Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં પ્રથમ રેઝોનન્સ માટેની શરત છે: $\frac{V}{4(\ell + e)} = f$,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$\ell$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે,$e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ,એન્ડ કરેક્શન $e$ ની ગણતરી કરો. ત્રિજ્યા $r$ વાળી ટ્યુબ માટે,$e = 0.6r$. આપેલ વ્યાસ $d = 4 \ cm$ છે,તેથી $r = 2 \ cm$. આમ,$e = 0.6 \times 2 = 1.2 \ cm$.
$\ell$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\ell = \frac{V}{4f} - e$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = 336 \ m/s = 33600 \ cm/s$,$f = 512 \ Hz$,અને $e = 1.2 \ cm$.
$\ell = \frac{33600}{4 \times 512} - 1.2 = \frac{33600}{2048} - 1.2 = 16.406 - 1.2 = 15.206 \ cm$.
નજીકની કિંમત લેતા,રીડિંગ $15.2 \ cm$ મળે છે.

(D) રેઝોનન્સ કોલમ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4\ell} = \frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $f = 244 \ Hz$ અને $\ell = 0.350 \ m$,તેથી $v = 4f\ell = 4 \times 244 \times 0.350 = 341.6 \ m/s$.
$v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વિકલ્પો તપાસીએ:
આર્ગોન માટે (એકપરમાણ્વિય,$\gamma = 5/3 \approx 1.67$):
$v = \sqrt{\frac{1.67 RT}{M}} = \frac{640}{\sqrt{M}} = \frac{640}{\sqrt{36 \times 10^{-3}}} = \frac{640}{0.06 \times \sqrt{10}} \approx 337 \ m/s$.
આ કિંમત પ્રાયોગિક મૂલ્ય $341.6 \ m/s$ ની નજીક છે,જે ભૂલ મર્યાદા $\Delta \ell = 0.005 \ m$ (જ્યાં $\Delta v = v \frac{\Delta \ell}{\ell} = 341.6 \times \frac{0.005}{0.350} \approx 4.8 \ m/s$) ની અંદર છે.
તેથી,વાયુ આર્ગોન છે.

(C) બંધ પાઇપ માટે $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_c = \frac{n V_1}{4 \ell_1}$ છે,જ્યાં $n$ એકી સંખ્યા છે. $9^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે,$f_c = \frac{9 V_1}{4 \ell_1}$.
ખુલ્લી પાઇપ માટે $m^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_o = \frac{m V_2}{2 \ell_2}$ છે. $4^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે,$f_o = \frac{4 V_2}{2 \ell_2} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$.
આપેલ છે કે $f_c = f_o$,તેથી $\frac{9 V_1}{4 \ell_1} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$.
ધ્વનિની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ હોવાથી,$V_1 = \sqrt{\frac{B}{\rho_1}}$ અને $V_2 = \sqrt{\frac{B}{\rho_2}}$ મૂકતા.
$\frac{9}{4 \ell_1} \sqrt{\frac{B}{\rho_1}} = \frac{2}{\ell_2} \sqrt{\frac{B}{\rho_2}} \Rightarrow \frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{8}{9} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$.
અહીં $\ell_1 = 10 \ cm$ અને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{16}$ હોવાથી,$\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \frac{1}{4}$.
$\ell_2 = 10 \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{20}{9} \ cm$.

(D) એક છેડે બંધ હવાના સ્તંભની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $L$ એ સ્તંભની લંબાઈ છે.
$L_1 = 100 \ cm = 1.0 \ m$ અને $L_2 = 120 \ cm = 1.2 \ m$ લંબાઈના બે સ્તંભો માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{4L_1}$ અને $f_2 = \frac{v}{4L_2}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|f_1 - f_2| = 15 \ Hz$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{4} \left( \frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{1.0} - \frac{1}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1.2 - 1.0}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{0.2}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{6} \right) = 15$.
$v = 15 \times 4 \times 6 = 360 \ m/s$.

(A) $\ell$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પાઈપને તેના કદના $\left(\frac{1}{5}\right)$ ભાગ જેટલું પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $\ell' = \ell - \frac{\ell}{5} = \frac{4\ell}{5}$ થાય છે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{4\ell'} = \frac{v}{4(\frac{4\ell}{5})} = \frac{5v}{16\ell}$ છે.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f_2 - f_1 = \frac{5v}{16\ell} - \frac{v}{4\ell} = \frac{5v - 4v}{16\ell} = \frac{v}{16\ell}$ છે.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f}{f_1} \times 100 = \frac{\frac{v}{16\ell}}{\frac{v}{4\ell}} \times 100 = \frac{4}{16} \times 100 = 25 \%$ છે.

