Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Gujarati

(C) કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ તરંગ સંખ્યા છે.
કણના મહત્તમ વેગ અને તરંગના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{\max}}{v} = \frac{\omega A}{\omega / k} = kA$ થાય.
આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = 60 \cos (1800t - 6x)$ પરથી:
કંપવિસ્તાર $A = 60 \text{ માઇક્રોન} = 60 \times 10^{-6} \text{ m}$.
તરંગ સંખ્યા $k = 6 \text{ m}^{-1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v_{\max}}{v} = kA = 6 \times (60 \times 10^{-6}) = 360 \times 10^{-6} = 3.6 \times 10^{-4}$ થાય.

(B) તરંગના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.30 \sin(314t - 1.57x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 314 \, \text{rad/s}$
તરંગ સંખ્યા $k = 1.57 \, \text{rad/m}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{314}{1.57} = 200 \, \text{m/s}$.
તેથી,તરંગની ઝડપ $200 \, \text{m/s}$ છે.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = a \sin(400\pi t - \pi x / 6.85)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે કરતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 400\pi \, rad/s$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
તેથી,$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{400\pi}{2\pi} = 200 \, Hz$.

(A) તરંગની કળા $\phi = 2\pi f t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$\phi_1 = 2\pi f_1 t = 2\pi \times 20 \times 0.6 = 24\pi$.
બીજા તરંગ માટે,$\phi_2 = 2\pi f_2 t = 2\pi \times 30 \times 0.6 = 36\pi$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |36\pi - 24\pi| = 12\pi$ છે.
$12\pi$ એ $\pi$ નો બેકી ગુણક હોવાથી,કળા તફાવત $0$ (શૂન્ય) ને સમાન છે.

(D) પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta x = 0.8 \ m$ અને $\phi = 90^o = \frac{\pi}{2} \text{ રેડિયન}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.8 = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$.
તેથી,$\lambda = 0.8 \times 4 = 3.2 \ m$.
તરંગનો વેગ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 120 \ Hz$.
$v = 120 \times 3.2 = 384 \ m/s$.

(B) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a\sin 2\pi \left[ \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5\sin 2\pi \left[ \frac{t}{0.04} - \frac{x}{40} \right]$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણે પદોને ઓળખીએ છીએ.
પદ $\frac{x}{\lambda}$ એ $\frac{x}{40}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સીધી સરખામણી દ્વારા,તરંગલંબાઈ $\lambda = 40 \ cm$ મળે છે.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = a \sin(0.01x - 2t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \, cm^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \, rad/s$
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $v = \frac{2}{0.01} = 200 \, cm/s$.

(D) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 8 \sin(2\pi(0.1x - 2t)) = 8 \sin(0.2\pi x - 4\pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.2\pi \, rad/cm$ મળે છે.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે કણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = k \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta x = 2.0 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $\Delta \phi = (0.2\pi) \times 2.0 = 0.4\pi \, radians$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{180^o}{\pi}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^o}{\pi} = 0.4 \times 180^o = 72^o$.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = a \sin(200t - x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 200 \text{ rad/s}$
$k = 1 \text{ rad/m}$
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{200}{1} = 200 \text{ m/s}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 7 \sin \{ \pi (2t - 2x) \} = 7 \sin(2\pi t - 2\pi x)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \, \text{rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 2\pi \, \text{rad/m}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \, m/s$ મળે છે.

(B) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \cos (\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 20 \cos (50\pi t - \pi x)$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \pi$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \, cm$.

(D) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.001 \sin(100t + x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$1$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$. $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$ થાય.
$2$. તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ m^{-1}$. $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 2\pi \ m$ થાય.
$3$. તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{1} = 100 \ m/s$ થાય.
$4$. $t$ અને $x$ પદોની વચ્ચે ધન ચિહ્ન $(100t + x)$ હોવાથી,તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ છે.
પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અને $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મળે છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \cos 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ દ્વારા મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p,max} = A \omega = A \left( \frac{2\pi}{T} \right)$ છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi / T}{2\pi / \lambda} = \frac{\lambda}{T}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{p,max} = 4v$.
કિંમતો મૂકતા: $A \left( \frac{2\pi}{T} \right) = 4 \left( \frac{\lambda}{T} \right)$.
બંને બાજુથી $T$ દૂર કરતા: $2\pi A = 4\lambda$.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi A}{4} = \frac{\pi A}{2}$.

(D) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(100t - x/10)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \, rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 1/10 \, m^{-1}$.
તરંગનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{100}{1/10} = 1000 \, m/s$.

