Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Hindi

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = v / f = 10 / 100 = 0.1 \, m = 10 \, cm$ है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = (2\pi / 10) \times 2.5 = (2\pi / 10) \times (10 / 4) = \pi / 2 \, \text{रेडियन}$।

(A) तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos(kx - \omega t + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \cos \left( \frac{x}{4} - 10t - \frac{\pi}{2} \right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
आयाम $A = 3$ इकाई।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \text{ rad/s}$।
माध्यम के कण का अधिकतम वेग ज्ञात करने का सूत्र $v_{\text{max}} = A \omega$ है।
मान रखने पर,$v_{\text{max}} = 3 \times 10 = 30$ इकाई/सेकंड।

(B) दिया गया तरंग समीकरण $Y = Y_0 \sin(2\pi ft - \frac{2\pi x}{\lambda})$ है।
इसे मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,आयाम $A = Y_0$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$,और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त होते हैं।
कण का अधिकतम वेग $v_{p,max} = A\omega = Y_0(2\pi f)$ होता है।
तरंग का वेग $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi f}{2\pi / \lambda} = f\lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{p,max} = 4v_w$ है।
मान रखने पर: $Y_0(2\pi f) = 4(f\lambda)$।
दोनों तरफ से $f$ को हटाने पर: $2\pi Y_0 = 4\lambda$।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi Y_0}{4} = \frac{\pi Y_0}{2}$।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos (\omega t - kx)$ होता है।
दिया गया समीकरण: $y = 3 \cos (100 \pi t - \pi x)$।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \pi \text{ rad/cm}$ प्राप्त होती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और तरंग संख्या $k$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $\lambda = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ cm}$।
अतः,तरंग की तरंगदैर्ध्य $2 \text{ cm}$ है।

(C) जब किसी माध्यम में गति करती हुई तरंग एक दृढ़ सीमा (स्थिर सिरे) से टकराती है,तो उसका परावर्तन होता है।
स्थिर सिरे के लिए सीमा शर्तों के अनुसार,सीमा पर विस्थापन हर समय शून्य होना चाहिए।
यह आवश्यकता इस परिणाम की ओर ले जाती है कि परावर्तित तरंग आपतित तरंग के सापेक्ष उल्टी हो जाती है।
तरंग का उल्टा होना $\pi$ रेडियन (या $180^{\circ}$) के कला परिवर्तन के बराबर होता है।

(C) दिया गया है $y_1 = 10 \sin(3\pi t + \frac{\pi}{3})$। आयाम $A_1 = 10$ है।
$y_2 = 5[\sin 3\pi t + \sqrt{3} \cos 3\pi t]$ के लिए,कोष्ठक के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$y_2 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3\pi t]$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है:
$y_2 = 10 [\sin 3\pi t \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos 3\pi t \sin(\frac{\pi}{3})]$
$y_2 = 10 \sin(3\pi t + \frac{\pi}{3})$।
अतः आयाम $A_2 = 10$ है।
इसलिए,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{10} = 1:1$ है।

(D) तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (kx - \omega t)$ होता है।
दिया गया समीकरण: $y = 2 \sin (0.5 \pi x - 200 \pi t)$।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय तरंग संख्या $k = 0.5 \pi$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \pi$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{200 \pi}{0.5 \pi} = \frac{200}{0.5} = 400 \, cm/sec$।

(A) दी गई तरंग समीकरण $y(x, t) = 8.0 \sin \left( 0.5 \pi x - 4 \pi t - \frac{\pi}{4} \right)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ से करने पर:
यहाँ,तरंग संख्या $k = 0.5 \pi$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \pi$ है।
तरंग की चाल $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होती है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{4 \pi}{0.5 \pi} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s$.
अतः,तरंग की चाल $8 \ m/s$ है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = 0.25 \sin(10\pi x - 2\pi t)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ से करने पर:
$1$. आयाम $A = 0.25 \text{ m}$ है।
$2$. तरंग संख्या $k = 10\pi$ है। चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = 10\pi$,जिससे $\lambda = 0.2 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
$3$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi$ है। चूँकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $2\pi f = 2\pi$,जिससे $f = 1 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
$4$. $kx$ और $\omega t$ पदों के बीच ऋणात्मक चिह्न होने के कारण,तरंग धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है।
अतः,तरंग $+ve$ $x$-दिशा में $1 \text{ Hz}$ आवृत्ति और $\lambda = 0.2 \text{ m}$ तरंगदैर्ध्य के साथ यात्रा कर रही है।

