Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Gujarati

(A) વાયુમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
ગરમ ભેજવાળી હવા માટે તાપમાન વધારે હોય છે,જે સૂકી ઠંડી હવાના પ્રમાણમાં હવાની ઘનતા $\rho$ ઘટાડે છે.
વધુમાં,પાણીની વરાળ (ભેજ) ની હાજરી હવાની અસરકારક ઘનતાને વધુ ઘટાડે છે કારણ કે પાણીની વરાળનું મોલર દળ $(18 \ g/mol)$ સૂકી હવા ($29 \ g/mol$ ની આસપાસ) કરતા ઓછું હોય છે.
અવાજની ઝડપ $v$ એ ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$,ઓછી ઘનતા અવાજની ઝડપ વધારે છે.
તેથી,અવાજ સૂકી ઠંડી હવા કરતા ગરમ ભેજવાળી હવામાં ઝડપથી મુસાફરી કરે છે.

(A) તરંગની ઝડપ $(v)$,આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = f \lambda$.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $f = 4.2 \text{ MHz} = 4.2 \times 10^6 \text{ Hz}$.
ઝડપ $v = 1.7 \text{ km/s} = 1.7 \times 10^3 \text{ m/s}$.
તરંગલંબાઈ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1.7 \times 10^3}{4.2 \times 10^6} \text{ m}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$\lambda \approx 0.40476 \times 10^{-3} \text{ m} = 4.0476 \times 10^{-4} \text{ m}$.
સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $\lambda \approx 4.05 \times 10^{-4} \text{ m}$ મળે છે.

(B) દોલિત સ્ત્રોત દ્વારા ધ્વનિ તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે, પરંતુ તેને શ્રાવ્ય ધ્વનિ તરીકે ત્યારે જ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જો તેની આવૃત્તિ $20 \,Hz$ થી $20,000 \,Hz$ ની વચ્ચે હોય.
જો આવૃત્તિ $20 \,Hz$ થી ઓછી હોય, તો તેને ઇન્ફ્રાસોનિક કહેવામાં આવે છે, અને જો તે $20,000 \,Hz$ થી વધુ હોય, તો તેને અલ્ટ્રાસોનિક કહેવામાં આવે છે.
તેથી, એક દોલિત સ્ત્રોત હંમેશા એવા ધ્વનિ તરંગો ઉત્પન્ન કરતું નથી જે માનવ કાન દ્વારા સાંભળી શકાય.

(A) માધ્યમમાં લંબગત તરંગોની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે. તેથી,$(a) - (i)$.
ઘન સળિયા માટે,લંબગત તરંગોની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે. તેથી,$(b) - (ii)$.
ન્યૂટન મુજબ,હવામાં ધ્વનિનું પ્રસરણ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે,જે $v = \sqrt{\frac{P}{\rho}}$ આપે છે. તેથી,$(c) - (iii)$.
લેપ્લેસ મુજબ,હવામાં ધ્વનિનું પ્રસરણ એ એડિબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા છે,જે $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ આપે છે. તેથી,$(d) - (iv)$.
સાચી જોડી $(a-i, b-ii, c-iii, d-iv)$ છે.

(A) વાયુમાં અવાજની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $v \propto \sqrt{T}$, જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ધારો કે $T_1 = 0^\circ C = 273 \ K$ તાપમાને અવાજની ઝડપ $v_1$ છે.
ધારો કે $T_2$ તાપમાને અવાજની ઝડપ $v_2$ છે, જ્યાં $v_2 = 3v_1$ છે.
સંબંધ $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
$3 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 9 \times 273 = 2457 \ K$.
આને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T(^\circ C) = T(K) - 273 = 2457 - 273 = 2184^\circ C$.

