Inelastic Collision Questions in Hindi

(C) टकराव से पहले गोले का वेग $\vec{v}_1 = 3 \hat{i} + \hat{j}$ है।
दीवार $\hat{j}$ अक्ष के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि दीवार $x$-अक्ष के लंबवत है।
दीवार के समानांतर वेग का घटक ($\hat{j}$ घटक) टकराव के दौरान अपरिवर्तित रहता है क्योंकि आवेग केवल दीवार के लंबवत दिशा में कार्य करता है।
अतः,$v_{y, \text{after}} = v_{y, \text{before}} = 1 \hat{j}$।
दीवार के लंबवत वेग का घटक ($\hat{i}$ घटक) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ के अनुसार बदलता है।
लंबवत दिशा में दृष्टिकोण का वेग $u_x = 3$ है।
लंबवत दिशा में पृथक्करण का वेग $v_x = -e \cdot u_x = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$ है।
इसलिए,टकराव के बाद वेग सदिश $\vec{v}_2 = -1 \hat{i} + 1 \hat{j} = -\hat{i} + \hat{j}$ होगा।

(B) $1$. टक्कर के अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1$ के दौरान,गोली द्वारा गोलक पर और गोलक द्वारा गोली पर लगाया गया आवेगी बल निकाय (गोली + गोलक) के लिए आंतरिक बल है। बाहरी बल (गुरुत्वाकर्षण और तनाव) गैर-आवेगी हैं। इसलिए,$\Delta t$ अंतराल के दौरान निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$2$. गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि टक्कर अप्रत्यास्थ है (गोली गोलक से होकर गुजरती है,जिससे विरूपण और ऊष्मा उत्पन्न होती है)।
$3$. टक्कर के दौरान ऊर्जा की हानि के कारण यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। टक्कर के बाद ($t_2$ से $t_3$ तक),गोलक के ऊपर की ओर गति करने के दौरान उसके लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है,लेकिन गोली सहित पूरे निकाय के लिए नहीं।
$4$. $t_2$ के बाद केवल गोलक का संवेग संरक्षित नहीं रहता है क्योंकि उस पर गुरुत्वाकर्षण और तनाव बल कार्य करते हैं।
$5$. अतः,सही कथन यह है कि $\Delta t = t_2 - t_1$ अंतराल के दौरान गोलक और गोली का कुल संवेग संरक्षित रहता है।

(C) जब $m_1$ द्रव्यमान का एक प्रक्षेप्य $m_2$ द्रव्यमान के स्थिर लक्ष्य से टकराता है और दोनों कण एक-दूसरे के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर गति करते हैं,तो स्थिति $m_2 = m_1 \cdot e$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
अप्रत्यस्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है,जिसका अर्थ है $e < 1$।
$e < 1$ को $m_2 = m_1 \cdot e$ में रखने पर,हमें $m_2 < m_1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m_1 > m_2$।
चूँकि लक्ष्य नाभिक ${}^4He$ $(m_2 = 4 \text{ amu})$ है,इसलिए अज्ञात नाभिक का द्रव्यमान $m_1 > 4 \text{ amu}$ होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,${}^{28}N$ और ${}^{12}C$ दोनों ${}^4He$ से भारी हैं। भौतिकी के मानक प्रश्नों में,प्रक्षेप्य आमतौर पर लक्ष्य से भारी होता है,इसलिए ${}^{12}C$ एक सही विकल्प है।

(C) चूंकि गेंदें समान हैं,मान लीजिए उनका द्रव्यमान $m$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
$x$-दिशा में प्रारंभिक संवेग: $P_{ix} = m(v_{Px}) + m(v_{Qx}) = m(6) + m(-5) = m \ kg \ m/s$.
$y$-दिशा में प्रारंभिक संवेग: $P_{iy} = m(v_{Py}) + m(v_{Qy}) = m(0) + m(2) = 2m \ kg \ m/s$.
टक्कर के बाद,गेंद $P$ स्थिर हो जाती है,इसलिए $v'_{Px} = 0$ और $v'_{Py} = 0$।
मान लीजिए टक्कर के बाद गेंद $Q$ के वेग के घटक $v'_{Qx}$ और $v'_{Qy}$ हैं।
$x$-दिशा में अंतिम संवेग: $P_{fx} = m(0) + m(v'_{Qx}) = m(v'_{Qx})$.
$y$-दिशा में अंतिम संवेग: $P_{fy} = m(0) + m(v'_{Qy}) = m(v'_{Qy})$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$m(v'_{Qx}) = m \implies v'_{Qx} = 1 \ m/s$.
$m(v'_{Qy}) = 2m \implies v'_{Qy} = 2 \ m/s$.
अतः,टक्कर के बाद गेंद $Q$ के वेग के घटक $v_x = 1 \ m/s$ और $v_y = 2 \ m/s$ हैं।

