Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Gujarati

(B) ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે. હવામાં,માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશામાં જ આગળ-પાછળ દોલન કરે છે. તરંગ ગતિનો આ પ્રકાર,જેમાં માધ્યમનું સ્થાનાંતર તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર હોય છે,તેને સંગત તરંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,હવામાં ધ્વનિ તરંગો સંગત હોય છે.

(D) વાયુ જેવા માધ્યમમાં પ્રસરતા ધ્વનિ તરંગો એ સંગત તરંગો (longitudinal waves) છે,કારણ કે માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે.
તેનાથી વિપરીત,$X$-કિરણો,$\gamma$-કિરણો અને દ્રશ્ય પ્રકાશ જેવા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ લંબગત તરંગો છે,કારણ કે તેમના વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરે છે.

(D) ધ્વનિ તરંગો સ્વભાવે લંબગત (longitudinal) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે.
ધ્રુવીભવન એ ફક્ત લંબગત (transverse) તરંગોનો ગુણધર્મ છે,જેમાં કણોનું દોલન તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે થાય છે.
ધ્વનિ તરંગોમાં લંબગત ઘટકો હોતા નથી,તેથી તેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી.
તેથી,સાચો જવાબ $(d)$ ધ્રુવીભવન છે.

(B) જ્યારે વિમાન $supersonic$ (સુપરસોનિક) ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તરંગો ગતિના માર્ગ પર એકઠા થાય છે અને શૃંગો એકબીજા પર ઓવરલેપ થઈને $high-amplitude$ (ઉચ્ચ કંપવિસ્તાર) ધરાવતું ધ્વનિ તરંગ બનાવે છે,જેને શોક વેવ (આઘાત તરંગ) કહેવામાં આવે છે.
આ શોક વેવ મોટી માત્રામાં ઉર્જા વહન કરે છે અને વિમાન પસાર થઈ ગયા પછી જમીન પરના અવલોકનકારને તે એક જોરદાર ધડાકા (સોનિક બૂમ) તરીકે સંભળાય છે.

(B) . અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો એવા ધ્વનિ તરંગો છે જેની આવૃત્તિ માનવ શ્રાવ્ય મર્યાદા કરતા વધારે હોય છે,જે $20,000 \, Hz$ છે. માનવ શ્રાવ્ય મર્યાદા $20 \, Hz$ થી $20,000 \, Hz$ હોવાથી,મનુષ્યો અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો સાંભળી શકતા નથી.

(B) ધ્વનિ એ એક યાંત્રિક તરંગ છે જેને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી મુસાફરી કરવા માટે ભૌતિક માધ્યમ (જેમ કે ઘન,પ્રવાહી અથવા વાયુ) ની જરૂર હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે ધ્વનિ માધ્યમમાં પરમાણુઓ અને અણુઓના કંપન દ્વારા પ્રસરણ પામે છે.
ચંદ્ર અને પૃથ્વી વચ્ચેની જગ્યા શૂન્યાવકાશ છે,જેનો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ ભૌતિક માધ્યમ હાજર નથી.
તેથી,ચંદ્ર પર થયેલા વિસ્ફોટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ધ્વનિ તરંગો પૃથ્વી સુધી પહોંચવા માટે અવકાશના શૂન્યાવકાશમાંથી પસાર થઈ શકતા નથી.

(D) ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે. માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ એકબીજાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(f \propto 1/\lambda)$. શ્રાવ્ય ધ્વનિની આવૃત્તિ $20 \,Hz$ થી $20,000 \,Hz$ ની વચ્ચે હોય છે. $20 \,Hz$ થી ઓછી આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગોની તરંગલંબાઈ શ્રાવ્ય ધ્વનિ કરતા વધારે હોય છે. આ તરંગોને ઇન્ફ્રાસોનિક તરંગો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $SONAR$ એટલે કે Sound Navigation and Ranging.
તે ધ્વનિ તરંગોના પરાવર્તનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
$SONAR$ પાણીમાં અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો ($20,000 \ Hz$ થી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ધ્વનિ તરંગો) ઉત્સર્જિત કરે છે.
આ તરંગો પાણીમાં ગતિ કરે છે,કોઈ વસ્તુ સાથે અથડાય છે અને પાછા પરાવર્તિત થઈને રિસીવર સુધી પહોંચે છે,જેનાથી સિસ્ટમ વસ્તુનું અંતર અને સ્થાન જાણી શકે છે.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_N = v_O$ હોવાથી,આપણને $\sqrt{\frac{\gamma_N R T_N}{M_N}} = \sqrt{\frac{\gamma_O R T_O}{M_O}}$ મળે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ માટે $\gamma_N = \gamma_O$ ધારતા,$\frac{T_N}{M_N} = \frac{T_O}{M_O}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_N}{T_O} = \frac{M_N}{M_O}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_N : \rho_O = 14:16$ આપેલ છે,અને અચળ દબાણ અને તાપમાને ઘનતા $\rho \propto M$ હોવાથી,$\frac{M_N}{M_O} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$ થાય.
ઓક્સિજનનું તાપમાન $T_O = 55^oC = 273 + 55 = 328 \, K$ છે.
તેથી,$T_N = T_O \times \frac{7}{8} = 328 \times \frac{7}{8} = 41 \times 7 = 287 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_N(^oC) = 287 - 273 = 14 \, ^oC$.

