Mix Examples-Waves and Sound Questions in Gujarati

(A) એક છેડે બંધ નળી માટે, હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિ $f_k = \frac{(2k-1)v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k=1, 2, 3, \dots$. પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(k=2)$ છે.
આપેલ છે $L = 0.75 \,m$ અને $v = 340 \,m/s$, તેથી તારની આવૃત્તિ $f_s$:
$f_s = \frac{3 \times 340}{4 \times 0.75} = \frac{1020}{3} = 340 \,Hz$.
તાર $n$ આવૃત્તિના ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી $n = f_s \pm 4$, એટલે કે $n = 340 \pm 4$, તેથી $n = 344 \,Hz$ અથવા $336 \,Hz$.
જ્યારે તણાવ $T$ વધે છે, ત્યારે તારની આવૃત્તિ $f_s$ વધે છે। બીટ આવૃત્તિ $4$ થી ઘટીને $2$ થાય છે, તેનો અર્થ એ કે તારની આવૃત્તિ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિની નજીક જાય છે.
જો $n = 344 \,Hz$ હોય, તો $f_s$ એ $340$ થી વધીને $344$ તરફ જાય છે, જેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટે છે ($344 - 340 = 4$ થી $344 - 342 = 2$)। આ સુસંગત છે.
જો $n = 336 \,Hz$ હોય, તો $f_s$ વધવાથી તે $336$ થી દૂર જશે, જેથી બીટ આવૃત્તિ વધશે। તેથી, $n = 344 \,Hz$ સાચો જવાબ છે।

(A) પાઇપમાં આપણે લંબગત તરંગો ઉત્પન્ન કરી શકીએ છીએ અને તાર માટે આપણે અનુપ્રસ્થ તરંગો ઉત્પન્ન કરીએ છીએ.
$(A)$ એક છેડે બંધ પાઇપ: આ એક બંધ ઓર્ગન પાઇપ છે. મૂળભૂત કંપનો માટે પાઇપની લંબાઈ તરંગલંબાઈના $\frac{1}{4}$ ભાગની હોવી જોઈએ.
$\frac{\lambda_{f}}{4} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 4L$. પ્રકૃતિ: લંબગત $(p)$. તેથી,$(A) \rightarrow p, t$.
$(B)$ બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ: આ એક ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ છે. મૂળભૂત કંપનો માટે પાઇપની લંબાઈ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગની હોવી જોઈએ.
$\frac{\lambda_{f}}{2} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 2L$. પ્રકૃતિ: લંબગત $(p)$. તેથી,$(B) \rightarrow p, s$.
$(C)$ બંને છેડે જડેલો ખેંચાયેલો તાર: આ તારનો કિસ્સો છે. મૂળભૂત કંપનો માટે પાઇપની લંબાઈ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગની હોવી જોઈએ.
$\frac{\lambda_{f}}{2} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 2L$. પ્રકૃતિ: અનુપ્રસ્થ $(q)$. તેથી,$(C) \rightarrow q, s$.
$(D)$ બંને છેડે અને મધ્યબિંદુએ જડેલો ખેંચાયેલો તાર: આ કિસ્સામાં મધ્યબિંદુ જડેલું હોવાથી અડધી લંબાઈ એક લૂપ બનાવે છે.
$\frac{\lambda_{f}}{2} = \frac{L}{2} \Rightarrow \lambda_{f} = L$. પ્રકૃતિ: અનુપ્રસ્થ $(q)$. તેથી,$(D) \rightarrow q, r$.

(A,C,D) ધારો કે બે દોરીઓમાં તરંગની ઝડપ $v_1 = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ અને $v_2 = \sqrt{\frac{T}{4\mu}} = \frac{v_1}{2}$ છે.
$O$ પર નિસ્પંદ બિંદુ માટે:
$L = \frac{n \lambda_1}{2}$ અને $2L = \frac{m \lambda_2}{2}$,જ્યાં $n, m$ પૂર્ણાંક છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{v_2}{\lambda_2}$ હોવાથી,આપણને મળે $\frac{v_1}{2L/n} = \frac{v_1/2}{4L/m} \Rightarrow \frac{n v_1}{2L} = \frac{m v_1}{8L} \Rightarrow 4n = m$.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિ માટે,$n=1$,તેથી $m=4$. આવૃત્તિ $f = \frac{v_1}{2L} = v_0$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
$n=1$ અને $m=4$ માટે,પ્રથમ દોરીમાં લૂપ્સની સંખ્યા $n=1$ ($P$ અને $O$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ) અને બીજી દોરીમાં $m=4$ ($O$ અને $Q$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ) છે.
કુલ નિસ્પંદ બિંદુઓ = (દોરી $1$ માં નિસ્પંદ બિંદુઓ) + (દોરી $2$ માં નિસ્પંદ બિંદુઓ) - $1$ ($O$ પર સામાન્ય નિસ્પંદ બિંદુ) = $(n+1) + (m+1) - 1 = 2 + 5 - 1 = 6$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
$O$ પર પ્રસ્પંદ બિંદુ માટે:
$L = (2n-1) \frac{\lambda_1}{4}$ અને $2L = (2m-1) \frac{\lambda_2}{4}$.
આવૃત્તિ $f = \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{v_2}{\lambda_2} \Rightarrow \frac{v_1}{4L/(2n-1)} = \frac{v_1/2}{8L/(2m-1)} \Rightarrow \frac{2n-1}{4L} = \frac{2m-1}{16L} \Rightarrow 4(2n-1) = 2m-1$.
કારણ કે $4(2n-1)$ બેકી છે અને $2m-1$ એકી છે,આ સમીકરણનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. આમ,$(D)$ સાચું છે.