(N/A) કુલ સમય $t$ એ વ્યાસ પરના દરેક અલગ સ્તરમાંથી પસાર થવા માટે લાગતા સમયનો સરવાળો છે.
વ્યાસ ત્રણ પ્રદેશોનો બનેલો છે: આંતરિક ઘન ગર્ભ,પ્રવાહી મધ્ય પ્રદેશ અને બાહ્ય ઘન કવચ.
વ્યાસ પર દરેક પ્રદેશ માટે કુલ અંતર તેની ત્રિજ્યાની જાડાઈ કરતા બમણું છે.
$1$. આંતરિક ઘન ગર્ભ ($0$ થી $1000 \ km$): અંતર $d_1 = 2 \times 1000 \ km = 2000 \ km$,ઝડપ $v_1 = 8 \ kms^{-1}$.
સમય $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{2000}{8} = 250 \ s$.
$2$. પ્રવાહી પ્રદેશ ($1000 \ km$ થી $3500 \ km$): અંતર $d_2 = 2 \times (3500 - 1000) \ km = 5000 \ km$,ઝડપ $v_2 = 5 \ kms^{-1}$.
સમય $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{5000}{5} = 1000 \ s$.
$3$. બાહ્ય ઘન કવચ ($3500 \ km$ થી $6400 \ km$): અંતર $d_3 = 2 \times (6400 - 3500) \ km = 5800 \ km$,ઝડપ $v_3 = 8 \ kms^{-1}$.
સમય $t_3 = \frac{d_3}{v_3} = \frac{5800}{8} = 725 \ s$.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2 + t_3 = 250 + 1000 + 725 = 1975 \ s$.

(B) ધ્વનિ તરંગમાં દબાણ કંપવિસ્તાર $\Delta p$ અને સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $s$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta p = B k s$ છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $k$ એ તરંગ સંખ્યા છે.
કારણ કે $B = \rho v^2$ અને $k = \frac{\omega}{v} = \frac{2 \pi f}{v}$,તેથી $\Delta p = (\rho v^2) \times (\frac{2 \pi f}{v}) \times s$.
ગુણાકારનો અચળાંક $1$ લેતા ($2 \pi$ ને અવગણતા),સંબંધ $\Delta p = \rho v \omega s$ બને છે.
$s$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$s = \frac{\Delta p}{\rho v \omega} = \frac{\Delta p}{\rho v (2 \pi f)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $s \approx \frac{10}{1 \times 300 \times 2 \pi \times 1000} \, m$.
સૂચના મુજબ $2 \pi$ ના અવયવને અવગણતા: $s \approx \frac{10}{300 \times 1000} \, m = \frac{1}{30000} \, m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $s \approx \frac{1}{30000} \times 1000 \, mm = \frac{1}{30} \, mm \approx 0.033 \, mm = \frac{3}{100} \, mm$.

(B) જ્યારે સળિયાને તેના મધ્યમાં જકડવામાં આવે છે,ત્યારે છેડાઓ એન્ટિનોડ $(A)$ તરીકે અને જકડાયેલ બિંદુ નોડ $(N)$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
મૂળભૂત મોડમાં,સળિયાની લંબાઈ $l$ એ $\frac{\lambda}{4}$ ના બે ભાગોને અનુરૂપ છે,તેથી $l = \frac{\lambda}{4} + \frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
$\Rightarrow \lambda = 2l$.
આપેલ છે: $l = 100\, cm = 1\, m$,આવૃત્તિ $f = 2.53\, kHz = 2.53 \times 10^3\, Hz$.
અવાજની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 2l$ મૂકતા:
$v = f \times 2l = 2.53 \times 10^3 \times 2 \times 1 = 5.06 \times 10^3\, m/s$.
$km/s$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$v = 5.06\, km/s$.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
આપેલ આકૃતિઓ પરથી, આપણે નીચે મુજબ અવલોકન કરી શકીએ છીએ:
$1$. આવૃત્તિ: તરંગ $1$ એ તરંગ $2$ ની સરખામણીમાં સમાન સમયગાળામાં વધુ દોલનો પૂર્ણ કરે છે. આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T}$ હોવાથી, જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે, વધુ દોલનોનો અર્થ છે કે આવૃત્તિ વધારે છે। આમ, તરંગ $1$ ની આવૃત્તિ તરંગ $2$ કરતા વધારે છે.
$2$. કંપવિસ્તાર: કંપવિસ્તાર એ સરેરાશ સ્થાન (દબાણ ફેરફાર) થી મહત્તમ સ્થાનાંતર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. દ્રશ્યમાન રીતે, તરંગ $1$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ તરંગ $2$ ની ઊંચાઈ કરતા ઓછી છે. તેથી, તરંગ $1$ નો કંપવિસ્તાર તરંગ $2$ કરતા નાનો છે.
નોંધ: સમય-આધારિત આલેખમાં, આડી ધરી સમય દર્શાવે છે, તેથી શિખરો વચ્ચેનું અંતર આવર્તકાળ $T$ ને અનુરૂપ છે. ઉચ્ચ આવૃત્તિ ટૂંકા આવર્તકાળને અનુરૂપ છે. તરંગલંબાઈ $\lambda = vT$ (જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે) હોવાથી, ટૂંકો આવર્તકાળ ટૂંકી તરંગલંબાઈ સૂચવે છે. આમ, તરંગ $1$ ની તરંગલંબાઈ ટૂંકી અને કંપવિસ્તાર તરંગ $2$ ની સરખામણીમાં નાનો છે.

