Stationary Waves (Standing wave) Questions in Gujarati

(B) બંને છેડે જડિત દોરી માટે,$n^{th}$ ઓવરટોન એ $(n+1)^{th}$ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.
અહીં,પાંચમો ઓવરટોન એ છઠ્ઠો હાર્મોનિક $(n=6)$ છે.
દોરીની લંબાઈ $L = 2.4 \ m$ છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટેની શરત $L = n \frac{\lambda}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.4 = 6 \times \frac{\lambda}{2}$.
આનાથી $\frac{\lambda}{2} = \frac{2.4}{6} = 0.4 \ m$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 0.8 \ m$.
નિસ્પંદ બિંદુ અને ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર હંમેશા $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{0.8 \ m}{4} = 0.2 \ m$ થાય.

(B) પરિણામી તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંપાતીકરણ દ્વારા રચાય છે: $Y_1 = A \sin(\omega t - kx)$ અને $Y_2 = A \sin(\omega t + kx)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Y = Y_1 + Y_2 = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$.
આ એક સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ ત્યાં રચાય છે જ્યાં કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\cos(kx) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $kx = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \ldots$.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2\pi}{\lambda} x = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ પ્રગામી તરંગો $Y_{1} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} - \frac{x}{4})$ અને $Y_{2} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} + \frac{x}{4})$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin 2\pi(\frac{t}{T} \pm \frac{x}{\lambda})$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગલંબાઈ $\lambda = 4 \ m$ અને આવર્તકાળ $T = 0.4 \ s$ મળે છે.
જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરીને સંપાત થાય છે,ત્યારે તેઓ $Y = Y_{1} + Y_{2} = 2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda}) \sin(\frac{2\pi t}{T})$ મુજબ સ્થિત તરંગ બનાવે છે.
અહીં,કોઈપણ સ્થાન $x$ પર સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_{res} = |2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 1$,$\lambda = 4 \ m$,અને $x = 0.5 \ m$ કિંમતો મૂકતા:
$A_{res} = 2 \times 1 \times |\cos(\frac{2\pi \times 0.5}{4})|$
$A_{res} = 2 \cos(\frac{\pi}{4})$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $A_{res} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$ મળે છે.

(B) જ્યારે દોરીને બંને છેડે (દ્રઢ આધાર) બાંધવામાં આવે છે,ત્યારે આ બિંદુઓ પર સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ કારણ કે તે હલનચલન કરી શકતા નથી.
શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (Nodes) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,બંને છેડે પ્રસ્પંદ બિંદુઓ રચાય છે.
દોરીને કંપિત થવા માટે,બે સ્થિર છેડાઓની વચ્ચે મહત્તમ સ્થાનાંતર ધરાવતું ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ હોવું આવશ્યક છે,જેને પ્રતિ-પ્રસ્પંદ બિંદુ (Antinode) કહેવામાં આવે છે.
આમ,કંપનનો સૌથી સરળ પ્રકાર (મૂળભૂત મોડ) બંને છેડે પ્રસ્પંદ બિંદુઓ અને વચ્ચે ઓછામાં ઓછા એક પ્રતિ-પ્રસ્પંદ બિંદુ ધરાવે છે.

(D) ખેંચાયેલી દોરી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) $n = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $2n = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ મૂળભૂત આવૃત્તિ પછીની આગામી શક્ય આવૃત્તિ છે,જે $n_1 = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ એ બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ જેટલી જ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) તરંગનો વેગ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $v = 50 \,m/s$ અને $f = 200 \,Hz$ આપેલ છે।
તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી કરતા:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$.
સ્થિત તરંગમાં, બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ $(\frac{\lambda}{2})$ જેટલું હોય છે।
અંતર $= \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$.

(D) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને વેગ ધરાવતા બે તરંગો એક જ પથ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ સ્થિત તરંગો બનાવે છે.
અહીં આવૃત્તિ $n$ અને વેગ $v = 12 \ m/s$ આપેલ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સંબંધ $v = n\lambda$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{12}{n}$.
સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $d = \frac{\lambda}{2}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $d = \frac{1}{2} \times \frac{12}{n} = \frac{6}{n}$ મળે છે.

