Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(A) બંને પાઇપ એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની કંપન આવૃત્તિ $f$ સમાન હશે.
એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(2n+1)v}{4l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{3v}{4l_1}$ છે.
બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(n+1)v}{2l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{(3+1)v}{2l_2} = \frac{4v}{2l_2} = \frac{2v}{l_2}$ છે.
આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{3v}{4l_1} = \frac{2v}{l_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2}$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{8}$.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં $m^{\text{મા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_m = \frac{m v}{2 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(m=1)$ માટે, $f_1 = \frac{v}{2 L}$.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં $n^{\text{મા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n^{\prime} = \frac{n v}{4 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એકી સંખ્યા છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં $3^{\text{જા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_3^{\prime} = \frac{3 v}{4 L}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $f_3^{\prime} - f_1 = 50 \,Hz$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{3 v}{4 L} - \frac{v}{2 L} = 50$.
$\frac{3 v - 2 v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{L} = 200$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2 L} = \frac{200}{2} = 100 \,Hz$ છે.

(A) ધારો કે અંતિમ સુધારો (end correction) $e$ છે. એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે રેઝોનન્સની શરત $l_n + e = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે: $24.1 + e = \frac{\lambda}{4} \quad ---(1)$
દ્વિતીય રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે: $74.1 + e = \frac{3\lambda}{4} \quad ---(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(74.1 + e) - (24.1 + e) = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4}$
$50 = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 100 \ cm$
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$24.1 + e = \frac{100}{4} = 25$
$e = 25 - 24.1 = 0.9 \ cm$
અંતિમ સુધારો $e$ અને વ્યાસ $D$ વચ્ચેનો સંબંધ $e = 0.3D$ છે.
$0.9 = 0.3D$
$D = \frac{0.9}{0.3} = 3 \ cm$.

(A) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = 264 \,Hz$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $V = 330 \,m/s$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદ $\ell = (2k-1) \frac{\lambda}{4}$ લંબાઈ પર થાય છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{V}{n} = \frac{330}{264} = 1.25 \,m = 125 \,cm$ છે.
આમ,શક્ય લંબાઈઓ $\ell = (2k-1) \frac{125}{4} = (2k-1) \times 31.25 \,cm$ છે.
$k=1$ માટે,$\ell = 31.25 \,cm$.
$k=2$ માટે,$\ell = 3 \times 31.25 = 93.75 \,cm$.
$k=3$ માટે,$\ell = 5 \times 31.25 = 156.25 \,cm$.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$62.50 \,cm$ એ $31.25 \,cm$ નો એકી ગુણાંક નથી,તેથી તે શક્ય નથી.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપમાં, માત્ર મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક જ ઉત્પન્ન થાય છે $(f_n = (2n-1)f_0)$, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$.
આ આવૃત્તિઓ $f_1 = f_0$, $f_2 = 3f_0$, $f_3 = 5f_0$, $f_4 = 7f_0$ વગેરે છે.
બંધ પાઇપમાં બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0$ હોય છે.
અહીં આપેલી ક્રમિક આવૃત્તિઓ $150 \,Hz$ અને $250 \,Hz$ છે, તેથી તેમનો તફાવત $250 \,Hz - 150 \,Hz = 100 \,Hz$ થાય.
આથી, $2f_0 = 100 \,Hz$, જેનો અર્થ છે કે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 50 \,Hz$ છે.

