Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Gujarati

(C) તરંગનો વેગ $(v)$ એ તેની આવૃત્તિ $(n)$ અને તેની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $v = n \times \lambda$.
આવૃત્તિ $(n)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$n = \frac{v}{\lambda}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $n = v/\lambda$ છે.

(A) બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેના અંતરને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$\lambda = 5 \ cm$.
દર સેકન્ડે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થતા પૂર્ણ તરંગોની સંખ્યાને આવૃત્તિ ($n$ અથવા $f$) કહેવાય છે.
આપેલ છે,$n = 2 \ Hz$ (અથવા $2 \ waves/sec$).
તરંગનો વેગ $(v)$ શોધવાનું સૂત્ર: $v = n \times \lambda$.
કિંમતો મૂકતા: $v = 2 \times 5 = 10 \ cm/sec$.

(C) કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
અહીં $\Delta \phi = 1.6 \pi$ અને $\Delta x = 40 \; cm = 0.4 \; m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1.6 \pi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0.4$.
તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ શોધતા: $\lambda = \frac{2 \times 0.4}{1.6} = \frac{0.8}{1.6} = 0.5 \; m$.
તરંગના સમીકરણ $v = f \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 330 \; m/s$ અને $\lambda = 0.5 \; m$ છે:
$330 = f \times 0.5$.
તેથી,$f = \frac{330}{0.5} = 660 \; Hz$.

(A) તરંગ માટે,સંપૂર્ણ તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર થતો કળા ફેરફાર $2\pi$ રેડિયન છે.
કળા એ અંતર સાથે રેખીય રીતે બદલાતી હોવાથી,પથ તફાવત $(\Delta x)$ માટે કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ એ પથ તફાવત અને તરંગલંબાઈના ગુણોત્તરને $2\pi$ વડે ગુણવાથી મળે છે.
તેથી,સૂત્ર $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.

(A) સાઈનસૉઈડલ તરંગમાં,મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર) થી શૂન્ય સ્થાનાંતર સુધીની ગતિ કુલ આવર્તકાળ $(T)$ ના ચોથા ભાગ જેટલી હોય છે.
તેથી,લાગતો સમય $t = \frac{T}{4}$ છે.
આવૃત્તિ ($n$ અથવા $f$) એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત હોવાથી,$T = \frac{1}{n}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $t = \frac{1}{4n}$ મળે છે.
આવૃત્તિ માટે સૂત્ર બનાવતા,$n = \frac{1}{4t}$.
અહીં $t = 0.170\,s$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{1}{4 \times 0.170} = \frac{1}{0.680} \approx 1.47\,Hz$ થાય.

(B) એકમ લંબાઈ દીઠ તરંગોની સંખ્યાને તરંગ સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નો વ્યસ્ત છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\overline{n} = \frac{1}{\lambda}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વેગ $(v)$, આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ત્રણેય પરિમાણો તરંગના પ્રસરણ અને માધ્યમ સાથે આંતરિક રીતે જોડાયેલા છે. જોકે, કંપવિસ્તાર એ કણોનું તેમની સરેરાશ સ્થિતિથી મહત્તમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે અને તે તરંગના વેગ, આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઇથી સ્વતંત્ર છે. તેથી, કંપવિસ્તાર અન્ય કરતા અલગ છે.

(C) આપેલ છે: પથ તફાવત $\Delta x = 1 \ m$,આવૃત્તિ $f = 120 \ Hz$,કળા તફાવત $\phi = 90^o = \frac{\pi}{2} \text{ રેડિયન}$.
કળા તફાવત અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 1$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 4 \ m$.
તરંગનો વેગ $v = f \lambda$ દ્વારા મળે છે.
$v = 120 \times 4 = 480 \ m/s$.