(B) $\ell$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{V}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપને પાણીમાં તેની લંબાઈના અડધા ભાગ સુધી ઊભી ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $\ell' = \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
હવે એક છેડો પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ હોવાથી,પાઇપ બંધ ઓર્ગન પાઇપ (એક છેડો ખુલ્લો અને એક છેડો બંધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
$\ell'$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{V}{4\ell'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $\ell' = \frac{\ell}{2}$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{V}{4(\ell/2)} = \frac{V}{2\ell}$ મળે છે.
શરૂઆતની આવૃત્તિ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f' = f$.

(C) $L_o$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બીજો ઓવરટોન $(n=2)$ $f_2 = 3 \frac{v}{2L_o}$ છે.
$L_c = 15 \ cm$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$m$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f'_m = (2m+1) \frac{v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(m=1)$ $f'_1 = 3 \frac{v}{4L_c}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે: $3 \frac{v}{2L_o} = 3 \frac{v}{4L_c}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1}{2L_o} = \frac{1}{4L_c} \Rightarrow 2L_o = 4L_c \Rightarrow L_o = 2L_c$.
$L_c = 15 \ cm$ મૂકતા: $L_o = 2 \times 15 \ cm = 30 \ cm$.

(D) તરંગલંબાઈ $\lambda = 2(\ell_2 - \ell_1) = 2(50 - 16) = 68 \ cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$A \rightarrow s$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = f \lambda = 500 \ Hz \times 0.68 \ m = 340 \ m/s$. તેથી,$C \rightarrow r$.
અંતિમ સુધારો $e = \frac{\ell_2 - 3\ell_1}{2} = \frac{50 - 3(16)}{2} = \frac{50 - 48}{2} = 1 \ cm$. તેથી,$D \rightarrow p$.
$II$ રેઝોનન્સ પર પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ એ કુલ લંબાઈમાંથી હવાના સ્તંભની લંબાઈ બાદ કરતાં મળે છે: $120 \ cm - 50 \ cm = 70 \ cm$. તેથી,$B \rightarrow t$.
રેઝોનન્સ પર પ્રવાહી સ્તંભનું લઘુત્તમ સ્તર એ શક્ય સૌથી લાંબા હવાના સ્તંભને અનુરૂપ છે,જે $118 \ cm$ પર $IV$ રેઝોનન્સ છે. પ્રવાહીનું સ્તર $120 \ cm - 118 \ cm = 2 \ cm$ છે. તેથી,$E \rightarrow q$.
પરિણામોને જોડતા: $A \rightarrow s, B \rightarrow t, C \rightarrow r, D \rightarrow p, E \rightarrow q$.

(D) આપેલી આવૃત્તિઓ $375 \ Hz$,$625 \ Hz$ અને $875 \ Hz$ છે.
આ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર શોધો: $375 : 625 : 875$.
$125$ વડે ભાગતા,આપણને $3 : 5 : 7$ ગુણોત્તર મળે છે.
આ આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક હોવાથી,પાઇપ બંધ (closed) ઓર્ગન પાઇપ છે.
બંધ પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_n = (2n - 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0$ છે.
$2f_0 = 625 \ Hz - 375 \ Hz = 250 \ Hz$.
તેથી,$f_0 = 125 \ Hz$.
આમ,મૂળભૂત આવૃત્તિ $125 \ Hz$ છે અને પાઇપ બંધ પ્રકારની છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ અને દ્વિતીય રેઝોનન્સ માટેની લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે,અને $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે: $\frac{\lambda}{4} = l_1 + e = 17 + e$ ... $(1)$
દ્વિતીય રેઝોનન્સ માટે: $\frac{3\lambda}{4} = l_2 + e = 52 + e$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$\frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = (52 + e) - (17 + e)$
$\frac{2\lambda}{4} = 35 \ cm$
$\frac{\lambda}{2} = 35 \ cm \Rightarrow \lambda = 70 \ cm = 0.7 \ m$
ધ્વનિનો વેગ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 500 \ Hz$.
$v = 500 \times 0.7 = 350 \ m/s$.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{\ell}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે.
$30 \ cm$ લંબાઈ ધરાવતી પાઈપની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2 \times 30}$ છે અને $31 \ cm$ લંબાઈ ધરાવતી પાઈપની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{2 \times 31}$ છે.
કારણ કે $f_1 > f_2$,તેથી $f_1 = f + 4$ અને $f_2 = f - 4$ મળે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{31}{30}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f + 4}{f - 4} = \frac{31}{30}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $30(f + 4) = 31(f - 4)$.
$30f + 120 = 31f - 124$.
$f = 120 + 124 = 244 \ Hz$.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબના પ્રયોગમાં,બે ક્રમિક રેઝોનન્સ સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2} = \ell_2 - \ell_1$.
આપેલ છે,$\ell_1 = 16 \ cm$ અને $\ell_2 = 49 \ cm$.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = 49 \ cm - 16 \ cm = 33 \ cm$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda = 2 \times 33 \ cm = 66 \ cm = 0.66 \ m$.
ધ્વનિનો વેગ $v$ એ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે $f = 500 \ Hz$.
$v = 500 \times 0.66 = 330 \ ms^{-1}$.