(D) दिया गया है:
पहले बिंदु की दूरी,$x_1 = 10\;m$
दूसरे बिंदु की दूरी,$x_2 = 15\;m$
दोलन का आवर्तकाल,$T = 0.05\;s$
तरंग का वेग,$v = 300\;m/s$
दोनों बिंदुओं के बीच पथ अंतर (path difference):
$\Delta x = x_2 - x_1 = 15 - 10 = 5\;m$
सबसे पहले,$v = f \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें,जहाँ $f = \frac{1}{T}$:
$f = \frac{1}{0.05} = 20\;Hz$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{300}{20} = 15\;m$
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$
मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{15} \times 5 = \frac{2\pi}{3}$

(A) दिया गया है: आयाम $A = 2\, cm = 0.02\, m$,गति $v = 128\, m/s$.
चूंकि $4\, m$ लंबाई में $5$ पूर्ण तरंगें हैं,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{4\, m}{5} = 0.8\, m$.
आवृत्ति $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{128}{0.8} = 160\, Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times 3.14159 \times 160 \approx 1005\, rad/s$.
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2 \times 3.14159}{0.8} \approx 7.85\, rad/m$.
चूंकि तरंग $x-$अक्ष की धनात्मक दिशा में यात्रा करती है,समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ होगा।
मान रखने पर: $y = 0.02 \sin(7.85x - 1005t)$।

(C) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
तरंग का वेग,$v = \frac{\omega}{k}$ --- $(i)$
कण का वेग,$v_p = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t - kx)$.
अधिकतम कण वेग,$(v_p)_{\max} = A\omega$ --- $(ii)$
प्रश्न के अनुसार,तरंग का वेग अधिकतम कण वेग के बराबर है:
$v = (v_p)_{\max}$
$\frac{\omega}{k} = A\omega$
$\frac{1}{k} = A$
चूंकि तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{\lambda}{2\pi} = A$
$\lambda = 2\pi A$.

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y = 3 \sin \frac{\pi}{2}(50t - x)$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $y = 3 \sin (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)$ प्राप्त होता है $...(i)$.
मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ है $...(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 25\pi \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{2} \text{ m}^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{25\pi}{\pi/2} = 50 \text{ m/s}$.
कण का वेग $v_p = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [3 \sin (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)] = 3 \times 25\pi \cos (25\pi t - \frac{\pi}{2}x) = 75\pi \cos (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)$.
अधिकतम कण वेग $(v_p)_{\max} = 75\pi \text{ m/s}$.
अधिकतम कण वेग और तरंग वेग का अनुपात $\frac{(v_p)_{\max}}{v} = \frac{75\pi}{50} = \frac{3\pi}{2}$ है।

(A) $+ve$ $x$-दिशा में गति करने वाली तरंग का मानक समीकरण है:
$y = A \sin(kx - \omega t)$
जहाँ:
$A$ तरंग का आयाम है।
$k$ कोणीय तरंग संख्या है।
$\omega$ तरंग की कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: $A = 1\, m$,$\lambda = 2\pi\, m$,और $f = \frac{1}{\pi}\ Hz$.
तरंग संख्या $k$ की गणना:
$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\, m^{-1}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega$ की गणना:
$\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2\, rad/s$.
इन मानों को मानक समीकरण में रखने पर:
$y = 1 \sin(1x - 2t) = \sin(x - 2t)$.

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y(x, t) = 0.03 \sin \pi (2t - 0.01x)$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $y(x, t) = 0.03 \sin (2\pi t - 0.01\pi x)$ प्राप्त होता है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y(x, t) = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग संख्या $k = 0.01\pi \ rad/m$ की पहचान करते हैं।
$\Delta x$ दूरी से अलग हुए दो कणों के बीच कलांतर $\Delta \phi$ को सूत्र $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $\Delta x = 25 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\Delta \phi = (0.01\pi) \times 25$ होगा।
$\Delta \phi = 0.25\pi = \frac{\pi}{4} \ rad$.