(A) વાયુ માધ્યમમાં ધ્વનિનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$
આપેલ પરિસ્થિતિઓ માટે તાપમાન $T$ અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ અચળ હોવાથી,વેગ એ મોલર દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$
તેથી,ઓક્સિજન $(v_{O_2})$ અને હાઇડ્રોજન $(v_{H_2})$ માં ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $2 \text{ g/mol}$ છે અને ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $32 \text{ g/mol}$ છે.
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A) વાયુમય માધ્યમમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ ધ્વનિની ઝડપ $v$ પણ વધે છે.
ઝડપ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ સ્ત્રોતની લાક્ષણિકતા હોવાથી,તે માધ્યમના તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{v}{f}$. અહીં $v$ વધે છે અને $f$ અચળ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) જેহেতু ડ્રમ વગાડનારને કોઈ પડઘો સંભળાતો નથી,તેનો અર્થ એ છે કે બે ક્રમિક ડ્રમ બીટ્સ વચ્ચેનો સમયગાળો એ ધ્વનિને પર્વત સુધી જઈને પાછા આવવા માટે લાગતા સમય જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે પર્વતથી પ્રારંભિક અંતર $x$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં બે બીટ્સ વચ્ચેનો સમયગાળો $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \, s$ છે.
ધ્વનિને પર્વત સુધી જઈને પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $\frac{2x}{v}$ છે.
તેથી,$\frac{2x}{v} = 1.5 \implies 2x = 1.5v \quad \dots(i)$
બીજા કિસ્સામાં,અંતર $(x - 90) \, m$ થાય છે અને દર મિનિટે $60$ બીટ્સ છે.
બે બીટ્સ વચ્ચેનો સમયગાળો $T_2 = \frac{60}{60} = 1.0 \, s$ છે.
તેથી,$\frac{2(x - 90)}{v} = 1.0 \implies 2x - 180 = v \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $2x = 1.5v$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$1.5v - 180 = v$
$0.5v = 180$
$v = \frac{180}{0.5} = 360 \, ms^{-1}$.

(B) માનવ શ્રાવ્યતાની નીચલી મર્યાદા $f = 20 \, Hz$ છે.
આપેલ છે કે હાઇડ્રોજન વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = 1350 \, m/s$ છે.
ઝડપ $(v)$,આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{v}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{1350}{20} = 67.5 \, m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ધ્વનિની ઝડપ માત્ર માધ્યમના ગુણધર્મો (તાપમાન,દબાણ,ઘનતા અને વાયુનો પ્રકાર) પર આધાર રાખે છે.
તે તરંગના લક્ષણો જેવા કે કંપવિસ્તાર,આવૃત્તિ કે કળા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,હવામાં ધ્વનિની ઝડપ આ તમામ પરિબળોથી સ્વતંત્ર છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધ્વનિ તરંગમાં,સ્થાનાંતર $y(x, t)$ ને $y = A \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
દબાણનો ફેરફાર $\Delta P$ એ સ્થાનાંતર સાથે $\Delta P = -B \frac{\partial y}{\partial x}$ સંબંધ ધરાવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{\partial y}{\partial x} = Ak \cos(kx - \omega t)$.
આમ,$\Delta P = -BAk \cos(kx - \omega t) = BAk \sin(kx - \omega t - \frac{\pi}{2})$.
સ્થાનાંતર તરંગની કળા $(kx - \omega t)$ અને દબાણ તરંગની કળા $(kx - \omega t - \frac{\pi}{2})$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $C = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તાપમાન $T$ અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ($H_2$ અને $O_2$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ માટે) સમાન હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $C \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનમાં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{C_{H_2}}{C_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
$S.T.P.$ પર,તાપમાન $T = 273 \text{ K}$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M = 32 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = 1.4$ અને $R = 8.3 \text{ J K}^{-1} \text{mol}^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{1.4 \times 8.3 \times 273}{32 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{3171.06}{0.032}}$
$v = \sqrt{99095.625}$
$v \approx 314.79 \text{ m/s}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $v \approx 315 \text{ m/s}$ મળે છે.

