर के बाद,गेंद $u = ev = e\sqrt{2gh}$ वेग के साथ वापस उछलती है।
पहली टक्कर के बाद गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{u^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी बार तल से टकराने से पहले गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी प्रारंभिक नीचे की ओर की दूरी और पहले उछाल के दौरान तय की गई दूरी (ऊपर और नीचे) का योग है।
कुल दूरी $= h + 2h_1 = h + 2(e^2h) = h(1 + 2e^2)$.

(A) माना दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ है। माना टक्कर के बाद कण $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $V_1$ और $V_2$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m \times 10 + 0 = m V_1 + m V_2 \Rightarrow V_1 + V_2 = 10$ ... $(i)$
दिया गया है कि निकाय की गतिज ऊर्जा में $1 \% $ की कमी होती है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0.99 K_i$ है।
$\frac{1}{2} m V_1^2 + \frac{1}{2} m V_2^2 = 0.99 \times (\frac{1}{2} m \times 10^2)$
$V_1^2 + V_2^2 = 0.99 \times 100 = 99$ ... (ii)
हम जानते हैं कि $(V_1 + V_2)^2 = V_1^2 + V_2^2 + 2 V_1 V_2$.
मान रखने पर: $10^2 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 100 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 2 V_1 V_2 = 1 \Rightarrow V_1 V_2 = 0.5$.
अब,$(V_1 - V_2)^2 = (V_1 + V_2)^2 - 4 V_1 V_2 = 100 - 4(0.5) = 100 - 2 = 98$.
$V_1 - V_2 = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.899 \ m/s$.
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $2 V_1 = 10 + 9.899 = 19.899 \Rightarrow V_1 \approx 9.95 \ m/s$.

(D) दिया गया है: गेंद $A$ का द्रव्यमान $m_A = 50 \ gm$; गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $u_A = 10 \ m/s$। गेंद $B$ का द्रव्यमान $m_B = 10 \ gm$; गेंद $B$ का प्रारंभिक वेग $u_B = -15 \ m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रही है)। प्रत्यावस्थान गुणांक $e = \frac{2}{5}$।
एक-आयामी टक्कर के बाद दूसरी गेंद $B$ का अंतिम वेग $v_B$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_B = \frac{m_A(1+e)}{m_A+m_B} u_A + \frac{m_B - e m_A}{m_A+m_B} u_B$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$v_B = \frac{50(1 + \frac{2}{5})}{50 + 10} \times 10 + \frac{10 - (\frac{2}{5} \times 50)}{50 + 10} \times (-15)$
$v_B = \frac{50 \times \frac{7}{5}}{60} \times 10 + \frac{10 - 20}{60} \times (-15)$
$v_B = \frac{70}{60} \times 10 + \frac{-10}{60} \times (-15)$
$v_B = \frac{70}{6} + \frac{150}{60} = \frac{70}{6} + \frac{15}{6} = \frac{85}{6} \ m/s$
अतः,गेंद $B$ की अंतिम गति $\frac{85}{6} \ m/s$ है।

(A) माना $m_1$ का प्रारंभिक वेग $u$ है और $m_1$ तथा $m_2$ के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं। कण $m_1$,$X$-अक्ष के साथ $90^{\circ}$ पर और $m_2$,$X$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ पर गति करता है।
$X$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m_1 u = m_2 v_2 \cos 30^{\circ} \quad \dots (i)$
$Y$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$0 = m_2 v_2 \sin 30^{\circ} - m_1 v_1 \quad \Rightarrow \quad m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin 30^{\circ} \quad \dots (ii)$
यह दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $50 \%$ कम हो जाती है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की आधी है:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_1 u^2) \quad \Rightarrow \quad m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 u^2 \quad \dots (iii)$
$(i)$ से,$v_2 \cos 30^{\circ} = \frac{m_1 u}{m_2} \Rightarrow v_2 = \frac{2 m_1 u}{\sqrt{3} m_2}$.
$(ii)$ से,$v_1 = \frac{m_2 v_2 \sin 30^{\circ}}{m_1} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{2 m_1 u}{\sqrt{3} m_2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{u}{\sqrt{3}}$.
$v_1$ और $v_2$ का मान $(iii)$ में रखने पर:
$m_1 (\frac{u^2}{3}) + m_2 (\frac{4 m_1^2 u^2}{3 m_2^2}) = \frac{1}{2} m_1 u^2$
$m_1 u^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{3} + \frac{4 m_1}{3 m_2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{4 m_1}{3 m_2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{m_2}{m_1} = 8$.