(C) माना प्रारंभिक ऊँचाई $h = 1\,m = 100\,cm$ है और पहली उछाल के बाद की ऊँचाई $h_1 = 25\,cm$ है।
जब किसी वस्तु को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो फर्श से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $u = \sqrt{2gh}$ होता है।
उछाल के बाद,यदि वस्तु $h_1$ ऊँचाई तक उठती है,तो टक्कर के ठीक बाद उसका वेग $v = \sqrt{2gh_1}$ होता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$e = \frac{v}{u} = \frac{\sqrt{2gh_1}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h_1}{h}}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$e = \sqrt{\frac{25\,cm}{100\,cm}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

(A) कण $h$ ऊँचाई से गिरता है। पहली टक्कर के बाद,यह $h_1 = e^2 h$ ऊँचाई तक उछलता है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $h_2 = e^2 h_1 = e^4 h$ ऊँचाई तक उछलता है,और इसी प्रकार आगे बढ़ता है।
तय की गई कुल दूरी $S$ प्रारंभिक गिरावट और उसके बाद के सभी ऊपर और नीचे के रास्तों का योग है:
$S = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$S = h + 2(e^2 h) + 2(e^4 h) + 2(e^6 h) + \dots$
$S = h + 2e^2 h (1 + e^2 + e^4 + \dots)$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric series) है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = e^2$ है। इसका योग $\frac{1}{1 - e^2}$ है।
$S = h + 2e^2 h \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$

(D) टक्कर दोनों गेंदों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होती है। वेग सदिश $V$ और टक्कर की रेखा के बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
टक्कर की रेखा के अनुदिश वेग का घटक $u = V \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}V}{2}$ है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद टक्कर की रेखा के अनुदिश $2m$ द्रव्यमान की गेंद का वेग $v_1$ और $m$ द्रव्यमान की गेंद का वेग $v_2$ है।
टक्कर की रेखा के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m u = m v_2 + (2m) v_1$
$u = v_2 + 2v_1$ --- $(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक का सूत्र $(e = 1/2)$ लागू करने पर:
$e = \frac{v_1 - v_2}{u}$
$\frac{1}{2} = \frac{v_1 - v_2}{u}$
$u = 2v_1 - 2v_2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2u = 4v_1 - v_2 + v_2 = 4v_1$
$v_1 = \frac{u}{2} = \frac{\sqrt{3}V}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{3}V}{4}$.

(C) टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $u = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 25 \ cm = 0.25 \ m$ है।
$u = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.25} = \sqrt{4.9} \ m/s$.
टक्कर के ठीक बाद गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh'}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h' = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है।
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.04} = \sqrt{0.784} \ m/s$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $e = \frac{v}{u}$.
$e = \sqrt{\frac{2gh'}{2gh}} = \sqrt{\frac{h'}{h}}$.
मान रखने पर: $e = \sqrt{\frac{4 \ cm}{25 \ cm}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$.

(C) मान लीजिए $m_b = 0.01\, kg$ गोली का द्रव्यमान है,$v_i = 500\, m/s$ इसका प्रारंभिक वेग है,और $v_f$ इसका अंतिम वेग है।
मान लीजिए $M = 2\, kg$ ब्लॉक का द्रव्यमान है और $V$ गोली के बाहर निकलने के तुरंत बाद ब्लॉक का वेग है।
ब्लॉक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,ब्लॉक द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा,प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $\frac{1}{2} M V^2 = Mgh$.
$V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4\, m/s$.
अब,क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$m_b v_i = m_b v_f + M V$.
$0.01 \times 500 = 0.01 \times v_f + 2 \times 1.4$.
$5 = 0.01 v_f + 2.8$.
$0.01 v_f = 5 - 2.8 = 2.2$.
$v_f = \frac{2.2}{0.01} = 220\, m/s$.

(D) प्रत्येक टक्कर के दौरान संवेग में परिवर्तन फर्श पर दिया गया आवेग (impulse) है।
पहली टक्कर के लिए, गेंद $p$ (नीचे की ओर) संवेग के साथ आती है और $ep$ (ऊपर की ओर) संवेग के साथ उछलती है। संवेग में परिवर्तन $\Delta p_1 = p - (-ep) = p(1+e)$ है।
दूसरी टक्कर के लिए, गेंद $ep$ (नीचे की ओर) संवेग के साथ आती है और $e^2p$ (ऊपर की ओर) संवेग के साथ उछलती है। संवेग में परिवर्तन $\Delta p_2 = ep - (-e^2p) = ep(1+e)$ है।
तीसरी टक्कर के लिए, परिवर्तन $\Delta p_3 = e^2p(1+e)$ है, और इसी तरह आगे भी।
फर्श पर दिया गया कुल संवेग इन सभी आवेगों का योग है:
$\Delta p_{total} = p(1+e) + ep(1+e) + e^2p(1+e) + \dots$
$\Delta p_{total} = p(1+e) [1 + e + e^2 + \dots]$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{1}{1-e}$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $|e| < 1$):
$\Delta p_{total} = p(1+e) \cdot \frac{1}{1-e} = p(\frac{1+e}{1-e})$.