(C) तरंग का वेग $V$,$V = f\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ आवृत्ति है।
साइन तरंग के लिए कण का अधिकतम वेग $v$,$v = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = 2\pi f$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों वेगों को बराबर करने पर: $V = v$
$f\lambda = A(2\pi f)$
दोनों पक्षों को $f$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $f \neq 0$):
$\lambda = 2\pi A$
$A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$A = \frac{\lambda}{2\pi}$
अतः,सही स्थिति $A = \frac{\lambda}{2\pi}$ है।

(D) गोलीय तरंग के लिए,तीव्रता $I$ स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $I \propto \frac{1}{r^2}$।
चूँकि तीव्रता $I$ आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto a^2)$,इसलिए $a^2 \propto \frac{1}{r^2}$,जिसका अर्थ है कि $a \propto \frac{1}{r}$।
अतः,गोलीय तरंग का आयाम $\frac{1}{r}$ के अनुसार घटता है।
इसे मानक तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,गोलीय प्रगामी तरंग का समीकरण $y = \frac{a}{r} \sin(\omega t - kr)$ प्राप्त होता है।

(A) $v$ वेग से गति करती हुई तरंग का सामान्य समीकरण $z(x, t) = f(x - vt)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,तरंग $z = \exp[-(x + 2)^2]$ है। यह $x = -2$ पर केंद्रित एक पल्स को दर्शाता है।
$t = 1 \ s$ पर,तरंग $z = \exp[-(2 - x)^2] = \exp[-(x - 2)^2]$ है। यह उसी पल्स को दर्शाता है जो अब $x = 2$ पर केंद्रित है।
पल्स $1 \ s$ में $x = -2$ से $x = 2$ तक स्थानांतरित हो गई है।
विस्थापन $\Delta x = 2 - (-2) = 4 \ m$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 1 \ s$ है।
वेग $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 \ m}{1 \ s} = 4 \ m/s$ है।
चूंकि पल्स धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है,इसलिए वेग $+x$ दिशा में $4 \ m/s$ है।

(D) धनात्मक $x$-दिशा में गति करने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ है।
दिया गया आयाम $A = 1$ है,इसलिए समीकरण $y = \sin(kx - \omega t + \phi)$ हो जाता है।
$t = 0$ पर,समीकरण $y = \sin(kx + \phi)$ है।
ग्राफ से $t = 0$ और $x = 0$ पर,$y = -0.5$ है।
इन मानों को रखने पर: $-0.5 = \sin(0 + \phi) \Rightarrow \sin(\phi) = -0.5$।
इससे $\phi = -\frac{\pi}{6}$ या $\phi = -\frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तरंग धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है,$x = 0$ पर कण ऊपर की ओर गति कर रहा है,इसलिए वेग $v = \frac{dy}{dt}$ का मान $t = 0, x = 0$ पर धनात्मक होना चाहिए।
विकल्पों की जांच करने पर,धनात्मक $x$-दिशा में गति करने वाली तरंग का मानक रूप $y = \sin(\omega t - kx + \phi)$ है।
$t = 0, x = 0, y = -0.5$ रखने पर,$\sin(\phi) = -0.5$ प्राप्त होता है,इसलिए $\phi = -\frac{\pi}{6}$।
अतः,$y = \sin(\omega t - kx - \frac{\pi}{6})$,जो विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) तरंग का वेग $v = \lambda f$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ से,दो क्रमागत श्रृंगों या दो क्रमागत गर्तों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को दर्शाती है।
ग्राफ से पता चलता है कि एक पूर्ण तरंग चक्र ($0.1 \ cm$ से $0.5 \ cm$ तक) $0.4 \ cm$ की दूरी के बराबर है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 0.4 \ cm = 0.4 \times 10^{-2} \ m = 4 \times 10^{-3} \ m$ है।
आवृत्ति $f = 250 \ Hz$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = (4 \times 10^{-3} \ m) \times (250 \ Hz)$
$v = 1000 \times 10^{-3} \ m/s$
$v = 1.0 \ m/s$.

(B) एक बिंदु स्रोत से सभी दिशाओं में समान रूप से यात्रा करने वाली गोलाकार तरंग के लिए,ऊर्जा एक गोले के सतह क्षेत्र $4\pi r^2$ पर वितरित होती है।
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto a^2)$ और तीव्रता व्युत्क्रम वर्ग नियम $(I \propto 1/r^2)$ का पालन करती है,इसलिए हमारे पास $a^2 \propto 1/r^2$ है,जिसका अर्थ है $a \propto 1/r$।
अतः,$r$ दूरी पर तरंग का आयाम $A/r$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,$r$ दूरी पर माध्यम का विस्थापन $y = \frac{A}{r} \sin(kr - \omega t)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) एक समतल प्रगामी अनुप्रस्थ तरंग में,माध्यम के कण अपनी माध्य स्थितियों के परितः सरल आवर्त गति $(SHM)$ करते हैं। अतः,कणों पर $SHM$ की अवधारणाएं लागू होती हैं।
कण का अधिकतम वेग $v_{p,max} = A \omega$ होता है,जो माध्य स्थिति पर प्राप्त होता है।
दिए गए तरंग समीकरण से:
$y = A \sin (2 \pi f t - 2 \pi x / \lambda)$
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f$
तरंग संख्या $k = 2 \pi / \lambda$
तरंग वेग $v$ इस प्रकार है:
$v = \omega / k = (2 \pi f) / (2 \pi / \lambda) = \lambda f$
दी गई शर्त के अनुसार,अधिकतम कण वेग तरंग वेग का चार गुना है:
$A \omega = 4 v$
$A (2 \pi f) = 4 (\lambda f)$
$2 \pi A f = 4 \lambda f$
$\lambda = (2 \pi A) / 4$
$\lambda = \pi A / 2$