(C) સ્થિર તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $y = 12 \cos \left(\frac{\pi}{6} x\right) \sin (8 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્થિર તરંગના સમીકરણ $y = A_0 \cos(kx) \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મેળવીએ છીએ.
સમીકરણ પરથી,$k = \frac{\pi}{6}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 12 \ cm$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક એન્ટિનોડ્સ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $= \frac{12 \ cm}{2} = 6 \ cm$ થાય છે.

(C) દોરીની લંબાઈ $L = 90 \ cm$ છે.
સ્થિત તરંગમાં $3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ $(N)$ છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
અહીં $3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ હોવાથી,તેમની વચ્ચે $2$ આવા વિભાગો (loops) બને છે.
તેથી,કુલ લંબાઈ $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$.
આપેલ છે કે $L = 90 \ cm$,તેથી $\lambda = 90 \ cm$ થાય.

(C) પરિણામી સ્થાનાંતર $Y$ એ સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ મળે છે: $Y = Y_1 + Y_2$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) + \sin(A + B) = 2 \sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \frac{2 \pi t}{0.4}$ અને $B = \frac{2 \pi x}{4}$,આપણને મળે છે:
$Y = 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{0.4} \right) \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $R$ એ $R = |2 \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 0.5 \ m$ મૂકતા:
$R = 2 \cos \left( \frac{2 \pi \times 0.5}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $R = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$.

(D) સ્થિર તરંગો (જેને સ્ટેન્ડિંગ વેવ્સ પણ કહેવાય છે) એ મર્યાદિત માધ્યમમાં વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણ દ્વારા રચાય છે.
આ તરંગોને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે અને સીમાઓ પર પરાવર્તન થવું જરૂરી છે.
યાંત્રિક તરંગો દ્રવ્યની ત્રણેય અવસ્થાઓ (ઘન,પ્રવાહી અને વાયુ) માં પ્રસરણ કરી શકતા હોવાથી,સ્થિર તરંગો આ તમામ માધ્યમોમાં ઉત્પન્ન કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ખેંચાયેલી દોરી (ઘન),પાણીના સ્તંભ (પ્રવાહી) અને હવાના સ્તંભ (વાયુ) માં સ્થિર તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.

(A) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{15} \text{ cm}^{-1}$ મળે છે.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15}$ થાય.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 30 \text{ cm}$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં નિસ્પંદ બિંદુ અને તેની પછીના પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm}$ થાય.

(C) સ્થિર તરંગમાં,માધ્યમના કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ $S.H.M.$ માં દોલન કરે છે.
બધા કણો (નિસ્પંદ બિંદુઓ પરના કણો સિવાય,જે સ્થિર રહે છે) ઉદગમની સમાન આવૃત્તિ (અને તેથી સમાન આવર્તકાળ) સાથે દોલન કરે છે.
જોકે,દોલનનો કંપવિસ્તાર દરેક કણ માટે અલગ-અલગ હોય છે,જે નિસ્પંદ બિંદુઓ પર શૂન્ય અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ પર મહત્તમ હોય છે.

(D) સ્થિત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 0.5 \sin(0.314 x) \cos(600 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.314 \ cm^{-1}$ મળે છે.
કારણ કે $0.314 \approx \frac{\pi}{10}$,તેથી $k = \frac{\pi}{10} \ cm^{-1}$ થાય.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{\lambda}$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $\lambda = 20 \ cm$ મળે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,$n$ માં હાર્મોનિક માટે લંબાઈ $L = n \frac{\lambda}{2}$ થાય.
ત્રીજા હાર્મોનિક માટે,$n = 3$ લેતા,$L = 3 \times \frac{20}{2} = 3 \times 10 = 30 \ cm$ મળે છે.

(C) સ્થિર તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos (20 \pi t)$ છે.
સ્થિર તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2A \sin (kx) \cos (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રસરણ અચળાંક $k = \frac{\pi}{4} \ cm^{-1}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રસરણ અચળાંક $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 8 \ cm$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
તેથી,અંતર $\frac{8 \ cm}{2} = 4 \ cm$ છે.

(C) સ્થિત તરંગ એ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન પ્રગામી તરંગોના સંપાતપણાથી રચાય છે.
સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ અથવા બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
સ્થિત તરંગની તરંગલંબાઈને સમાન કળામાં રહેલા બે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે ઘટક પ્રગામી તરંગોની તરંગલંબાઈ જેટલી જ હોય છે.
તેથી,સ્થિત તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.