(B) माना कि टक्कर से पहले कण का वेग $u$ है और टक्कर के बाद $v$ है।
जमीन के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि सतह के समानांतर कोई आवेगी बल कार्य नहीं करता है:
$v \sin \alpha = u \sin \theta$ --- $(1)$
जमीन के लंबवत वेग का घटक प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ के अनुसार बदलता है:
$v \cos \alpha = e u \cos \theta$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v \sin \alpha}{v \cos \alpha} = \frac{u \sin \theta}{e u \cos \theta}$
$\tan \alpha = \frac{\tan \theta}{e}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\tan \theta}{\tan \alpha} = e$

(A) मान लीजिए कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है। गेंद $P$ का प्रारंभिक वेग $u_1$ है और गेंद $Q$ का प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है। टक्कर के बाद,उनके वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m u_1 + 0 = m v_1 + m v_2 \implies u_1 = v_1 + v_2$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा से: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \implies e u_1 = v_2 - v_1$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(1+e) u_1 = 2 v_2 \implies v_2 = \frac{1+e}{2} u_1$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(1-e) u_1 = 2 v_1 \implies v_1 = \frac{1-e}{2} u_1$.
दिया गया है कि $v_2 = 2 v_1$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1+e}{2} u_1 = 2 \left( \frac{1-e}{2} \right) u_1$.
$1 + e = 2(1 - e) \implies 1 + e = 2 - 2e$.
$3e = 1 \implies e = 1/3$.

(D) माना $u = 6\, m/s$ प्रारंभिक नीचे की ओर वेग है और $H = 3.2\, m$ ऊँचाई है।
सबसे पहले,$v^2 = u^2 + 2gH$ समीकरण का उपयोग करके फर्श से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v$ ज्ञात करें:
$v^2 = 6^2 + 2 \times 10 \times 3.2 = 36 + 64 = 100$
$v = 10\, m/s$.
माना $v'$ उछाल के ठीक बाद गेंद का वेग है। चूँकि गेंद वापस उसी ऊँचाई $H$ तक उछलती है,तो उस ऊँचाई तक पहुँचने के लिए आवश्यक वेग $v' = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 10 \times 3.2} = \sqrt{64} = 8\, m/s$ होगा।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$e = \frac{v'}{v} = \frac{8}{10} = 0.8$.

(B) जब एक गेंद सतह से टकराती है,तो सतह के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है (घर्षण न होने पर),जबकि सतह के लंबवत घटक प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ के अनुसार बदल जाता है।
$1$. वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है:
$v' \sin \theta = v \sin 45^{\circ}$ --- $(1)$
$2$. टक्कर के बाद वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v'_{y} = e v_{y}$ द्वारा दिया जाता है:
$v' \cos \theta = e (v \cos 45^{\circ})$ --- $(2)$
$3$. समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v' \sin \theta}{v' \cos \theta} = \frac{v \sin 45^{\circ}}{e v \cos 45^{\circ}}$
$\tan \theta = \frac{\tan 45^{\circ}}{e}$
$4$. दिया गया है कि $e = 1/\sqrt{3}$ और $\tan 45^{\circ} = 1$:
$\tan \theta = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$5$. इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$।

(A) जब वस्तु जमीन से टकराती है,तो उसकी गतिज ऊर्जा उसके प्रारंभिक मान का $50\%$ हो जाती है। मान लीजिए कि टक्कर से ठीक पहले का वेग $v$ है और टक्कर के ठीक बाद का वेग $v'$ है।
$\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{50}{100} \times \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v'}{v} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$h$ ऊँचाई से गिराई गई वस्तु द्वारा कई उछालों के दौरान तय की गई कुल दूरी $H$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$H = h + 2h(e^2) + 2h(e^4) + 2h(e^6) + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$.
$e^2 = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$H = h \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = h \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = 3h$.

(B) गति की मूल दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$m(2v) + (2m)(v) = m(0) + m(v') \cos(45^o) + m(v') \cos(45^o)$
$2mv + 2mv = 0 + 2mv' \cos(45^o)$
$4mv = 2mv' (1 / \sqrt{2})$
$4v = v' \sqrt{2}$
$v' = 4v / \sqrt{2} = 2\sqrt{2}v$
अतः,गतिमान प्रत्येक कण की चाल $2\sqrt{2}v$ है।

(D) टक्कर से ठीक पहले गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2$ है।
टक्कर के बाद,गेंद का वेग $v_f = e v_i$ हो जाता है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (e v_i)^2 = e^2 K_i$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = K_i - e^2 K_i = K_i(1 - e^2)$ है।
ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100\% = (1 - e^2) \times 100\%$ है।
यहाँ $e = 0.5$ दिया गया है,इसलिए प्रतिशत हानि $(1 - (0.5)^2) \times 100\% = (1 - 0.25) \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ है।

(C) मान लीजिए कि पहली टक्कर से ठीक पहले गेंद का प्रारंभिक वेग $u = \sqrt{2gh}$ है।
पहली उछाल के बाद,गेंद का वेग $v_1 = eu = e\sqrt{2gh}$ होता है।
पहली उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी उछाल के बाद,गेंद का वेग $v_2 = ev_1 = e(e\sqrt{2gh}) = e^2\sqrt{2gh}$ होता है।
दूसरी उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{(e^2\sqrt{2gh})^2}{2g} = \frac{e^4(2gh)}{2g} = e^4h$ है।

