Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(A) એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિ $f_n = (2n - 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $f_0 = 1500 \ Hz$ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 1500 \ Hz$ છે.
ઓવરટોન્સ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતા વધારે આવૃત્તિઓ છે,જે $n > 1$ માટે $f_n = (2n - 1)f_0$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $f_n \leq 19500 \ Hz$ ની જરૂર છે.
$(2n - 1) \times 1500 \leq 19500$.
$2n - 1 \leq \frac{19500}{1500} = 13$.
$2n \leq 14$,તેથી $n \leq 7$.
$n$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે.
કારણ કે $n=1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે,તેથી ઓવરટોન્સ $n = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,કુલ $7 - 1 = 6$ ઓવરટોન્સ છે.

(A) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે મૂળભૂત અનુનાદ આવૃત્તિ $L$ લંબાઈ માટે $n_1 = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે મૂળભૂત અનુનાદ આવૃત્તિ $L$ લંબાઈ માટે $n_2 = \frac{V}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$n_2 = \frac{V}{4L} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{2L} \right)$
$n_2 = \frac{n_1}{2}$
તેથી,$n_1 = 2 n_2$.

(D) વર્તુળાકાર આડછેદ ધરાવતી નળી માટે અંતિમ સુધારો $e$ નું સૂત્ર $e = 0.6r$ અથવા $e = 0.3d$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $d$ એ નળીનો વ્યાસ છે.
અંતિમ સુધારો $e$ એ નળીના વ્યાસ $d$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(e \propto d)$,નળીનો વ્યાસ વધારવાથી અંતિમ સુધારો પણ વધશે.
તેથી,જો નળીને પહોળી કરવામાં આવે તો અંતિમ સુધારો વધુ હશે.

(C) $L$ લંબાઈની એક છેડે બંધ નળી માટે,મૂળભૂત તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 4L$ છે. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_A = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L}$ છે.
$L$ લંબાઈની બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે,મૂળભૂત તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = 2L$ છે. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_B = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{2L}$ છે.
નળી $A$ અને નળી $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{f_A}{f_B} = \frac{v/4L}{v/2L} = \frac{2L}{4L} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ $f_n = (2n + 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ એ ઓવરટોન નંબર દર્શાવે છે.
$n$-મા ઓવરટોન માટે,નોડની સંખ્યા $(n + 1)$ છે અને એન્ટિનોડની સંખ્યા $(n + 1)$ છે.
અહીં હવાના સ્તંભ ચોથા ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે,તેથી $n = 4$ છે.
તેથી,નોડની સંખ્યા = $4 + 1 = 5$.
એન્ટિનોડની સંખ્યા = $4 + 1 = 5$.
આમ,કંપન કરતા હવાના સ્તંભમાં $5$ નોડ અને $5$ એન્ટિનોડ છે.

(B) $L_O$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી પાઇપની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે. બીજો ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$f_{O,2} = \frac{3 v}{2 L_O}$.
$L_C$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે,આવૃત્તિ $f_m = \frac{(2m-1) v}{4 L_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 1, 2, 3, \dots$ એ ઓવરટોન નંબર છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ $m=2$ ($3^{rd}$ હાર્મોનિક) ને અનુરૂપ છે. તેથી,$f_{C,1} = \frac{3 v}{4 L_C}$.
આપેલ છે કે $f_{O,2} = f_{C,1}$,તેથી:
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{3 v}{4 L_C}$
$\frac{1}{2 L_O} = \frac{1}{4 L_C}$
$L_C = \frac{L_O}{2} = \frac{1.5 \ m}{2} = 0.75 \ m$.