(D) तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है।
किसी दिए गए बिंदु पर कण की गति की दिशा निर्धारित करने के लिए,हम कल्पना कर सकते हैं कि तरंग थोड़ा बाईं ओर (ऋणात्मक $x$-दिशा) स्थानांतरित हो रही है।
प्रसार की दिशा के सापेक्ष तरंग के शृंग या गर्त के 'सामने' वाले बिंदु एक विशिष्ट दिशा में गति करेंगे।
ऋणात्मक $x$-दिशा में गति करने वाली तरंग के लिए:
- तरंग के चढ़ते हुए भाग पर स्थित बिंदु (ढाल ऋणात्मक है) ऊपर की ओर गति करते हैं।
- तरंग के गिरते हुए भाग पर स्थित बिंदु (ढाल धनात्मक है) नीचे की ओर गति करते हैं।
चित्र को देखने पर:
- बिंदु $a$ शृंग की चढ़ती हुई ढाल पर है,इसलिए यह ऊपर की ओर गति कर रहा है।
- बिंदु $g$ गर्त की चढ़ती हुई ढाल पर है,इसलिए यह ऊपर की ओर गति कर रहा है।
- बिंदु $f$ गर्त के निचले हिस्से पर है,इसलिए यह अपनी चरम स्थिति पर है और क्षण भर के लिए स्थिर है।
अतः,बिंदु $a$ और $g$ दोनों ऊपर की ओर गति कर रहे हैं।
सही विकल्प $(D)$ है।

(C, D) ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए, किसी भी बिंदु $x$ पर कण का वेग $v_p = -v \cdot (\text{ढाल})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग की गति है और ढाल $\frac{\partial y}{\partial x}$ है।
चूंकि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है, $v$ ऋणात्मक है। अतः, $v_p = |v| \cdot (\text{ढाल})$.
इसलिए, एक कण नीचे की ओर $(v_p < 0)$ गति करता है जहाँ तरंग की ढाल ऋणात्मक होती है।
ग्राफ को देखने पर:
- बिंदु $a$ पर, ढाल धनात्मक है, इसलिए यह ऊपर की ओर गति करता है।
- बिंदु $b$ पर, ढाल शून्य है (यह एक शृंग है)।
- बिंदु $c$ पर, ढाल ऋणात्मक है, इसलिए यह नीचे की ओर गति करता है।
- बिंदु $d$ पर, ढाल ऋणात्मक है, इसलिए यह नीचे की ओर गति करता है।
- बिंदु $e$ पर, ढाल धनात्मक है, इसलिए यह ऊपर की ओर गति करता है।
- बिंदु $f$ पर, ढाल शून्य है (यह एक गर्त है)।
- बिंदु $g$ पर, ढाल धनात्मक है, इसलिए यह ऊपर की ओर गति करता है।
- बिंदु $h$ पर, ढाल धनात्मक है, इसलिए यह ऊपर की ओर गति करता है।
अतः, बिंदु $c$ और $d$ नीचे की ओर गति कर रहे हैं।

(D) एक अनुप्रस्थ तरंग में,शृंग (crests) और गर्त (troughs) पर स्थित कणों का तात्क्षणिक वेग शून्य होता है क्योंकि वे अपने विस्थापन की चरम स्थितियों पर होते हैं।
ऋणात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश यात्रा कर रही तरंग के लिए,बिंदु $b$ और $f$ क्रमशः शृंग और गर्त को दर्शाते हैं।
इन चरम स्थितियों पर,कणों का ऊर्ध्वाधर वेग क्षण भर के लिए शून्य होता है।
इसलिए,इस क्षण पर बिंदु $b$ और $f$ स्थिर बिंदु हैं।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) एक अनुप्रस्थ हार्मोनिक तरंग में, कण का वेग $v_p = -v \cdot (\text{slope})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग की गति है और ढलान $\frac{\partial y}{\partial x}$ है।
ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए, कण का वेग $v_p = v \cdot (\text{slope})$ होता है।
कण का वेग माध्य स्थिति (जहाँ विस्थापन $y = 0$ है) पर अधिकतम होता है क्योंकि वहाँ ढलान अधिकतम होती है।
चित्र को देखने पर, बिंदु $o$, $d$, और $h$ माध्य स्थिति $(y = 0)$ पर हैं।
दिए गए विकल्पों में से, बिंदु $d$ माध्य स्थिति पर है।
बिंदु $b$ और $f$ चरम स्थितियों पर हैं जहाँ वेग शून्य है।
इसलिए, अधिकतम वेग के साथ गति करने वाला बिंदु $d$ है।