(D) આપેલ છે:
તરંગની ઝડપ,$v = 960\, m/s$.
તરંગોની સંખ્યા,$N = 3600$.
લાગતો સમય,$t = 1\, minute = 60\, s$.
સૌ પ્રથમ,તરંગની આવૃત્તિ $(n)$ શોધો:
$n = \frac{N}{t} = \frac{3600}{60} = 60\, Hz$.
હવે,તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ શોધવા માટે તરંગના સમીકરણ $v = n \lambda$ નો ઉપયોગ કરો:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{960}{60} = 16\, m$.
તેથી,તરંગલંબાઈ $16\, m$ છે.

(C) આવૃત્તિ $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ તરંગોની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,દર મિનિટે $54$ તરંગો.
$n = \frac{54}{60} \, Hz = 0.9 \, Hz$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \, m$.
તરંગનો વેગ $v$ એ $v = n \times \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
$v = 0.9 \times 10 = 9 \, m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $9 \, m/s$ છે.

(B) તરંગની આવૃત્તિ $n$ એ એકમ સમયમાં બિંદુમાંથી પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા છે。
આપેલ છે: તરંગોની સંખ્યા = $3600$, સમય $t = 2\, \text{મિનિટ} = 2 \times 60 = 120\, \text{સેકન્ડ}$。
આવૃત્તિ $n = \frac{3600}{120} = 30\, \text{Hz}$。
તરંગની ઝડપ $v$, આવૃત્તિ $n$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n \lambda$ છે。
તેથી, $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{760}{30} = 25.33\, \text{m}$。
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, તરંગલંબાઈ $25.3\, \text{m}$ મળે છે。

(C) તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu}$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$
આપેલ છે,$\lambda = 6000 \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
સૂત્રમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$\bar{\nu} = \frac{1}{6 \times 10^{-7} \ m}$
$\bar{\nu} = \frac{1}{6} \times 10^7 \ m^{-1}$
$\bar{\nu} = 0.1666 \times 10^7 \ m^{-1} = 1.66 \times 10^6 \ m^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
અહીં આપેલ કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ}$ છે.
કળા તફાવતને રેડિયનમાં ફેરવતા: $\phi = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
સૂત્રમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$.
તેથી,પથ તફાવત $\lambda / 6$ થાય છે.

(C) તરંગમાં બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું અંતર એક તરંગલંબાઈ જેટલું હોય છે,જેને $\lambda$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
આ સૂત્રમાં પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
તેથી,બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $2\pi$ રેડિયન છે.

(B) આપેલ આવૃત્તિ $n = 500 \, Hz$ અને વેગ $v = 360 \, m/s$ છે.
સૌ પ્રથમ,$v = n\lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{360}{500} = 0.72 \, m$.
કળા તફાવત $\phi = 60^o$ આપેલ છે. તેને રેડિયનમાં ફેરવતા:
$\phi = 60^o \times \frac{\pi}{180^o} = \frac{\pi}{3} \, \text{રેડિયન}$.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{0.72}{2\pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{0.72}{6} = 0.12 \, m$.
અંતરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$\Delta x = 0.12 \times 100 = 12 \, cm$.

(D) આવૃત્તિ $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ આવતા મોજાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે,પ્રતિ મિનિટ મોજાની સંખ્યા $= 54$.
તેથી,આવૃત્તિ $n = \frac{54}{60} \ Hz = 0.9 \ Hz$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \ m$.
તરંગનો વેગ $v = n \lambda$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = 0.9 \times 10 = 9 \ m/s$.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 2 \sin \pi (0.5x - 200t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$y = 2 \sin (0.5\pi x - 200\pi t)$.
અહીં,તરંગ સંખ્યા $k = 0.5\pi$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\pi$ છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{0.5\pi} = 400 \ cm/sec$.

(B) બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેના સમયગાળાને તરંગનો આવર્તકાળ $T$ કહેવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$T = 0.2 \ s$.
તરંગની આવૃત્તિ $f$ (અથવા $n$) એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે:
$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.2 \ s} = 5 \ Hz$.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ $5 \ Hz$ છે.