(A) $L$ લંબાઈની બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
જ્યારે નળીને પાણીમાં શિરોલંબ એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ પાણીમાં ડૂબેલી રહે,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $L' = \frac{L}{2}$ થાય છે.
નળીનો નીચેનો છેડો હવે પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ થઈ જાય છે,જેથી તે $L' = \frac{L}{2}$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ બની જાય છે.
બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $L' = \frac{L}{2}$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L}$ મળે છે.
કારણ કે $f = \frac{v}{2L}$,તેથી $f' = f$ થાય છે.
આમ,મૂળભૂત આવૃત્તિ સમાન રહે છે.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત મોડ લંબાઈ $L = \frac{\lambda}{4}$ ને અનુરૂપ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આમ,તરંગલંબાઇ $\lambda = 4L$ છે.
ધ્વનિ તરંગને પાઇપની લંબાઈ $L$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ આપેલ છે. ધ્વનિની ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,$v = \frac{L}{t}$ મળે.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $f = \frac{L/t}{4L} = \frac{1}{4t} = \frac{0.25}{t}$ મળે છે.
તેથી,હવાના સ્તંભના કંપનની આવૃત્તિ $\frac{0.25}{t}$ Hz છે.
વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) બંને છેડે ખુલ્લી $L$ લંબાઈની નળાકાર ટ્યુબ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં ઊભી એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈનો એક-તૃતીયાંશ ભાગ પાણીમાં ડૂબી જાય,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ થાય છે.
હવે આ ટ્યુબ એક છેડે બંધ (પાણીની સપાટી) અને બીજા છેડે ખુલ્લી પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ છે.
$L' = \frac{2L}{3}$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ મળે છે.
કારણ કે $f = \frac{v}{2L}$,આપણે લખી શકીએ કે $f' = \frac{3}{4} \times \frac{v}{2L} = \frac{3}{4}f$.

(B) બંધ પાઇપમાં,ધ્વનિ તરંગો હવાના સ્તંભમાંથી પસાર થાય છે અને બંધ છેડા પરથી પરાવર્તિત થાય છે.
આ પરાવર્તિત તરંગો આપાત તરંગો સાથે વ્યતિકરણ પામીને સ્થિત (સ્થાયી) તરંગો બનાવે છે.
ધ્વનિ તરંગો દબાણના તરંગો હોવાથી,તે સ્વભાવે સંગત (લંબગત નહીં) હોય છે.
તેથી,બંધ પાઇપમાં ઉત્પન્ન થતા તરંગો સંગત અને સ્થિત હોય છે.

(D) આપેલ છે: પાઇપની લંબાઈ $L = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$.
આવૃત્તિ $f = 1.1 \text{ kHz} = 1100 \text{ Hz}$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \text{ ms}^{-1}$.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \times \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $1100 = n \times \frac{330}{2 \times 0.3}$.
$1100 = n \times \frac{330}{0.6}$.
$1100 = n \times 550$.
$n = \frac{1100}{550} = 2$.
તેથી,પાઇપ બીજા હાર્મોનિક મોડમાં અનુનાદિત થાય છે.

(A) બંધ પાઈપના $n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓવરટોન માટે,$n=1$,તેથી $f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$.
ખુલ્લી પાઈપના $m^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{mv}{2l_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક માટે,$m=2$,તેથી $f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$.
આપેલ છે કે $f_{c} = f_{o}$,તેથી $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$.
ગુણોત્તર $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(A) $L_o$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઈપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L_o}$ છે. બીજો ઓવરટોન એ $3$ જો હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{o} = \frac{3 v}{2 L_o}$.
$L_c$ લંબાઈની બંધ પાઈપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_c}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ $3$ જો હાર્મોનિક $(n=2)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{c} = \frac{3 v}{4 L_c}$.
આપેલ છે કે $f_o = f_c$,તેથી $\frac{3 v}{2 L_o} = \frac{3 v}{4 L_c}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{2 L_o} = \frac{1}{4 L_c}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_o}{L_c} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.

(D) ધારો કે બંને પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{v}{2L}$ છે અને બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{v}{4L}$ છે.
આપેલ છે કે $f_{o} - f_{c} = 2 \text{ Hz}$.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2 \Rightarrow \frac{v}{4L} = 2 \text{ Hz}$.
આમ,$f_{c} = 2 \text{ Hz}$ અને $f_{o} = 2f_{c} = 4 \text{ Hz}$.
હવે,ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે છે $(L_{o}' = L/2)$,તેથી તેની નવી આવૃત્તિ $f_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 2f_{o} = 2 \times 4 = 8 \text{ Hz}$ થાય.
બંધ પાઇપની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે $(L_{c}' = 2L)$,તેથી તેની નવી આવૃત્તિ $f_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left(\frac{v}{4L}\right) = \frac{1}{2} f_{c} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ Hz}$ થાય.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $|f_{o}' - f_{c}'| = |8 - 1| = 7 \text{ Hz}$ છે.