(D) जब कोई तरंग माध्यम $1$ (गति $v_1$) से माध्यम $2$ (गति $v_2$) में यात्रा करती है,तो पारगमित तरंग हमेशा आपतित तरंग के समान कला बनाए रखती है क्योंकि आयाम गुणांक $\frac{2v_2}{v_1+v_2}$ हमेशा धनात्मक होता है।
परावर्तित तरंग का आयाम $A_r = \left( \frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2} \right) A_i$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $v_2 > v_1$ है,तो पद $\frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2}$ धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि परावर्तित तरंग आपतित तरंग के साथ समान कला में है।
यदि $v_2 < v_1$ है,तो पद $\frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2}$ ऋणात्मक है,जो $\pi$ रेडियन का कला परिवर्तन (कला उत्क्रमण) पेश करता है।
इसलिए,परावर्तित तरंग की कला $v_1$ और $v_2$ के सापेक्ष मानों पर निर्भर करती है।

(C) ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही तरंग के लिए, किसी भी बिंदु पर कण का वेग $v_p = -v \cdot (\text{ढाल})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग की गति है और ढाल $\frac{\partial y}{\partial x}$ है।
चूंकि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है, कण का वेग $v_p$ वहां धनात्मक (ऊपर की ओर) होता है जहां ढाल ऋणात्मक है, और $v_p$ वहां ऋणात्मक (नीचे की ओर) होता है जहां ढाल धनात्मक है।
ग्राफ को देखने पर:
- बिंदु $b$ पर, ढाल ऋणात्मक है, इसलिए कण ऊपर की ओर गति करता है।
- बिंदु $c$ पर, ढाल ऋणात्मक है, इसलिए कण ऊपर की ओर गति करता है।
- बिंदु $f$ पर, ढाल धनात्मक है, इसलिए कण नीचे की ओर गति करता है।
- बिंदु $i$ पर, ढाल शून्य है (शिखर पर), इसलिए कण क्षण भर के लिए स्थिर है।
अतः, ऋणात्मक $y$-दिशा में गति करने वाला बिंदु $f$ है।

(B) ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही तरंग के लिए, किसी भी बिंदु पर कण का वेग $v_p = -v \cdot (\text{ढाल})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $v$ तरंग की गति (धनात्मक मान) है और ढाल उस बिंदु पर $\frac{dy}{dx}$ है।
कण के ऋणात्मक $y$-दिशा में गति करने के लिए, $v_p$ ऋणात्मक होना चाहिए।
इसका तात्पर्य है कि $-v \cdot (\text{ढाल}) < 0$, जिसका अर्थ है कि ढाल धनात्मक होना चाहिए।
ग्राफ को देखने पर, ढाल उन क्षेत्रों में धनात्मक है जहाँ वक्र बढ़ रहा है (बाएं से दाएं ऊपर की ओर जा रहा है)।
ये क्षेत्र बिंदु $d, e, f$ के अनुरूप हैं।
अतः, बिंदु $d, e, f$ ऋणात्मक $y$-दिशा में गति कर रहे हैं।

(A, C, D) एक तरंग में,स्थिर बिंदु वे होते हैं जहाँ विस्थापन अपने अधिकतम या न्यूनतम मान पर होता है (अर्थात,शृंग और गर्त)।
इन बिंदुओं पर,उस विशिष्ट क्षण में कण का वेग शून्य होता है।
आकृति को देखने पर,बिंदु $a$,$e$,$i$,और $k$ चरम स्थितियों (शृंग या गर्त) पर हैं।
इसलिए,स्थिर बिंदु $a$,$e$,$i$,और $k$ हैं।