(B) એક છેડે બંધ પાઇપ $P_1$ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,$f_1 = 3 \frac{v}{4L_1}$ થાય.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ $P_2$ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,$f_3 = (3+1) \frac{v}{2L_2} = 4 \frac{v}{2L_2} = 2 \frac{v}{L_2}$ થાય.
બંને પાઇપ સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે: $3 \frac{v}{4L_1} = 2 \frac{v}{L_2}$.
$L_1/L_2$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4 \times 2} = \frac{3}{8}$.

(B) ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open} = \frac{v}{2L}$ છે.
બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{closed} = \frac{v}{4L}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|f_{open} - f_{closed}| = |\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = \frac{v}{4L} = 3 \text{ Hz}$.
આથી,$\frac{v}{L} = 12 \text{ Hz}$.
હવે,નવી લંબાઈ $L' = \frac{L}{3}$ અને $L'' = 3L$ છે.
નવી ખુલ્લી પાઇપની આવૃત્તિ $f'_{open} = \frac{v}{2(L/3)} = \frac{3v}{2L} = 6 \times 3 = 18 \text{ Hz}$.
નવી બંધ પાઇપની આવૃત્તિ $f''_{closed} = \frac{v}{4(3L)} = \frac{v}{12L} = \frac{1}{3} \times 3 = 1 \text{ Hz}$.
નવી બીટ આવૃત્તિ $|18 - 1| = 17 \text{ Hz}$ છે.

(B) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈની પ્રથમ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{V}{2l}$ છે.
$(l+l_1)$ લંબાઈની બીજી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{V}{2(l+l_1)}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b$ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = f_1 - f_2 = \frac{V}{2l} - \frac{V}{2(l+l_1)}$.
પદને સરળ બનાવતા: $f_b = \frac{V}{2} \left[ \frac{(l+l_1) - l}{l(l+l_1)} \right] = \frac{V l_1}{2l(l+l_1)}$.
શરત $l_1 \ll l$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં આપણે $(l+l_1) \approx l$ લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$f_b \approx \frac{V l_1}{2l^2}$.

(B) એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n - 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે અને $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
મૂળભૂત મોડ $f_1 = f_0$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે: $f_{o1} = 3f_0$.
બીજો ઓવરટોન એ પાંચમો હાર્મોનિક છે: $f_{o2} = 5f_0$.
ત્રીજો ઓવરટોન એ સાતમો હાર્મોનિક છે: $f_{o3} = 7f_0$.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ત્રણ ઓવરટોનની આવૃત્તિઓનો સરવાળો $3930 \ Hz$ છે:
$3f_0 + 5f_0 + 7f_0 = 3930 \ Hz$.
$15f_0 = 3930 \ Hz$.
$f_0 = \frac{3930}{15} \ Hz = 262 \ Hz$.
આમ,મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિ $262 \ Hz$ છે.

(C) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
તેથી,$L_1 = \frac{v}{2f_1}$ અને $L_2 = \frac{v}{2f_2}$.
જ્યારે બે પાઈપોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી પાઈપની કુલ લંબાઈ $L = L_1 + L_2$ થાય છે.
સંયુક્ત પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{v}{2(L_1 + L_2)} = \frac{v}{2(\frac{v}{2f_1} + \frac{v}{2f_2})} = \frac{v}{v(\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2})} = \frac{1}{\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}} = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2}$.