(D) માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
વાયુઓની તુલનામાં ઘન પદાર્થોનો બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ ઘણો વધારે હોય છે,જે તેમની ઊંચી ઘનતા $(\rho)$ ની અસર કરતા ઘણો વધારે પ્રભાવ પાડે છે.
તેથી,ધ્વનિની ઝડપ વાયુઓ કરતા ઘન પદાર્થોમાં વધારે હોય છે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
જોકે,કારણ $R$ જણાવે છે કે વાયુઓનો બલ્ક મોડ્યુલસ ઘન પદાર્થો કરતા વધારે હોય છે,જે ખોટું છે. ઘન પદાર્થોનો બલ્ક મોડ્યુલસ વાયુઓ કરતા ઘણો વધારે હોય છે.
તેથી,$A$ સાચું છે પણ $R$ ખોટું છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે તમામ વાયુઓ માટે ગુણોત્તર $\frac{P}{\rho}$ સમાન છે,તેથી ધ્વનિની ઝડપ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે: $V \propto \sqrt{\gamma}$.
$He$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે,તેથી $\gamma_{He} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$CH_4$ (બહુ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિની માત્રા $f = 6$ છે,તેથી $\gamma_{CH_4} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$CO_2$ (બહુ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિની માત્રા $f = 6$ છે,તેથી $\gamma_{CO_2} = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $V_{He} : V_{CH_4} : V_{CO_2} = \sqrt{\gamma_{He}} : \sqrt{\gamma_{CH_4}} : \sqrt{\gamma_{CO_2}} = \sqrt{\frac{5}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}}$ થાય છે.

(A) ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે. જ્યારે તેઓ વાતાવરણમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેમની ઊર્જા ઘણા પરિબળોને કારણે ઘટે છે:
$1$. ભૌમિતિક ફેલાવો: જેમ તરંગ મોટા વિસ્તારમાં ફેલાય છે તેમ તેની તીવ્રતા ઘટે છે.
$2$. વાતાવરણીય શોષણ: આણ્વિક રિલેક્સેશન અને સ્નિગ્ધતા (viscosity) ની અસરોને કારણે વાતાવરણ દ્વારા ધ્વનિ ઊર્જાનું શોષણ થાય છે.
$3$. સપાટીની અસરો: જમીન અને અવરોધો સાથેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે વિખેરણ અને શોષણ થાય છે.
આ ઊર્જાના વ્યયને કારણે,અંતર સાથે ધ્વનિ તરંગોની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની તુલનામાં લાંબા અંતરના પ્રસારણ માટે તેને બિનઅસરકારક બનાવે છે. જોકે ટૂંકા અંતર માટે વાતાવરણીય શોષણ નગણ્ય હોઈ શકે છે,પરંતુ લાંબા અંતરે તે નોંધપાત્ર બની જાય છે.

(C) ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમ (ઘન,પ્રવાહી અથવા વાયુ) ની જરૂર હોય છે. તેઓ માધ્યમના કણોને કંપિત કરીને ગતિ કરે છે. શૂન્યાવકાશમાં કોઈ પણ કણો હોતા નથી,તેથી ધ્વનિ તરંગો તેમાંથી પસાર થઈ શકતા નથી. તેથી,એ વિધાન કે ધ્વનિ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે તે ખોટું છે.

(A) ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જેને મુસાફરી કરવા માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે. હવામાં,કણો તરંગ પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે,જે તેમને લંબગત (longitudinal) તરંગો બનાવે છે.
પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જેને માધ્યમની જરૂર હોતી નથી. તેમાં પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો હોય છે,જે તેમને અનુપ્રસ્થ (transverse) તરંગો બનાવે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે હવામાં ધ્વનિ તરંગો લંબગત છે જ્યારે હવામાં પ્રકાશના તરંગો અનુપ્રસ્થ છે.

(A) કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સૌ પ્રથમ,તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{v}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો,જ્યાં $v = 330 \,m/s$ અને $f = 50 \,Hz$ છે।
$\lambda = \frac{330}{50} = 6.6 \,m$.
હવે,$x$ શોધવા માટે કળા તફાવતના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવો: $x = \frac{\phi \lambda}{2 \pi}$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{(\pi/3) \times 6.6}{2 \pi} = \frac{6.6}{6} = 1.1 \,m$.
આમ,બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $1.1 \,m$ છે।

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 160 \,Hz$, વેગ $v = 320 \,m/s$.
સૌ પ્રથમ, $\lambda = v/f$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = 320 / 160 = 2 \,m = 200 \,cm$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi x}{\lambda}$ છે.
આપેલ કળા તફાવત $\phi = 90^{\circ} = \pi/2$ રેડિયન છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi x}{200}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{200}{2\pi} = \frac{200}{4} = 50 \,cm$.