(C) ધન $x-$દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સમીકરણ:
$y = A \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x) \right)$
અહીં $A = 0.2\;m,$ $v = 360\;m/s,$ અને $\lambda = 60\;m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 0.2 \sin \left( \frac{2\pi}{60} (360t - x) \right)$
$y = 0.2 \sin \left( 2\pi \left( \frac{360}{60}t - \frac{x}{60} \right) \right)$
$y = 0.2 \sin \left[ 2\pi \left( 6t - \frac{x}{60} \right) \right]$
આમ,સાચું સમીકરણ $y = 0.2 \sin \left[ 2\pi \left( 6t - \frac{x}{60} \right) \right]$ છે.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 7 \sin(7\pi t - 0.4\pi x + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 7\pi \ rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 0.4\pi \ rad/m$.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{7\pi}{0.4\pi}$
$v = \frac{7}{0.4} = \frac{70}{4} = 17.5 \ m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $17.5 \ m/s$ છે.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 8 \sin \left[ \pi \left( \frac{t}{10} - \frac{x}{4} \right) + \frac{\pi}{3} \right]$ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને $y = 8 \sin \left( \frac{\pi t}{10} - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi}{3} \right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તરંગ સંખ્યા $k$ એ $x$ નો સહગુણક છે,જે $k = \frac{\pi}{4}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 2 \times 4 = 8 \, m$.

(A) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.07 \sin(12\pi x - 3000\pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $a = 0.07 \ m$.
કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = 12\pi \ rad/m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3000\pi \ rad/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6} \ m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi n$,તેથી આવૃત્તિ $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3000\pi}{2\pi} = 1500 \ Hz$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{3000\pi}{12\pi} = 250 \ m/s$.
આમ,સાચા મૂલ્યો $\lambda = 1/6 \ m$ અને $v = 250 \ m/s$ છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
$y = 25 \sin(20t + 5x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$1$. કંપવિસ્તાર $A = 25$ એકમ.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 20 \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 5 \text{ m}^{-1}$.
$3$. તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5} = 4$ એકમ.
$4$. કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = A\omega = 25 \times 20 = 500$ એકમ.
આ મૂલ્યોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
વિકલ્પ $(a)$ સાચું છે $(A = 25)$.
વિકલ્પ $(b)$ ખોટું છે કારણ કે કણનો મહત્તમ વેગ $500$ એકમ છે,$100$ એકમ નથી.
વિકલ્પ $(c)$ સાચું છે $(v = 4)$.
વિકલ્પ $(d)$ સાચું છે $(v_{p, \text{max}} = 500)$.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે $(b)$ છે.

(B) સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \cos (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 25 \cos (2\pi t - \pi x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a = 25$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi f$,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે,તેથી $2\pi f = 2\pi$.
આથી,આવૃત્તિ $f = 1 \text{ Hz}$ મળે છે.
આમ,કંપવિસ્તાર $25$ છે અને આવૃત્તિ $1 \text{ Hz}$ છે.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 600 \ rad \ s^{-1}$
તરંગ સંખ્યા $k = 2 \ m^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{600}{2} = 300 \ m \ s^{-1}$.
આમ,તરંગની ઝડપ $300 \ m \ s^{-1}$ છે.

(B) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-6} \sin(100t + 20x + \pi/4)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 20 \ rad/m$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$.

(D) પ્રગામી તરંગના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.08 \sin \frac{2\pi}{\lambda} (200t - x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $t$ નો સહગુણક એ તરંગનો વેગ $v$ દર્શાવે છે.
આમ,સીધી સરખામણી કરતા,$v = 200 \ m/s$ મળે છે.

(B) કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
આપેલ છે: $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$,$\Delta x = 0.8 \ m$,અને આવૃત્તિ $f = 120 \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0.8$.
તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 4 \times 0.8 = 3.2 \ m$.
તરંગનો વેગ $(v)$ એ $v = f \times \lambda$ દ્વારા મળે છે.
$v = 120 \times 3.2 = 384 \ m/s$.

(A) સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.1 \sin \left( 200\pi t - \frac{20\pi x}{17} \right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$1$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\pi \ rad/s$. કારણ કે $\omega = 2\pi n$,તેથી $2\pi n = 200\pi$,જે આવૃત્તિ $n = 100 \ Hz$ આપે છે.
$2$. તરંગ સંખ્યા $k = \frac{20\pi}{17} \ rad/m$. કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{20\pi/17} = 1.7 \ m$.
$3$. તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{20\pi/17} = 170 \ m/s$.
આમ,આવૃત્તિ,તરંગલંબાઇ અને ઝડપ અનુક્રમે $100 \ Hz, 1.7 \ m, 170 \ m/s$ છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.5 \sin(20x - 400t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 20 \text{ rad/m}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 400 \text{ rad/s}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{400}{20} = 20 \text{ m/s}$.
આમ,તરંગનો વેગ $20 \text{ m/s}$ છે.