(A) $\text{L}$ લંબાઈની ખુલ્લી નળાકાર નળીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L} = 390 \,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે નળીનો $\frac{1}{4}$ ભાગ પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે નળી એક બંધ ઓર્ગન પાઇપ (એક છેડે બંધ) તરીકે કાર્ય કરે છે, જેની નવી લંબાઈ $L' = L - \frac{1}{4}L = \frac{3}{4}L$ થાય છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L' = \frac{3}{4}L$ મૂકતા, આપણને $n' = \frac{v}{4(\frac{3}{4}L)} = \frac{v}{3L}$ મળે છે.
આને આપણે $n' = \frac{2}{3} \times (\frac{v}{2L})$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{v}{2L} = 390 \,Hz$, તેથી $n' = \frac{2}{3} \times 390 \,Hz = 260 \,Hz$ થાય છે.

(A) $l$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે નળીને પાણીમાં ઊભી એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ ડૂબી જાય,ત્યારે તે $l' = \frac{l}{2}$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4l'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f'$ ના સમીકરણમાં $l' = \frac{l}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f' = \frac{v}{4(l/2)} = \frac{v}{2l}$.
આને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f' = f$.

$(A)$ $\text{આપેલ છે: } n_0 = 140 \,Hz, T_0 = 27^{\circ} C = 300 \,K, \text{અને } T_1 = 57.75^{\circ} C = 330.75 \,K$.
$\text{ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ એ ધ્વનિની ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે } (n \propto v), \text{અને ધ્વનિની ઝડપ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે } (v \propto \sqrt{T}), \text{તેથી } n \propto \sqrt{T} \text{ થાય.}
\text{તેથી, } \frac{n_1}{n_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_0}}.
\text{કિંમતો મૂકતા: } \frac{n_1}{140} = \sqrt{\frac{330.75}{300}} = \sqrt{1.1025} = 1.05.
\text{આમ, } n_1 = 140 \times 1.05 = 147 \,Hz.
\text{પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: } n_1 - n_0 = 147 \,Hz - 140 \,Hz = 7 \,Hz.
\text{તેથી, સાચો વિકલ્પ } A \text{ છે।}$

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ $(n = 1, 3, 5, 7, 9, ...)$.
$L$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં, $n^{th}$ હાર્મોનિક માટે બનતા નોડ્સની સંખ્યા $N$ એ સૂત્ર $N = \frac{n+1}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા હાર્મોનિક $(n = 5)$ માટે:
$N_5 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
નવમા હાર્મોનિક $(n = 9)$ માટે:
$N_9 = \frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
તેથી, બનતા નોડ્સની સંખ્યા અનુક્રમે $3$ અને $5$ છે.

(B) બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ હાર્મોનિક મોડ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 30 \ cm = 0.3 \ m$
આવૃત્તિ $f = 1.65 \ kHz = 1650 \ Hz$
ધ્વનિનો વેગ $v = 330 \ m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1650 = \frac{n \times 330}{2 \times 0.3}$
$1650 = \frac{n \times 330}{0.6}$
$1650 = n \times 550$
$n = \frac{1650}{550} = 3$
તેથી,પાઇપ $3$ જા હાર્મોનિક મોડમાં અનુનાદ કરે છે.

(D) આકૃતિ $(a)$ માટે,$L = \frac{\lambda_1}{4} \Rightarrow \lambda_1 = 4L$.
આકૃતિ $(b)$ માટે,$L = \frac{\lambda_2}{4} + \frac{\lambda_2}{2} + \frac{\lambda_2}{4} = \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = L$.
આકૃતિ $(c)$ માટે,$L = \frac{\lambda_3}{4} + \frac{\lambda_3}{4} + \frac{\lambda_3}{2} = \lambda_3 \Rightarrow \lambda_3 = 2L$.
આકૃતિ $(d)$ માટે,$L = \frac{\lambda_4}{2} + \frac{\lambda_4}{4} = \frac{3\lambda_4}{4} \Rightarrow \lambda_4 = \frac{4L}{3}$.
આવૃત્તિ $f \propto \frac{1}{\lambda}$ હોવાથી,$f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = \frac{1}{\lambda_1} : \frac{1}{\lambda_2} : \frac{1}{\lambda_3} : \frac{1}{\lambda_4}$.
કિંમતો મૂકતા: $f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = \frac{1}{4L} : \frac{1}{L} : \frac{1}{2L} : \frac{3}{4L}$.
$4L$ વડે ગુણતા,આપણને $1 : 4 : 2 : 3$ મળે છે.