(D) બંધ પાઇપના મૂળભૂત મોડમાં,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L = \frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
આપેલ છે કે ધ્વનિ તરંગને લંબાઈ $L$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
તરંગ $t$ સમયમાં $L = \frac{\lambda}{4}$ જેટલું અંતર કાપે છે,તેથી સંપૂર્ણ તરંગલંબાઈ $\lambda$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T = 4t$ થશે.
અહીં,$T$ એ કંપનનો આવર્તકાળ દર્શાવે છે.
કંપનની આવૃત્તિ $n$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે,જે $n = \frac{1}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = 4t$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{1}{4t} = \frac{0.25}{t}$ મળે છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v_2}{2 L_o}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $f_{o1} = 2 f_o = \frac{v_2}{L_o}$ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v_1}{4 L_c}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $f_{c1} = 3 f_c = \frac{3 v_1}{4 L_c}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,$f_{o1} = f_{c1}$,તેથી $\frac{v_2}{L_o} = \frac{3 v_1}{4 L_c}$.
$L_o$ માટે ગોઠવતા,આપણને $L_o = \frac{4 L_c}{3} \frac{v_2}{v_1}$ મળે છે.
વાયુમાં અવાજની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{1}{\rho \beta}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ સંકોચનીયતા છે. બંને વાયુઓ માટે $\beta$ સમાન હોવાથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ થાય છે.
આ કિંમત $L_o$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $L_o = \frac{4 L_c}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે પાઇપની કુલ લંબાઈ $L = 1.5 \,m$ છે અને પાણીમાં ડૂબેલી લંબાઈ $\ell$ છે. પાણીની ઉપર રહેલા હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \ell = 1.5 - \ell$ થશે.
હવે પાઇપ એક છેડે બંધ હોવાથી તે બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
બંધ પાઇપ માટે $n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(2n+1)v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે.
બીજા ઓવરટોન માટે $n = 2$ લેતા, આવૃત્તિ $f_2 = \frac{(2(2)+1)v}{4L'} = \frac{5v}{4L'}$ થાય.
આપેલ છે કે $f_2 = 330 \,Hz$ અને $v = 330 \,m/s$, તેથી:
$330 = \frac{5 \times 330}{4(1.5 - \ell)}$
$1 = \frac{5}{4(1.5 - \ell)}$
$4(1.5 - \ell) = 5$
$6 - 4\ell = 5$
$4\ell = 1$
$\ell = 0.25 \,m$.

(A) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 500 \,Hz$ અને ધ્વનિનો વેગ $v = 320 \,m/s$ છે.
ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{320}{500} = 0.64 \,m = 64 \,cm$ છે.
એક છેડે બંધ નળી માટે, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાનો સ્તંભ $L$ એ $L = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ શરતનું પાલન કરે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
અનુનાદ માટે શક્ય લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$n=1$ માટે: $L_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{64}{4} = 16 \,cm$.
$n=2$ માટે: $L_2 = \frac{3\lambda}{4} = 3 \times 16 = 48 \,cm$.
$n=3$ માટે: $L_3 = \frac{5\lambda}{4} = 5 \times 16 = 80 \,cm$.
$n=4$ માટે: $L_4 = \frac{7\lambda}{4} = 7 \times 16 = 112 \,cm$.
નળીની કુલ લંબાઈ $1 \,m = 100 \,cm$ હોવાથી, માત્ર $16 \,cm, 48 \,cm,$ અને $80 \,cm$ લંબાઈ જ શક્ય છે.
તેથી, મળતા અનુનાદની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(C) એક છેડે બંધ નળી માટે,અનુનાદની લંબાઈ $L = \frac{(2k-1)\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$
પ્રથમ અનુનાદ $L_1 = \frac{\lambda}{4}$ પર થાય છે.
બીજો અનુનાદ $L_2 = \frac{3\lambda}{4}$ પર થાય છે.
બંને લંબાઈની બાદબાકી કરતા: $L_2 - L_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 2(L_2 - L_1)$ મળે છે.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $V$ એ $V = n\lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા: $V = n \times 2(L_2 - L_1) = 2n(L_2 - L_1)$.

(B) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપમાં,સ્થિત તરંગો માટેની શરત $L = n \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n$ એ લૂપ્સની સંખ્યા (અથવા હાર્મોનિક્સ) છે.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,ખુલ્લા છેડાઓ પર હંમેશા એન્ટિનોડ્સ રચાય છે.
જો $4$ એન્ટિનોડ્સ અને $3$ નોડ્સ હોય,તો રચાયેલા લૂપ્સની સંખ્યા $n = 3$ છે.
પાઇપની લંબાઈ $L = 3 \frac{\lambda}{2}$ છે.
આ $3^{rd}$ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે હાર્મોનિક્સનો ક્રમ $f_1, 2f_1, 3f_1, \dots$ (મૂળભૂત,$1^{st}$ ઓવરટોન,$2^{nd}$ ઓવરટોન,$\dots$) છે.
તેથી,$3f_1$ એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક છે,જે $2^{nd}$ ઓવરટોન છે.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4 \ell_A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $\ell_A$ એ પાઇપ '$A$' ની લંબાઈ છે.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપની આવૃત્તિઓ $n_k = \frac{k v}{2 \ell_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$ અને $\ell_B$ એ પાઇપ '$B$' ની લંબાઈ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન $k=2$ ને અનુરૂપ છે,અને બીજો ઓવરટોન $k=3$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,ખુલ્લી પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $n' = \frac{3 v}{2 \ell_B}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$n = n'$,તેથી $\frac{v}{4 \ell_A} = \frac{3 v}{2 \ell_B}$.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $\frac{1}{4 \ell_A} = \frac{3}{2 \ell_B}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
તેથી,પાઇપ '$A$' ની લંબાઈ અને પાઇપ '$B$' ની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1: 6$ છે.