(C) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10 \sin \pi (0.01x - 2t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$y = 10 \sin (0.01\pi x - 2\pi t)$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \text{ rad/s}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવૃત્તિ $f$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $\omega = 2\pi f$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$2\pi = 2\pi f$.
તેથી,$f = 1 \text{ sec}^{-1}$.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 4\sin \frac{\pi }{2}\left( {8t - \frac{x}{8}} \right)$ છે.
સાઇન વિધેયની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = 4\sin \left( {4\pi t - \frac{{\pi x}}{{16}}} \right)$.
ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A\sin(\omega t - kx)$ છે.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4\pi$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{16}$ છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{4\pi}{\pi/16} = 4\pi \times \frac{16}{\pi} = 64\, cm/s$.
$\omega t$ અને $kx$ વચ્ચેની નિશાની ઋણ હોવાથી,તરંગ $+x$ દિશામાં ગતિ કરે છે.

(D) પ્રથમ તરંગ $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજું તરંગ $y_2 = a \cos(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજા તરંગને આ રીતે લખી શકીએ:
$y_2 = a \sin(\omega t - kx + \frac{\pi}{2})$.
બંને તરંગોની કળાની સરખામણી કરતા,$y_1$ ની કળા $(\omega t - kx)$ છે અને $y_2$ ની કળા $(\omega t - kx + \frac{\pi}{2})$ છે.
તેથી,કળા તફાવત $\Delta \phi = (\omega t - kx + \frac{\pi}{2}) - (\omega t - kx) = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) $y$-દિશામાં ગતિ કરતા સમતલ તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t \pm ky)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 1.2 \sin(314t + 12.56y)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 12.56 \ rad/m$ મળે છે.
$t$ પદ અને $y$ પદ વચ્ચે '$+$' ચિહ્ન હોવાનો અર્થ એ છે કે તરંગ $-ve \ y$ દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $12.56 = \frac{2 \times 3.14}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{6.28}{12.56} = 0.5 \ m$.
આમ,તરંગની તરંગલંબાઇ $0.5 \ m$ છે અને તે $-ve \ y$ દિશામાં ગતિ કરે છે.

(C) સરળ આવર્ત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \frac{10}{\pi} \sin \left( 2000\pi t - \frac{\pi x}{17} \right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $a = \frac{10}{\pi} \, cm = \frac{0.1}{\pi} \, m$ (કારણ કે $1 \, cm = 10^{-2} \, m$).
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000\pi \, rad/s$.
$1$. કણોનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$:
$v_{\max} = a\omega = \left( \frac{0.1}{\pi} \right) \times (2000\pi) = 0.1 \times 2000 = 200 \, m/s$.
$2$. આવર્તકાળ $(T)$:
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$2000\pi = \frac{2\pi}{T} \implies T = \frac{2\pi}{2000\pi} = \frac{1}{1000} = 10^{-3} \, s$.
તેથી,આવર્તકાળ $10^{-3} \, s$ અને મહત્તમ વેગ $200 \, m/s$ છે.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \cos \pi(100t - x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને $y = 3 \cos(100\pi t - \pi x)$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં,તરંગ સંખ્યા $k$ એ $x$ નો સહગુણક છે,તેથી $k = \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 2 \ cm$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Y = Y_0 \sin 2\pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં કંપવિસ્તાર $a = Y_0$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$,અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મળે છે.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_{\max})_{\text{particle}} = a\omega = Y_0 \times 2\pi f$ થાય.
તરંગ વેગ $v_{\text{wave}} = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi f}{2\pi / \lambda} = f\lambda$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ કણ વેગ એ તરંગ વેગ કરતાં ચાર ગણો છે:
$(v_{\max})_{\text{particle}} = 4 v_{\text{wave}}$
$Y_0 \times 2\pi f = 4 f\lambda$
બંને બાજુ $4f$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lambda = \frac{2\pi Y_0}{4} = \frac{\pi Y_0}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 10^4 \sin(60t + 2x)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + kx)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\omega t$ અને $kx$ વચ્ચે ધન ચિહ્ન હોવાથી,તરંગ ઋણ $X$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \, rad/s$ છે. આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{60}{2\pi} = \frac{30}{\pi} \, Hz$ થાય.
$3$. તરંગ સંખ્યા $k = 2 \, m^{-1}$ છે. તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, m$ થાય.
$4$. તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{2} = 30 \, m/s$ થાય.
આમ,તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ અથવા $A \cos(kx + \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 0.5\, m$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 1\, m$,આવૃત્તિ $f = 2\, Hz$.
કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi\, rad/m$ ગણો.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi(2) = 4\pi\, rad/s$ ગણો.
આ કિંમતોને તરંગના સમીકરણમાં મૂકતા: $y(x, t) = 0.5 \cos(2\pi x + 4\pi t)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \times 10^{-4} \sin(100t - 50x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 50 \, rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{50} = 2 \, m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $2 \, m/s$ છે.