(B) गेंद को पहली बार सतह तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 4.9}{9.8}} = \sqrt{1} = 1 \, s$ है।
पहली टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 4.9} = 9.8 \, m/s$ है।
पहले उछाल के ठीक बाद गेंद का वेग $v' = e \times v = \frac{3}{4} \times 9.8 = 7.35 \, m/s$ है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने और सतह पर वापस आने में लगा समय (दूसरे उछाल के लिए उड़ान का समय) $t_2 = \frac{2v'}{g} = \frac{2 \times 7.35}{9.8} = 1.5 \, s$ है।
अतः,गेंद पहली टक्कर के $1.5 \, s$ बाद दूसरी बार सतह से टकराएगी।

(C) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $u_1 = 6\, m/s$ है और दूसरी गेंद का वेग $u_2 = 0$ है।
माना टक्कर के बाद प्रत्येक गेंद की अंतिम चाल $v$ है।
गति की मूल दिशा ($X$-अक्ष) के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u_1 + m u_2 = m v \cos 30^{\circ} + m v \cos 30^{\circ}$
$m(6) + m(0) = 2 m v \cos 30^{\circ}$
$6 = 2 v \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$6 = v \sqrt{3}$
$v = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\, m/s$.

(D) किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो।
अप्रत्यास्थ टक्कर में,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है,लेकिन रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।

(A-D) मान लीजिए कि टक्कर के बाद दोनों गेंदों के वेग $v_{1}$ और $v_{2}$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$2mv_0 = mv_1 + mv_2$
$\therefore 2v_0 = v_1 + v_2$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा से:
$e = \frac{v_2 - v_1}{2v_0 - 0} \Rightarrow v_2 - v_1 = 2v_0e$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(v_1 + v_2) + (v_2 - v_1) = 2v_0 + 2v_0e$
$2v_2 = 2v_0(1 + e) \Rightarrow v_2 = v_0(1 + e)$
समीकरणों को घटाने पर:
$(v_1 + v_2) - (v_2 - v_1) = 2v_0 - 2v_0e$
$2v_1 = 2v_0(1 - e) \Rightarrow v_1 = v_0(1 - e)$
चूंकि $0 < e < 1$,इसलिए $v_1$ और $v_2$ दोनों धनात्मक हैं,जिसका अर्थ है कि दोनों गेंदें आगे की ओर बढ़ती हैं।
$(b)$ सामान्य टक्कर के लिए,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$\vec{p} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$
अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है,इसलिए:
$\frac{p^2}{2m} > \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} \Rightarrow p^2 > p_1^2 + p_2^2$
$\vec{p}, \vec{p_1},$ और $\vec{p_2}$ द्वारा निर्मित सदिश त्रिभुज के लिए कोज्या (cosine) नियम का उपयोग करने पर:
$p^2 = p_1^2 + p_2^2 - 2p_1p_2 \cos(180^o - \theta) = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 \cos \theta$
चूंकि $p^2 > p_1^2 + p_2^2$,इसलिए $2p_1p_2 \cos \theta > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta > 0$.
अतः,$\theta < 90^o$ है।

(N/A) उस आरेख पर विचार करें जिसमें गोलक $B$ को $\theta$ कोण से विस्थापित करके छोड़ा जाता है।
$t=0$ पर,मान लें कि गोलक $B$ दाईं ओर $\theta=10^{\circ}$ विस्थापित है। इसे स्थितिज ऊर्जा $E_{1}=E$ दी गई है। $A$ की ऊर्जा $E_{2}=0$ है।
जब $B$ को छोड़ा जाता है,तो यह $t=T/4$ पर $A$ से टकराता है। समान द्रव्यमानों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,वे वेग का आदान-प्रदान करते हैं। इस प्रकार,$B$ स्थिर हो जाता है और $A$ को $B$ का वेग मिल जाता है। इसलिए,$E_{1}=0$ और $E_{2}=E$ है।
$t=2T/4$ पर,$B$ अपनी चरम दाईं स्थिति पर पहुंचता है जब $A$ की गतिज ऊर्जा $PE=E_{2}=E$ में परिवर्तित हो जाती है। $B$ की ऊर्जा $E_{1}=0$ है।
$t=3T/4$ पर,$A$ अपनी माध्य स्थिति पर पहुंचता है,जब इसकी $PE$ का $KE=E_{2}=E$ में रूपांतरण होता है। यह $B$ के साथ प्रत्यास्थ रूप से टकराता है और अपनी पूरी ऊर्जा $B$ को स्थानांतरित कर देता है। इस प्रकार,$E_{2}=0$ और $E_{1}=E$ है। पूरी प्रक्रिया दोहराई जाती है।
$(b)$ विभिन्न समय अंतरालों पर $B$ और $A$ की ऊर्जाओं के मान नीचे सारणीबद्ध हैं:

समय $(t)$	$B$ की ऊर्जा $(E_{1})$	$A$ की ऊर्जा $(E_{2})$
$0$	$E$	$0$
$T/4$	$0$	$E$
$2T/4$	$0$	$E$
$3T/4$	$E$	$0$
$4T/4$	$E$	$0$
$5T/4$	$0$	$E$
$6T/4$	$0$	$E$
$7T/4$	$E$	$0$
$8T/4$	$E$	$0$

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
टक्कर से पहले,निकाय का संवेग $p_i = mv$ है।
टक्कर के बाद,कण स्थिर हो जाता है,इसलिए इसका संवेग $0$ है। मान लीजिए कि छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm}$ है। छड़ का संवेग $MV_{cm}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के अनुसार: $mv = 0 + MV_{cm}$।
अतः,छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm} = mv/M$ होगा।

(D) प्रारंभिक ऊँचाई $h = 5\, m$ है। प्रत्येक उछाल के बाद गेंद अपनी पिछली ऊँचाई के $\frac{81}{100}$ भाग तक ऊपर उठती है। अतः,$e^2 = \frac{81}{100}$,जिसका अर्थ है कि प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.9$ है।
कुल दूरी $S = h + 2(fh) + 2(f^2h) + \dots = h \left( \frac{1+f}{1-f} \right)$.
$h = 5$ और $f = 0.81$ रखने पर: $S = 5 \left( \frac{1.81}{0.19} \right) \approx 47.63\, m$.
कुल समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
$h = 5, g = 10, e = 0.9$ रखने पर: $t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} \left( \frac{1+0.9}{1-0.9} \right) = 19\, s$.
औसत चाल $v_{av} = \frac{S}{t} = \frac{47.63}{19} \approx 2.5\, m/s$.

(D) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = 9\, m/s$ है और गेंद $B$ का वेग $u_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद,माना गेंदों $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं,जो दोनों मूल दिशा के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर हैं।
$y$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार (गति की प्रारंभिक दिशा के लंबवत):
$\sum P_{iy} = \sum P_{fy}$
$0 = m v_1 \sin 30^{\circ} - m v_2 \sin 30^{\circ}$
चूंकि द्रव्यमान समान हैं और $\sin 30^{\circ} \neq 0$,हमें प्राप्त होता है:
$v_1 \sin 30^{\circ} = v_2 \sin 30^{\circ}$
$v_1 = v_2$
अतः,वेगों का अनुपात $v_1 : v_2$ $1 : 1$ है।
इस प्रकार,$x = 1$।

(B) इस टक्कर में,इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा का एक हिस्सा अणु को मूल अवस्था से उत्तेजित मेटास्टेबल अवस्था में ले जाने के लिए स्थानांतरित करता है।
चूंकि कुछ गतिज ऊर्जा अणु की आंतरिक स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,इसलिए निकाय की कुल गतिज ऊर्जा कम हो जाती है। इसलिए,यह टक्कर अप्रत्यास्थ (inelastic) है,और $K^{\prime} < K$ होता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,एक विलगित निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है,चाहे टक्कर प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ।
अतः,कुल प्रारंभिक संवेग $p$ कुल अंतिम संवेग $p^{\prime}$ के बराबर होना चाहिए,यानी $p = p^{\prime}$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $K^{\prime} < K$ और $p = p^{\prime}$ प्राप्त होता है।

(B) समान द्रव्यमान $m$ की दो वस्तुओं के बीच सीधी टक्कर के लिए,जहाँ दूसरी वस्तु प्रारंभ में विराम अवस्था में है $(u_2 = 0)$ और पहली वस्तु का प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ है:
$1$. रैखिक संवेग संरक्षण: $mv + 0 = mv_1 + mv_2 \implies v = v_1 + v_2$.
$2$. प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{v - 0} \implies ev = v_2 - v_1$.
$3$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $v + ev = (v_1 + v_2) + (v_2 - v_1) = 2v_2 \implies v_2 = \frac{(1+e)v}{2}$.
$4$. समीकरणों को घटाने पर: $v - ev = (v_1 + v_2) - (v_2 - v_1) = 2v_1 \implies v_1 = \frac{(1-e)v}{2}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चित्र से,गेंद सतह पर अभिलंब के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर टकराती है और उसी कोण पर वापस लौटती है।
प्रारंभिक वेग सदिश: $\vec{v}_i = (20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j}) \, m/s$
अंतिम वेग सदिश: $\vec{v}_f = (-20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j}) \, m/s$
वेग में परिवर्तन: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i$
$\Delta \vec{v} = (-20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j}) - (20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j})$
$\Delta \vec{v} = -40 \sin 30^{\circ} \hat{i}$
यदि अभिलंब को $x$-अक्ष पर लिया जाए,तो वेग में परिवर्तन का परिमाण $2v \cos 30^{\circ} = 2 \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \, m/s$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m$ है।
प्रारंभिक वेग $u_1 = 6 \, m/s$ और $u_2 = -6 \, m/s$ हैं।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ है,जहाँ $v_1$ और $v_2$ अंतिम वेग हैं।
समान द्रव्यमान और आमने-सामने की टक्कर के लिए,अंतिम वेग का सूत्र $v_1 = \frac{(m_1 - em_2)u_1 + m_2(1+e)u_2}{m_1 + m_2}$ और $v_2 = \frac{(m_2 - em_1)u_2 + m_1(1+e)u_1}{m_1 + m_2}$ है।
$m_1 = m_2 = m$,$u_1 = 6$,और $u_2 = -6$ रखने पर:
$v_1 = \frac{(m - em)(6) + m(1+e)(-6)}{2m} = -6e$.
$v_2 = \frac{(m - em)(-6) + m(1+e)(6)}{2m} = 6e$.
यहाँ $e = 1/3$ दिया गया है,इसलिए प्रत्येक गेंद की गति $|v| = 6 \times (1/3) = 2 \, m/s$ होगी।