(D) तरंग के विस्थापन-स्थिति ग्राफ में,संतुलन स्थिति $(y = 0)$ से अधिकतम विस्थापन वाले बिंदु तरंग के श्रृंग (crest) और गर्त (trough) होते हैं।
दी गई आकृति को देखने पर,बिंदु $a$,$e$,और $i$ तरंग के शिखरों (peaks) और घाटियों (valleys) को दर्शाते हैं।
बिंदु $a$ अधिकतम धनात्मक विस्थापन पर है।
बिंदु $e$ अधिकतम ऋणात्मक विस्थापन पर है।
बिंदु $i$ अधिकतम धनात्मक विस्थापन पर है।
इसलिए,ये सभी बिंदु ($a$,$e$,और $i$) अधिकतम विस्थापन की स्थितियों के अनुरूप हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दी गई तरंग का समीकरण $y(x, t) = 0.005 \cos(\alpha x - \beta t)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y(x, t) = a \cos(kx - \omega t)$ से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \alpha$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \beta$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या का सूत्र $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है। यहाँ $\lambda = 0.08 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ rad/m$ होगा।
कोणीय आवृत्ति का सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है। यहाँ $T = 2.0 \ s$ दिया गया है,इसलिए $\beta = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$ होगा।
अतः,$\alpha = 25\pi$ और $\beta = \pi$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y(x, t) = e^{-(ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt)}$ है।
हम घातांक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिख सकते हैं:
$ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt = (\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2 = a(x + \sqrt{\frac{b}{a}}t)^2$.
अतः,$y(x, t) = e^{-a(x + \sqrt{\frac{b}{a}}t)^2}$.
यह $y = f(x + vt)$ के रूप का एक फलन है,जो $-x$ दिशा में यात्रा करने वाली तरंग को दर्शाता है।
$x + \sqrt{\frac{b}{a}}t$ की तुलना $x + vt$ से करने पर,हमें तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$ प्राप्त होती है।
इसलिए,यह $\sqrt{\frac{b}{a}}$ गति के साथ $-x$ दिशा में चलने वाली तरंग को दर्शाता है।

(A) तरंग में कण का वेग निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $v_p = -(\text{slope}) \times v_{\text{wave}}$.
चूंकि तरंग धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है,इसलिए $v_{\text{wave}}$ धनात्मक है।
बिंदु $A$ पर,तरंग विस्थापन वक्र का ढाल धनात्मक है। इसलिए,$v_p = -(\text{धनात्मक}) \times (\text{धनात्मक}) = \text{ऋणात्मक}$. अतः,कण $A$ $-ve$ $y$-दिशा में गति कर रहा है।
बिंदु $B$ पर,तरंग विस्थापन वक्र का ढाल ऋणात्मक है। इसलिए,$v_p = -(\text{ऋणात्मक}) \times (\text{धनात्मक}) = \text{धनात्मक}$. अतः,कण $B$ $+ve$ $y$-दिशा में गति कर रहा है।
इसलिए,कण $A$ $-ve$ $y$-दिशा में और कण $B$ $+ve$ $y$-दिशा में गति करता है।

(B) मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 5 \sin(10\pi t - 0.1\pi x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.1\pi \ rad/m$ प्राप्त होती है।
$\Delta x$ दूरी से अलग हुए दो बिंदुओं के बीच कलान्तर $\Delta\phi$ सूत्र $\Delta\phi = k \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta x = 10 \ m$ और $k = 0.1\pi \ rad/m$ दिया गया है,इसलिए:
$\Delta\phi = (0.1\pi) \times 10 = \pi \ rad$.
अतः,कलान्तर $\pi$ है।

(A) तरंग पल्स $v_w = 2 \ cm/s$ की गति से चलती है।
$t = 0$ पर,पल्स का पिछला किनारा मुक्त सिरे से $2 \ cm$ की दूरी पर है।
$t = \frac{3}{4} \ s$ में,पल्स $d = v_w \times t = 2 \times \frac{3}{4} = 1.5 \ cm$ की दूरी तय करती है।
चूंकि पिछला किनारा $2 \ cm$ दूर था,$0.75 \ s$ के बाद,यह मुक्त सिरे से $2 - 1.5 = 0.5 \ cm$ की दूरी पर होगा।
इसका मतलब है कि मुक्त सिरा वर्तमान में त्रिकोणीय पल्स के पिछले ढलान पर स्थित है।
पिछले किनारे का ढलान $m = \frac{\text{ऊंचाई}}{\text{आधार}} = \frac{1 \ cm}{1 \ cm} = 1$ है।
तरंग पल्स के लिए,कण का वेग $v_p = -v_w \times \text{ढलान}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पिछले किनारे का ढलान ऋणात्मक है,इसलिए मुक्त सिरे पर कण का वेग $v_p = -2 \times (-1) = 2 \ cm/s$ होगा।