(D) $\ell_1$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ટ્યુબની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2\ell_1} = n$ છે.
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં ઊભી ડુબાડવામાં આવે છે જેથી તેની લંબાઈનો ચોથો ભાગ પાણીમાં રહે, ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $\ell_2 = \ell_1 - \frac{1}{4}\ell_1 = \frac{3}{4}\ell_1$ થાય છે.
હવે ટ્યુબ એક છેડે પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ હોવાથી, તે બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{4\ell_2}$ છે.
$\ell_2 = \frac{3}{4}\ell_1$ કિંમત મૂકતા:
$n_2 = \frac{v}{4(\frac{3}{4}\ell_1)} = \frac{v}{3\ell_1}$.
$n_2$ ની સરખામણી $n_1$ સાથે કરતા:
$n_2 = \frac{2}{3} \times (\frac{v}{2\ell_1}) = \frac{2}{3}n$.

(D) બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{c} = \frac{v}{4L}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{o} = \frac{v}{2L}$ છે.
આપેલ છે કે તેઓ પ્રતિ સેકન્ડ $2$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે:
$n_{o} - n_{c} = 2$
$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2$
$\frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
જ્યારે ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ:
$n_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$.
જ્યારે બંધ પાઇપની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ:
$n_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{v}{L}\right) = \frac{1}{8} \times 8 = 1 \text{ Hz}$.
નવી બીટ આવૃત્તિ $= n_{o}' - n_{c}' = 8 - 1 = 7 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(B) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે, અનુનાદિત આવૃત્તિઓનું સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે, $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે。
આપેલ છે: $v = 340 \,m/s$ અને $L = 1 \,m$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે: $f_n = \frac{n \times 340}{2 \times 1} = n \times 170 \,Hz$.
આનો અર્થ એ છે કે પાઇપ $170 \,Hz$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંક (જેમ કે $170 \,Hz, 340 \,Hz, 510 \,Hz, \dots$) પર અનુનાદિત થઈ શકે છે。
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $85 \,Hz$ એ $170 \,Hz$ નો ગુણાંક નથી, તેથી હવાનો સ્તંભ આ આવૃત્તિ પર અનુનાદિત થઈ શકતો નથી.

(A) $\ell$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{3V}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\ell^{\prime}$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f^{\prime} = \frac{2V}{2\ell^{\prime}} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંનેની આવૃત્તિ સમાન છે,તેથી $f = f^{\prime}$ લેતા:
$\frac{3V}{4\ell} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\ell}{\ell^{\prime}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{\ell}{\ell^{\prime}} = \frac{3}{4}$.
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{V}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $\ell$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
પ્રથમ પાઇપ માટે: $\ell_{1} = \frac{V}{2n_{1}}$.
બીજી પાઇપ માટે: $\ell_{2} = \frac{V}{2n_{2}}$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી પાઇપની કુલ લંબાઈ $\ell = \ell_{1} + \ell_{2}$ થાય છે.
નવી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{V}{2\ell}$ છે.
$\ell$ ના સમીકરણમાં $\ell_{1}$ અને $\ell_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V}{2n} = \frac{V}{2n_{1}} + \frac{V}{2n_{2}}$.
બંને બાજુ $\frac{V}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{n} = \frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}$,જે આપે છે $n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$.

(B) એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં,સ્થિત તરંગની ભાતમાં હંમેશા બંધ છેડે નોડ અને ખુલ્લા છેડે એન્ટિનોડ હોય છે.
મૂળભૂત મોડ (fundamental mode) માટે,$1$ નોડ અને $1$ એન્ટિનોડ હોય છે.
પ્રથમ ઓવરટોન માટે,$2$ નોડ અને $2$ એન્ટિનોડ હોય છે.
પ્રશ્નમાં $2$ નોડ અને $2$ એન્ટિનોડ આપેલા હોવાથી,આ પ્રથમ ઓવરટોન છે.