(A) सतह चिकनी और क्षैतिज है,इसलिए टक्कर के दौरान $x$-दिशा में कोई आवेगी बल कार्य नहीं करता है। अतः,$x$-दिशा में वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है।
$v_x = u_x = 2 \, m/s$
$y$-दिशा में (सतह के लंबवत),प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$e = \frac{v_y}{u_y}$
दिया गया है कि $e = \frac{1}{2}$ और $u_y = 4 \, m/s$,इसलिए:
$v_y = e \times u_y = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \, m/s$
इस प्रकार,टक्कर के ठीक बाद घटक $v_x = 2 \, m/s$ और $v_y = 2 \, m/s$ हैं।

(C) $1$. गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की गणना: $KE_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \,kg \times (20 \,m/s)^2 = 2 \,J$.
$2$. संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करके निकाय का अंतिम वेग ज्ञात करें: $m_b v_b = (m_b + m_i) v_f \Rightarrow 0.01 \times 20 = (0.01 + 0.99) v_f \Rightarrow v_f = 0.2 \,m/s$.
$3$. निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा: $KE_f = \frac{1}{2} (m_b + m_i) v_f^2 = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.2 \,m/s)^2 = 0.02 \,J$.
$4$. खोई हुई गतिज ऊर्जा: $\Delta KE = KE_i - KE_f = 2 - 0.02 = 1.98 \,J$.
$5$. बर्फ पिघलाने के लिए उपलब्ध ऊर्जा: $Q = 50\% \text{ of } \Delta KE = 0.5 \times 1.98 = 0.99 \,J \approx 1 \,J$.
$6$. पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान: $m_{melt} = \frac{Q}{L} = \frac{1 \,J}{336 \,J/g} \approx 0.00297 \,g \approx 0.003 \,g$.

(C) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है और वह $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक के साथ फर्श से टकराती है,तो वह जिस ऊँचाई $h^{\prime}$ तक वापस उछलती है,वह सूत्र $h^{\prime} = e^2 h$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
प्रारंभिक ऊँचाई $h = 20\,m$।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.5$।
सूत्र में मान रखने पर:
$h^{\prime} = (0.5)^2 \times 20\,m$।
$h^{\prime} = 0.25 \times 20\,m$।
$h^{\prime} = 5\,m$।
अतः,गेंद $5\,m$ की ऊँचाई तक वापस उछलेगी।

(C) मान लीजिए $V_1$ जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग है और $V_2$ जमीन से टकराने के ठीक बाद का वेग है।
दिया गया है कि वेगों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $V_1 = 4V_2$।
जमीन से टकराने से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $KE_{before} = \frac{1}{2}mV_1^2$ है।
जमीन से टकराने के ठीक बाद गतिज ऊर्जा $KE_{after} = \frac{1}{2}mV_2^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{V_1}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}mV_1^2 \times \frac{1}{16}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = KE_{before} - KE_{after} = \frac{1}{2}mV_1^2 \left(1 - \frac{1}{16}\right) = \frac{15}{32}mV_1^2$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta KE}{KE_{before}} \times 100 = \left(1 - \frac{1}{16}\right) \times 100 = \frac{15}{16} \times 100 = \frac{1500}{16} = \frac{375}{4} \%$ है।
इसे $\frac{x}{4} \%$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 375$ प्राप्त होता है।

(C) दो समान द्रव्यमान $m$ वाली गेंदों के बीच सीधी टक्कर के लिए,जहाँ एक गेंद विरामावस्था में है,गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE$ इस प्रकार है:
$\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (1 - e^2) (u_1 - u_2)^2$
चूँकि $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = u$,और $u_2 = 0$ है:
$\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m^2}{2m} (1 - e^2) u^2 = \frac{1}{4} m u^2 (1 - e^2)$
दिया गया है कि $\Delta KE = \frac{1}{4} KE_{initial} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m u^2)$
अतः,$\frac{1}{4} m u^2 (1 - e^2) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m u^2)$
$(1 - e^2) = \frac{1}{2}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 9 \ m/s$ है और दूसरी गेंद स्थिर है $(u_2 = 0)$।
गति की प्रारंभिक दिशा के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम $(COLM)$ के अनुसार:
$m \times u = m \times v \cos 30^{\circ} + m \times v \cos 30^{\circ}$
$m \times 9 = 2 \times m \times v \times \cos 30^{\circ}$
$9 = 2 \times v \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$9 = v \sqrt{3}$
$v = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m/s$
अतः,टक्कर के बाद दोनों गेंदों की चाल $3 \sqrt{3} \ m/s$ होगी।