(A) $L$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં,મૂળભૂત મોડ એ તરંગલંબાઈના ચોથા ભાગને અનુરૂપ છે,એટલે કે $L = \lambda / 4$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 4L$ થાય.
ધ્વનિ તરંગને ખુલ્લા છેડાથી બંધ છેડા સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ ધ્વનિની ઝડપ $v$ સાથે $L$ અંતર કાપવા માટેનો સમય છે. તેથી,$t = L / v$,અથવા $L = vt$ થાય.
$L = vt$ ને તરંગલંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = 4vt$ મળે છે.
કંપનની આવૃત્તિ $f$ એ $f = v / \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = v / (4vt) = 1 / (4t) = (4t)^{-1}$ Hz મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{\text{open}} = (n+1) \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$ છે.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{\text{closed}} = (2n+1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$ છે.
બંધ પાઇપ માટે $n^{\text{th}}$ ઓવરટોન અને ખુલ્લી પાઇપ માટે $n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર:
$\text{Ratio} = \frac{f_{\text{closed}}}{f_{\text{open}}} = \frac{(2n+1) \frac{v}{4L}}{(n+1) \frac{v}{2L}}$
$\text{Ratio} = \frac{(2n+1)}{4L} \times \frac{2L}{(n+1)} = \frac{2n+1}{2(n+1)}$.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4L} = 80 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણકો (odd harmonics) હોય છે,જે $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, 7, \ldots$.
$f_1 = 80 \ Hz$ કિંમત મૂકતા:
$f_1 = 1 \times 80 = 80 \ Hz$
$f_3 = 3 \times 80 = 240 \ Hz$
$f_5 = 5 \times 80 = 400 \ Hz$
$f_7 = 7 \times 80 = 560 \ Hz$
આમ,ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિઓ $80, 240, 400, 560, \ldots \ Hz$ છે.

(D) બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
$L$ લંબાઈની પ્રથમ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ છે.
$(L+L_1)$ લંબાઈની બીજી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{2(L+L_1)}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \left| \frac{v}{2L} - \frac{v}{2(L+L_1)} \right| = \frac{v}{2} \left| \frac{(L+L_1) - L}{L(L+L_1)} \right|$.
$f_b = \frac{v}{2} \cdot \frac{L_1}{L(L+L_1)} = \frac{v L_1}{2 L(L+L_1)}$.

(A) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n - 1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ $n^{th}$ હાર્મોનિક દર્શાવે છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n=1)$ એ પ્રથમ હાર્મોનિક છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે.
બીજો ઓવરટોન એ પાંચમો હાર્મોનિક $(n=3)$ છે.
બંધ પાઇપમાં,$n^{th}$ હાર્મોનિક માટે નિસ્પંદ બિંદુઓ $(N)$ અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ $(A)$ ની સંખ્યા $N = n$ અને $A = n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા ઓવરટોન માટે,$n = 3$ છે.
તેથી,નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $3$ છે અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $3$ છે.

(A) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2L}$ છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપનો $\frac{3}{4}$ ભાગ પાણીમાં ડૂબેલો હોય,ત્યારે પાણીની ઉપર બાકી રહેલા હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \frac{3}{4}L = \frac{1}{4}L$ થાય છે.
આ પાઇપ હવે બંધ પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે (એક છેડે પાણી દ્વારા બંધ). $L'$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{4L'}$ છે.
$n_2$ ના સમીકરણમાં $L' = \frac{1}{4}L$ મૂકતા,આપણને $n_2 = \frac{v}{4(\frac{1}{4}L)} = \frac{v}{L}$ મળે છે.
હવે,$\frac{n_1}{n_2}$ નો ગુણોત્તર શોધતા: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{v/2L}{v/L} = \frac{v}{2L} \times \frac{L}{v} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપના હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (n+1)f_0$ છે,જ્યાં $n=0, 1, 2, ...$.
ખુલ્લી પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $n=2$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{open, 2nd} = 3f_0$.
સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે,આવૃત્તિઓ $f'_m = (2m+1) \frac{v}{4L} = (2m+1) \frac{f_0}{2}$ છે,જ્યાં $m=0, 1, 2, ...$.
બંધ પાઇપનો ત્રીજો ઓવરટોન $m=3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{closed, 3rd} = (2(3)+1) \frac{f_0}{2} = 7 \frac{f_0}{2} = 3.5f_0$.
પ્રશ્ન મુજબ,$f_{closed, 3rd} - f_{open, 2nd} = 200 \ Hz$.
$3.5f_0 - 3f_0 = 200 \ Hz$.
$0.5f_0 = 200 \ Hz$.
$f_0 = 400 \ Hz$.