(C) સ્થિત તરંગમાં, બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\lambda / 2$ હોય છે.
$4$ નિસ્પંદ બિંદુઓ માટે, તેમની વચ્ચે $\lambda / 2$ લંબાઈના $3$ વિભાગો હોય છે.
દોરીની કુલ લંબાઈ $L = 120 \,cm$ આપેલ છે.
તેથી, $3 \times (\lambda / 2) = 120 \,cm$.
$3 \lambda / 2 = 120 \,cm$.
$\lambda = (120 \times 2) / 3 \,cm$.
$\lambda = 240 / 3 \,cm$.
$\lambda = 80 \,cm$.

(A) સ્થિત તરંગમાં,માધ્યમના કણો અલગ-અલગ સ્થાનો પર અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કંપનનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કંપનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે.
તેથી,નિસ્પંદ બિંદુ પર સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે અને પ્રસ્પંદ બિંદુ પર સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $Y = 0.04 \cos(\pi x) \sin(50 \pi t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$Y = 0.02 \sin(50 \pi t + \pi x) + 0.02 \sin(50 \pi t - \pi x)$.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t \pm kx)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. કંપવિસ્તાર $a = 0.02 \text{ m}$.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \pi \text{ rad/s}$.
$3$. તરંગ સંખ્યા $k = \pi \text{ m}^{-1}$.
હવે,પરિમાણોની ગણતરી કરતા:
- સમયગાળો $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{50 \pi} = 0.04 \text{ s}$.
- તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{\pi} = 2 \text{ m}$.
- વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \pi}{\pi} = 50 \text{ m/s}$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ (સમયગાળો $= 0.02 \text{ s}$) માં આપેલું વિધાન ખોટું છે,કારણ કે ગણતરી કરેલ સમયગાળો $0.04 \text{ s}$ છે.

(A) સ્થિત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 4 \sin \left(\frac{\pi x}{15}\right) \cos (96 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે:
$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15}$
તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધતા:
$\lambda = 15 \times 2 = 30$
સ્થિત તરંગમાં નિસ્પંદ બિંદુ અને તેની નજીકના પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર હંમેશા $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
તેથી,જરૂરી અંતર $\frac{30}{4} = 7.5$ છે.

(B) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને વેગ ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ સ્થિત તરંગ (standing wave) બનાવે છે.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $x = \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગનો વેગ $v$,આવૃત્તિ $n$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n \lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{v}{n}$.
અંતરના સૂત્રમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{n} \right) = \frac{v}{2n}$.
અહીં $v = 20 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી:
$x = \frac{20 \ m/s}{2n} = \frac{10}{n} \ m$.

(B) આપેલ છે:
તરંગોનો વેગ,$v = 50 \,m/s$
તરંગોની આવૃત્તિ,$f = 200 \,Hz$
સૌ પ્રથમ,આપણે પ્રગામી તરંગોની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી કરીએ:
$v = f \lambda$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$
જ્યારે બે સમાન પ્રગામી તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ સ્થિત તરંગ (standing wave) બનાવે છે.
સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા $(\frac{\lambda}{2})$ જેટલું હોય છે.
અંતર $= \frac{\lambda}{2} = \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે: રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 0.1 \ kg/m$,લંબાઈ $L = 0.9 \ m$,તણાવ $T = 40 \ N$,કંપવિસ્તાર $A = 0.3 \ cm = 0.003 \ m$,વિભાગોની સંખ્યા $n = 3$.
તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$.
$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2L} = \frac{3 \times 20}{2 \times 0.9} = \frac{60}{1.8} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \ Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f_n = 2 \pi \times \frac{100}{3} = \frac{200 \pi}{3} \ rad/s$.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A \omega = 0.003 \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{3}{1000} \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{\pi}{5} \ m/s$.

(C) બંને છેડે જડિત દોરી માટે,તરંગ એક સ્થિત તરંગ ભાત (stationary wave pattern) બનાવે છે.
ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.
દોરીમાં બનતા લૂપ્સની સંખ્યા $n$ છે,જ્યાં $n = x - 1$ (કારણ કે બે જડિત છેડાઓ સહિત કુલ $x$ નોડ્સ છે).
દોરીની લંબાઈ $L = n \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = x - 1$ મૂકતા,આપણને $L = (x - 1) \frac{\lambda}{2}$ મળે છે.

