Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Gujarati

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
આપેલ છે: $T = 273 \ K$ ($NTP$ પર),$\gamma = 1.5$,$\Delta p = 0.001 \ dyne/cm^2$,$p = 1.013 \times 10^6 \ dyne/cm^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times \frac{10^{-3}}{1.013 \times 10^6} = 273 \times \frac{1}{3} \times 0.987 \times 10^{-9} \approx 8.97 \times 10^{-8} \ K$.

(C) કારની ઝડપ $v_c = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ છે.
$t = 10 \,s$ માં,કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $d_c = v_c \times t = 20 \times 10 = 200 \,m$ છે.
શરૂઆતમાં,કાર ટેકરીથી $1800 \,m$ દૂર છે. $10 \,s$ પછી,કાર ટેકરીની નજીક $200 \,m$ આગળ વધે છે,તેથી ટેકરીથી તેનું નવું અંતર $1800 - 200 = 1600 \,m$ થાય છે.
ધ્વનિ કારથી ટેકરી સુધી $(1800 \,m)$ જાય છે અને પછી પરાવર્તિત થઈને કારના નવા સ્થાને $(1600 \,m)$ પાછો આવે છે.
ધ્વનિ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $D = 1800 \,m + 1600 \,m = 3400 \,m$ છે.
સમય $10 \,s$ હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ $v_s = \frac{D}{t} = \frac{3400}{10} = 340 \,m/s$ થાય.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ દબાણ $p$ થી સ્વતંત્ર છે અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto \sqrt{T}$.
આપેલ પ્રારંભિક શરતો: $T_1 = T$ અને $v_1 = v$.
આપેલ અંતિમ શરતો: $T_2 = 2 T$ અને $p_2 = \frac{p}{2}$.
ધ્વનિની ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર હોવાથી,દબાણમાં થતો ફેરફાર ઝડપને અસર કરતું નથી.
$v \propto \sqrt{T}$ ના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{2 T}{T}} = \sqrt{2}$
તેથી,$v_2 = \sqrt{2} v$.

(C) આપેલ છે: પથ તફાવત $\Delta x = 50 \ cm = 0.5 \ m$,કળા તફાવત $\Delta \phi = 1.8 \pi$,ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \ ms^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પથ તફાવત અને કળા તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \cdot \Delta \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.5 = \frac{\lambda}{2 \pi} \times 1.8 \pi$.
$0.5 = \lambda \times 0.9 \Rightarrow \lambda = \frac{0.5}{0.9} = \frac{5}{9} \ m$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{340}{5/9} = \frac{340 \times 9}{5} = 68 \times 9 = 612 \ Hz$.

(C) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ એ તેને ઉત્પન્ન કરનાર ઉદગમનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં (દા.ત. હવા માંથી પાણીમાં) જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી,જળાશયના તળિયે તરંગની આવૃત્તિ $v \text{ Hz}$ જ રહેશે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ સંબંધ પરથી,તે સ્પષ્ટ છે કે ધ્વનિનો વેગ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto \sqrt{T}$.
(ii) $v = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ સંબંધ પરથી,જો ઘનતા $\rho$ અચળ રાખવામાં આવે,તો ધ્વનિનો વેગ દબાણ $p$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v \propto \sqrt{p}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$B$ અને $C$ બંને તારવેલા સંબંધોના આધારે ભૌતિક રીતે સાચા વિધાનો છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે।
નોંધો કે આદર્શ વાયુ માટે ધ્વનિનો વેગ દબાણથી સ્વતંત્ર છે।
આપેલ છે:
$T_1 = 273 + 20 = 293 \text{ K}$
$T_2 = 273 + 40 = 313 \text{ K}$
$v_1 = 344.2 \text{ m/s}$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$v_2 = v_1 \sqrt{\frac{313}{293}}$
$v_2 = 344.2 \times \sqrt{1.06826}$
$v_2 \approx 344.2 \times 1.03356$
$v_2 \approx 355.75 \text{ m/s} \approx 356 \text{ m/s}$.

(D) ધાતુના સળિયામાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{2} \frac{\Delta Y}{Y} - \frac{1}{2} \frac{\Delta \rho}{\rho}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 1\%$ અને $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.5\%$.
આ કિંમતો મૂકતા,ઝડપમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{1}{2}(1\%) - \frac{1}{2}(0.5\%) = 0.5\% - 0.25\% = 0.25\%$ થાય છે.
ઝડપમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = \frac{0.25}{100} \times 400 \ m/s = 1 \ m/s$.
અંતિમ ઝડપ $V_{final} = V + \Delta V = 400 + 1 = 401 \ m/s$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\gamma$,$R$,અને $M$ અચળ હોવાથી,$V \propto \sqrt{T}$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વેગ બમણો થાય છે,જો $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ પર $V_1 = V_0$ હોય,તો $T_2 = (\alpha + 273) \ K$ પર $V_2 = 2V_0$ થાય.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_0}{2V_0} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{273}{T_2}$.
તેથી,$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$.
કારણ કે $T_2 = \alpha + 273$,તેથી $\alpha = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.