(C) બંધ પાઇપના મૂળભૂત મોડમાં,પાઇપની લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઇના ચોથા ભાગ જેટલી હોય છે,એટલે કે $L = \frac{\lambda}{4}$.
આપેલ છે કે ધ્વનિ તરંગને $L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ છે,તેથી $t = \frac{L}{v}$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
$L = \frac{\lambda}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $t = \frac{\lambda}{4v}$.
તરંગનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{\lambda}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ ના સમીકરણમાં $\lambda = vT$ મૂકતા,આપણને મળે છે $t = \frac{vT}{4v} = \frac{T}{4}$.
તેથી,આવર્તકાળ $T = 4t$.
આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે,તેથી $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4t}$.

(C) આપેલ છે: ટ્યુબની લંબાઈ $L = 0.8 \ m$,આવૃત્તિ $f = 500 \ Hz$,અવાજની ઝડપ $v = 340 \ m/s$.
પ્રથમ,ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{500} = 0.68 \ m$.
એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે રેઝોનન્સની શરત $L_n = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
આપણે $n$ ના એવા મૂલ્યો શોધવાના છે કે જેના માટે $L_n \le 0.8 \ m$ થાય.
$n=1$ માટે: $L_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{0.68}{4} = 0.17 \ m$.
$n=2$ માટે: $L_2 = \frac{3\lambda}{4} = 3 \times 0.17 = 0.51 \ m$.
$n=3$ માટે: $L_3 = \frac{5\lambda}{4} = 5 \times 0.17 = 0.85 \ m$.
કારણ કે $L_3 = 0.85 \ m > 0.8 \ m$,તેથી ત્રીજું રેઝોનન્સ ટ્યુબની લંબાઈમાં રચાશે નહીં.
તેથી,માત્ર $2$ રેઝોનન્સ સંભળાશે.

(A) $L_c$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોન નંબર છે.
$3^{\text{rd}}$ ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,$f_c = \frac{(2(3)+1)v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$.
$L_o$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = \frac{(n+1)v}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3^{\text{rd}}$ ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,$f_o = \frac{(3+1)v}{2L_o} = \frac{4v}{2L_o} = \frac{2v}{L_o}$.
આવૃત્તિઓ સમાન હોવાથી,$f_c = f_o$:
$\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_o}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_c}{L_o}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $\ell$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ છે. ખુલ્લી પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $3f_0 = \frac{3v}{2\ell}$ થાય.
બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4\ell}$ છે. બંધ પાઇપનો ત્રીજો ઓવરટોન $7f_c = \frac{7v}{4\ell}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, બંધ પાઇપનો ત્રીજો ઓવરટોન એ ખુલ્લી પાઇપના બીજા ઓવરટોન કરતા $150 \,Hz$ વધારે છે:
$\frac{7v}{4\ell} = \frac{3v}{2\ell} + 150$
$\frac{7v}{4\ell} - \frac{6v}{4\ell} = 150$
$\frac{v}{4\ell} = 150$
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$f_0 = 2 \times \left(\frac{v}{4\ell}\right) = 2 \times 150 = 300 \,Hz$.

(D) $\ell_c$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{V}{4\ell_c}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,તેથી $f_{c,1} = 3f_c = \frac{3V}{4\ell_c}$ થાય.
$\ell_o$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{V}{2\ell_o}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે,તેથી $f_{o,1} = 2f_o = \frac{2V}{2\ell_o} = \frac{V}{\ell_o}$ થાય.
આપેલ છે કે પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $\frac{3V}{4\ell_c} = \frac{V}{\ell_o}$ મળે.
$\frac{\ell_o}{\ell_c}$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\ell_o}{\ell_c} = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(B) બંધ પાઇપમાં,કંપનનો મૂળભૂત મોડ ત્યારે થાય છે જ્યારે પાઇપની લંબાઈ $\ell$ એ ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના ચોથા ભાગ જેટલી હોય.
સૂત્ર: $\ell = \frac{\lambda}{4}$
આપેલ છે: $\lambda = 62 \,cm$
ગણતરી: $\ell = \frac{62}{4} = 15.5 \,cm$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $L$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4L} = 400 \,Hz$ છે.
આના પરથી,આપણને $v = 1600L$ મળે છે.
જ્યારે પાઇપનો $1/3$ ભાગ પાણીથી ભરાય છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ થાય છે.
હવાના સ્તંભની નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f'_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ છે.
$v = 1600L$ મૂકતા,આપણને $f'_1 = \frac{3(1600L)}{8L} = 3 \times 200 = 600 \,Hz$ મળે છે.
બંધ પાઇપમાં,હાર્મોનિક્સ એ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક $(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots)$ હોય છે. જોકે,પ્રશ્ન પાઇપની નવી સ્થિતિમાં $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક વિશે પૂછે છે. બંધ પાઇપનો $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક (પ્રથમ ઓવરટોન) $3f'_1$ છે.
તેથી,$2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $3 \times 600 \,Hz = 1800 \,Hz$ થશે.