(B) ધારો કે વ્યક્તિ પ્રથમ ખડકથી $d_1$ અંતરે અને બીજા ખડકથી $d_2$ અંતરે છે.
પ્રથમ પડઘા માટે લાગતો સમય $t_1 = 1 \ s$ છે. ધ્વનિ ખડક સુધી જાય છે અને પાછો આવે છે,તેથી $2d_1 = v \times t_1$.
$2d_1 = 340 \times 1 = 340 \ m$,જે $d_1 = 170 \ m$ આપે છે.
બીજા પડઘા માટે લાગતો સમય $t_2 = 3 \ s$ છે. તેવી જ રીતે,$2d_2 = v \times t_2$.
$2d_2 = 340 \times 3 = 1020 \ m$,જે $d_2 = 510 \ m$ આપે છે.
બંને ખડકો વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = d_1 + d_2$ છે.
$D = 170 \ m + 510 \ m = 680 \ m$.

(B) વેગ $(v)$,આવૃત્તિ $(n)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n \lambda$ છે.
બંને ધ્વનિ સ્ત્રોતો સમાન તાપમાને હોવાથી,બંને કિસ્સામાં ધ્વનિનો વેગ $(v)$ સમાન રહેશે.
ધારો કે આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ છે જે અનુક્રમે $\lambda_1 = 50 \ cm = 0.5 \ m$ અને $\lambda_2 = 50.5 \ cm = 0.505 \ m$ તરંગલંબાઇ સાથે સંકળાયેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
તેથી,$n_1 (0.5) = n_2 (0.505)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} = \frac{0.505}{0.5} = 1.01$.
આપેલ છે કે $|n_1 - n_2| = 6 \ Hz$,તેથી $n_1 = n_2 + 6$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{n_2 + 6}{n_2} = 1.01$.
$1 + \frac{6}{n_2} = 1.01 \implies \frac{6}{n_2} = 0.01$.
$n_2 = \frac{6}{0.01} = 600 \ Hz$.
હવે,વેગની ગણતરી કરતા: $v = n_2 \lambda_2 = 600 \times 0.505 \ m = 303 \ m/s$.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન તાપમાન $T$ માટે,હાઇડ્રોજન $(v_H)$ અને હિલિયમ $(v_{He})$ માં ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_H R T / M_H}{\gamma_{He} R T / M_{He}}} = \sqrt{\frac{\gamma_H M_{He}}{\gamma_{He} M_H}}$.
આપેલ છે:
$\gamma_H = 7/5$,$\gamma_{He} = 5/3$,
$M_H = 2 \text{ g/mol}$,$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{28/5}{10/3}} = \sqrt{\frac{28}{5} \times \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{84}{50}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{42}: 5$ છે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,હિલિયમ $(v_{He})$ અને નાઈટ્રોજન $(v_{N_2})$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He}}{M_{He}} \cdot \frac{M_{N_2}}{\gamma_{N_2}}}$
આપેલ કિંમતો $\gamma_{He} = 5/3$,$M_{He} = 4$,$\gamma_{N_2} = 7/5$,અને $M_{N_2} = 28$ મૂકતા:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\left(\frac{5/3}{4}\right) \cdot \left(\frac{28}{7/5}\right)} = \sqrt{\frac{5}{12} \cdot 20} = \sqrt{\frac{100}{12}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: પથ તફાવત $(x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\phi = \frac{2 \pi x}{\lambda}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આના પરથી, આપણે તરંગલંબાઈને $\lambda = \frac{2 \pi x}{\phi}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
તરંગનો વેગ $v = \lambda f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
વેગના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = (\frac{2 \pi x}{\phi}) f$
આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$f = \frac{v \phi}{2 \pi x}$
આપેલ કિંમતો: $x = 0.54 \, m$, $\phi = 1.8 \pi$, અને $v = 330 \, m/s$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{330 \times 1.8 \pi}{2 \pi \times 0.54}$
$f = \frac{330 \times 1.8}{2 \times 0.54}$
$f = \frac{594}{1.08} = 550 \, Hz$.

(A) વાયુ માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
બંને વાયુઓ મોનોએટોમિક હોવાથી,$\gamma$ નું મૂલ્ય બંને માટે સમાન $(\gamma = 5/3)$ રહેશે.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર હોવાથી,$\gamma, R$ અને $T$ અચળ રહે છે.
તેથી,ધ્વનિની ઝડપ આણ્વીય દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આમ,વાયુ $A$ અને $B$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ થાય.