(C) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ:
$f_0 = \frac{v}{2L} = 100 \ Hz$
જ્યારે નીચેનો છેડો બંધ કરવામાં આવે અને પાઇપનો $1/3$ ભાગ પાણીથી ભરવામાં આવે,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ થાય છે.
$L'$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ:
$f' = \frac{v}{4L'}$
$L' = \frac{2L}{3}$ મૂકતા:
$f' = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$f' = \frac{3}{4} \left( \frac{v}{2L} \right)$
કારણ કે $\frac{v}{2L} = 100 \ Hz$,તેથી:
$f' = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \ Hz$

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 l_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા હાર્મોનિક $(n=3)$ માટે,$f_{open} = \frac{3 v}{2 l_o}$.
અહીં $l_o = 72 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $f_{open} = \frac{3 v}{2 \times 72} = \frac{v}{48}$.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ ($n$ એકી સંખ્યા છે) $f_n = \frac{n v}{4 l_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા હાર્મોનિક $(n=5)$ માટે,$f_{closed} = \frac{5 v}{4 l_c}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$f_{closed} = f_{open}$.
$\frac{5 v}{4 l_c} = \frac{3 v}{2 l_o}$.
$l_o = 72 \ cm$ મૂકતા:
$\frac{5}{4 l_c} = \frac{3}{2 \times 72} = \frac{3}{144} = \frac{1}{48}$.
$4 l_c = 5 \times 48 = 240$.
$l_c = \frac{240}{4} = 60 \ cm$.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે, બીટ આવૃત્તિ $f_b = \frac{40}{10} = 4 \,Hz$.
ધારો કે $l_1 = 50 \,cm = 0.5 \,m$ અને $l_2 = 51 \,cm = 0.51 \,m$.
આવૃત્તિઓનો તફાવત $f_1 - f_2 = 4 \,Hz$ છે.
$\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.51 - 0.5}{0.5 \times 0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.01}{0.255} \right) = 4$
$v \left( \frac{0.01}{0.51} \right) = 4$
$v = \frac{4 \times 0.51}{0.01} = 4 \times 51 = 204 \,ms^{-1}$.

(A) $l_O$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot \frac{V}{2 l_O}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે, બીજી હાર્મોનિક $(n=2)$ $f_2 = 2 \cdot \frac{V}{2 l_O} = \frac{V}{l_O}$ છે.
$l_C$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{V}{4 l_C}$ છે.
આપેલ છે કે ખુલ્લી પાઇપની બીજી હાર્મોનિક એ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ સમાન છે:
$\frac{V}{l_O} = \frac{V}{4 l_C}$.
$l_O = 80 \,cm$ મૂકતા:
$\frac{1}{80} = \frac{1}{4 l_C}$.
$4 l_C = 80$.
$l_C = 20 \,cm$.

(B) ધારો કે ટ્યુબની લંબાઈ $L$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f = \frac{V}{2L}$
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં શિરોલંબ રીતે એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈનો $60 \%$ ભાગ પાણીમાં ડૂબેલો રહે,ત્યારે પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલો બાકીનો હવાના સ્તંભનો ભાગ બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે વર્તે છે (એક છેડે પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ).
આ હવાના સ્તંભની લંબાઈ:
$l' = (100 \% - 60 \%) L = 40 \% L = 0.4L = \frac{2L}{5}$
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f' = \frac{V}{4l'}$
$l'$ ની કિંમત મૂકતા:
$f' = \frac{V}{4(\frac{2L}{5})} = \frac{5V}{8L}$
આને $f$ ના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખતા:
$f' = \frac{5}{4} \left( \frac{V}{2L} \right) = \frac{5}{4} f$

