Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(N/A) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે પ્રથમ હાર્મોનિક આવૃત્તિ $v_1 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે અને $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
તેના $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $v_n = \frac{nv}{2L}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
અહીં $L = 30.0 \; cm = 0.3 \; m$ અને $v = 330 \; m s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી આવૃત્તિઓ:
$v_n = \frac{n \times 330}{2 \times 0.3} = \frac{330n}{0.6} = 550n \; Hz$.
$1.1 \; kHz = 1100 \; Hz$ ના ઉદ્ગમ માટે,$550n = 1100$,જે $n = 2$ આપે છે.
આમ,ઉદ્ગમ બીજા હાર્મોનિક પર અનુનાદિત થાય છે.
જો પાઇપનો એક છેડો બંધ કરવામાં આવે,તો મૂળભૂત આવૃત્તિ $v_1 = \frac{v}{4L} = \frac{330}{4 \times 0.3} = \frac{330}{1.2} = 275 \; Hz$ થાય.
એક છેડે બંધ પાઇપમાં,ફક્ત એકી હાર્મોનિક્સ હાજર હોય છે ($v_n = n \times 275$ જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$).
ઉદ્ગમની આવૃત્તિ $1100 \; Hz$ એ $n = \frac{1100}{275} = 4$ ને અનુરૂપ થાય.
કારણ કે $4$ એ બેકી સંખ્યા છે,આ મોડ એક છેડે બંધ પાઇપ માટે શક્ય નથી. તેથી,કોઈ અનુનાદ જોવા મળશે નહીં.

(B) એક છેડે બંધ નળી માટે,અનુનાદ $l_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ લંબાઈએ થાય છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
આપેલ અનુનાદ લંબાઈ $l_1 = 25.5\; cm$ અને $l_2 = 79.3\; cm$ છે.
બે ક્રમિક અનુનાદ લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta l = l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2}$ છે.
$\Delta l = 79.3\; cm - 25.5\; cm = 53.8\; cm = 0.538\; m$.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = 0.538\; m \implies \lambda = 1.076\; m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા મળે છે.
$v = 340\; Hz \times 1.076\; m = 365.84\; m/s$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $347\; m/s$ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પાઇપની લંબાઈ,$l = 20 \; cm = 0.2 \; m$.
ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340 \; m/s$.
ઉદ્ગમની આવૃત્તિ,$\nu = 430 \; Hz$.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ નોર્મલ મોડની આવૃત્તિ $\nu_n = (2n - 1) \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
કિંમતો મૂકતા: $430 = (2n - 1) \frac{340}{4 \times 0.2} = (2n - 1) \frac{340}{0.8} = (2n - 1) \times 425$.
$2n - 1 = \frac{430}{425} \approx 1.01$.
$2n \approx 2.01 \implies n \approx 1$.
આમ,પ્રથમ હાર્મોનિક (મૂળભૂત મોડ) અનુનાદિત થાય છે.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ નોર્મલ મોડની આવૃત્તિ $\nu_n = \frac{nv}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$n = \frac{2l \nu_n}{v} = \frac{2 \times 0.2 \times 430}{340} = \frac{172}{340} \approx 0.5$.
કારણ કે $n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી જો બંને છેડા ખુલ્લા હોય તો ઉદ્ગમ પાઇપ સાથે અનુનાદમાં રહેશે નહીં.

(N/A) કુદરતી આવૃત્તિ ધરાવતી દોલન પ્રણાલીને નોર્મલ મોડ કહેવામાં આવે છે.
શક્ય લઘુત્તમ કુદરતી આવૃત્તિને ફંડામેન્ટલ મોડ અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે.
સ્થિત તરંગો માટે બંને છેડે જડેલી તણાવયુક્ત દોરીની આવૃત્તિ:
$v = \frac{n v}{2 L} \quad \dots (1)$
$v = \frac{v}{\lambda}$ મૂકતા:
$L = \frac{n \lambda}{2} \quad \dots (2)$
અને $\lambda = \frac{2 L}{n} \quad \dots (3)$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
જો $n = 1$ હોય,તો:
$v_1 = \frac{v}{2 L}$,$L = \frac{\lambda_1}{2}$ અને $\lambda_1 = 2 L$ મળે છે. અહીં $v_1$ ને ફંડામેન્ટલ અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક કહેવાય છે.
જો $n = 2$ હોય,તો:
$v_2 = \frac{v}{L} = 2 v_1$,$L = \lambda_2$ અને $\lambda_2 = L$ મળે છે. અહીં $v_2$ ને દ્વિતીય હાર્મોનિક કહેવાય છે.
જો $n = 3$ હોય,તો:
$v_3 = \frac{3 v}{2 L} = 3 v_1$,$L = \frac{3 \lambda_3}{2}$ અને $\lambda_3 = \frac{2}{3} L$ મળે છે. અહીં $v_3$ ને તૃતીય હાર્મોનિક કહેવાય છે.

