14.Waves and SoundMedium

રેખીય દળ ઘનતા $8.0 \times 10^{-3}\, kg\, m^{-1}$ હોય તેવી એક લાંબી દોરીનો એક છેડો $256\, Hz$ ની આવૃત્તિના એ વિદ્યુત-ચાલિત સ્વરકાંટા સાથે જોડેલ છે. બીજો છેડો એક ગરગડી પરથી પસાર થઈ $90\, kg$ દળ ધરાવતા એક પલ્લા સાથે બાંધેલ છે. ગરગડી આગળનું દોરીનું બિંદુ ત્યાં આવતી બધી ઊર્જાને શોષી લે છે તેથી ત્યાં પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર અવગણ્ય છે. $t = 0$ સમયે દોરીના ડાબા છેડા (સ્વરકાંટા બાજુનો છેડો) $x = 0$ નું લંબગત સ્થાનાંતર $(y = 0)$ શૂન્ય છે અને તે ધન -દિશામાં ગતિ કરે છે. તરંગનો કંપવિસ્તાર $5.0 \,cm $ છે. દોરીમાં તરંગને રજૂ કરતા લંબગત સ્થાનાંતર $y$ ને $x$ અને $t$ ના વિધેય તરીકે લખો.

Solution

The equation of a travelling wave propagating along the positive $y$ -direction is given by the

displacement equation: $y(x, t)=a \sin (w t-k x) \ldots(i)$

$\mu=8.0 \times 10^{-3}\, kg\, m ^{-1}$

Linear mass density,

Frequency of the tuning fork, $v=256\, Hz$

Amplitude of the wave, $a=5.0\, cm =0.05\, m \ldots (ii)$

Mass of the pan, $m=90 \,kg$

Tension in the string, $T=m g=90 \times 9.8=882\, N$

The velocity of the transverse wave $v$, is given by the relation

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$=\sqrt{\frac{882}{8.0 \times 10^{-3}}}=332 \,m / s$

Angular frequency, $\omega=2 \pi v$ $=2 \times 3.14 \times 256$

$=1608.5=1.6 \times 10^{3}\, rad / s\ldots(iii)$

Wavelength, $\lambda=\frac{v}{v}=\frac{332}{256} \,m$

$\therefore$ Propagation constant, $k=\frac{2 \pi}{\lambda}$

$=\frac{2 \times 3.14}{\frac{332}{256}}=4.84 \,m ^{-1}\ldots(i v)$

Substituting the values from equations $ (ii), (iii)$, and $(iv)$ in equation ($i$), we get the displacement equation:

$y(x, t)=0.05 \sin \left(1.6 \times 10^{3} t-4.84 x\right)\, m$

$20$ $m$ ની એક સમાન દોરીને એક દઢ આધારથી લટકાવવામાં આવેલ છે.તેના નીચેના છેડે નાનું તરંગ સ્પંદ દાખલ કરવામાં આવે છે.આ તરંગ- સ્પંદને ઉપર આધાર સુધી પહોંચવા માટે કેટલો સમય લાગશે? ( $g= 10 $ $ms^{-2}$ લો )

Difficult

Medium

Medium

Easy

Medium