(C) समान द्रव्यमान $m$ वाली दो वस्तुओं के बीच टक्कर में,जहाँ एक वस्तु स्थिर है,गतिज ऊर्जा में हुई हानि का सूत्र है: $\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (1 - e^2) (u_1 - u_2)^2$.
यहाँ $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = u$,और $u_2 = 0$ रखने पर,सूत्र इस प्रकार होगा: $\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m^2}{2m} (1 - e^2) u^2 = \frac{1}{4} m (1 - e^2) u^2$.
हमें दिया गया है कि गतिज ऊर्जा में हानि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_i = \frac{1}{2} m u^2)$ का $1/4$ भाग है।
अतः,$\frac{1}{4} m (1 - e^2) u^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m u^2)$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{4} m u^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 - e^2 = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$e^2 = 1 - 1/2 = 1/2$.
वर्गमूल लेने पर,$e = 1 / \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। माना पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है और दूसरी गेंद का वेग $0$ है। टक्कर के बाद के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं। प्रश्न के अनुसार,$v_2 = 2v_1$ है।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम $(COLM)$ के अनुसार:
$m(u) + m(0) = m(v_1) + m(v_2)$
$u = v_1 + v_2$
चूंकि $v_2 = 2v_1$,इसलिए $u = v_1 + 2v_1 = 3v_1$,जिसका अर्थ है कि $v_1 = \frac{u}{3}$ और $v_2 = \frac{2u}{3}$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
मान रखने पर:
$e = \frac{2v_1 - v_1}{u - 0} = \frac{v_1}{u}$
चूंकि $v_1 = \frac{u}{3}$,हमें प्राप्त होता है:
$e = \frac{u/3}{u} = \frac{1}{3}$

(D) टक्कर से पहले गेंद का वेग $\vec{v}_{initial} = a \hat{i} - b \hat{j}$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए कोई घर्षण नहीं है,अतः वेग का क्षैतिज घटक अपरिवर्तित रहता है: $v_{x, final} = v_{x, initial} = a \hat{i}$।
टक्कर के कारण वेग का ऊर्ध्वाधर घटक बदल जाता है। प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार,अभिलंब के अनुदिश अलग होने का वेग,अभिलंब के अनुदिश आने वाले वेग का $e$ गुना होता है।
$v_{y, final} = e \times |v_{y, initial}| = e b$।
चूंकि गेंद ऊपर की ओर उछलती है,इसलिए अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग धनात्मक $y$-दिशा में है: $\vec{v}_{y, final} = e b \hat{j}$।
अतः,टक्कर के ठीक बाद गेंद का वेग $\vec{v}_{final} = a \hat{i} + e b \hat{j}$ है।

(A) माना पहली गेंद का द्रव्यमान $m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_1 = 4 \ m/s$ है। दूसरी गेंद का द्रव्यमान $2m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \ m/s$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m(4) + 2m(0) = m v_1 + 2m v_2$
$4 = v_1 + 2v_2$ --- (समीकरण $1$)
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.2$ का उपयोग करने पर:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
$0.2 = \frac{v_2 - v_1}{4 - 0}$
$v_2 - v_1 = 0.8$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = 4 + 0.8$
$3v_2 = 4.8 \Rightarrow v_2 = 1.6 \ m/s$
$v_2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$1.6 - v_1 = 0.8 \Rightarrow v_1 = 0.8 \ m/s$
अतः,टक्कर के बाद वेग $0.8 \ m/s$ और $1.6 \ m/s$ हैं।

(C) माना पहली वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। दूसरी वस्तु का द्रव्यमान $M$ है और उसका प्रारंभिक वेग $0$ है। टक्कर के बाद,पहली वस्तु रुक जाती है $(v_1 = 0)$।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u + M(0) = m(0) + M v_2$
$m u = M v_2$
$v_2 = \frac{m u}{M}$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
मान रखने पर:
$e = \frac{\frac{m u}{M} - 0}{u - 0} = \frac{m u / M}{u} = \frac{m}{M}$

(B) जब कोई वस्तु $h_1$ ऊँचाई से गिरती है,तो टक्कर से ठीक पहले उसका वेग $v_b = \sqrt{2gh_1}$ होता है।
टक्कर के बाद,वस्तु का वेग $v_f = e \cdot v_b$ हो जाता है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
इसके बाद वस्तु $h_2$ ऊँचाई तक ऊपर उठती है,जहाँ $v_f = \sqrt{2gh_2}$ होता है।
समीकरण में $v_f$ का मान रखने पर,हमें $\sqrt{2gh_2} = e \sqrt{2gh_1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2gh_2 = e^2 (2gh_1)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $h_2 = e^2 h_1$ मिलता है।
यहाँ $e = 0.6$ और $h_1 = 1 \ m$ दिया गया है:
$h_2 = (0.6)^2 \times 1 \ m = 0.36 \ m$।