(A) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = 2\pi^2 \nu^2 A^2 \rho v$ છે,જ્યાં $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
રાત્રિના સમયે વાતાવરણનું તાપમાન ઘટે છે,જેના કારણે હવાની ઘનતા $(\rho)$ માં વધારો થાય છે.
તીવ્રતા $I$ એ માધ્યમની ઘનતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,રાત્રિના સમયે અવાજની તીવ્રતા વધે છે.

(C) તરંગની આવૃત્તિ $n$ એ સૂત્ર $n = \frac{v}{\lambda }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે: $v = 300 \ ms^{-1}$ અને $\lambda = 0.60 \ cm = 0.60 \times 10^{-2} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{300}{0.60 \times 10^{-2}} \ Hz$.
$n = \frac{300}{0.006} \ Hz = 50,000 \ Hz$.
મનુષ્યો માટે શ્રાવ્ય શ્રેણી $20 \ Hz$ થી $20,000 \ Hz$ હોવાથી,$20,000 \ Hz$ થી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગને પરાશ્રાવ્ય (અલ્ટ્રાસોનિક) તરંગ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
તેથી,આ તરંગ પરાશ્રાવ્ય તરંગ છે.

(A) પ્રવાહીમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$ છે,જ્યાં $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $v^2 = \frac{K}{\rho}$ મળે છે.
$K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$K = v^2 \rho$ મળે.
અહીં $v = 1450 \, m/s$ અને $\rho = 13.6 \times 10^3 \, kg/m^3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = (1450)^2 \times (13.6 \times 10^3)$.
$K = 2102500 \times 13.6 \times 10^3$.
$K = 28594000 \times 10^3 = 2.8594 \times 10^{10} \, N/m^2$.
આમ,$K \approx 2.86 \times 10^{10} \, N/m^2$ થાય.

(D) $SONAR$ ઉપકરણ એક અલ્ટ્રાસોનિક સિગ્નલ મોકલે છે જે ખડક સુધી જાય છે અને પરાવર્તન પામીને રીસીવર પાસે પાછું આવે છે.
ધારો કે $SONAR$ ઉપકરણથી ખડકની ઊંડાઈ $d$ છે.
સિગ્નલ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $2d$ છે (ખડક સુધી જવાનું અને પાછા આવવાનું).
આપેલ છે:
અલ્ટ્રાસાઉન્ડનો વેગ $(v)$ = $1600 \, m/s$
કુલ સમય $(t)$ = $1 \, s$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{વેગ} \times \text{સમય}$
$2d = v \times t$
$2d = 1600 \times 1$
$2d = 1600$
$d = \frac{1600}{2} = 800 \, m$.
તેથી,ખડકની ઊંડાઈ $800 \, m$ છે.

(A) જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક ધ્રુજારી પામે છે,ત્યારે ફોર્કની ભુજાઓ આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે,જે આસપાસના માધ્યમમાં યાંત્રિક ધ્રુજારી ઉત્પન્ન કરે છે.
આ ધ્રુજારીઓ હવામાં સંગત તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે,જેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે.
તેથી,ધ્રુજારી પામતા ટ્યુનિંગ ફોર્ક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગો સંગત તરંગો છે.

(D) હવામાંથી પસાર થતા ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે જેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે. તેથી,તે લંબગત (longitudinal) તરંગો છે. અવાજ સ્ત્રોત (સિતાર) થી શ્રોતા સુધી માધ્યમ (હવા) દ્વારા પ્રસરણ પામે છે અને તે હવામાં સ્થિર તરંગો બનાવ્યા વગર આગળ વધે છે,તેથી તે પ્રગામી (progressive) તરંગ છે. આમ,હવા દ્વારા વહન થતો અવાજ એ લંબગત પ્રગામી તરંગ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
કુંડની નળી (Kundt's tube) એ વાયુ અથવા ઘન સળિયામાં ધ્વનિની ઝડપ માપવા માટે વપરાતું પ્રાયોગિક સાધન છે.
આ પ્રયોગમાં,ધ્રુજારી આપતા સ્ત્રોતનો ઉપયોગ કરીને વાયુના સ્તંભ (અથવા સળિયા) માં સંગત સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે. નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચેનું અંતર માપીને અને સ્ત્રોતની આવૃત્તિ જાણીને,$v = f \lambda$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ધ્વનિનો વેગ ગણી શકાય છે.
મેલ્ડેનું સાધન દોરીમાં સ્થિત તરંગોનો અભ્યાસ કરવા અને ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ નક્કી કરવા માટે વપરાય છે.
ક્વિન્કેની નળીનો ઉપયોગ ધ્વનિ તરંગોના વ્યતિકરણની ઘટના દર્શાવવા માટે થાય છે.