(B) $L$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4L} = 400 \text{ Hz}$ છે.
જ્યારે પાઇપનો $\frac{1}{3}$ ભાગ પાણીથી ભરવામાં આવે, ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ થાય છે.
આ બંધ પાઇપની નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f'_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3}{2} \left(\frac{v}{4L}\right) = \frac{3}{2} \times 400 = 600 \text{ Hz}$ છે.
બંધ પાઇપ માત્ર એકી હાર્મોનિક્સ $(1^{\text{st}}, 3^{\text{rd}}, 5^{\text{th}}, \dots)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
જો કે, પ્રશ્નમાં પાઇપના $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક વિશે પૂછવામાં આવ્યું છે. ઓર્ગન પાઇપના સંદર્ભમાં, $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકને $n \times f_1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી, $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક આવૃત્તિ $f_2 = 2 \times f'_1 = 2 \times 600 = 1200 \text{ Hz}$ થશે.

(A) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,સીમા શરતો મુજબ બંને ખુલ્લા છેડા પર એન્ટિનોડ્સ (પ્રસ્પંદ બિંદુઓ) રચાય છે.
મૂળભૂત મોડ (પ્રથમ હાર્મોનિક) એવી સ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યાં પાઈપની લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ જેટલી હોય છે,એટલે કે $L = \frac{\lambda}{2}$,તેથી $\lambda = 2L$.
તરંગ સમીકરણ $V = f \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{V}{\lambda} = \frac{V}{2L}$ મળે છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપમાં,તમામ હાર્મોનિક્સ (મૂળભૂત આવૃત્તિના પૂર્ણાંક ગુણાંક) હાજર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે એકી અને બેકી બંને પ્રકારના હાર્મોનિક્સ ઉત્પન્ન થાય છે.

(B) $L$ લંબાઈની બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
$L$ લંબાઈની એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $n_1 = 2 \times (\frac{v}{4L})$.
આ સમીકરણમાં $n_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $n_1 = 2n_2$ મળે છે.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L} = 150 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{v}{L} = 150 \times 4 = 600 \ Hz$.
જ્યારે તે જ પાઇપ બંને છેડે ખુલ્લી હોય,ત્યારે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ થાય છે.
$\frac{v}{L}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f_o = \frac{600}{2} = 300 \ Hz$ મળે છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,તમામ હાર્મોનિક્સ હાજર હોય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય છે: $f_n = n \times f_o$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$.
આમ,આવૃત્તિઓ $300 \times 1, 300 \times 2, 300 \times 3, \ldots$ એટલે કે $300, 600, 900, 1200, \ldots \ Hz$ થશે.

(C) ધારો કે બંને પાઈપની લંબાઈ $L$ છે. ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ છે અને બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $2$ છે,તેથી $|f_o - f_c| = 2$.
$|\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = 2 \implies \frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
હવે,ખુલ્લી પાઈપની લંબાઈ $L' = \frac{L}{2}$ થાય છે અને બંધ પાઈપની લંબાઈ $L'' = 2L$ થાય છે.
ખુલ્લી પાઈપની નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o' = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$ છે.
બંધ પાઈપની નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c' = \frac{v}{4L''} = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{2} \times (\frac{v}{4L}) = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ Hz}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $|f_o' - f_c'| = |8 - 1| = 7 \text{ Hz}$ છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4L}$ છે.
ઓવરટોનની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n-1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ $3^{\text{rd}}$ હાર્મોનિક $(n=2)$ છે અને બીજો ઓવરટોન એ $5^{\text{th}}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ છે.
બંધ પાઇપમાં $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે,નોડની સંખ્યા $n$ અને એન્ટિનોડની સંખ્યા $n$ હોય છે.
બીજો ઓવરટોન એ $3^{\text{rd}}$ કંપન મોડ $(n=3)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,તેમાં $3$ નોડ અને $3$ એન્ટિનોડ હોય છે.