(D) બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં,નોડ્સની સંખ્યા એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે. આ સાચું છે.
$(B)$ ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં,નોડ્સની સંખ્યા હંમેશા એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા કરતા એક ઓછી હોય છે. જો એન્ટિનોડ્સ $= m$,તો નોડ્સ $= m-1$. આ સાચું છે.
$(C)$ ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$4^{\text{th}}$ હાર્મોનિક આવૃત્તિ $f_4 = \frac{4v}{2L} = \frac{2v}{L} = 400 \ Hz$ છે,તેથી $\frac{v}{L} = 200 \ Hz$. સમાન લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$2^{\text{nd}}$ ઓવરટોન એ $5^{\text{th}}$ હાર્મોનિક છે,જેની આવૃત્તિ $f = \frac{5v}{4L} = \frac{5}{4} \times 200 = 250 \ Hz$ છે. આ સાચું છે.
$(D)$ બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2|$ છે. ક્રમિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{|f_1 - f_2|} \ s$ છે. આ સાચું છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(C) $1$. જ્યારે તરંગ ગતિ કરે છે,ત્યારે માધ્યમના કણો તરંગના આકારને અનુસરે છે. જો બિંદુ $A$ ઉપરની તરફ ગતિ કરતું હોય,તો તરંગ ડાબી તરફ ગતિ કરતું હોવું જોઈએ કારણ કે $A$ ની ડાબી બાજુનું શૃંગ તેની નજીક આવી રહ્યું છે. તેથી,વિધાન $(a)$ ખોટું છે.
$2$. તરંગ ડાબી તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,આખો તરંગ આકાર ડાબી તરફ ખસે છે. બિંદુ $C$,જે શૃંગની જમણી બાજુએ છે,તે નીચેની તરફ ગતિ કરશે કારણ કે શૃંગ તેનાથી દૂર જઈ રહ્યું છે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
$3$. બિંદુ $B$ તરંગના શૃંગ પર છે. આ ક્ષણે બિંદુ $B$ નું સ્થાનાંતર તરંગના કંપવિસ્તાર જેટલું જ છે. તેથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
$4$. ડાબી તરફ ગતિ કરતા તરંગમાં,કળા ઋણ $x$-દિશામાં વધે છે. $A$ એ $C$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$A$ આગળની કળા $C$ આગળની કળા કરતા વધારે છે. તેથી,વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
સાચા વિધાનો $(b)$ અને $(d)$ હોવા જોઈએ,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $(b, d)$ સાચો જવાબ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 320 \ m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $L = 0.8 \ m$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
$f = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \ Hz$.
દોરીની લંબાઈ $l = 0.5 \ m$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ) અને તે બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરે છે. દોરીની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}}$
$50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}} \Rightarrow 2500 = \frac{50}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \ kg/m$.
દોરીનું દળ $M = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \ kg = 10 \ g$.

(B) એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_p = \frac{v}{4L_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v = 320 \,m/s$ અને $L_p = 0.8 \,m$ છે。
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \,Hz$.
તેના $2^{nd}$ હાર્મોનિકમાં કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિ $f_s = 2 \times \frac{1}{2L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $L_s = 0.5 \,m$, $T = 50 \,N$, અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે。
દોરી પાઇપ સાથે અનુનાદિત થતી હોવાથી, $f_s = f_p$.
$2 \times \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}} = 100$.
$2 \times \sqrt{\frac{50}{\mu}} = 100 \implies \sqrt{\frac{50}{\mu}} = 50$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{50}{\mu} = 2500 \implies \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \,kg/m$.
દોરીનું કુલ દળ $M = \mu \times L_s = 0.02 \,kg/m \times 0.5 \,m = 0.01 \,kg = 10 \,g$ થાય.