(D) આપેલ છે: વેગ $v = 10\,m/s$,આવૃત્તિ $f = 100\,Hz$,પથ તફાવત $\Delta x = 2.5\,cm = 0.025\,m$.
સૌ પ્રથમ,$v = f\lambda$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10}{100} = 0.1\,m = 10\,cm$.
હવે,કળા તફાવત $\Delta \phi$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{10\,cm} \times 2.5\,cm = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$y_1 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + 0.5]$
$y_2 = 10^{-6} \cos [100t + (x/50)]$
કળાની સરખામણી કરવા માટે,કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં રૂપાંતરિત કરો,$\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$y_2 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + \pi/2]$
અહીં $\pi/2 \approx 1.57$ હોવાથી:
$y_2 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + 1.57]$
પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = 100t + (x/50) + 0.5$ છે.
બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = 100t + (x/50) + 1.57$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi$ નીચે મુજબ મળે:
$\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1|$
$\Delta\phi = |(100t + x/50 + 1.57) - (100t + x/50 + 0.5)|$
$\Delta\phi = 1.57 - 0.5 = 1.07 \, rad$.

(B) સરળ આવર્ત તરંગ ગતિમાં,કણ તેના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે.
જ્યારે કણ ગર્ત (મહત્તમ ઋણ સ્થાનાંતરનું બિંદુ) પર હોય છે,ત્યારે તે તેના અંતિમ સ્થાનોમાંથી એક પર હોય છે.
અંતિમ સ્થાનથી મધ્યમાન સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય કુલ આવર્તકાળ $(T)$ ના ચોથા ભાગ જેટલો હોય છે.
તેથી,કણ $\frac{T}{4}$ સમય પછી મધ્યમાન સ્થાન પર પહોંચશે.

(A) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = a \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 2 \sin(kx - 2t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a = 2$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2$ મળે છે.
કણનો વેગ $v_p$ એ સ્થાનાંતર $Y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$v_p = \frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt} [2 \sin(kx - 2t)] = 2 \cos(kx - 2t) \times (-2) = -4 \cos(kx - 2t)$.
કણનો મહત્તમ વેગ કોસાઇન પદના સહગુણકના મૂલ્ય દ્વારા મળે છે:
$v_{max} = a \omega = 2 \times 2 = 4 \, units$.

(C) પ્રથમ તરંગનું સમીકરણ ${y_1} = 10\sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ છે. આ તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ છે.
બીજા તરંગનું સમીકરણ ${y_2} = 5(\sin 3\pi t + \sqrt 3 \cos 3\pi t)$ છે.
આપણે તેને $2$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
${y_2} = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt 3}{2} \cos 3\pi t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}$ છે:
${y_2} = 10 \left( \sin 3\pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 3\pi t \sin \frac{\pi}{3} \right) = 10 \sin \left( 3\pi t + \frac{\pi}{3} \right)$.
બીજા તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_2 = 10$ છે.
તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{10} = 1:1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = A \cos^2 \left( 2\pi nt - 2\pi \frac{x}{\lambda} \right)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$y = \frac{A}{2} \left[ 1 + \cos \left( 4\pi nt - \frac{4\pi x}{\lambda} \right) \right] = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \cos \left( 4\pi nt - \frac{4\pi x}{\lambda} \right)$.
તરંગનો દોલિત ભાગ $\frac{A}{2} \cos \left( 4\pi nt - \frac{4\pi x}{\lambda} \right)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \cos(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $a = A/2$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4\pi n$,તેથી આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4\pi n}{2\pi} = 2n$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{4\pi}{\lambda}$,તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{2}$.
આમ,તરંગનો કંપવિસ્તાર $A/2$,આવૃત્તિ $2n$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda/2$ છે.