(B) જ્યારે દોરી બંને છેડેથી જડિત (fixed) હોય છે,ત્યારે તરંગો દોરી પર ગતિ કરે છે અને જડિત સીમાઓ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતપણાને કારણે સ્થિર (standing) તરંગો રચાય છે. દોરીના કણોનું સ્થાનાંતર તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોવાથી,આ તરંગો લંબવત (transverse) પ્રકારના હોય છે. તેથી,આ તરંગો સ્થિર લંબવત તરંગો છે.

(D) બંને છેડે જડેલી દોરી પરના સ્થિત તરંગમાં,દોરી લૂપ્સ નામના વિભાગોમાં વહેંચાયેલી હોય છે.
દરેક લૂપ નોડ્સ (શૂન્ય સ્થાનાંતરના બિંદુઓ) દ્વારા અલગ પડે છે.
એક જ લૂપની અંદર,બધા કણો એકબીજા સાથે સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
પાસે-પાસેની લૂપ્સમાં રહેલા કણો એક નોડ દ્વારા અલગ પડે છે અને $\pi$ રેડિયનના કળા તફાવત સાથે દોલન કરે છે (એટલે કે,તેઓ વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે).
તેથી,વૈકલ્પિક લૂપ્સમાં રહેલા કણો (જે બેકી સંખ્યામાં નોડ્સ દ્વારા અલગ પડે છે) સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
દરેક એન્ટિનોડ લૂપના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોવાથી,બધા એન્ટિનોડ્સ પરના કણો એકબીજા સાથે સમાન કળામાં દોલન કરે છે.

(B) સ્થિર તરંગનું આપેલ સમીકરણ $ y = 2 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t) $ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સંખ્યા $ k = \frac{\pi}{15} $ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $ k = \frac{2 \pi}{\lambda} $, તેથી $ \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15} $.
તરંગલંબાઈ $ \lambda $ માટે ઉકેલતા, આપણને $ \lambda = 30 $ એકમ મળે છે.
નિસ્પંદ બિંદુ અને તેના ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $ d = \frac{\lambda}{4} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$ \lambda $ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $ d = \frac{30}{4} = 7.5 $ એકમ મળે છે.

(D) સ્થિત તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.7 \sin \left(\frac{7 \pi}{4} x\right) \cos (350 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{7 \pi}{4} \ m^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 350 \pi \ rad \ s^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{350 \pi}{7 \pi / 4}$
$v = 350 \pi \times \frac{4}{7 \pi}$
$v = 50 \times 4 = 200 \ m \ s^{-1}$
આમ,તરંગની ઝડપ $200 \ m \ s^{-1}$ છે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરી પર રચાતા સ્થિત તરંગમાં,જે બિંદુઓ પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે તેને નોડ્સ (નિસ્પંદ બિંદુઓ) કહેવામાં આવે છે. જે બિંદુઓ પર કંપનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે તેને એન્ટિનોડ્સ (સ્પંદ બિંદુઓ) કહેવામાં આવે છે.
$n$ લૂપ્સમાં કંપન કરતી દોરી માટે,નોડ્સની સંખ્યા $n + 1$ છે અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $n$ છે.
અહીં આપેલ છે કે દોરી $5$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે,તેથી $n = 5$.
તેથી,નોડ્સની સંખ્યા = $5 + 1 = 6$.
એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા = $5$.
આમ,નોડ્સ અને એન્ટિનોડ્સની કુલ સંખ્યા અનુક્રમે $6$ અને $5$ છે.

(B) આવૃત્તિ, $f = 1000 \,Hz$.
$6$ ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર $d = 85 \,cm = 0.85 \,m$ છે.
સ્થિત તરંગમાં, બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તેથી, $6$ ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (જેમાં $\frac{\lambda}{2}$ ના $5$ અંતરાલ હોય છે) નીચે મુજબ મળે:
$d = 5 \times \frac{\lambda}{2} = \frac{5 \lambda}{2}$.
આપેલ અંતર સાથે સરખાવતા:
$\frac{5 \lambda}{2} = 0.85 \,m$.
$\lambda = \frac{0.85 \times 2}{5} = 0.34 \,m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$v = 1000 \,Hz \times 0.34 \,m = 340 \,ms^{-1}$.