(D) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પાઇપનો $80\%$ ભાગ પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલા હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l = L - 0.8L = 0.2L = \frac{L}{5}$ થાય છે.
પાઇપ હવે એક છેડે બંધ (પાણીની સપાટી દ્વારા) હોવાથી,તે $l$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{V}{4l}$ છે.
$l = \frac{L}{5}$ મૂકતા,આપણને $f_2 = \frac{V}{4(L/5)} = \frac{5V}{4L}$ મળે છે.
હવે,$f_1:f_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{V/2L}{5V/4L} = \frac{V}{2L} \times \frac{4L}{5V} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ થાય છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,બંને છેડા પરના અંતિમ સુધારા $(e)$ ને ધ્યાનમાં લેતા અસરકારક લંબાઈ $(L)$ નીચે મુજબ છે:
$L = l + 2e$
ખુલ્લી પાઇપ માટે અંતિમ સુધારો $e = 0.6r$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{v}{2L}$
$L$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{v}{2(l + 1.2r)}$

(C) ધારો કે સૌથી ટૂંકી રેઝોનન્સ લંબાઈ $l_1 = 15 \ cm$ છે અને અંતિમ સુધારો $e = 1 \ cm$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપમાં પ્રથમ રેઝોનન્સ (મૂળભૂત મોડ) માટે:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$15 + 1 = \frac{\lambda}{4} \implies 16 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 64 \ cm$
આગામી રેઝોનન્સ લંબાઈ $l_2$ (પ્રથમ ઓવરટોન) માટે:
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$l_2 + 1 = \frac{3 \times 64}{4}$
$l_2 + 1 = 3 \times 16$
$l_2 + 1 = 48$
$l_2 = 47 \ cm$

(A) ટ્યુનિંગ ફોર્ક એક છેડે બંધ પાઇપમાં રહેલા હવાના સ્તંભ સાથે અનુનાદમાં છે. અનુનાદિત આવૃત્તિ $n = \frac{(2N-1)v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = 1, 2, 3, \dots$ એ કંપનના વિવિધ મોડ્સ દર્શાવે છે.
$n = 340 \ Hz$ અને $v = 340 \ m/s$ (હવામાં અવાજની ઝડપ) મૂકતા,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ નીચે મુજબ મળે:
$l = \frac{(2N-1)v}{4n} = \frac{(2N-1) \times 340}{4 \times 340} = \frac{2N-1}{4} \ m = (2N-1) \times 25 \ cm$.
$N = 1, 2, 3, \dots$ માટે,હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ $l = 25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ છે.
નળી માત્ર $120 \ cm$ લાંબી હોવાથી,હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ માત્ર $25 \ cm$ અને $75 \ cm$ હોઈ શકે.
પાણીના સ્તંભની અનુરૂપ ઊંચાઈ $h = \text{કુલ ઊંચાઈ} - l$ છે.
$l = 25 \ cm$ માટે,$h = 120 - 25 = 95 \ cm$.
$l = 75 \ cm$ માટે,$h = 120 - 75 = 45 \ cm$.
આમ,અનુનાદ માટે જરૂરી પાણીની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $45 \ cm$ છે.

(D) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \ m = 100 \ cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે,રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L$ એ $\frac{\lambda}{4}$ નો એકી ગુણાંક હોય,એટલે કે $L = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$
હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ $25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ છે.
ટ્યુબની કુલ ઊંચાઈ $150 \ cm$ છે.
રેઝોનન્સ મેળવવા માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ ઉપરના મૂલ્યોમાંથી એક હોવી જોઈએ. પાણીના સ્તંભની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ મેળવવા માટે,આપણે ટ્યુબમાં સમાઈ શકે તેવી મહત્તમ શક્ય હવાના સ્તંભની લંબાઈ પસંદ કરવી જોઈએ,જે $125 \ cm$ છે.
પાણીના સ્તંભની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $= \text{કુલ ઊંચાઈ} - \text{મહત્તમ હવાના સ્તંભની લંબાઈ} = 150 \ cm - 125 \ cm = 25 \ cm$.