(C) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે.
આપેલ વાયુ માટે $\gamma$,$R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $N.T.P.$ $(T = 273 \ K)$ પર ઝડપ $v$ છે અને $T'$ તાપમાને ઝડપ $v'$ છે.
આપેલ છે કે $v' = 1.5 v$,તેથી:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = 1.5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T'}{T} = (1.5)^2 = 2.25$.
$T' = 2.25 \times 273 \ K = 614.25 \ K$.
આ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^{\circ} C) = T(K) - 273 = 614.25 - 273 = 341.25^{\circ} C$.
આમ,તાપમાન આશરે $341^{\circ} C$ છે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,હાઇડ્રોજન $(V_H)$ અને હિલિયમ $(V_{He})$ માં ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_H}{\gamma_{He}} \cdot \frac{M_{He}}{M_H}}$
આપેલ કિંમતો $\gamma_H = \frac{7}{5}$,$\gamma_{He} = \frac{5}{3}$,$M_H = 2$,અને $M_{He} = 4$ મૂકતા:
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\left(\frac{7/5}{5/3}\right) \cdot \left(\frac{4}{2}\right)}$
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\left(\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{5}\right) \cdot 2} = \sqrt{\frac{21}{25} \cdot 2} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ (સ્થિતિસ્થાપકતા) છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
ધ્વનિની ઝડપ $v = f \lambda$ હોવાથી,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,તેથી $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1}{f} \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ મળે છે.
આમ,તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ ધ્વનિના ઉદગમની આવૃત્તિ અને માધ્યમના ભૌતિક ગુણધર્મો (ઘનતા અને સ્થિતિસ્થાપકતા) પર આધાર રાખે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વાયુની ઘનતા અને સ્થિતિસ્થાપકતા એ માધ્યમના મૂળભૂત ગુણધર્મો છે જે ધ્વનિની ઝડપ નક્કી કરે છે,જે સીધી રીતે તરંગલંબાઈને અસર કરે છે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ અને આદર્શ વાયુ માટે $PV = nRT$ હોવાથી,$\rho = \frac{PM}{RT}$ થાય,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
આ કિંમત ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{PM/RT}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$.
આ અંતિમ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ધ્વનિની ઝડપ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના પ્રકાર (મોલર દળ $M$ અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$) પર આધાર રાખે છે.
તેથી,અચળ તાપમાને,ધ્વનિની ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર છે. જો દબાણ બમણું કરવામાં આવે,તો પણ ધ્વનિની ઝડપ સમાન જ રહે છે.

(D) $N.T.P$ પર, તાપમાન $T_0 = 273 \,K$ છે. ધ્વનિનો વેગ $v_0 = f \lambda_0 = 220 \,Hz \times 1.5 \,m = 330 \,m/s$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે તાપમાન વધીને $27^{\circ} C$ થાય છે, ત્યારે નવું તાપમાન $T = 273 + 27 = 300 \,K$ થાય છે.
હવામાં ધ્વનિનો વેગ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = 330 \times \sqrt{\frac{300}{273}} = 330 \times 1.05 = 346.5 \,m/s$.
નવી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{346.5}{220} = 1.575 \,m$ મળે છે.
તરંગલંબાઇમાં થતો વધારો $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 1.575 \,m - 1.5 \,m = 0.075 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $0.07 \,m$ છે.

(D) ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે જે માધ્યમ દ્વારા પ્રસરણ પામે છે. જ્યારે તેઓ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ માધ્યમના કણોને દોલિત કરે છે,જેનાથી એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જાનું વહન થાય છે. કારણ કે આ તરંગોમાં દળ ધરાવતા કણોની ગતિ સામેલ છે,તેથી તેઓ વેગમાન પણ વહન કરે છે. તેથી,ધ્વનિ તરંગો ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું સ્થાનાંતરણ કરે છે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{H_2} M_{He}}{\gamma_{He} M_{H_2}}}$ થશે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,$M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ અને $\gamma_{H_2} = \frac{7}{5}$.
હિલિયમ $(He)$ માટે,$M_{He} = 4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ અને $\gamma_{He} = \frac{5}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{2}} = \sqrt{\frac{7 \times 3 \times 2}{5 \times 5}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.