(B) આપેલ છે: ટ્યુબની લંબાઈ $L = 0.8 \,m$, આવૃત્તિ $f = 375 \,Hz$, ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \,m/s$.
રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં (એક છેડે બંધ) મૂળભૂત આવૃત્તિ માટે, હવાના સ્તંભની લંબાઈ $\ell$ નીચે મુજબ મળે છે: $\ell = \frac{v}{4f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ell = \frac{330}{4 \times 375} = \frac{330}{1500} = 0.22 \,m$.
આ $\ell$ એ ઉપરથી હવાના સ્તંભની લંબાઈ દર્શાવે છે.
તળિયેથી પાણીનું સ્તર એ ટ્યુબની કુલ લંબાઈમાંથી હવાના સ્તંભની લંબાઈ બાદ કરવાથી મળે છે: $h = L - \ell$.
$h = 0.8 \,m - 0.22 \,m = 0.58 \,m$.

(D) ઓપન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2 \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ પાઇપ માટે, હાર્મોનિક્સ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_0 = \frac{v}{4 \ell}$ ના એકી ગુણાંક છે.
બંધ પાઇપનો $2^{nd}$ હાર્મોનિક એ વાસ્તવમાં $1^{st}$ ઓવરટોન છે, જે $3^{rd}$ હાર્મોનિક છે, જે $3 n_0 = \frac{3v}{4 \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ, બંધ પાઇપના $2^{nd}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $n$ કરતા $200 \,Hz$ વધારે છે:
$\frac{3v}{4 \ell} - n = 200$
કારણ કે $n = \frac{v}{2 \ell}$, તેથી $\frac{v}{4 \ell} = \frac{n}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $3(\frac{n}{2}) - n = 200$.
$1.5n - n = 200 \implies 0.5n = 200$.
$n = 400 \,Hz$.

(C) $L$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$P^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{\text{open}} = (P+1) \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$P^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{\text{closed}} = (2P+1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપના $P^{\text{th}}$ ઓવરટોન અને બંધ પાઇપના $P^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર લેતા:
ગુણોત્તર $= \frac{(P+1) \frac{v}{2L}}{(2P+1) \frac{v}{4L}}$.
ગુણોત્તર $= \frac{P+1}{2L} \times \frac{4L}{2P+1} = \frac{2(P+1)}{2P+1}$.

(D) $l$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
ધ્વનિ તરંગને પાઇપની લંબાઈ $l$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{l}{v}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{l}{t}$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$f_0 = \frac{l/t}{4l} = \frac{1}{4t}$.
આમ,કંપનની આવૃત્તિ $(4t)^{-1}$ છે.