(A) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તાપમાન અને દબાણ અચળ રહેતા હોવાથી,$v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
ધારો કે હાઇડ્રોજનની ઘનતા $\rho_{H_2} = \rho$ છે. ઓક્સિજન $16$ ગણો ભારે હોવાથી,$\rho_{O_2} = 16\rho$.
હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનના સમાન કદ $V$ માટે,મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{m_{total}}{V_{total}} = \frac{\rho_{O_2}V + \rho_{H_2}V}{2V} = \frac{16\rho + \rho}{2} = 8.5\rho$.
મિશ્રણમાં ધ્વનિની ઝડપ $(v_{mix})$ અને હાઇડ્રોજનમાં ધ્વનિની ઝડપ $(v_{H_2})$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{mix}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{\rho_{mix}}} = \sqrt{\frac{\rho}{8.5\rho}} = \sqrt{\frac{1}{8.5}} = \sqrt{\frac{2}{17}}$.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
અવાજ એ યાંત્રિક તરંગ છે જેને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમ (જેમ કે હવા,પાણી અથવા ઘન પદાર્થો) ની જરૂર હોય છે.
ચંદ્ર પર કોઈ વાતાવરણ નથી અને તે મૂળભૂત રીતે શૂન્યાવકાશ છે.
વિસ્ફોટના સ્થળથી ચંદ્રની સપાટી પરના અવલોકનકાર સુધી અવાજના તરંગો પહોંચવા માટે કોઈ માધ્યમ ન હોવાથી,અવાજ બિલકુલ સંભળાશે નહીં.

(D) ધ્રુવીભવન એ માત્ર લંબગત તરંગો (transverse waves) સાથે સંકળાયેલો ગુણધર્મ છે,જેમાં માધ્યમના કણો અથવા ક્ષેત્ર સદિશોનું દોલન તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે થાય છે.
રેડિયો તરંગો,અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણો અને ઇન્ફ્રારેડ કિરણો એ તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,જે સ્વભાવે લંબગત છે અને તેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે.
અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો એ ધ્વનિ તરંગો છે,જે સ્વભાવે સંગત (longitudinal) તરંગો છે.
સંગત તરંગોમાં,દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશામાં જ થાય છે,તેથી તેમનું ધ્રુવીભવન કરવું અશક્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કોઈ આપેલ માધ્યમમાં ધ્વનિ તરંગનો વેગ માત્ર માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે ઘનતા,સ્થિતિસ્થાપકતા,તાપમાન,વગેરે) પર આધાર રાખે છે,તરંગની આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઈ પર નહીં.
માધ્યમ સમાન રહેતું હોવાથી,આવૃત્તિમાં ફેરફાર થવા છતાં વેગ $v$ અચળ રહે છે.
તેથી,જો આવૃત્તિ $n$ થી બદલાઈને $4n$ થાય,તો પણ વેગ $v$ જ રહેશે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
નાઇટ્રોજન $(N_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,$\gamma_{N_2} = \frac{7}{5}$ અને $M_{N_2} = 28 \, g/mol$ છે.
હિલીયમ $(He)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,$\gamma_{He} = \frac{5}{3}$ અને $M_{He} = 4 \, g/mol$ છે.
સમાન તાપમાને નાઇટ્રોજન $(v_{N_2})$ અને હિલીયમ $(v_{He})$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{N_2}}{\gamma_{He}} \cdot \frac{M_{He}}{M_{N_2}}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \cdot \frac{4}{28}} = \sqrt{\frac{21}{25} \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.

(C) પ્રકાશના તરંગો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે અને તે સ્વભાવે લંબગત (transverse) છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના ઘટકો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે કંપન કરે છે. તેમને ગતિ કરવા માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે અને તે સ્વભાવે સંગત (longitudinal) છે,જેનો અર્થ છે કે માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર કંપન કરે છે. તેમને ગતિ કરવા માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે અને તે શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરણ પામી શકતા નથી.

(C) આપેલ છે: $v_{\text{air}} = 350 \ m/s$,$v_{\text{brass}} = 3500 \ m/s$,અને આવૃત્તિ $f = 700 \ Hz$.
જ્યારે ધ્વનિ તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
સંબંધ $v = f \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\lambda = \frac{v}{f}$.
આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ તરંગની ઝડપ $v$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(\lambda \propto v)$.
તેથી,$\frac{\lambda_{\text{brass}}}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{v_{\text{brass}}}{v_{\text{air}}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_{\text{brass}}}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{3500}{350} = 10$.
આમ,$\lambda_{\text{brass}} = 10 \lambda_{\text{air}}$.
તરંગલંબાઈ $10$ ના અવયવથી વધે છે.