(A) જ્યારે લંબગત તરંગ કોઈ માધ્યમ (ઘન,પ્રવાહી અથવા વાયુ) માંથી પ્રસરણ પામે છે,ત્યારે માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશામાં જ તેમની સરેરાશ સ્થિતિની આસપાસ દોલન કરે છે.
કોઈપણ ક્ષણે,એવા વિસ્તારો હોય છે જ્યાં કણો એકબીજાની નજીક હોય છે,જેના પરિણામે ઘનતા વધારે હોય છે,જેને સંઘનન (compressions) કહેવામાં આવે છે.
તેનાથી વિપરીત,એવા વિસ્તારો હોય છે જ્યાં કણો એકબીજાથી દૂર હોય છે,જેના પરિણામે ઘનતા ઓછી હોય છે,જેને વિઘનન (rarefactions) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,લંબગત તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન માધ્યમની ઘનતા સમયાંતરે બદલાતી રહે છે.

(A) વિવિધ માધ્યમોમાં તરંગોની ઝડપ માધ્યમના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો અને ઘનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$(a)$ ઘન પદાર્થ (જેમ કે સ્ટીલનો સળિયો) માં લંબગત તરંગ માટે, ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\eta}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\eta$ એ શીયર મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે। તેથી, $(a) - (ii)$.
$(b)$ બલ્ક ઘન પદાર્થ (જેમ કે પૃથ્વીનો પોપડો) માં સંગત તરંગો માટે, ઝડપ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ અને શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ બંને પર આધાર રાખે છે: $v = \sqrt{\frac{B + \frac{4}{3}\eta}{\rho}}$. તેથી, $(b) - (i)$.
$(c)$ પાતળા સળિયામાં સંગત તરંગો માટે, ઝડપ $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે। તેથી, $(c) - (iv)$.
$(d)$ લહેરો એ પ્રવાહીની સપાટી પરના તરંગો છે જ્યાં પૃષ્ઠતાણ $T$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે। ઝડપ $v = \sqrt{\frac{2 \pi T}{g \lambda}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તેથી, $(d) - (iii)$.
તેથી, સાચી જોડ $(a) - (ii), (b) - (i), (c) - (iv), (d) - (iii)$ છે.

(C) ધારો કે અવલોકન બિંદુથી ભૂકંપના કેન્દ્રનું અંતર $d$ છે.
$S$-તરંગની ઝડપ, $v_S = 4.5 \,km/s$.
$P$-તરંગની ઝડપ, $v_P = 8.0 \,km/s$.
બંને તરંગો માટે અંતર $d$ સમાન હોવાથી, $d = v_P t_P = v_S t_S$.
તેથી, $8.0 t_P = 4.5 t_S$, જે આપે છે $t_P = \frac{4.5}{8.0} t_S \quad \dots (i)$.
પ્રથમ $P$-તરંગ પ્રથમ $S$-તરંગ કરતા $3.5 \,min$ વહેલું પહોંચે છે, તેથી $t_S - t_P = 3.5 \,min = 3.5 \times 60 \,s = 210 \,s \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$t_S - \frac{4.5}{8.0} t_S = 210$
$\frac{8.0 t_S - 4.5 t_S}{8.0} = 210$
$\frac{3.5 t_S}{8.0} = 210$
$t_S = \frac{210 \times 8.0}{3.5} = 480 \,s$.
હવે, અંતર $d = v_S t_S = 4.5 \,km/s \times 480 \,s = 2160 \,km$.

(A) વાયુનું મોલર દળ $M = 22.4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ગુણોત્તર $\gamma = 1.6$ છે.
$STP$ પર,દબાણ $P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ અને મોલર કદ $V_m = 22.4 \times 10^{-3} \ m^3/mol$ છે.
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V_m}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $v = \sqrt{\frac{\gamma P V_m}{M}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{1.6 \times 1.013 \times 10^5 \times 22.4 \times 10^{-3}}{22.4 \times 10^{-3}}}$.
$v = \sqrt{1.6 \times 1.013 \times 10^5} = \sqrt{1.6208 \times 10^5} \approx \sqrt{162080} \approx 402.59 \ m/s$.
આમ,ધ્વનિની ઝડપ આશરે $402 \ m/s$ છે.

(A) હવામાં અવાજની ઝડપ માધ્યમના તાપમાન પર આધાર રાખે છે. આશરે $20^{\circ} \text{C}$ જેટલા ઓરડાના તાપમાને સૂકી હવા માટે,અવાજની ઝડપ લગભગ $343 \text{ m s}^{-1}$ જેટલી હોય છે.
આ મૂલ્ય આશરે $3.4 \times 10^2 \text{ m s}^{-1}$ ની બરાબર છે.