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ એ ધ્વનિની ઝડપના પ્રમાણસર હોય છે,જે નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના પ્રમાણસર હોય છે $(v \propto \sqrt{T})$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
$T_1 = 273 + 51 = 324 \ K$ તાપમાને,હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ $n_1 = n + 3$ છે.
$T_2 = 273 + 16 = 289 \ K$ તાપમાને,હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ $n_2 = n - 3$ છે.
સંબંધ $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n+3}{n-3} = \sqrt{\frac{324}{289}} = \frac{18}{17}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $17(n + 3) = 18(n - 3)$.
$17n + 51 = 18n - 54$.
$n = 51 + 54 = 105 \ Hz$.

(C) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,$n^{th}$ ઓવરટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_n = \frac{2l}{n+1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3^{rd}$ ઓવરટોન માટે,$n=3$,તેથી $\lambda = \frac{2l}{3+1} = \frac{2l}{4} = \frac{l}{2}$.
પાઈપ બંને છેડે ખુલ્લી હોવાથી,ખુલ્લા છેડાઓ પર એન્ટિનોડ (મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A$) રચાય છે.
એન્ટિનોડથી $x$ અંતરે સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $R = A \cos(kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
અહીં $x = \frac{l}{16}$ આપેલ છે,તેથી ફેઝ એંગલ $\phi = kx = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{l}{16}$.
$\lambda = \frac{l}{2}$ મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{2\pi}{(l/2)} \cdot \frac{l}{16} = \frac{4\pi}{l} \cdot \frac{l}{16} = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તાર $R = A \cos(\frac{\pi}{4}) = A \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
$f$ અચળ હોવાથી, $\frac{v_1}{L_1} = \frac{v_2}{L_2}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_2}{L_1} = \frac{v_2}{v_1}$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto \sqrt{T})$.
તેથી, $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
અહીં $T_1 = 27 + 273 = 300 \,K$ અને $T_2 = 7 + 273 = 280 \,K$ આપેલ છે.
$L_1 = 20 \,cm = 200 \,mm$.
$L_2 = L_1 \sqrt{\frac{280}{300}} = 200 \times \sqrt{\frac{28}{30}} = 200 \times \sqrt{0.9333} \approx 200 \times 0.966 = 193.2 \,mm$.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L_1 - L_2 = 200 \,mm - 193.2 \,mm = 6.8 \,mm \approx 7 \,mm$.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક છે. આવૃત્તિ $f = \frac{3v_1}{4L} = \frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ સંકોચનક્ષમતા છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ $2^{nd}$ હાર્મોનિક છે. આવૃત્તિ $f = \frac{2v_2}{2L'} = \frac{v_2}{L'} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વાયુઓ માટે સંકોચનક્ષમતા $\beta$ સમાન હોવાથી,આપણે આવૃત્તિઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
$\frac{3}{4L \sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L' \sqrt{\rho_2}}$
$L' = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$.

(B) ક્રમિક અનુનાદ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = 595 - 425 = 170 \,Hz$ અને $765 - 595 = 170 \,Hz$ છે.
કારણ કે ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0$ છે (જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે), તેથી આ પાઇપ બંધ ઓર્ગન પાઇપ હોવી જોઈએ.
આમ, $2f_0 = 170 \,Hz$, જે આપણને $f_0 = 85 \,Hz$ આપે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_0 = \frac{v}{4l}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $85 = \frac{340}{4l}$.
$l$ માટે ઉકેલતા: $l = \frac{340}{4 \times 85} = \frac{340}{340} = 1 \,m$.

(A) બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
કારણ કે $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$,તેથી $f = \frac{1}{4l} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પાઇપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ અને તાપમાન $T$ સમાન છે,તેથી $l \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,$M_1 = 32 \ g/mol$. હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,$M_2 = 2 \ g/mol$.
તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) $L_1$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2 L_1}$ છે,જેનો અર્થ છે $L_1 = \frac{v}{2 n_1}$.
$L_2$ લંબાઈની બંધ પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{4 L_2}$ છે,જેનો અર્થ છે $L_2 = \frac{v}{4 n_2}$.
સંયુક્ત પાઈપ એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી છે,જેની કુલ લંબાઈ $L = L_1 + L_2$ છે.
સંયુક્ત પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4 L} = \frac{v}{4(L_1 + L_2)}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{v}{4(\frac{v}{2 n_1} + \frac{v}{4 n_2})} = \frac{v}{4v(\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2})} = \frac{1}{\frac{2}{4 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{2 n_2 + n_1}{4 n_1 n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + 2 n_2}$.