(A) गति करती तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 0.005 \cos(\alpha x - \beta t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = k$ और $\beta = \omega$ प्राप्त होता है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
यहाँ $\lambda = 0.08 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = k = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ m^{-1}$।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
यहाँ $T = 2.0 \ s$ दिया गया है,इसलिए $\beta = \omega = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$।
अतः,$\alpha = 25\pi$ और $\beta = \pi$ है।

(A) एक प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \frac{\pi}{3})$ के साथ तुलना करने पर:
हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 600 \, \text{rad/s}$ और तरंग संख्या $k = 2 \, \text{rad/m}$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{600}{2} = 300 \, \text{m/s}$।

(B) अनुप्रस्थ तरंग में कणों के वेग की दिशा निर्धारित करने के लिए,हम तरंग को संचरण की दिशा में थोड़ा आगे बढ़ते हुए देख सकते हैं।
चूंकि तरंग दाईं से बाईं ओर गति कर रही है,इसलिए तरंग का आकार बाईं ओर खिसक जाएगा।
$1$. बिंदु $D, E, F$ पर: जैसे-जैसे तरंग बाईं ओर बढ़ती है,इन बिंदुओं पर आकार नीचे की ओर खिसकेगा,जिसका अर्थ है कि इन कणों का वेग नीचे की ओर है।
$2$. बिंदु $C, G$ पर: ये चरम स्थितियां (शृंग और गर्त) हैं,इसलिए इनका तात्कालिक वेग शून्य है।
$3$. बिंदु $A, B, H$ पर: जैसे-जैसे तरंग बाईं ओर बढ़ती है,इन बिंदुओं पर आकार ऊपर की ओर खिसकेगा,जिसका अर्थ है कि इन कणों का वेग ऊपर की ओर है।
इसलिए,$D, E$ और $F$ पर कणों का वेग नीचे की ओर है। सही विकल्प $B$ है।

(B) अनुप्रस्थ हार्मोनिक तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t + kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \sin (36t + 0.018x + \frac{\pi}{4})$ से तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.018 \, cm^{-1}$ प्राप्त होती है।
दो क्रमागत श्रृंगों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होती है।
तरंगदैर्ध्य और तरंग संख्या के बीच का संबंध $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $\lambda = \frac{2 \times 3.1416}{0.018} \approx 349.06 \, cm$.
इसे मीटर में बदलने के लिए,हम $100$ से भाग देते हैं: $\lambda = \frac{349.06}{100} \approx 3.49 \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $3.5 \, m$ है।

(A) कलांतर $\Delta \phi$,पथ अंतर $\Delta x$ और संचरण नियतांक $k$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$।
दिया गया है:
संचरण नियतांक $k = \frac{5 \pi}{7} \, rad/m$।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{49}{22} \, m$।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$\Delta \phi = \left( \frac{5}{7} \times \frac{22}{7} \right) \times \frac{49}{22}$।
$\Delta \phi = \left( \frac{5 \times 22}{49} \right) \times \frac{49}{22}$।
$\Delta \phi = 5 \, rad$।

(C) एक ज्या तरंग में,कण का विस्थापन $y = A \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v_p = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t - kx)$ होता है।
$x_1$ और $x_2$ स्थितियों पर स्थित दो कणों की गति समान होने के लिए,उनके वेग का परिमाण $|v_{p1}| = |v_{p2}|$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब कलांतर (phase difference) $\pi$ का पूर्णांक गुणज हो। विशेष रूप से,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ की दूरी पर स्थित कणों के वेग परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं $(v_1 = -v_2)$,जिसका अर्थ है कि उनकी गति समान है।
अतः,समान गति वाले दो कणों के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{\lambda}{2}$ है।