(D) ખુલ્લી પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
બે પાઈપો માટે,આપણી પાસે $l_1 = \frac{v}{2n_1}$ અને $l_2 = \frac{v}{2n_2}$ છે.
જ્યારે બે પાઈપોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L = l_1 + l_2$ થાય છે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = \frac{v}{2L} = \frac{v}{2(l_1 + l_2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l_1$ અને $l_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$n' = \frac{v}{2(\frac{v}{2n_1} + \frac{v}{2n_2})} = \frac{v}{\frac{v}{n_1} + \frac{v}{n_2}} = \frac{1}{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + n_2}$.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ $f_k = (2k - 1) \frac{V}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$ એ મોડ નંબર છે.
અહીં $V = 332 \ m/s$ અને $L = 83 \ cm = 0.83 \ m$ આપેલ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(k=1)$ $f_1 = \frac{V}{4L} = \frac{332}{4 \times 0.83} = \frac{332}{3.32} = 100 \ Hz$ છે.
શક્ય આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક છે: $f_k = (2k - 1) \times 100 \ Hz$.
આપણે એવી આવૃત્તિઓની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $f_k < 1000 \ Hz$ થાય.
$(2k - 1) \times 100 < 1000 \implies 2k - 1 < 10 \implies 2k < 11 \implies k < 5.5$.
$k$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $k = 1, 2, 3, 4, 5$ હોઈ શકે.
આવૃત્તિઓ $100 \ Hz, 300 \ Hz, 500 \ Hz, 700 \ Hz, 900 \ Hz$ છે.
આમ,કુલ $5$ શક્ય આવૃત્તિઓ છે.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{V}{4L} = 100 \ Hz$ છે.
જ્યારે તે જ પાઇપ બંને છેડે ખુલ્લી હોય,ત્યારે નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $n'_1 = \frac{V}{2L}$ થાય છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $n'_1 = 2 \times \frac{V}{4L} = 2 \times 100 \ Hz = 200 \ Hz$ મળે છે.
ખુલ્લી પાઇપમાં,મૂળભૂત આવૃત્તિના તમામ ગુણાંક (હાર્મોનિક્સ) ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિઓ $200 \ Hz, 400 \ Hz, 600 \ Hz, 800 \ Hz, .....$ છે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,અંતિમ સુધારો $\Delta L$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ સાથે દરેક છેડે $\Delta L = 0.6 \times r$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે. ખુલ્લી પાઇપના બે છેડા હોવાથી,કુલ અંતિમ સુધારો $\Delta L_{total} = 2 \times (0.6 \times r) = 1.2 \times r$ થાય છે.
આપેલ છે કે કુલ અંતિમ સુધારો $\Delta L = 0.8 \ cm$ છે,તેથી:
$0.8 = 1.2 \times r$
$r = \frac{0.8}{1.2} \ cm$
$r = \frac{8}{12} \ cm = \frac{2}{3} \ cm$.

(D) ધારો કે $f_0 = \frac{v}{2L}$ એ ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
તેનો બીજો ઓવરટોન $3f_0 = \frac{3v}{2L}$ છે.
ધારો કે $f_c = \frac{v}{4L}$ એ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
બંધ પાઇપની આવૃત્તિઓ $(2n-1)f_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=1, 2, 3, \dots$ છે.
ત્રીજો ઓવરટોન $n=4$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $(f_3)_{\text{closed}} = (2(4)-1)f_c = 7f_c = \frac{7v}{4L}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$(f_3)_{\text{closed}} - (3f_0) = 150 \ Hz$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$.
$\frac{7v}{4L} - \frac{6v}{4L} = 150$.
$\frac{v}{4L} = 150$.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L}$ હોવાથી,$f_0 = 2 \times \frac{v}{4L} = 2 \times 150 = 300 \ Hz$ થાય.

(A) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં (જે બંધ પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે),અનુનાદની લંબાઈ $l_1 = \frac{\lambda}{4}$ અને $l_2 = \frac{3\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે અનુનાદ લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત $l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2}$ છે.
અહીં $l_1 = 16 \ cm = 0.16 \ m$ અને $l_2 = 49 \ cm = 0.49 \ m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = 0.49 \ m - 0.16 \ m = 0.33 \ m$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda = 0.66 \ m$.
તરંગ સમીકરણ $v = n\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 330 \ m/s$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે:
$n = \frac{v}{\lambda} = \frac{330}{0.66} = 500 \ Hz$.

(A) એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{1} = \frac{v}{4 l_{1}}$ છે,જે પરથી $l_{1} = \frac{v}{4 n_{1}}$ મળે છે.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{2} = \frac{v}{2 l_{2}}$ છે,જે પરથી $l_{2} = \frac{v}{2 n_{2}}$ મળે છે.
જ્યારે બંને પાઇપને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી પાઇપ એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી બને છે,જેની કુલ લંબાઈ $L = l_{1} + l_{2}$ છે.
આ નવી બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4 L} = \frac{v}{4 (l_{1} + l_{2})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l_{1}$ અને $l_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4 n} = \frac{1}{4 n_{1}} + \frac{1}{2 n_{2}}$.
$4$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{2}{n_{2}} = \frac{n_{2} + 2 n_{1}}{n_{1} n_{2}}$.
તેથી,$n = \frac{n_{1} n_{2}}{n_{2} + 2 n_{1}}$.