(A) पहली टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ है।
पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = e v_0$ होता है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = e v_1 = e^2 v_0$ होता है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n$ टक्करों के बाद गेंद का वेग $v_n = e^n v_0$ होता है।
$n$वीं टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = \frac{v_n^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
$v_n = e^n v_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h_n = \frac{(e^n v_0)^2}{2g} = e^{2n} \frac{v_0^2}{2g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h_0 = \frac{v_0^2}{2g}$,इसलिए $h_n = e^{2n} h_0$ होता है।
$e$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^{2n} = \frac{h_n}{h_0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e = \left[\frac{h_n}{h_0}\right]^{1/2n}$।

(A) दिया गया है: $m_1 = 2 \,kg$, $v_1 = 24 \,ms^{-1}$, $m_2 = 4 \,kg$, $v_2 = -48 \,ms^{-1}$ (विपरीत दिशा), $e = 2/3$।
टक्कर के बाद अंतिम वेग के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए:
$v_1' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + e m_2 (v_2 - v_1)}{m_1 + m_2}$
$v_1' = \frac{(2)(24) + (4)(-48) + (2/3)(4)(-48 - 24)}{2 + 4}$
$v_1' = \frac{48 - 192 + (8/3)(-72)}{6} = \frac{-144 - 192}{6} = \frac{-336}{6} = -56 \,ms^{-1}$।
संवेग संरक्षण या प्रत्यावस्थान समीकरण $v_2' - v_1' = e(v_1 - v_2)$ का उपयोग करते हुए:
$v_2' - (-56) = (2/3)(24 - (-48))$
$v_2' + 56 = (2/3)(72) = 48$
$v_2' = 48 - 56 = -8 \,ms^{-1}$।

(A) कण $h$ ऊँचाई से गिरता है। प्रथम टक्कर का वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ है।
पहली टक्कर के बाद,उछाल का वेग $v_1 = ev_0$ है। प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ है।
कण $h$ नीचे की ओर,फिर $h_1$ ऊपर की ओर और $h_1$ नीचे की ओर गति करता है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $h_2 = e^2h_1 = e^4h$ तक पहुँचता है,जिसमें $h_2$ ऊपर और $h_2$ नीचे की गति शामिल है।
कुल दूरी $D$ इस प्रकार है:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + ...)$
$D = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + ...)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी (geometric series) के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = e^2$ और $r = e^2$:
$D = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(C) माना गोले $A$ का प्रारंभिक वेग $u$ है और टक्कर के बाद गोलों $A$ और $B$ के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u + (2m)(0) = m v_1 + 2m v_2$
$u = v_1 + 2v_2$ ....$(i)$
यहाँ प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.4 = \frac{2}{5}$ दिया गया है।
प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} = 0.4$
$v_2 - v_1 = 0.4u$ ....$(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$u = v_1 + 2v_2$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$v_2 - v_1 = 0.4(v_1 + 2v_2)$
$v_2 - v_1 = 0.4v_1 + 0.8v_2$
$0.2v_2 = 1.4v_1$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{0.2}{1.4} = \frac{1}{7}$

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v + 2m(0) = m v_P + 2m v_Q$
$v = v_P + 2v_Q \quad \dots(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक के सूत्र $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ का उपयोग करने पर:
$e = \frac{1}{3} = \frac{v_Q - v_P}{v - 0}$
$v_Q - v_P = \frac{v}{3} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से,$v = v_P + 2v_Q$। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$v_Q - v_P = \frac{v_P + 2v_Q}{3}$
$3v_Q - 3v_P = v_P + 2v_Q$
$v_Q = 4v_P$
$\frac{v_Q}{v_P} = 4$

(B) दिया गया है: दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ और $u_2 = 0$ हैं। टक्कर के बाद,$v_1 = 0.15 v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$m v + 0 = m(0.15 v) + m v_2$
$v = 0.15 v + v_2 \implies v_2 = 0.85 v$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)_i = \frac{1}{2} m v^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE)_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (0.15 v)^2 + \frac{1}{2} m (0.85 v)^2$
$(KE)_f = \frac{1}{2} m v^2 [0.15^2 + 0.85^2] = \frac{1}{2} m v^2 [0.0225 + 0.7225] = \frac{1}{2} m v^2 [0.745]$
गतिज ऊर्जा में कमी $\Delta KE = (KE)_i - (KE)_f = \frac{1}{2} m v^2 [1 - 0.745] = 0.255 \times (KE)_i$
प्रतिशत कमी $= \frac{\Delta KE}{(KE)_i} \times 100 = 0.255 \times 100 = 25.5 \% \approx 25 \%$.