(C) माना कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ है। पहले गोले का प्रारंभिक वेग $v$ है और दूसरे गोले का $0$ है। माना कि उनके अंतिम वेग क्रमशः $V_1$ और $V_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v + m(0) = m V_1 + m V_2$
$v = V_1 + V_2$ --- $(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{V_2 - V_1}{u_1 - u_2}$
$e = \frac{V_2 - V_1}{v - 0}$
$e v = V_2 - V_1$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$v + e v = (V_1 + V_2) + (V_2 - V_1)$
$v(1 + e) = 2 V_2$
$V_2 = \frac{v(e + 1)}{2}$
दूसरे गोले के अंतिम वेग $(V_2)$ और पहले गोले के प्रारंभिक वेग $(v)$ का अनुपात है:
$\frac{V_2}{v} = \frac{e + 1}{2}$

(D) माना $m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u$ है और टक्कर के बाद $M$ द्रव्यमान का वेग $v_M$ है। $m$ द्रव्यमान का कण टक्कर के बाद रुक जाता है,इसलिए उसका अंतिम वेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mu + M(0) = m(0) + Mv_M$
$mu = Mv_M$
$v_M = \frac{m}{M}u$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को टक्कर के बाद के सापेक्ष वेग और टक्कर से पहले के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_M - 0}{u - 0} = \frac{v_M}{u}$
$v_M$ का मान रखने पर:
$e = \frac{(m/M)u}{u} = \frac{m}{M}$

(B) दिया गया है: पहले गुटके का द्रव्यमान $M_1 = m$,प्रारंभिक वेग $u_1 = v$,अंतिम वेग $v_1 = 0$ है।
दूसरे गुटके का द्रव्यमान $M_2 = 4m$,प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$,अंतिम वेग $v_2 = ?$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$M_1 u_1 + M_2 u_2 = M_1 v_1 + M_2 v_2$
$m(v) + 4m(0) = m(0) + 4m(v_2)$
$mv = 4mv_2$
$v_2 = \frac{v}{4}$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
मान रखने पर:
$e = \frac{\frac{v}{4} - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) दिया गया है: ऊँचाई $h = 20 \,m$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$, और प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.4$ है।
सबसे पहले, गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करके जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v$ ज्ञात करते हैं (जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है):
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \,m/s$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग (उछाल वेग $v'$) और दृष्टिकोण के वेग (टकराव वेग $v$) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v'}{v}$.
अतः, ऊपर की ओर उछाल का वेग $v'$ होगा:
$v' = e \times v = 0.4 \times 20 = 8 \,m/s$.

(B) सबसे पहले, गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करके जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग ज्ञात करें। चूंकि गेंद स्वतंत्र रूप से गिरती है, प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$
$v = \sqrt{400} = 20 \,ms^{-1}$।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को उछाल के वेग $(v')$ और प्रभाव के वेग $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $e = \frac{v'}{v}$।
यहाँ $e = 0.4$ दिया गया है, इसलिए पहले उछाल के बाद वेग $v' = e \times v$ होगा।
$v' = 0.4 \times 20 = 8 \,ms^{-1}$।

(B) दिया गया है: $m_1 = 1 \,kg$, $u_1 = 12 \,ms^{-1}$, $m_2 = 2 \,kg$, $u_2 = -24 \,ms^{-1}$ (ऋणात्मक चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है)।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 2/3$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक का सूत्र $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{v_2 - v_1}{12 - (-24)} = \frac{v_2 - v_1}{36}$.
अतः, $v_2 - v_1 = 24$ ... $(i)$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$(1)(12) + (2)(-24) = (1)v_1 + (2)v_2$.
$12 - 48 = v_1 + 2v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -36$ ... (ii).
$(i)$ से, $v_2 = v_1 + 24$. इस मान को (ii) में रखने पर:
$v_1 + 2(v_1 + 24) = -36$.
$v_1 + 2v_1 + 48 = -36 \Rightarrow 3v_1 = -84 \Rightarrow v_1 = -28 \,ms^{-1}$.
तब $v_2 = -28 + 24 = -4 \,ms^{-1}$.
अतः टक्कर के बाद वेग $-28 \,ms^{-1}$ और $-4 \,ms^{-1}$ हैं।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
जब एक गेंद फर्श से टकराती है,तो गेंद और पृथ्वी (फर्श) के बीच की अंतःक्रिया में आंतरिक बल शामिल होते हैं। चूंकि गेंद और पृथ्वी के निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि कुछ ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,गेंद की यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है,और अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान ऊर्जा की हानि के कारण गेंद और पृथ्वी की कुल यांत्रिक ऊर्जा भी संरक्षित नहीं रहती है।