(A) જ્યારે $L$ લંબાઈનો સળિયો સખત ભોંયતળિયા પર ઊભી રીતે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે બંને છેડે મુક્ત હોય તેવા સળિયા તરીકે વર્તે છે (અથવા અથડામણના બિંદુએ સ્થિર હોય તેવા સળિયા તરીકે,પરંતુ આ રીતે અથડાતા સળિયા માટે મૂળભૂત કંપન આવૃત્તિ બંને છેડે મુક્ત સળિયાની મૂળભૂત આવૃત્તિને અનુરૂપ હોય છે).
$L$ લંબાઈના સળિયા માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2L}$ છે,જ્યાં $v$ એ સળિયામાં અવાજની ઝડપ છે.
આપેલ છે: $L = 1 \; m$ અને $f = 1.2 \; kHz = 1200 \; Hz$.
$v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v = f \times 2L$.
કિંમતો મૂકતા: $v = 1200 \; Hz \times 2 \times 1 \; m$.
$v = 2400 \; m/s$.

(C) ધારો કે એન્જિનની ઝડપ $v \ m/s$ છે.
એન્જિન અને ટેકરી વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 0.9 \ km = 900 \ m$ છે.
$t = 5 \ s$ માં,એન્જિન $d_{engine} = v \times t = 5v \ m$ જેટલું અંતર કાપે છે.
જ્યારે પડઘો સંભળાય છે,ત્યારે એન્જિન ટેકરીની નજીક આવી ગયું હોય છે,તેથી ટેકરીથી તેનું નવું અંતર $(900 - 5v) \ m$ થાય છે.
અવાજ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ ટેકરી સુધીનું અંતર વત્તા ટેકરીથી એન્જિનની નવી સ્થિતિ સુધીનું અંતર છે:
$D_{sound} = 900 + (900 - 5v) = 1800 - 5v$.
અવાજની ઝડપ $V_s = 330 \ m/s$ અને લીધેલ સમય $t = 5 \ s$ આપેલ છે,તેથી અવાજ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $D_{sound} = V_s \times t = 330 \times 5 = 1650 \ m$ થાય.
અંતર માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1800 - 5v = 1650$
$5v = 1800 - 1650$
$5v = 150$
$v = 30 \ m/s$.
આમ,એન્જિનની ઝડપ $30 \ m/s$ છે.

(A) ધારો કે ફટાકડા અને હોડી વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
અવાજ પાણીમાં $u$ ઝડપે અને હવામાં $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
અવાજને પાણી દ્વારા હોડી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{u}$ છે.
અવાજને હવા દ્વારા હોડી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v}$ છે.
આપેલ છે કે બે અવાજો વચ્ચેનો સમયગાળો $t$ છે,તેથી $t_2 - t_1 = t$ (કારણ કે $v < u$,તેથી $t_2 > t_1$).
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{d}{v} - \frac{d}{u} = t$.
$d$ સામાન્ય લેતા: $d \left( \frac{u - v}{uv} \right) = t$.
$d$ માટે ઉકેલતા: $d = \frac{uvt}{u - v}$.

(C) માધ્યમમાં ધ્વનિ પલ્સની ઝડપ $v_s$ છે. એકવાર પલ્સ ઉત્સર્જિત થઈ જાય પછી ઉદગમની ઝડપ $v_1$ તેની ઝડપને અસર કરતી નથી.
અવલોકનકાર $O$ એ $v_2$ ઝડપે ઉદગમથી દૂર જઈ રહ્યો છે. તેથી,અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં ધ્વનિ પલ્સનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_s - v_2$ થશે.
પલ્સે અવલોકનકાર સુધી પહોંચવા માટે $a$ જેટલું અંતર કાપવું પડે છે. સાપેક્ષ વેગનો ઉપયોગ કરતા: $t_1 = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ વેગ}} = \frac{a}{v_s - v_2}$.