(B) तरंग में कण का वेग $v_p = -v \cdot (\text{ढाल})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ तरंग की गति है।
यदि स्पंद धनात्मक दिशा में यात्रा करता है $(v > 0)$, तो $v_p = -v \cdot (\text{ढाल})$.
$1$. बिंदु $P$ पर (शिखर के पिछले किनारे पर), ढाल धनात्मक है। अतः, $v_p = -v \cdot (\text{धनात्मक}) = \text{ऋणात्मक}$. इसलिए, यदि स्पंद धनात्मक दिशा में चलता है तो $P$ नीचे की ओर गति करता है।
$2$. इसके विपरीत, यदि स्पंद ऋणात्मक दिशा में चलता है $(v < 0)$, तो $v_p = -(-v) \cdot (\text{ढाल}) = v \cdot (\text{ढाल})$. चूंकि $P$ पर ढाल धनात्मक है, $v_p$ धनात्मक (ऊपर की ओर) होगा।
$3$. विकल्प $A$: यदि $P$ स्थिर है, तो यह विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण (स्थिर तरंग) को दर्शाता है, जो सही है।
$4$. विकल्प $B$: यदि $P$ ऊपर की ओर गति करता है, तो स्पंद को ऋणात्मक दिशा में चलना चाहिए। अतः, विकल्प $B$ गलत है।
$5$. विकल्प $C$: यदि $P$ नीचे की ओर गति करता है, तो स्पंद को धनात्मक दिशा में चलना चाहिए। अतः, विकल्प $C$ भी गलत है।

(D) दिया गया समीकरण $y(x, t) = e^{-(ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt)}$ है।
घातांक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt = (\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2$.
अतः,तरंग फलन $y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ है।
एक सामान्य प्रगामी तरंग फलन को $f(kx + \omega t)$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ यदि $kx$ और $\omega t$ के बीच का चिह्न धनात्मक है,तो तरंग $-x$ दिशा में गति करती है।
$y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ की तुलना $f(kx + \omega t)$ से करने पर,हमें $k = \sqrt{a}$ और $\omega = \sqrt{b}$ प्राप्त होता है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$ है।
चूंकि यह समीकरण $f(kx + \omega t)$ के रूप में है,इसलिए तरंग $-x$ दिशा में गति कर रही है।

(A) मान लीजिए तरंग का समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
कण का वेग $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \cos(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
कण की अधिकतम चाल $v_{p, \text{max}} = A\omega$ है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\omega}{2\pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2\pi}$ है।
कण की चाल हमेशा तरंग की चाल से कम रहने के लिए,कण की अधिकतम चाल तरंग की चाल से कम होनी चाहिए:
$v_{p, \text{max}} < v$
$A\omega < \frac{\omega \lambda}{2\pi}$
दोनों पक्षों को $\omega$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A < \frac{\lambda}{2\pi}$.

(B) तरंग का दिया गया वेग,$v = 1450 \, m/s$ है।
विपरीत कला में दो बिंदुओं के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2}$।
दिया गया है,$\frac{\lambda}{2} = 0.1 \, m$,इसलिए,$\lambda = 0.2 \, m$ है।
तरंग वेग,आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
आवृत्ति के लिए सूत्र: $f = \frac{v}{\lambda}$ है।
मान रखने पर: $f = \frac{1450}{0.2} = 7250 \, Hz$।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = a \sin \left( \frac{\pi}{2}x - 200\pi t \right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 200\pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध $\omega = 2\pi \nu$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$2\pi \nu = 200\pi$
$\nu = \frac{200\pi}{2\pi} = 100 \ Hz$.
अतः,तरंग की आवृत्ति $100 \ Hz$ है।

(D) जब कोई तरंग एक सघन माध्यम की सीमा से परावर्तित होती है,तो तरंग में $\pi$ रेडियन $(180^\circ)$ का कला परिवर्तन होता है।
चूंकि माध्यम समान रहता है,इसलिए तरंग की गति $(v = f \lambda)$ नहीं बदलती है।
चूंकि आवृत्ति $(f)$ स्रोत द्वारा निर्धारित होती है,इसलिए यह स्थिर रहती है।
परिणामस्वरूप,तरंगदैर्ध्य $(\lambda = v/f)$ भी अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,कुछ ऊर्जा सघन माध्यम में संचारित हो जाती है,जिससे परावर्तित तरंग का आयाम और तीव्रता कम हो जाती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य वह राशि है जो नहीं बदलती है।

(B) दिए गए तरंग समीकरण:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करके,हम $y_2$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y_2 = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
पहली तरंग की कला $\phi_1 = \omega t$ है।
दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t = \frac{\pi}{2}$ होगा।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = a \sin(2 \pi bt - 2 \pi cx)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi b$
तरंग संख्या $k = 2 \pi c$
आयाम $A = a$
तरंग वेग $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi b}{2 \pi c} = \frac{b}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
कण का अधिकतम वेग $v_p = \omega A = (2 \pi b) a = 2 \pi ab$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,कण का अधिकतम वेग तरंग वेग का दोगुना है:
$v_p = 2 v_w$
$2 \pi ab = 2 \left( \frac{b}{c} \right)$
$\pi a = \frac{1}{c}$
$c = \frac{1}{\pi a}$