(A) गेंद $h$ ऊँचाई से गिरती है और फर्श से टकराती है। पहली टक्कर से ठीक पहले वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ है।
पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = e v_0$ हो जाता है। गेंद $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 h$ ऊँचाई तक ऊपर उठती है।
इसके बाद यह $h_1$ ऊँचाई से नीचे गिरती है और फिर से फर्श से टकराती है। पहले उछाल में तय की गई दूरी (ऊपर और नीचे) $2h_1 = 2e^2 h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $h_2 = e^2 h_1 = e^4 h$ ऊँचाई तक ऊपर उठती है। दूसरे उछाल में तय की गई दूरी $2h_2 = 2e^4 h$ है।
कुल दूरी $D$ प्रारंभिक पतन और उसके बाद के सभी उछालों का योग है:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2e^2 h + 2e^4 h + 2e^6 h + ...$
$D = h + 2e^2 h (1 + e^2 + e^4 + ...)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=e^2$:
$D = h + 2e^2 h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(A) मान लीजिए टक्कर से पहले गेंद का वेग $v$ है। वेग के घटक $v_x = v \sin \theta$ (फर्श के समानांतर) और $v_y = v \cos \theta$ (फर्श के लंबवत) हैं।
चूंकि फर्श चिकना है,फर्श के समानांतर कोई आवेगी बल नहीं है,इसलिए वेग का स्पर्शरेखीय घटक अपरिवर्तित रहता है: $v'_x = v \sin \theta$.
अभिलंब घटक के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $\varepsilon$ को अभिलंब के अनुदिश पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\varepsilon = \frac{v'_y}{v_y}$.
इस प्रकार,$v'_y = \varepsilon v_y = \varepsilon v \cos \theta$.
मान लीजिए $\theta'$ अभिलंब के साथ परावर्तन का कोण है। तब,$\tan \theta' = \frac{v'_x}{v'_y} = \frac{v \sin \theta}{\varepsilon v \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{\varepsilon}$.
अतः,$\theta' = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\varepsilon}\right)$.

(D) पहली गिरावट के लिए लिया गया समय $t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
पहली टक्कर के बाद,गेंद $h_1 = e^2 h$ ऊँचाई तक ऊपर जाती है और वापस नीचे आती है,जिसमें लगा समय $t_1 = 2 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = 2e \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
इसी तरह,बाद की उछाल के लिए,लिया गया समय $t_n = 2e^n \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
कुल समय $T$ प्रारंभिक गिरावट और उसके बाद की सभी उछालों का योग है:
$T = \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2e \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2e^2 \sqrt{\frac{2h}{g}} + \dots = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( 1 + 2e + 2e^2 + \dots \right)$.
$e < 1$ के लिए ज्यामितीय श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( 1 + 2e \frac{1}{1-e} \right) = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
दिया गया है $h = 0.4 \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,और $T = 10 \text{ s}$:
$10 = \sqrt{\frac{2 \times 0.4}{10}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right) = \sqrt{0.08} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
इस समीकरण को हल करने पर $e = \frac{17}{18}$ प्राप्त होता है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,इसलिए $y$-अक्ष (गति की प्रारंभिक दिशा के लंबवत) के अनुदिश संवेग संरक्षित रहना चाहिए।
प्रारंभ में,निकाय का $y$-अक्ष के अनुदिश संवेग शून्य है।
टक्कर के बाद,गेंदों $A$ और $B$ के लिए $y$-अक्ष के अनुदिश संवेग के घटक समान और विपरीत होने चाहिए।
मान लीजिए $m_1 = 4 \ kg$ और $m_2 = 1 \ kg$ है।
$m_1 v_1 \sin(30^{\circ}) = m_2 v_2 \sin(60^{\circ})$
$4 \cdot v_1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot v_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2 v_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_2$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(B) माना गोली का द्रव्यमान $m = 4.2 \times 10^{-2} \text{ kg}$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 9m = 9 \times 4.2 \times 10^{-2} \text{ kg}$ है।
गोली का प्रारंभिक वेग $v = 300 \text{ m/s}$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का संवेग = टक्कर के बाद का संवेग:
$mv = (m + M)V$
$m(300) = (m + 9m)V$
$300m = 10mV$
$V = 30 \text{ m/s}$.
उत्पन्न ऊष्मा गतिज ऊर्जा में हुई हानि के बराबर होती है:
$\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(m + M)V^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times (4.2 \times 10^{-2}) \times (300)^2 - \frac{1}{2} \times (10 \times 4.2 \times 10^{-2}) \times (30)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 4.2 \times 10^{-2} \times (90000 - 10 \times 900)$
$\Delta K = 2.1 \times 10^{-2} \times (90000 - 9000) = 2.1 \times 10^{-2} \times 81000 = 1701 \text{ J}$.
चूंकि $1 \text{ cal} = 4.2 \text{ J}$, कैलोरी में ऊष्मा होगी:
$\text{Heat} = \frac{1701}{4.2} = 405 \text{ cal}$.