(D) સમીકરણ $y = a \sin (kx - \omega t)$ એ સામાન્ય પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ દર્શાવે છે.
યાંત્રિક તરંગોના કિસ્સામાં (જેમ કે ધ્વનિ તરંગો),$y$ એ કણોનું સ્થાનાંતર અથવા દબાણમાં થતા ફેરફારો દર્શાવી શકે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના કિસ્સામાં,$y$ એ દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના ઘટકો દર્શાવે છે.
આમ,$y$ એ એક સામાન્ય ભૌતિક રાશિ છે જે દોલન કરે છે અને અવકાશમાં પ્રસરણ પામે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $y = f(x - vt)$ છે,જ્યાં $v$ એ તરંગનો વેગ છે.
$t = 0$ સમયે,સમીકરણ $y = f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ છે.
$t = 2$ સેકન્ડ સમયે,સમીકરણ $y = f(x - v(2)) = \frac{1}{1 + (x - 2v)^2}$ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી $t = 2$ સમયે આપેલા સમીકરણ $y = \frac{1}{1 + (x - 1)^2}$ સાથે કરતા,આપણે કૌંસમાં રહેલા પદોને સરખાવી શકીએ:
$x - 2v = x - 1$
$2v = 1$
$v = 0.5 \ m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $0.5 \ m/s$ છે.

(C) આકૃતિ પરથી,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ અથવા એક નિસ્પંદ અને એક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ છે. તેથી,$ab = \frac{\lambda}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 4ab$.
વિધાન $I$: તરંગની ઝડપ $v = n\lambda = n(4ab) = 4n \times ab$. આ વિધાન સાચું છે.
વિધાન $II$: બિંદુ $a$ એ શૃંગ પર છે અને $d$ એ નિસ્પંદ બિંદુ છે. $a$ અને $d$ સમાન કળામાં હોય તે માટે,તરંગે એટલું અંતર કાપવું પડે કે જેથી $d$ શૃંગની સ્થિતિમાં પહોંચે. $a$ અને $d$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{3\lambda}{4}$ છે. લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{3\lambda/4}{n\lambda} = \frac{3}{4n} \text{ s}$ થાય. વિધાનમાં $\frac{4}{3n} \text{ s}$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
વિધાન $III$: $b$ (નિસ્પંદ બિંદુ) અને $e$ (શૃંગ) વચ્ચેનો પથ તફાવત $\frac{3\lambda}{4}$ છે. કળા તફાવત $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{4} = \frac{3\pi}{2}$ થાય. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $I$ અને $III$ સાચા છે.

(D) બે બિંદુઓ સમાન કળામાં ત્યારે કહેવાય જ્યારે તેમનું સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર સમાન હોય અને તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈ,$\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
આપેલ તરંગ આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ અને $F$ સંતુલન રેખાથી સમાન ઊર્ધ્વ સ્થાનાંતર પર છે અને બંને સમાન દિશામાં (નીચેની તરફ) ગતિ કરી રહ્યા છે.
$B$ અને $F$ વચ્ચેનું આડું અંતર બરાબર એક તરંગલંબાઈ,$\lambda$ જેટલું છે.
તેથી,બિંદુ $B$ અને $F$ સમાન કળામાં છે.

(C) તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે.
વક્રનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે અચળ સમય $t$ પર $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = A \cos (\omega t - kx) \cdot (-k) = -kA \cos (\omega t - kx)$.
બિંદુ $B$ પર,તરંગ $x$-અક્ષને છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$. તેથી,$\sin (\omega t - kx) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos (\omega t - kx) = \pm 1$.
$+ve$ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે,જે બિંદુએ તરંગ નીચેની તરફ ગતિ કરીને અક્ષને છેદે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),ત્યાં ઢાળ ઋણ હોય છે. ખાસ કરીને,ઢાળનું મૂલ્ય $|\frac{dy}{dx}| = |-kA \cos (\omega t - kx)| = kA$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કણના વેગ $v_p$ અને તરંગના વેગ $v$ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $v_p = -v \cdot (\text{ઢાળ})$. બિંદુ $B$ પર,કણનો વેગ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે,$|v_p| = \omega A$. કારણ કે $v = \frac{\omega}{k}$,તેથી ઢાળનું મૂલ્ય $|\frac{dy}{dx}| = \frac{|v_p|}{v} = \frac{\omega A}{\omega / k} = kA$ મળે છે.

(C) આકૃતિ પરથી,કંપવિસ્તાર $A = 0.05 \ m$ છે.
$2.5$ તરંગલંબાઈ દ્વારા કપાયેલ અંતર $0.25 \ m$ છે.
તેથી,$2.5 \lambda = 0.25 \ m \implies \lambda = 0.1 \ m$.
તરંગની ઝડપ $v = 330 \ m/s$ છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{330}{0.1} = 3300 \ Hz$.
ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin 2\pi (ft - \frac{x}{\lambda})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = 0.05 \sin 2\pi (3300 \, t - \frac{x}{0.1})$.
$y = 0.05 \sin 2\pi (3300 \, t - 10 \, x)$.