(A) એક છેડે બંધ પાઇપના ફંડામેન્ટલ મોડમાં,પાઇપની લંબાઈ $l$ એ તરંગલંબાઇના ચોથા ભાગ જેટલી હોય છે,એટલે કે $l = \frac{\lambda}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 4l$ થાય.
આપેલ છે કે તરંગને પાઇપની લંબાઈ $l$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = 0.01 \ s$ છે,તેથી ધ્વનિની ઝડપ $v = \frac{l}{t}$ દ્વારા મળે છે.
ફંડામેન્ટલ આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $n = \frac{l/t}{4l} = \frac{1}{4t}$.
$t = 0.01 \ s$ મૂકતા,આપણને મળે છે $n = \frac{1}{4 \times 0.01} = \frac{1}{0.04} = 25 \ Hz$.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 100 \ Hz$ છે,તેથી પછીની આવૃત્તિઓ $f_2 = 3 \times 100 \ Hz = 300 \ Hz$ અને $f_3 = 5 \times 100 \ Hz = 500 \ Hz$ થાય છે.
આમ,આવૃત્તિઓ $1:3:5$ ના ગુણોત્તરમાં હોવાથી,પાઇપ એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી હોવી જોઈએ.

(A) ધારો કે એન્ડ કરેક્શન $x$ છે. એક છેડે બંધ પાઇપ માટે રેઝોનન્સની શરત $l_n + x = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$.
દ્વિતીય રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3$.
$l_2 + x = 3l_1 + 3x$.
$2x = l_2 - 3l_1$.
$x = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{70.2 - 3(22.7)}{2} = \frac{70.2 - 68.1}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \,cm$.

(B) જ્યારે ધ્વનિ તરંગો સંપૂર્ણ પરાવર્તક દીવાલ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે, ત્યારે આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતપણાને લીધે સ્થિત તરંગો રચાય છે.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક દીવાલ પર નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચાય છે કારણ કે દીવાલ એક દ્રઢ સીમા છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ એ શૂન્ય સ્થાનાંતરના બિંદુઓ છે, જ્યારે પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) એ મહત્તમ સ્થાનાંતર (મહત્તમ કંપવિસ્તાર) ના બિંદુઓ છે.
દીવાલ (નિસ્પંદ બિંદુ) થી પ્રથમ પ્રસ્પંદ બિંદુનું અંતર $d = \lambda/4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ, તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = v/f$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો, જ્યાં $v = 300 \,ms^{-1}$ અને $f = 600 \,Hz$ છે.
$\lambda = 300/600 = 0.5 \,m$.
હવે, અંતર $d = \lambda/4 = 0.5/4 = 0.125 \,m = 1/8 \,m$ ની ગણતરી કરો.
આમ, દીવાલથી તે લઘુત્તમ અંતર જ્યાં કણો મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવે છે તે $1/8 \,m$ છે.

(A) વાયુમાં અવાજની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે અવાજની ઝડપ $v$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(v \propto \sqrt{T})$.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ અવાજની ઝડપ $v$ વધે છે.
ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પાઇપની લંબાઈ દ્વારા નક્કી થતી તરંગલંબાઇ છે,જે અચળ રહે છે.
કારણ કે $v$ વધે છે અને $\lambda$ અચળ રહે છે,તેથી આવૃત્તિ $n$ વધે છે.

(C) વિધાન $A$: સ્થિર તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે અને બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર પણ $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$: ઓર્ગન પાઇપના ખુલ્લા છેડે,હવા મુક્તપણે કંપન કરી શકે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાનાંતર મહત્તમ (પ્રસ્પંદ બિંદુ) હોય છે. સ્થાનાંતર પ્રસ્પંદ બિંદુ પર દબાણનો ફેરફાર ન્યૂનતમ હોવાથી,ખુલ્લા છેડે દબાણ નિસ્પંદ બિંદુ રચાય છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(D) $L$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L' = XL$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{n v}{2L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પ્રથમ ઓવરટોન $n=2$ છે અને બીજો ઓવરટોન $n=3$ છે.
તેથી,ખુલ્લી પાઇપની બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = \frac{3v}{2(XL)}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$f_c = f_o$,તેથી $\frac{v}{4L} = \frac{3v}{2XL}$.
બંને બાજુથી $v$ અને $L$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{1}{4} = \frac{3}{2X}$ મળે છે.
$X$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2X = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $X = 6$.