(B) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,$n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(2n+1)V}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા ઓવરટોન માટે,$n=3$,તેથી $f = \frac{(2 \times 3 + 1)V}{4L_c} = \frac{7V}{4L_c}$.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(n+1)V}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છઠ્ઠા ઓવરટોન માટે,$n=6$,તેથી $f = \frac{(6+1)V}{2L_o} = \frac{7V}{2L_o}$.
બંને આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{7V}{4L_c} = \frac{7V}{2L_o}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{4L_c} = \frac{1}{2L_o}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_c}{L_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે: પાઇપની લંબાઈ $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$,સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 2.2 \ kHz = 2200 \ Hz$,અવાજની ઝડપ $v = 330 \ m/s$.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = n \frac{v}{2l}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2200 = n \left[ \frac{330}{2 \times 0.6} \right]$
$2200 = n \left[ \frac{330}{1.2} \right]$
$2200 = n \times 275$
$n = \frac{2200}{275} = 8$.
તેથી,પાઇપનો $8^{\text{th}}$ હાર્મોનિક મોડ સ્ત્રોત સાથે અનુનાદિત થાય છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઈપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $\frac{3v_1}{4L_1} = \frac{v_2}{L_2}$.
વાયુમાં અવાજની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{1}{\rho K}}$ છે,જ્યાં $K$ એ સંકોચનક્ષમતા છે. બંને વાયુઓ માટે $K$ સમાન હોવાથી,$v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$.
આ કિંમતને આવૃત્તિના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{4L_1} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}} = \frac{1}{L_2}$.
$L_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $L_2 = \frac{4L_1}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ મળે છે.

(B) ખુલ્લી પાઇપ માટે, અંતિમ સુધારો $e$ એ સૂત્ર $e = 0.6 \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $d$ એ પાઇપનો આંતરિક વ્યાસ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ સુધારો $e = 0.8 \,cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $0.8 = 0.6 \times d$.
તેથી, $d = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3} \,cm$.
આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસ $d$ ના અડધા હોવાથી, $r = \frac{d}{2}$ થાય.
$r = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \,cm$.
આમ, પાઇપની આંતરિક ત્રિજ્યા $\frac{2}{3} \,cm$ છે.

(B) $l$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v = 333 \,m/s$ અને $l = 33.3 \,cm = 0.333 \,m$ આપેલ છે.
$f_0 = \frac{333}{2 \times 0.333} = \frac{333}{0.666} = 500 \,Hz$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં, બધા જ હાર્મોનિક્સ હાજર હોય છે, તેથી $n$-મો ઓવરટોન એ $(n+1)$-મો હાર્મોનિક છે.
પાંચમો ઓવરટોન એ છઠ્ઠા હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.
પાંચમા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_5 = 6 \times f_0 = 6 \times 500 \,Hz = 3000 \,Hz$ થાય.

(B) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{open}} = \frac{v}{2L} = n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$
પાઇપ દોરી સાથે સુમેળમાં હોવાથી,દોરીની આવૃત્તિ $n_s = n = \frac{v}{2L}$ છે.
જ્યારે નળીને પાણીમાં એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈના $75 \%$ અંદર હોય,ત્યારે હવાના સ્તંભની બાકી રહેલી લંબાઈ $l_1 = 25 \% \times L = \frac{L}{4}$ થાય છે.
હવે આ પાઇપ બંધ ઓર્ગન પાઇપ (એક છેડે બંધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{closed}} = \frac{v}{4l_1} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ છે.
આપણે ડૂબેલી નળીના હવાના સ્તંભની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n_{\text{closed}})$ અને દોરીની આવૃત્તિ $(n_s)$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= \frac{n_{\text{closed}}}{n_s} = \frac{v/L}{v/2L} = \frac{2}{1}$.

(A) $L_1$ લંબાઈની બંધ પાઇપ $A$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L_2$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ $B$ માટે,આવૃત્તિઓ $n = \frac{mv}{2L_2}$ છે,જ્યાં $m = 1, 2, 3, \dots$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $m=2$ અને બીજો ઓવરટોન $m=3$ છે.
આમ,પાઇપ $B$ ના બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_2 = \frac{3v}{2L_2}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $n_1 = n_2$.
તેથી,$\frac{v}{4L_1} = \frac{3v}{2L_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1:6$ છે.