(C) $1$. એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_p = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 320 \ m/s$ અને $L = 0.8 \ m$ છે.
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \ Hz$.
$2$. દોરી તેના બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરી રહી છે. બંને છેડે જડેલી દોરી માટે $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_s = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $n=2$,$l = 0.5 \ m$,$T = 50 \ N$,અને $\mu = \frac{m}{l}$ છે.
$3$. દોરી પાઇપ સાથે અનુનાદ કરતી હોવાથી,$f_s = f_p = 100 \ Hz$.
$100 = \frac{2}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{50}{m/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{25}{m}} = 2 \times 5 \sqrt{\frac{1}{m}} = \frac{10}{\sqrt{m}}$.
$4$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $100 = \frac{100}{m}$,જે દર્શાવે છે કે $m = 0.01 \ kg = 10 \ g$.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4L}$ છે.
બંનેની પ્રારંભિક આવૃત્તિ સમાન હોવાથી, $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{4L}$.
જ્યારે તણાવમાં $16 \,N$ નો વધારો થાય છે, ત્યારે નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+16}{\mu}}$ થાય છે.
આ નવી આવૃત્તિ બંધ પાઇપના બીજા હાર્મોનિક સાથે અનુનાદ કરે છે. બંધ પાઇપના હાર્મોનિક્સ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક $(n, 3n, 5n, \dots)$ હોય છે. અહીં બીજો હાર્મોનિક એટલે $3n$ થાય.
તેથી, $n' = 3n$.
$\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+16}{\mu}} = 3 \left( \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T+16}{T} = 9$.
$T+16 = 9T \implies 8T = 16 \implies T = 2 \,N$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે. ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $f_w = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ છે.
આપેલ છે કે $f_w = f_c$,તેથી $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{4L} \implies \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{2}$.
જ્યારે તણાવ $8 \ N$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f_w' = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+8}{\mu}}$ થાય છે.
બંધ પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $3f_c = \frac{3v}{4L}$ છે.
આપેલ છે કે $f_w' = 3f_c$,તેથી $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+8}{\mu}} = \frac{3v}{4L} \implies \sqrt{\frac{T+8}{\mu}} = \frac{3v}{2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\sqrt{\frac{T+8}{T}} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T+8}{T} = 9 \implies T+8 = 9T \implies 8T = 8 \implies T = 1 \ N$.

(C) ધારો કે ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_A$ અને ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે. આપેલ છે કે $|f_A - f_B| = 5 \ Hz$.
$L_c = 20 \ cm = 0.2 \ m$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_A = \frac{v}{4L_c} = \frac{v}{4 \times 0.2} = \frac{v}{0.8}$ છે.
$L_o = 40.5 \ cm = 0.405 \ m$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_B = \frac{v}{2L_o} = \frac{v}{2 \times 0.405} = \frac{v}{0.81}$ છે.
કારણ કે $f_A > f_B$,તેથી $f_A - f_B = 5$.
$\frac{v}{0.8} - \frac{v}{0.81} = 5 \implies v \left( \frac{0.81 - 0.8}{0.8 \times 0.81} \right) = 5$.
$v \left( \frac{0.01}{0.648} \right) = 5 \implies v = \frac{5 \times 0.648}{0.01} = 500 \times 0.648 = 324 \ m/s$.
હવે,$f_A = \frac{324}{0.8} = 405 \ Hz$ અને $f_B = \frac{324}{0.81} = 400 \ Hz$.

(D) એક છેડે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_p = \frac{v}{4L_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v = 320 \,m/s$ અને $L_p = 0.8 \,m$ છે।
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \,Hz$.
$L_s = 0.5 \,m$ લંબાઈની દોરી માટે જે તેના $1^{\text{st}}$ ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે, તેની આવૃત્તિ $f_s = 2 \times \left( \frac{1}{2L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right) = \frac{1}{L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $\mu = \frac{M}{L_s}$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે।
દોરી પાઇપ સાથે અનુનાદિત થતી હોવાથી, $f_s = f_p = 100 \,Hz$.
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{M/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{50 \times 0.5}{M}} = 2 \sqrt{\frac{25}{M}} = \frac{2 \times 5}{\sqrt{M}} = \frac{10}{\sqrt{M}}$.
$\sqrt{M} = \frac{10}{100} = 0.1$.
$M = (0.1)^2 = 0.01 \,kg = 10 \,g$.

(B) ચાલો દરેક વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. 'વિવર્તન' એ તમામ તરંગોનો ગુણધર્મ છે,જેમાં ધ્વનિ અને પ્રકાશ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. તે તેમની વચ્ચે તફાવત કરવામાં મદદ કરતું નથી કારણ કે બંને વિવર્તન દર્શાવે છે.
$2$. લંબગત તરંગો યાંત્રિક (દા.ત.,હવામાં ધ્વનિ તરંગો) અથવા વિદ્યુતચુંબકીય (દા.ત.,પ્લાઝ્મા તરંગો) હોઈ શકે છે. તેથી,આ વિધાન કે લંબગત તરંગ 'યાંત્રિક જ હોવું જોઈએ' તે ખોટું છે.
$3$. યાંત્રિક તરંગો લંબગત (દા.ત.,દોરી પરના તરંગો) અથવા સંગત (દા.ત.,હવામાં ધ્વનિ તરંગો) હોઈ શકે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$4$. યાંત્રિક તરંગોને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે અને તે શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકતા નથી. આ વિધાન સાચું છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ એ ખોટું વિધાન છે.