(D) પ્રગામી તરંગ હંમેશા $y = f(x \pm vt)$ સ્વરૂપનું વિધેય હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $A$,$B$,અને $C$ માં,દલીલો (arguments) અનુક્રમે $(x - vt)$,$(x + vt)$,અને $(x - vt)$ સ્વરૂપમાં છે,જે પ્રગામી તરંગ માટેની શરતનું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $D$ માં,દલીલ $(x^2 - vt^2)$ છે. આ પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી કારણ કે તેને $(x \pm vt)$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,$y = f(x^2 - vt^2)$ એ પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી.

(D) ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટેનું પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A\sin(kx + \omega t + \phi_0)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = A\sin(10\pi x + 15\pi t + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 15\pi\,rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 10\pi\,rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15\pi}{10\pi} = 1.5\,m/s$ છે. $x$ અને $t$ ના પદોના ચિહ્નો સમાન હોવાથી,તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0.2\,m$ છે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = a \cos(kx - \omega t + \phi)$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $y = 3 \cos \left( \frac{x}{4} - 10t - \frac{\pi}{2} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a = 3$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10$ મળે છે.
માધ્યમના કણોનો મહત્તમ વેગ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = a \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v_{\max} = 3 \times 10 = 30$ મળે છે.

(B) આપેલ બે તરંગ સમીકરણો:
$y_1 = a_1 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$
$y_2 = a_2 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi \right)$
કળા (phase) ની સરખામણી કરવા માટે,કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં રૂપાંતરિત કરો,નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને:
$y_2 = a_2 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2} \right)$
કળા તફાવત $\Delta \Phi$ એ સાઇન વિધેયોના આર્ગ્યુમેન્ટ્સ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta \Phi = \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2} \right) - \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right) = \phi + \frac{\pi}{2}$
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\Delta \Phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \Delta \Phi$ છે.
કળા તફાવતની કિંમત મૂકતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \left( \phi + \frac{\pi}{2} \right)$.

(A) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = a \sin(\omega t \pm kx + \phi)$ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$y_1 = a \sin(\omega t - kx)$,$kx$ ની આગળનું ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
બીજા તરંગ માટે,$y_2 = a \sin(\omega t + kx)$,$kx$ ની આગળનું ધન ચિહ્ન દર્શાવે છે કે તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
આમ,બંને તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.5 \sin(10t - x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ rad/m$
તરંગનો વેગ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{10}{1} = 10 \ m/s$.

(A) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 7 \sin(7\pi t - 0.04\pi x + \frac{\pi}{3})$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 7\pi \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 0.04\pi \, rad/m$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે (ચિહ્નને અવગણીને),જે $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{7\pi}{0.04\pi} = \frac{7}{0.04} = \frac{700}{4} = 175 \, m/s$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = 10\sin(0.01\pi x - 2\pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A\sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 10 \ cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \ rad/s$ મળે છે.
દોરડામાં રહેલા કણની મહત્તમ લંબગત ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = A\omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v_{\max} = 10 \times 2\pi$ મળે છે.
$v_{\max} = 20 \times 3.14159 = 62.83 \ cm/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $v_{\max} \approx 63 \ cm/s$ મળે છે.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = y_0 \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a = y_0$ અને તરંગનો વેગ $v_{wave} = v$ મળે છે.
કણનો વેગ $v_p$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = y_0 \cdot \frac{2\pi v}{\lambda} \cos \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$.
કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{max})_{particle} = y_0 \cdot \frac{2\pi v}{\lambda}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(v_{max})_{particle} = 2 \cdot v_{wave}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{y_0 \cdot 2\pi v}{\lambda} = 2v$.
બંને બાજુથી $v$ ને દૂર કરતા: $\frac{2\pi y_0}{\lambda} = 2$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \pi y_0$.