(B) ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે:
મોલર દળ,$M_1 = 32 \,g/mol$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma_1 = C_p / C_V = 7/5$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે).
ધ્વનિની ઝડપ,$v_1 = 460 \,ms^{-1}$.
હિલિયમ $(He)$ માટે:
મોલર દળ,$M_2 = 4 \,g/mol$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma_2 = C_p / C_V = 5/3$ (એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે).
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\gamma_2}{\gamma_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{32}{4}} = \sqrt{\frac{25}{21} \cdot 8} = \sqrt{\frac{200}{21}} \approx 3.085$.
તેથી,$v_2 = 460 \times 3.085 \approx 1420 \,ms^{-1}$.

(C) હવામાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ હવાની ઘનતા છે.
સમાન તાપમાન અને દબાણે પાણીની વરાળની ઘનતા સૂકી હવા કરતા ઓછી હોવાથી,ભેજની હાજરી હવાની અસરકારક ઘનતા $\rho$ ઘટાડે છે.
અવાજની ઝડપ $v$ એ ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$,ઘનતામાં ઘટાડો થવાથી અવાજની ઝડપમાં વધારો થાય છે.
તેથી,હવામાં ભેજ વધવાની સાથે અવાજની ઝડપ વધે છે.

(B) હવામાં અવાજની ઝડપ નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$ કેલ્વિનમાં) ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ તાપમાને વેગ $v_1$ છે.
ધારો કે $T_2$ તાપમાને વેગ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે વેગમાં $10\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $v_2 = v_1 + 0.10v_1 = 1.1v_1 = \frac{11}{10}v_1$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{1.1v_1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
$\frac{1}{1.1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}} \Rightarrow \frac{1}{1.21} = \frac{273}{T_2}$.
$T_2 = 273 \times 1.21 = 330.33 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 330.33 - 273 = 57.33^{\circ}C \approx 57^{\circ}C$.

(C) પ્રવાહીમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{1}{K \rho}}$ છે, જ્યાં $K$ એ સંકોચનક્ષમતા છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે。
આપેલ છે: $K = 4.84 \times 10^{-10} \,m^2 \,N^{-1}$, $\rho = 1024 \,kg \,m^{-3}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{1}{4.84 \times 10^{-10} \times 1024}} = \sqrt{\frac{1}{4956.16 \times 10^{-10}}} = \sqrt{\frac{10^{10}}{4956.16}} \approx \sqrt{2017700} \approx 1420.46 \,m/s$.
પડઘા માટે લાગતો કુલ સમય $t = 3.52 \,s$ છે. અવાજને તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t' = \frac{t}{2} = \frac{3.52}{2} = 1.76 \,s$ છે。
ઊંડાઈ $d$ એ $d = v \times t' = 1420.46 \times 1.76 \approx 2500 \,m = 2.5 \,km$ દ્વારા મળે છે.

(D) $SONAR$ એટલે કે Sound Navigation and Ranging. તે અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો ઉત્સર્જિત કરીને કાર્ય કરે છે જે પાણીમાં મુસાફરી કરે છે,કોઈ વસ્તુ સાથે અથડાય છે અને રીસીવર પર પાછા પરાવર્તિત થાય છે. પડઘો પાછા આવવા માટે લાગતા સમયને માપીને,વસ્તુનું અંતર ગણી શકાય છે. તેથી,ઉપયોગમાં લેવાતો સિદ્ધાંત અલ્ટ્રાસોનિક તરંગોનું પરાવર્તન છે.

(B) લંબગત તરંગ એ એવું તરંગ છે જેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ દિશામાં કંપન કરે છે.
પ્રકાશના તરંગો,વાયોલિનના તાર પરના તરંગો અને પાણીના તરંગો એ લંબગત તરંગોના ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમાં કણોનું કંપન તરંગની ગતિની દિશાને લંબ હોય છે.
ધ્વનિ તરંગો એ સંગત તરંગો છે કારણ કે તેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર કંપન કરે છે.
તેથી,ધ્વનિ તરંગો એ લંબગત તરંગો નથી.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
આપેલ છે: $T = 273 \ K$ ($NTP$ પર),$\gamma = 1.5$,$\Delta p = 0.001 \ dyne/cm^2$,$p = 1.013 \times 10^6 \ dyne/cm^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times \frac{10^{-3}}{1.013 \times 10^6} = 273 \times \frac{1}{3} \times 0.987 \times 10^{-9} \approx 8.97 \times 10^{-8} \ K$.