(B) $L_c$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે,$n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોન નંબર છે. ચોથા ઓવરટોન $(n=4)$ માટે,$f_c = \frac{(2(4)+1)v}{4L_c} = \frac{9v}{4L_c}$.
$L_o$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી પાઇપ માટે,$m$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = \frac{(m+1)v}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઓવરટોન નંબર છે. પાંચમા ઓવરટોન $(m=5)$ માટે,$f_o = \frac{(5+1)v}{2L_o} = \frac{6v}{2L_o} = \frac{3v}{L_o}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $f_c = f_o$,એટલે કે $\frac{9v}{4L_c} = \frac{3v}{L_o}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{9}{4L_c} = \frac{3}{L_o} \implies \frac{L_c}{L_o} = \frac{9}{4 \times 3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
આમ,બંધ પાઇપ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(D) ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \ m/s$ અને આવૃત્તિ $f = 330 \ Hz$ છે. તરંગલંબાઈ $\lambda = v/f = 330/330 = 1 \ m$ થાય.
જ્યારે ખુલ્લી પાઈપનો એક છેડો પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે,ત્યારે તે એક છેડે બંધ પાઈપ તરીકે વર્તે છે.
હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - x$ છે,જ્યાં $L = 1.5 \ m$ એ કુલ લંબાઈ છે અને $x$ એ પાણીમાં ડૂબેલી લંબાઈ છે.
એક છેડે બંધ પાઈપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિ $f_n = (2n-1) \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ,$n=2$ એ $1^{\text{st}}$ ઓવરટોન અને $n=3$ એ $2^{\text{nd}}$ ઓવરટોન છે.
$2^{\text{nd}}$ ઓવરટોન માટે,$n=3$ લેતા,$f_3 = 5 \frac{v}{4L'}$.
આપેલ છે કે $f_3 = 330 \ Hz$,તેથી $330 = 5 \times \frac{330}{4L'}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \frac{5}{4L'}$,એટલે કે $4L' = 5$,તેથી $L' = 1.25 \ m$.
$L' = L - x$ હોવાથી,$1.25 = 1.5 - x$.
તેથી,$x = 1.5 - 1.25 = 0.25 \ m$.

(C) $L$ લંબાઈના એક છેડે બંધ હવાના સ્તંભ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $5^{\text{th}}$ ઓવરટોન માટે,$n = 5$,તેથી $f_{c} = (2(5) + 1) \frac{v}{4L} = 11 \frac{v}{4L}$.
$L$ લંબાઈના બંને છેડે ખુલ્લા હવાના સ્તંભ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $5^{\text{th}}$ ઓવરટોન માટે,$n = 5$,તેથી $f_{o} = (5 + 1) \frac{v}{2L} = 6 \frac{v}{2L} = 12 \frac{v}{4L}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{11v/4L}{12v/4L} = \frac{11}{12}$ થાય છે.

(C) ધારો કે બંને પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_{open, n} = n(v/2L)$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=2)$ એ $f_{open, 1st} = 2(v/2L) = v/L$ છે.
બંધ પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_{closed, n} = (2n-1)(v/4L)$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=2)$ એ $f_{closed, 1st} = 3(v/4L)$ છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $4$ Hz છે: $|v/L - 3v/4L| = 4 \implies v/4L = 4 \implies v/L = 16$.
હવે,ખુલ્લી પાઇપની નવી લંબાઈ $L' = L/2$ છે અને બંધ પાઇપની નવી લંબાઈ $L'' = 2L$ છે.
નવી ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f'_{open} = v/(2L') = v/(2(L/2)) = v/L = 16$ Hz છે.
નવી બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f''_{closed} = v/(4L'') = v/(4(2L)) = v/8L = 16/8 = 2$ Hz છે.
ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $|f'_{open} - f''_{closed}| = |16 - 2| = 14$ Hz છે.

(D) $L$ લંબાઈની ઓપન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open, 1} = \frac{v}{2L}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{open, 2} = 2 \times f_{open, 1} = 2 \times \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ લંબાઈની ક્લોઝ્ડ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{closed, 1} = \frac{v}{4L}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{closed, 2} = 3 \times f_{closed, 1} = 3 \times \frac{v}{4L} = \frac{3v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓપન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોન અને ક્લોઝ્ડ પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{f_{open, 2}}{f_{closed, 2}} = \frac{v/L}{3v/4L} = \frac{1}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ થાય છે.