(C) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,$\lambda/2 = L$,તેથી $\lambda = 2L$.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda = f(2L) = 2fL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2fL = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4f^2 L^2 = \frac{\gamma R T}{M}$.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા: $\gamma = \frac{4 M f^2 L^2}{R T}$.

(B) ધારો કે $L_o$ અને $L_c$ એ અનુક્રમે ઓપન અને ક્લોઝ્ડ પાઇપની લંબાઈ છે। આપેલ છે કે $L_o / L_c = 2 / 3$.
ઓપન પાઇપ માટે, $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{o,n} = n(v / 2L_o)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। ત્રીજો હાર્મોનિક $(n=3)$ $f_{o,3} = 3(v / 2L_o)$ છે.
ક્લોઝ્ડ પાઇપ માટે, $m$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{c,m} = m(v / 4L_c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ। પાંચમો હાર્મોનિક $(m=5)$ $f_{c,5} = 5(v / 4L_c)$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $R = f_{o,3} / f_{c,5} = [3(v / 2L_o)] / [5(v / 4L_c)]$.
$R = (3v / 2L_o) \times (4L_c / 5v) = (3 \times 4 \times L_c) / (2 \times 5 \times L_o) = (12 / 10) \times (L_c / L_o)$.
કારણ કે $L_o / L_c = 2 / 3$, તેથી $L_c / L_o = 3 / 2$.
આ કિંમત મૂકતા: $R = (1.2) \times (1.5) = 1.8 = 18 / 10 = 9 / 5$.
આમ, ગુણોત્તર $9 : 5$ છે.

(A) ધારો કે $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
ઓપન ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{v}{2l}$ છે.
ક્લોઝ્ડ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{v}{4l}$ છે.
આપેલ છે કે આ મૂળભૂત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $100 \ Hz$ છે:
$f_{o} - f_{c} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{2l} - \frac{v}{4l} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$.
ઓપન પાઇપનો બીજો હાર્મોનિક $f_{2,o} = 2 \times f_{o} = 2 \times \frac{v}{2l} = \frac{v}{l}$ છે.
ક્લોઝ્ડ પાઇપનો ત્રીજો હાર્મોનિક $f_{3,c} = 3 \times f_{c} = 3 \times \frac{v}{4l} = \frac{3v}{4l}$ છે.
આ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$f_{2,o} - f_{3,c} = \frac{v}{l} - \frac{3v}{4l} = \frac{4v - 3v}{4l} = \frac{v}{4l}$.
કારણ કે $\frac{v}{4l} = 100 \ Hz$,તેથી જરૂરી તફાવત $100 \ Hz$ છે.

(D) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_c = \frac{nv}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સાતમા $(7^{th})$ હાર્મોનિક માટે,$n = 7$,તેથી $f_c = \frac{7v}{4L_c}$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_o = \frac{nv}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચોથા $(4^{th})$ હાર્મોનિક માટે,$n = 4$,તેથી $f_o = \frac{4v}{2L_o}$.
આપેલ છે કે બંને આવૃત્તિઓ એકસૂર (unison) માં છે,તેથી $f_c = f_o$.
તેથી,$\frac{7v}{4L_c} = \frac{4v}{2L_o}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{7}{4L_c} = \frac{2}{L_o}$.
લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધતા: $\frac{L_c}{L_o} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં દરેક ખુલ્લા છેડે પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) હોવું આવશ્યક છે. જ્યારે કેન્દ્ર $(x = \frac{L}{2})$ પર એક વધારાનું છિદ્ર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે આ બિંદુ પરની હવા વાતાવરણના સંપર્કમાં આવે છે,જે આ સ્થાને પણ પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ બનવા માટે મજબૂર કરે છે.
લઘુત્તમ આવૃત્તિ (મૂળભૂત મોડ) માટે,સ્થિત તરંગમાં બંને છેડાઓ અને કેન્દ્રના છિદ્ર પર પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ હોવા જોઈએ.
બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ છે.
અહીં,છેડાના પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ અને કેન્દ્રના પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{L}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = \frac{L}{2} \implies \lambda = L = 25 \,cm = 0.25 \,m$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{340}{0.25} = 1360 \,Hz$.