(A) જમીનની સાપેક્ષે ધ્વનિનો વેગ એ માધ્યમની સાપેક્ષે ધ્વનિનો વેગ અને માધ્યમના વેગનો સદિશ સરવાળો છે.
પવન સ્ત્રોતથી અવલોકનકાર તરફ ફૂંકાતો હોવાથી,જમીનની સાપેક્ષે ધ્વનિનો અસરકારક વેગ $v' = C + u$ થશે.
સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર બંને સ્થિર હોવાથી,અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી ધ્વનિની આવૃત્તિ $f$ સમાન રહેશે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું અંતર છે,જે અસરકારક તરંગ ઝડપ અને આવૃત્તિના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
સંબંધ $v' = f \times \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C + u = f \lambda$ મળે છે.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા શોધાયેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{C + u}{f}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$1$. $v \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,તાપમાન વધતા ધ્વનિનો વેગ વધે છે. તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ ખોટા છે.
$2$. જેમ ભેજ વધે છે,તેમ પાણીની વરાળનું પ્રમાણ (જેનું મોલર દળ સૂકી હવા કરતા ઓછું હોય છે) વધે છે,જે હવાના મિશ્રણના અસરકારક મોલર દળ $M$ ને ઘટાડે છે. $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,ભેજ વધવાની સાથે ધ્વનિનો વેગ વધે છે. તેથી,વિધાન $C$ પણ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) લંબગત તરંગમાં,સ્થાનાંતર $\xi = A \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિકૃતિ $\partial \xi / \partial x = Ak \cos(kx - \omega t)$ છે.
સંઘનન વિસ્તાર $(C)$ પર,સ્થાનાંતર ઢાળ $\partial \xi / \partial x$ તેના નકારાત્મક મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય છે,અને વિઘનન વિસ્તાર $(R)$ પર,તે તેના સકારાત્મક મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય છે. આમ,તેમના મૂલ્યો સમાન છે: $|\partial \xi / \partial x|_C = |\partial \xi / \partial x|_R$.
$C$ અને $R$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર,સ્થાનાંતર ઢાળ શૂન્ય હોય છે,જે સંતુલન સ્થિતિ દર્શાવે છે. દબાણનો તફાવત $\Delta P = -B (\partial \xi / \partial x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે.
$C$ અને $R$ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $2B |\partial \xi / \partial x|$ થાય છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(B) સંગત તરંગમાં,સ્થાનાંતર-સ્થાન આલેખ કણોના તેમના સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
સંકોચન ત્યાં થાય છે જ્યાં કણોની ઘનતા મહત્તમ હોય છે,જે એવા બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં સ્થાનાંતર-સ્થાન આલેખનો ઢાળ ધનમાંથી ઋણમાં બદલાય છે (એટલે કે,કણો એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા છે).
ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે,મહત્તમ સંકોચન માટેની શરત એ છે કે સ્થાનાંતર $y$ શૂન્ય હોય અને ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ ધન હોય.
આલેખ જોતા,બિંદુ $c$ પર,સ્થાનાંતર શૂન્ય છે અને ઢાળ ઋણ છે.
બિંદુ $g$ પર,સ્થાનાંતર શૂન્ય છે અને ઢાળ ધન છે.
બિંદુ $k$ પર,સ્થાનાંતર શૂન્ય છે અને ઢાળ ધન છે.
તેથી,બિંદુઓ $g$ અને $k$ મહત્તમ સંકોચનના વિસ્તારો દર્શાવે છે.
વિકલ્પોમાં ફક્ત $k$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $k$ છે.

(C) સંગત તરંગમાં,સ્થાનાંતર $y$ એ $x$-અક્ષ પર કણોના તેમના સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
વિરલતા એ વિસ્તારને અનુરૂપ છે જ્યાં કણોની ઘનતા ન્યૂનતમ હોય છે,જે એવા બિંદુઓ પર થાય છે જ્યાં સ્થાનાંતર-સ્થાન આલેખનો ઢાળ શૂન્ય હોય છે અને સ્થાનાંતર ઋણમાંથી ધનમાં બદલાય છે (એટલે કે,સરેરાશ સ્થાન જ્યાં કણો એકબીજાથી દૂર જાય છે).
આપેલ સ્થાનાંતર-સ્થાન આલેખમાં,બિંદુઓ $c$ અને $g$ સરેરાશ સ્થાનો દર્શાવે છે.
ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે,સરેરાશ સ્થાન $g$ પરના કણો ધન $y$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે (જેમ તરંગ ડાબી તરફ જાય છે,પ્રોફાઇલ ડાબી તરફ ખસે છે,તેથી બિંદુ $g$ ઉપર તરફ જશે).
તરંગ સંગત હોવાથી,આલેખમાં સ્થાનાંતર $y$ એ કણોનું સંગત સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
વિરલતા ત્યાં થાય છે જ્યાં કણો એકબીજાથી દૂર જાય છે,જે એવા બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં ઢાળ ધન હોય છે (એટલે કે,$c$ અને $g$).
વિકલ્પો જોતા,$g$ એ મહત્તમ વિરલતાનું બિંદુ છે.

(B) ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે. હવામાં,ધ્વનિ તરંગો સંગત તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે,જ્યાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે.
પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી. તે લંબગત તરંગો છે,જ્યાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે હવામાં ધ્વનિ તરંગો સંગત છે જ્યારે પ્રકાશના તરંગો લંબગત છે.