(A) દોરીમાં રહેલા કણનું સ્થાનાંતર $y = A\sin (kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર $y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [A\sin (kx - \omega t)]$
$v = A \cos (kx - \omega t) \cdot (-\omega)$
$v = -A\omega \cos (kx - \omega t)$
કણનો મહત્તમ વેગ ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોય.
તેથી,$v_{\max} = | -A\omega | = A\omega$.

(A) પ્રગામી તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = a \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y(x, t) = 0.03 \sin(2\pi t - 0.01\pi x)$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે $x$ ના સહગુણક તરીકે તરંગ સંખ્યા $k$ ને ઓળખીએ છીએ:
$k = 0.01\pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગ સંખ્યા $k$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$0.01\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = \frac{2\pi}{0.01\pi} = \frac{2}{0.01} = 200 \ m$.

(B) માધ્યમના બે કણો કે જેઓ $\Delta x$ અંતરે આવેલા છે,તેમના દોલનો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગની તરંગલંબાઇ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કળા તફાવત એ પથ તફાવત $\Delta x$ પર સીધો આધાર રાખે છે,જે બે કણો વચ્ચેનું અંતર છે. તેથી,કળા તફાવત તેમને અલગ કરતા અંતર સાથે બદલાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin 2\pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.01} \right)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. આવર્તકાળ $T = 0.04 \, s$.
$2$. આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.04} = 25 \, Hz$.
$3$. કંપવિસ્તાર $a = 3 \, cm$.
$4$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.04} = 50\pi \, rad/s$.
$5$. કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_{max} = (50\pi)^2 \times 3 = 2500 \times \pi^2 \times 3 = 7500 \times 9.8696 \approx 7.4 \times 10^4 \, cm/s^2$.

(D) સાઇનસોઇડલ તરંગ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a \cos(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.40 \cos(2000t + 0.80x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2000 = 2\pi f$ મળે છે.
$f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi} \text{ Hz}$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ અથવા $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $D$,$Y = A \sin (at - bx + c)$,એ પ્રગામી તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કારણ કે તે $(at - bx)$ નું વિધેય છે,જે તરંગ સમીકરણ $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{a}{b}$ છે.
વિકલ્પ $A$,$B$,અને $C$ એ પ્રગામી તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા નથી કારણ કે તેમાં અવકાશ $(x)$ અને સમય $(t)$ બંને પરની જરૂરી નિર્ભરતા યોગ્ય વિધેય સ્વરૂપમાં નથી.

(A) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kz - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 100 \sin \pi (0.04z - 2t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે $\pi$ ને કૌંસની અંદર ગુણીએ છીએ:
$y = 100 \sin (0.04\pi z - 2\pi t)$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $t$ નો સહગુણક છે,જે $\omega = 2\pi \text{ rad/s}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$2\pi = 2\pi f$.
તેથી,$f = 1 \text{ Hz}$.

(A) સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin (\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.025 \sin (100t + 0.25x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $n$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi n$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $100 = 2\pi n$ મળે છે.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \text{ Hz}$ મળે છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (kx + \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.0015 \sin (62.4x + 316t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = 62.4 \, \text{rad/unit}$ મેળવીએ છીએ.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $62.4 = \frac{2 \times 3.14}{\lambda}$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ગણતરી કરતા: $\lambda = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \, \text{unit}$.

(B) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $Y = a \sin(\omega t - kx)$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $Y = 0.5 \sin(10\pi t - 5x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a = 0.5 \text{ cm}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10\pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = a\omega$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v_{\max} = 0.5 \times 10\pi = 5\pi \text{ cm/s}$ મળે છે.