(D) સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 340 \,Hz$ છે અને ધ્વનિનો વેગ $v = 340 \,m/s$ છે.
ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \,m = 100 \,cm$ છે.
એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ એ $l = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ શરતનું પાલન કરે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$n=1$ માટે, $l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \,cm$.
$n=2$ માટે, $l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \,cm$.
$n=3$ માટે, $l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100}{4} = 125 \,cm$.
ટ્યુબની કુલ લંબાઈ $120 \,cm$ હોવાથી, હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ $25 \,cm$ અને $75 \,cm$ છે.
તળિયેથી પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h$ એ $h = L - l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L = 120 \,cm$ એ ટ્યુબની કુલ લંબાઈ છે.
$l_1 = 25 \,cm$ માટે, $h_1 = 120 - 25 = 95 \,cm = 0.95 \,m$.
$l_2 = 75 \,cm$ માટે, $h_2 = 120 - 75 = 45 \,cm = 0.45 \,m$.
પાણીના સ્તરની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $0.45 \,m$ છે.

(C) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $l$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ છે.
બંધ પાઇપનો $3^{rd}$ હાર્મોનિક $f_{3,c} = 3 \times f_c = \frac{3v}{4l}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2l}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ બંધ પાઇપના $3^{rd}$ હાર્મોનિક કરતા $55 \,Hz$ ઓછી છે:
$f_{3,c} - f_o = 55 \,Hz$
$\frac{3v}{4l} - \frac{v}{2l} = 55$
$\frac{3v - 2v}{4l} = 55$
$\frac{v}{4l} = 55 \,Hz$
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ હોવાથી, તેનું મૂલ્ય $55 \,Hz$ છે.

(D) પ્રથમ હાર્મોનિકમાં કંપન કરતા બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v_1}{4 l_1}$ છે.
ત્રીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરતા ખુલ્લા ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $n_3 = \frac{3 v_2}{2 l_2}$ છે.
બંને પાઇપ સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,$n_1 = n_3$ થાય.
તેથી,$\frac{v_1}{4 l_1} = \frac{3 v_2}{2 l_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)$.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ (સંકોચનક્ષમતાનું વ્યસ્ત) છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
સંકોચનક્ષમતા સમાન હોવાથી,$B_1 = B_2 = B$ થાય.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{B/\rho_1}{B/\rho_2}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$.
આ કિંમત લંબાઈના ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ મળે છે.

(A) શરૂઆતમાં,'$L$' લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{V}{2L}$
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં ઊભી રીતે એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ પાણીમાં ડૂબી જાય,ત્યારે પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલા હવાના સ્તંભની બાકીની લંબાઈ '$L/2$' થાય છે.
પાણીની સપાટી બંધ છેડા તરીકે કામ કરે છે. આમ,હવે આ ટ્યુબ એક છેડે બંધ પાઇપ તરીકે વર્તે છે જેની અસરકારક લંબાઈ '$L' = L/2$' છે.
એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$f' = \frac{V}{4L'}$
'$L' = L/2$' મૂકતા:
$f' = \frac{V}{4(L/2)} = \frac{V}{2L} = f$
તેથી,નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ '$f$' જ રહેશે.

(C) એક છેડે બંધ નળી માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = n \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, ...$ એ એકી સંખ્યાઓ છે. પાંચમો હાર્મોનિક $n = 5$ ને અનુરૂપ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{4L}{n} = \frac{4 \times 50 \ cm}{5} = 40 \ cm$ મળે છે.
બંધ નળી માટે સ્થિત તરંગનું સમીકરણ (ખુલ્લા છેડાને $x = 0$ લેતા) $y = A \cos(kx) \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{40} = \frac{\pi}{20} \ rad/cm$.
$x = 0$ આગળ,$y_1 = A \cos(0) \cos(\omega t) = A \cos(\omega t)$.
$x = 42 \ cm$ આગળ,$y_2 = A \cos(k \times 42) \cos(\omega t) = A \cos(\frac{\pi}{20} \times 42) \cos(\omega t) = A \cos(2.1\pi) \cos(\omega t) = A \cos(2\pi + 0.1\pi) \cos(\omega t) = A \cos(0.1\pi) \cos(\omega t)$.
બંને કણો સમાન કળામાં દોલન કરે છે (કોસાઈન પદો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે),તેથી કળા તફાવત $0^{\circ}$ છે.