(D) ઘન પદાર્થોમાં,સંગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{9.27 \times 10^{10}}{2.7 \times 10^3}} = \sqrt{3.433 \times 10^7} \approx 5859 \ m/s$.
સળિયો તેના મધ્યબિંદુએથી જડિત હોવાથી,મધ્યબિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ $(N)$ તરીકે અને છેડાઓ પ્રસ્પંદ બિંદુ $(A)$ તરીકે વર્તે છે. મૂળભૂત મોડ માટે,સળિયાની લંબાઈ $L$ એ અડધી તરંગલંબાઈ જેટલી હોય છે,તેથી $L = \frac{\lambda}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2L$.
અહીં $L = 60 \ cm = 0.6 \ m$ આપેલ છે,તેથી $\lambda = 2 \times 0.6 = 1.2 \ m$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{5859}{1.2} \approx 4882.5 \ Hz$ મળે છે.
$kHz$ માં ફેરવતા,$f \approx 4.88 \ kHz$,જે આશરે $5 \ kHz$ છે.

(C) અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી અવાજની આવૃત્તિ એ સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ પર આધાર રાખે છે. ટ્રેન (સ્ત્રોત) અને અવલોકનકાર બંને જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,આવૃત્તિ $400 \, Hz$ જ રહેશે. તેથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
પવનની હાજરીમાં અવાજની ઝડપ $v' = v + w$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 340 \, m/s$ એ સ્થિર હવામાં અવાજની ઝડપ છે અને $w = 10 \, m/s$ એ પવનની ઝડપ છે. તેથી,$v' = 340 + 10 = 350 \, m/s$. આમ,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{v'}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $v'$ વધીને $350 \, m/s$ થાય છે જ્યારે $f$ એ $400 \, Hz$ રહે છે,તેથી સ્થિર હવાના કિસ્સાની સરખામણીમાં તરંગલંબાઇ $\lambda$ માં વધારો થાય છે. આમ,વિધાન $(d)$ સાચું છે.

(D) પારગમિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $a_t$ અને આપાત તરંગનો કંપવિસ્તાર $a_i$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$a_t = \frac{2 v_2}{v_1 + v_2} a_i$
જ્યાં $v_1$ એ માધ્યમ $1$ માં ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_2$ એ માધ્યમ $2$ માં ધ્વનિની ઝડપ છે.
આપેલ છે: $v_1 = 200 \, m/s$ અને $v_2 = 100 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a_t}{a_i} = \frac{2 \times 100}{200 + 100} = \frac{200}{300} = \frac{2}{3} \approx 0.67$.

(C) આપેલ છે કે,હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v_{air} = 300 \, m/s$ અને પ્રવાહીમાં ધ્વનિની ઝડપ $v_{liq} = 600 \, m/s$ છે.
અહીં $v_{liq} > v_{air}$ હોવાથી,ધ્વનિ તરંગો માટે પ્રવાહી એ હવા કરતા પાતળું માધ્યમ છે.
ક્રાંતિકોણ $i_c$ માટેનું સૂત્ર $\sin(i_c) = \frac{v_{air}}{v_{liq}} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}(1/2) = 30^{\circ}$ મળે.
અહીં આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે. આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ કરતા મોટો હોવાથી $(i > i_c)$,ધ્વનિ તરંગનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થશે અને તે પાછું હવામાં પરાવર્તિત થશે.

(D) જ્યારે પવન હોતો નથી,ત્યારે ધ્વનિ તરંગો બિંદુ સ્ત્રોતમાંથી ત્રિજ્યાવર્તી રીતે સીધી રેખાઓમાં બહારની તરફ ગતિ કરે છે.
જ્યારે સમાન વેગ $v_w$ સાથે ડાબી તરફ આડો પવન ફૂંકાય છે,ત્યારે કોઈપણ બિંદુએ ધ્વનિ તરંગનો અસરકારક વેગ એ સ્થિર હવામાં ધ્વનિનો વેગ $(v_s)$ અને પવનના વેગ $(v_w)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
જો ધ્વનિ તરંગ પવનની દિશામાં (ડાબી તરફ) ગતિ કરે છે,તો તેનો અસરકારક વેગ વધે છે,અને જો તે પવનની વિરુદ્ધ દિશામાં (જમણી તરફ) ગતિ કરે છે,તો તેનો અસરકારક વેગ ઘટે છે.
વેગમાં આ ફેરફારને કારણે તરંગ અગ્ર (wavefronts) વળે છે. હ્યુજન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,કિરણો (જે તરંગ અગ્રને લંબ હોય છે) પવનની દિશામાં વળશે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,કિરણો ડાબી તરફ વળશે કારણ કે પવન ધ્વનિ તરંગોને પોતાની સાથે લઈ જાય છે,જે અસરકારક રીતે ધ્વનિના કિરણોને પવનની દિશામાં 'ધકેલે' છે.
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $D$ માં કિરણો ડાબી તરફ વળતા દર્શાવવામાં આવ્યા છે,જે ડાબી તરફ ફૂંકાતા અચળ આડા પવનની અસરને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(C) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}$,જ્યાં $v_1 = 300 \ m/s$ (હવા) અને $v_2 = 600 \ m/s$ (પ્રવાહી).
આપેલ છે કે $i = 60^{\circ}$,ક્રાંતિકોણ $C$ ની વ્યાખ્યા $\sin C = \frac{v_1}{v_2} = \frac{300}{600} = 0.5$ છે.
તેથી,$C = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$.
અહીં આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ $C = 30^{\circ}$ કરતા વધારે હોવાથી,ધ્વનિ તરંગનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થશે.
તેથી,તરંગ પાછું હવામાં પરાવર્તિત થશે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{H_2}}{\gamma_{He}} \cdot \frac{M_{He}}{M_{H_2}}}$ થશે.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે,$\gamma_1 = 7/5$ અને $M_1 = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
હિલિયમ વાયુ $(He)$ માટે,$\gamma_2 = 5/3$ અને $M_2 = 4 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \cdot \frac{4}{2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot 2} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.