(C) સ્થિત તરંગમાં,નોડ $(N)$ એ ન્યૂનતમ સ્થાનાંતર (શૂન્ય કંપવિસ્તાર) ધરાવતા બિંદુઓ છે,અને એન્ટી-નોડ $(A)$ એ મહત્તમ સ્થાનાંતર (મહત્તમ કંપવિસ્તાર) ધરાવતા બિંદુઓ છે.
બે ક્રમિક નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
બે ક્રમિક એન્ટી-નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
એક નોડ અને તેના પછીના ક્રમિક એન્ટી-નોડ વચ્ચેનું અંતર એ બે ક્રમિક નોડ વચ્ચેના અંતર કરતા અડધું હોય છે,જે $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ થાય છે.
તેથી,ક્રમિક નોડ અને એન્ટી-નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ છે.

(A) સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
આપેલ છે કે બે પરમાણુઓ વચ્ચે $3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ અને $2$ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ છે,તેથી બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર $L$ એ $\frac{\lambda}{2}$ લંબાઈના બે ભાગોને અનુરૂપ છે.
તેથી,કુલ અંતર $L = \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} = \lambda$.
અહીં $L = 1.21 \ Å$ આપેલ હોવાથી,$\lambda = 1.21 \ Å$ થાય.

(C) સ્થિર તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = 20 \sin(\pi x) \cos(\omega t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \pi \text{ rad/m}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\frac{2\pi}{\lambda} = \pi$,જે તરંગલંબાઈ $\lambda = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$ આપે છે.
નિસ્પંદ બિંદુ અને તેની નજીકના પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $= \frac{200 \text{ cm}}{4} = 50 \text{ cm}$ થાય.

(D) સ્થિત તરંગ માટેનું આપેલ સમીકરણ $y_{(x, t)} = 0.03 \sin \left(\frac{2 \pi x}{3}\right) \cos (60 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્થિત તરંગના સમીકરણ $y = a \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \pi \text{ rad s}^{-1}$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{3} \text{ m}^{-1}$.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60 \pi}{2 \pi / 3} = 30 \times 3 = 90 \text{ m s}^{-1}$.
દોરી પરના અનુપ્રસ્થ તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 0.01 \text{ kg m}^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $90 = \sqrt{\frac{T}{0.01}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $8100 = \frac{T}{0.01}$.
$T = 8100 \times 0.01 = 81 \text{ N}$.

(B) આપેલ છે,દોરીની લંબાઈ,$L = 16 \ m$.
તરંગની ઝડપ,$v = 32 \ m/s$.
દોરીના બે નિશ્ચિત છેડાઓ વચ્ચેના નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $= 9$.
નિશ્ચિત છેડાઓને ગણતા કુલ નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $9 + 2 = 11$ થાય.
દોરીમાં બનતા લૂપ્સ અથવા વિભાગોની સંખ્યા $(p)$ એ નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા કરતા $1$ ઓછી હોય છે,તેથી $p = 11 - 1 = 10$.
$p$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{p \cdot v}{2L}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{10 \times 32}{2 \times 16}$.
$f = \frac{320}{32} = 10 \ Hz$.

(B) સ્થિત તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin \left( \frac{\pi x}{3} \right) \cos(40 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{3} \ cm^{-1}$ મેળવીએ છીએ.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda}$,જે આપણને $\lambda = 6 \ cm$ આપે છે.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $= \frac{6 \ cm}{2} = 3 \ cm$ થાય.

(A, B, D) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.02 \cos(50 \pi t + \frac{\pi}{2}) \cos(10 \pi x)$ છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં અવકાશી ભાગ $\cos(10 \pi x) = 0$ થાય.
$10 \pi x = (n + \frac{1}{2}) \pi \implies x = \frac{n + 0.5}{10} = 0.05, 0.15, 0.25, \dots \ m$. તેથી,$x = 0.15 \ m$ પર નિસ્પંદ બિંદુ મળે છે.
પ્રસ્પંદ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $|\cos(10 \pi x)| = 1$ થાય.
$10 \pi x = n \pi \implies x = \frac{n}{10} = 0, 0.1, 0.2, 0.3, \dots \ m$. તેથી,$x = 0.3 \ m$ પર પ્રસ્પંદ બિંદુ મળે છે.
સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(\omega t + \phi) \cos(kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 10 \pi$ અને $\omega = 50 \pi$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{10 \pi} = 0.2 \ m$.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \pi}{10 \pi} = 5 \ m/s$.