(B) $A \rightarrow$ લંબગત તરંગમાં, માધ્યમના કણો તરંગ પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે કંપન કરે છે.
$B \rightarrow$ સંગત તરંગમાં, માધ્યમના કણો તરંગ પ્રસરણની દિશાને સમાંતર કંપન કરે છે.
$C \rightarrow$ બીટ્સ એ સમાન દિશામાં ગતિ કરતા સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
$D \rightarrow$ સ્થિત તરંગો (અથવા સ્ટેશનરી વેવ્સ) એ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $A-(ii), B-(i), C-(iv), D-(iii)$ છે, જે વિકલ્પ $(B)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,તારમાં તણાવ $T_1$ એ વસ્તુના વજન જેટલું છે: $T_1 = V \rho g = V(2000)g$.
તેથી,$n_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{V(2000)g}{\mu}} = 200 \ Hz$.
જ્યારે વસ્તુ પાણીમાં અડધી ડૂબેલી હોય (ઘનતા $\rho_w = 1000 \ kg \ m^{-3}$),ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ઉપરની તરફ લાગે છે: $F_B = V_{submerged} \rho_w g = \frac{V}{2}(1000)g = 500Vg$.
નવું તણાવ $T_2 = T_1 - F_B = 2000Vg - 500Vg = 1500Vg$.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{1500Vg}{\mu}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{1500Vg}{2000Vg}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$n_2 = n_1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 200 \times \frac{1.732}{2} = 173.2 \ Hz$.

(A) દોરીના $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{n}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
દોરી $AB$ ના પ્રથમ હાર્મોનિક $(n=1)$ ની આવૃત્તિ:
$f_A = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_A}{\mu}}$
દોરી $CD$ ના બીજા હાર્મોનિક $(n=2)$ ની આવૃત્તિ:
$f_C = \frac{2}{2\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}} = \frac{1}{\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}}$
આપેલ છે કે $f_A = f_C$:
$\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_A}{\mu}} = \frac{1}{\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}}$
$\frac{1}{2} \sqrt{T_A} = \sqrt{T_C}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4} T_A = T_C \implies T_A = 4T_C$
સળિયો રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,બિંદુ $O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$T_A \cdot x = T_C \cdot (L - x)$
$T_A = 4T_C$ મૂકતા:
$4T_C \cdot x = T_C \cdot (L - x)$
$4x = L - x$
$5x = L$
$x = \frac{L}{5}$

(C) રિવર્બરેશન સમય $T$ એ સેબિનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{0.161 V}{\sum A}$,જ્યાં $V$ એ કદ છે અને $\sum A = \alpha S$ એ કુલ શોષણ છે.
આપેલ છે: $V = 10^5 \ m^3$,$S = 2 \times 10^4 \ m^2$,અને $\alpha = 0.2$.
કુલ શોષણ $\sum A = \alpha \times S = 0.2 \times 2 \times 10^4 = 4000 \ m^2$.
આવા દાખલાઓમાં વપરાતા પ્રમાણિત અચળાંક $0.17$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{0.17 V}{\alpha S}$:
$T = \frac{0.17 \times 10^5}{0.2 \times 2 \times 10^4} = \frac{17000}{4000} = 4.25 \ s$.

(C) $l_1$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{4l_1}$ છે.
$l_2$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{2l_2}$ છે.
આપેલ છે કે $l_1 = 32 \,cm = 0.32 \,m$ અને $l_2 = 66 \,cm = 0.66 \,m$.
બીટ આવૃત્તિ $|n_1 - n_2| = 8 \,Hz$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{4 \times 0.32} - \frac{v}{2 \times 0.66} = 8$.
$\frac{v}{1.28} - \frac{v}{1.32} = 8$.
$\frac{1.32v - 1.28v}{1.28 \times 1.32} = 8$.
$0.04v = 8 \times 1.6896$.
$v = \frac{13.5168}{0.04} = 337.92 \,m/s$.
હવે, આવૃત્તિઓની ગણતરી કરતા:
$n_1 = \frac{337.92}{1.28} = 264 \,Hz$.
$n_2 = \frac{337.92}{1.32} = 256 \,Hz$.
આમ, આવૃત્તિઓ $264 \,Hz$ અને $256 \,Hz$ છે.