(D) પ્રવાહીમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ છે,જ્યાં $B$ એ માધ્યમનો બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ધ્વનિની ઝડપ એ બલ્ક મોડ્યુલસના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં $(v \propto \sqrt{B})$ અને ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$ હોય છે.
તેથી,ધ્વનિની ઝડપ માધ્યમના બલ્ક મોડ્યુલસના વર્ગમૂળ પર સીધો આધાર રાખે છે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_W}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $R$ એ વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M_W$ એ મોલર દળ છે。
$A$. જો $T$ એ $4T$ થાય, તો $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$. આદર્શ વાયુમાં દબાણ $P$ એ ધ્વનિની ઝડપને અસર કરતું નથી (કારણ કે અચળ $M_W$ માટે $P \propto \rho T$), તેથી ઝડપ $2$ ગણી થાય છે। આમ, $A-Q$.
$B$. જો માત્ર દબાણ બદલાય, તો $T$ અચળ રહે છે. $v \propto \sqrt{T}$ હોવાથી, ઝડપ બદલાતી નથી। આમ, $B-R$.
$C$. જો $T$ એ $4T$ થાય, તો $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$. ઝડપ $2$ ગણી થાય છે। આમ, $C-Q$.
$D$. જો $M_W$ એ $4M_W$ થાય, તો $v' = \sqrt{\frac{\gamma RT}{4M_W}} = \frac{1}{2}v$. ઝડપ અડધી થાય છે। આમ, $D-S$.
તેથી, સાચી જોડ $A-Q, B-R, C-Q, D-S$ છે।

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_W}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$. જો $T$ એ $4T$ થાય, તો $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$. આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ પર દબાણની અસર થતી નથી. તેથી, $A-Q$.
$B$. જો તાપમાન અચળ હોય તો ધ્વનિની ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર છે. તેથી, $B-R$.
$C$. જો $T$ એ $4T$ થાય, તો $v' = \sqrt{\frac{\gamma R(4T)}{M_W}} = 2v$. તેથી, $C-Q$.
$D$. જો આણ્વીય દળ $M_W$ એ $4M_W$ થાય, તો $v' = \sqrt{\frac{\gamma RT}{4M_W}} = \frac{v}{2}$. તેથી, $D-S$.
આમ, સાચી જોડ $A-Q, B-R, C-Q, D-S$ છે.

(B) ધારો કે માણસથી બે ખડકોનું અંતર $d_1$ અને $d_2$ છે.
જ્યારે માણસ બંદૂક ચલાવે છે,ત્યારે અવાજ ખડક સુધી જાય છે અને પાછો પરાવર્તિત થાય છે.
પ્રથમ પડઘા માટેનો સમય $t_1 = 3 \, s$ અને બીજા પડઘા માટે $t_2 = 5 \, s$ છે.
પ્રથમ પડઘા માટે અવાજે કાપેલું અંતર $2d_1 = v \times t_1$ છે,તેથી $d_1 = \frac{330 \times 3}{2} = 495 \, m$.
બીજા પડઘા માટે અવાજે કાપેલું અંતર $2d_2 = v \times t_2$ છે,તેથી $d_2 = \frac{330 \times 5}{2} = 825 \, m$.
બંને ખડકો વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = d_1 + d_2 = 495 + 825 = 1320 \, m$ થાય.

(D) ધ્રુવીભવન એ માત્ર લંબગત (transverse) તરંગો સાથે સંકળાયેલો ગુણધર્મ છે.
રેડિયો તરંગો,અલ્ટ્રાવાયોલેટ તરંગો અને ઇન્ફ્રારેડ તરંગો એ બધા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,જે સ્વભાવે લંબગત છે અને તેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે.
અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો એ ધ્વનિ તરંગો છે,જે સ્વભાવે સંગત (longitudinal) તરંગો છે.
સંગત તરંગોનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી કારણ કે તેમના દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશામાં જ થાય છે.
તેથી,અલ્ટ્રાસોનિક તરંગોનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી.