(B) આપેલ તરંગ વિધેય $y = a_0 \sin(\omega t - kx)$ છે.
સમય $t = 0$ અને સ્થાન $x = \frac{\pi}{2k}$ પર,સ્થાનાંતર:
$y = a_0 \sin(\omega(0) - k(\frac{\pi}{2k}))$
$y = a_0 \sin(-\frac{\pi}{2})$
$y = -a_0 \sin(\frac{\pi}{2}) = -a_0$
આપેલ આલેખ પરથી,ઋણ દિશામાં મહત્તમ સ્થાનાંતર (એટલે કે $-a_0$) દર્શાવતું બિંદુ $Q$ છે.

(A) કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ અને આવૃત્તિ $(\nu)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવૃત્તિ $(\nu)$ એ તરંગ સંખ્યા $(\bar \nu)$ સાથે $\nu = c \bar \nu$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\omega = 2\pi c \bar \nu$ મળે છે.
અહીં $2\pi$ અને $c$ અચળાંકો હોવાથી,આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ અને તરંગ સંખ્યા $(\bar \nu)$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

(B) આપેલા બે તરંગ સમીકરણો:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને આપણે બીજા સમીકરણને સાઈન વિધેયના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$y_2 = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
બંને સમીકરણોને સામાન્ય સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = 0$ અને બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર માટે,$2\pi$ જેટલો કળા તફાવત એ $\lambda$ જેટલા પથ તફાવતને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\phi$ જેટલા કળા તફાવત માટે,પથ તફાવત $\Delta x$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $y_1 = a \sin \omega t$ અને $y_2 = a \cos \omega t$ છે.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને $y_2$ ને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$y_2 = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
કળાઓની સરખામણી કરતા,$y_1$ ની કળા $\omega t$ છે અને $y_2$ ની કળા $\omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\phi = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t = \frac{\pi}{2}$ છે.
કારણ કે $y_2$ ની કળા $y_1$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલી વધારે છે,તેથી $y_1$ એ $y_2$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલું પાછળ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $y_1 = a \sin \omega t$ અને $y_2 = a \cos \omega t$ છે.
આપણે $y_2$ ને $y_2 = a \sin(\omega t + \pi / 2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
પ્રથમ તરંગનો કળા (phase) $\phi_1 = \omega t$ છે.
બીજા તરંગનો કળા $\phi_2 = \omega t + \pi / 2$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = \omega t - (\omega t + \pi / 2) = -\pi / 2$ થાય છે.
કળા તફાવત ઋણ હોવાથી,પ્રથમ તરંગ એ બીજા તરંગ કરતા $\pi / 2$ જેટલું પાછળ છે.

(A) તરંગ માટે કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથતફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
અહીં પથતફાવત $\Delta x = x$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$
આમ,તેને અનુરૂપ કળા તફાવત $\frac{2\pi x}{\lambda}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: તરંગની ઝડપ $v = 960 \, m/s$.
$1 \, minute$ $(60 \, s)$ માં પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા $3600$ છે.
આવૃત્તિ $n = \frac{\text{તરંગોની કુલ સંખ્યા}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3600}{60} = 60 \, Hz$.
તરંગની ઝડપ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n \lambda$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{960}{60} = 16 \, m$.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 8 \sin 2\pi (0.1x - 2t) \, cm$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin 2\pi (\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T})$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા પદ $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi(0.1) = 0.2\pi$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi}{0.2\pi} = 10 \, cm$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ નું સૂત્ર $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = 2 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{10} \times 2 = \frac{4\pi}{10} = 0.4\pi \, radians$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180^\circ}{\pi}$ વડે ગુણતા:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^\circ}{\pi} = 0.4 \times 180^\circ = 72^\circ$.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 10 \sin \pi (0.01x - 2.00t) \text{ cm}$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,$y = 10 \sin (0.01\pi x - 2\pi t) \text{ cm}$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = 10 \text{ cm}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \text{ rad/sec}$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\text{max}}$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\text{max}} = A\omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v_{\text{max}} = 10 \times 2\pi = 20\pi \text{ cm/sec}$ મળે છે.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$v_{\text{max}} \approx 20 \times 3.14159 = 62.83 \text{ cm/sec}$ થાય.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,મહત્તમ વેગ $63 \text{ cm/sec}$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \cos(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.05 \cos \left( 4\pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4\pi \, rad/s$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
તેથી,$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \, Hz$.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 7 \sin(7\pi t - 0.04\pi x + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = 7\pi \, rad/s$.
તરંગ સંખ્યા,$k = 0.04\pi \, rad/m$.
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{7\pi}{0.04\pi} = \frac{7}{0.04} = \frac{700}{4} = 175 \, m/s$.