(C) ધારો કે ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ $l$ છે અને બંધ પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ધારો કે હવામાં અવાજની ઝડપ $v$ છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,$p$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_p = (p+1) \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બીજો ઓવરટોન $p=2$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{o} = 3 \frac{v}{2l}$.
બંધ પાઇપ માટે,$p$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_p = (2p+1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓવરટોન $p=1$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{c} = 3 \frac{v}{4L}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે: $f_{o} = f_{c}$.
$\frac{3v}{2l} = \frac{3v}{4L}$.
બંને બાજુથી $3v$ દૂર કરતા,આપણને $\frac{1}{2l} = \frac{1}{4L}$ મળે છે.
તેથી,$2l = 4L$,જેનું સાદું રૂપ $l = 2L$ થાય છે.

(B) $l$ લંબાઈની અને બંને છેડે '$e$' અંતિમ સુધારો ધરાવતી ખુલ્લી પાઈપ માટે અસરકારક લંબાઈ $L_{eff} = l + 2e$ થાય છે.
ખુલ્લી પાઈપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2L_{eff}}$ છે.
હાર્મોનિક્સ $n_p = p \cdot n_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન $p=2$ છે અને બીજો ઓવરટોન $p=3$ છે.
તેથી,બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_3 = \frac{3v}{2(l+2e)}$ થાય.
સંબંધ $v = n_3 \lambda_3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lambda_3 = \frac{v}{n_3}$ મળે છે.
$n_3$ ની કિંમત મૂકતા,$\lambda_3 = \frac{v}{\frac{3v}{2(l+2e)}} = \frac{2(l+2e)}{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $l_1$ અને $l_2$ એ પ્રથમ અને દ્વિતીય રેઝોનન્સ માટેની લંબાઈ છે અને $x$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$
દ્વિતીય રેઝોનન્સ માટે: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3 \implies l_2 + x = 3l_1 + 3x \implies 2x = l_2 - 3l_1$
$2x = 70.2 - 3(22.7) = 70.2 - 68.1 = 2.1 \,cm \implies x = 1.05 \,cm$
ત્રીજા રેઝોનન્સ માટે: $l_3 + x = \frac{5\lambda}{4} = 5(l_1 + x)$
$l_3 = 5l_1 + 4x = 5(22.7) + 4(1.05) = 113.5 + 4.2 = 117.7 \,cm$

(C) ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{o,fund} = \frac{v}{2L_o}$ છે. ખુલ્લી પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{o,1} = 2 \times \frac{v}{2L_o} = \frac{v}{L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{c,fund} = \frac{v}{4L_c}$ છે. બંધ પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_{c,1} = 3 \times \frac{v}{4L_c} = \frac{3v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિઓ સમાન છે:
$\frac{v}{L_o} = \frac{3v}{4L_c}$
બંધ પાઇપની લંબાઈ $(L_c)$ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ $(L_o)$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{3}{4}$
તેથી,બંધ પાઇપ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,બંને છેડા પરના અંતિમ સુધારા $(e)$ ને ધ્યાનમાં લેતા અસરકારક લંબાઈ $(L)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L = l + 2e$
ખુલ્લી પાઇપ માટે દરેક છેડા પરનો અંતિમ સુધારો $e = 0.6r$ હોવાથી,અસરકારક લંબાઈ થશે:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{V}{2L}$
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{V}{2(l + 1.2r)}$

(B) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ $P_{O}$ માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ છે. બીજો ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_3 = \frac{3 v}{2 L_O}$.
એક છેડે બંધ પાઇપ $P_{C}$ માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_C}$ છે. બીજો ઓવરટોન એ $5^{th}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_5 = \frac{5 v}{4 L_C}$.
બંને પાઇપ એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે: $f_3 = f_5$.
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{5 v}{4 L_C}$
$\frac{3}{2 L_O} = \frac{5}{4 L_C}$
$\frac{L_C}{L_O} = \frac{5 \times 2}{4 \times 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

(C) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લંબાઈનો $\frac{3}{4}$ ભાગ પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની બાકી રહેલી લંબાઈ $L' = L - \frac{3}{4}L = \frac{L}{4}$ થાય છે.
હવે એક છેડો પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ હોવાથી,તે $\frac{L}{4}$ લંબાઈની બંધ પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ થાય છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{v/2L}{v/L} = \frac{v}{2L} \times \frac{L}{v} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે અને $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$p^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = (p+1) \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$p^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = (2p+1) \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_o}{f_c} = \frac{(p+1) \frac{v}{2l}}{(2p+1) \frac{v}{4l}}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{f_o}{f_c} = \frac{p+1}{2l} \times \frac{4l}{2p+1} = \frac{2(p+1)}{2p+1}$ મળે છે.