(D) ધારો કે એન્જિન શરૂઆતમાં બિંદુ $A$ પર છે અને $5 \, s$ પછી બિંદુ $C$ પર પહોંચે છે. અંતર $AB = 0.9 \, km = 900 \, m$ છે.
અવાજ $A$ થી ટેકરી $B$ સુધી જાય છે અને પરાવર્તન પામીને $C$ પર રહેલા એન્જિન સુધી પહોંચે છે.
કુલ સમય $t = 5 \, s$ એ અવાજ દ્વારા $AB + BC$ અંતર કાપવા માટેનો સમય છે.
$t = \frac{AB}{v_{sound}} + \frac{BC}{v_{sound}}$
$5 = \frac{900}{330} + \frac{BC}{330}$
$5 \times 330 = 900 + BC$
$1650 = 900 + BC$
$BC = 1650 - 900 = 750 \, m$.
$5 \, s$ માં એન્જિન દ્વારા કાપેલું અંતર $AC = AB - BC = 900 \, m - 750 \, m = 150 \, m$ છે.
તેથી,એન્જિનની ઝડપ $v_{engine} = \frac{AC}{t} = \frac{150 \, m}{5 \, s} = 30 \, m/s$ થાય.

(D) ધારો કે $V_{P}$ એ વિમાનની ઝડપ છે અને $\upsilon$ એ અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે વિમાન દ્વારા અવાજ ઉત્પન્ન થયો,ત્યારે તે એવી સ્થિતિમાં હતું કે અવાજના તરંગો અવલોકનકાર સુધી જમીન સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે પહોંચ્યા.
ધારો કે અવલોકનકાર બિંદુ $C$ પર છે અને જ્યારે અવાજ ઉત્પન્ન થયો ત્યારે વિમાન બિંદુ $A$ પર હતું.
અવાજ $t$ સમયમાં $AC$ અંતર કાપે છે,તેથી $AC = \upsilon t$.
વિમાન તે જ સમય $t$ માં આડું અંતર $AB$ કાપે છે,તેથી $AB = V_{P} t$.
ત્રિકોણ $ABC$ ની ભૂમિતિ પરથી,જ્યાં $\angle ACB = 60^{\circ}$ છે,આપણને મળે છે:
$V_{P} = \upsilon \cos(60^{\circ})$
$V_{P} = \upsilon \times \frac{1}{2} = \frac{\upsilon}{2}$.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ $P = 0.01 \sin(1000t - 3x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $P = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1000 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 3 \, m^{-1}$ મળે છે.
$0 \, ^oC$ $(T_0 = 273 \, K)$ પર અવાજની ઝડપ $v_0 = \frac{\omega}{k} = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \, m s^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવાજની ઝડપ $v \propto \sqrt{T}$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,$\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$.
તાપમાન $T$ પર $v = 336 \, m s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{336}{1000/3} = \sqrt{\frac{T}{273}}$.
$\frac{1008}{1000} = \sqrt{\frac{T}{273}} \implies 1.008 = \sqrt{\frac{T}{273}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1.016 = \frac{T}{273}$.
$T = 273 \times 1.016 = 277.368 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T( ^oC) = 277.368 - 273 = 4.368 \, ^oC$.
આમ,$T$ નું આશરે મૂલ્ય $4 \, ^oC$ છે.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ સંબંધ $v \propto \sqrt{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ધારો કે $v_0$ એ $0\,^oC$ $(T_0 = 273\,K)$ તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ છે.
ધારો કે $v_t$ એ $T$ તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_t = 2v_0$.
સંબંધ $\frac{v_t}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$2 = \sqrt{\frac{T}{273}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $4 = \frac{T}{273}$ મળે છે.
તેથી,$T = 4 \times 273 = 1092\,K$.

(D) અનુપ્રસ્થ કંપનની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_T = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ,$L$ એ લંબાઈ અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અનુદૈর্ঘ્ય કંપનની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_L = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
$Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{Y}{\rho} = \frac{T}{\rho A} \cdot \frac{L}{\Delta L} = \frac{T}{\mu} \cdot \frac{L}{\Delta L}$ મળે છે.
આમ,$\frac{f_T}{f_L} = \sqrt{\frac{T/\mu}{Y/\rho}} = \sqrt{\frac{T/\mu}{(T/\mu) \cdot (L/\Delta L)}} = \sqrt{\frac{\Delta L}{L}}$.
અહીં $\frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{\eta}$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{1}{\eta}} = \frac{1}{\sqrt{\eta}}$ થશે.