(A) જ્યારે સળિયાને તેના મધ્યબિંદુએથી જડિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યબિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ (node) તરીકે અને બંને છેડાઓ પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) તરીકે વર્તે છે.
ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\lambda/2$ હોય છે. અહીં,સળિયો કેન્દ્રમાં જડિત હોવાથી,લંબાઈ $L$ એ બે છેડાઓ (પ્રસ્પંદ બિંદુઓ) વચ્ચેના અંતરને અનુરૂપ છે,જે $\lambda/2$ છે.
તેથી,$L = \lambda/2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2L$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ એ $f = v/\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે.
$\lambda = 2L$ મૂકતા,આપણને $f = v/(2L)$ મળે છે.
આપેલ છે: $L = 125 \ cm = 1.25 \ m$ અને $v = 5000 \ ms^{-1}$.
$f = 5000 / (2 \times 1.25) = 5000 / 2.5 = 2000 \ Hz$.
$2000 \ Hz = 2 \ kHz$.

(D) નળી એક છેડે બંધ હોવાથી,તે બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે. નળીમાં ઉત્પન્ન થતી લઘુત્તમ આવૃત્તિ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) એવી સ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યાં નળીની લંબાઈ $l = \frac{\lambda}{4}$ થાય.
આપેલ છે: $l = 1.0 \text{ m}$,$f = 84 \text{ Hz}$.
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = 4l = 4 \times 1.0 = 4 \text{ m}$.
હવામાં ધ્વનિનો વેગ $v = f \lambda = 84 \times 4 = 336 \text{ m/s}$ છે.
ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $\rho$ એ હવાની ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $v^{2} = \frac{\gamma P}{\rho}$ મળે છે.
$\gamma$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$\gamma = \frac{v^{2} \rho}{P}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\gamma = \frac{(336)^{2} \times 1.2}{1.0 \times 10^{5}} = \frac{112896 \times 1.2}{100000} = \frac{135475.2}{100000} \approx 1.355$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\gamma = 1.4$ મળે છે.

(C) ધારો કે બંધ ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ $l$ છે. $L = 2l$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open} = \frac{v}{2L} = \frac{v}{2(2l)} = \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$ છે.
$l$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n - 1) \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ હાર્મોનિક (મૂળભૂત) $f_1 = \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$ છે.
ત્રીજો હાર્મોનિક $n = 2$ ને અનુરૂપ છે (કારણ કે બંધ પાઇપના હાર્મોનિક્સ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક હોય છે: $f_1, 3f_1, 5f_1, ...$).
તેથી,ત્રીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_3 = 3 \times f_1 = 3 \times 100 \ Hz = 300 \ Hz$ થાય.

(B) ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2l}$ છે,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $f = 5100 \ Hz$,$v = 340 \ ms^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5100 = \frac{340}{2l}$
$l = \frac{340}{5100 \times 2}$
$l = \frac{340}{10200} = \frac{34}{1020} = \frac{1}{30} \ m$.
લંબાઈને $cm$ માં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$l = \frac{1}{30} \times 100 = \frac{10}{3} \ cm$.

(B) ધારો કે બંધ પાઇપની લંબાઈ $L_{1}$ છે અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ $L_{2}$ છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $v_{1} = \frac{v}{4 L_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપના બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $v_{2} = 2 \times \frac{v}{2 L_{2}} = \frac{v}{L_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ખુલ્લી પાઇપના બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ સમાન છે,તેથી $v_{1} = v_{2}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને $\frac{v}{4 L_{1}} = \frac{v}{L_{2}}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(D) બંધ પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,$f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{(n+1)v}{2l_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,$f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે: $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$.