(N/A) પાઈપની અંદર રહેલા હવાના સ્તંભમાં સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.
પાઈપના બે પ્રકાર છે:
$(1)$ ખુલ્લી પાઈપ: જે પાઈપ બંને છેડેથી ખુલ્લી હોય તેને ખુલ્લી પાઈપ કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં,બંને ખુલ્લા છેડાઓ પર પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) રચાય છે. ઉદાહરણ: વાંસળી.
$(2)$ બંધ પાઈપ: જે પાઈપ એક છેડેથી ખુલ્લી અને બીજા છેડેથી બંધ હોય તેને બંધ પાઈપ કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં,ખુલ્લા છેડા પર પ્રસ્પંદ બિંદુ અને બંધ છેડા પર નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચાય છે. ઉદાહરણ: આંશિક રીતે પાણી ભરેલી નળી.

(N/A) બંધ પાઇપ એટલે એક છેડેથી બંધ અને બીજા છેડેથી ખુલ્લી પાઇપ. બંધ છેડો નિસ્પંદ બિંદુ (node) તરીકે અને ખુલ્લો છેડો પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) તરીકે વર્તે છે.
ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. સીમાવર્તી શરતો મુજબ: $x=0$ આગળ સ્થાનાંતર $y=0$ (નિસ્પંદ બિંદુ) અને $x=L$ આગળ સ્થાનાંતર મહત્તમ (પ્રસ્પંદ બિંદુ) હોય છે.
$x=L$ આગળ પ્રસ્પંદ બિંદુ માટેની શરત $kL = (n + 1/2)\pi$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$k = 2\pi / \lambda$ મૂકતા:
$\frac{2\pi}{\lambda} L = (n + 1/2)\pi$
$L = (n + 1/2) \frac{\lambda}{2} = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}$
આમ,શક્ય તરંગલંબાઈઓ $\lambda_n = \frac{4L}{2n+1}$ છે.
$v = f\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ:
$f_n = \frac{v}{\lambda_n} = (2n + 1) \frac{v}{4L}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$n=0$ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{4L}$ મળે છે.
ઉચ્ચ આવૃત્તિઓ એ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણકો છે: $3f_0, 5f_0, 7f_0, \dots$.

(N/A) ખુલ્લી પાઇપમાં બંને છેડે એન્ટિનોડ્સ (પ્રસ્પંદ બિંદુઓ) ઉત્પન્ન થાય છે. $n$ માં હાર્મોનિક માટે પાઇપની લંબાઈ $L = \frac{n \lambda_n}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$ અને $\lambda_n$ એ તરંગલંબાઇ છે.
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda_n = \frac{2L}{n}$ થાય.
સંબંધ $v = \nu_n \lambda_n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,આવૃત્તિ $\nu_n$ નીચે મુજબ મળે:
$\nu_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{n v}{2L} = n \left( \frac{v}{2L} \right) = n \nu_1$,જ્યાં $\nu_1 = \frac{v}{2L}$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
$n=1$ માટે,$\nu_1 = \frac{v}{2L}$ (પ્રથમ હાર્મોનિક અથવા મૂળભૂત આવૃત્તિ).
$n=2$ માટે,$\nu_2 = 2 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2 \nu_1$ (બીજો હાર્મોનિક).
$n=3$ માટે,$\nu_3 = 3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 3 \nu_1$ (ત્રીજો હાર્મોનિક).
આમ,$n$ કોઈપણ પૂર્ણાંક કિંમત $(1, 2, 3, \ldots)$ લઈ શકતું હોવાથી,ખુલ્લી પાઇપમાં તમામ હાર્મોનિક્સ શક્ય છે.

(N/A) બંધ પાઇપ એ એક એવી ઓર્ગન પાઇપ છે જે એક છેડેથી બંધ અને બીજા છેડેથી ખુલ્લી હોય છે. બંધ પાઇપમાં,બંધ છેડા પર હંમેશા નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચાય છે અને ખુલ્લા છેડા પર હંમેશા પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) રચાય છે.
ખુલ્લી પાઇપ એ એક એવી ઓર્ગન પાઇપ છે જે બંને છેડેથી ખુલ્લી હોય છે. ખુલ્લી પાઇપમાં,બંને ખુલ્લા છેડાઓ પર હંમેશા પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) રચાય છે.

(N/A) એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,સીમા શરતો મુજબ બંધ છેડે નિસ્પંદ બિંદુ (node) અને ખુલ્લા છેડે પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) હોવું જરૂરી છે.
ધારો કે $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે અને $v$ એ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
$n$-મા હાર્મોનિકની તરંગલંબાઈ $\lambda_n = \frac{4L}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$ (માત્ર એકી હાર્મોનિક્સ).
$n$-મા સામાન્ય મોડની આવૃત્તિ $f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{nv}{4L}$ છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$.

(A) બંધ પાઇપમાં (એક છેડો બંધ અને એક છેડો ખુલ્લો),બંધ છેડો સ્થાનાંતર નોડ (node) તરીકે અને ખુલ્લો છેડો સ્થાનાંતર એન્ટિનોડ (antinode) તરીકે વર્તે છે.
$L$ લંબાઈની પાઇપ માટે,શક્ય તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
આનાથી આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{v}{\lambda} = (2n - 1) \frac{v}{4L}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_1 = \frac{v}{4L})$ ના એકી ગુણાંકમાં હોવાથી,બંધ પાઇપમાં માત્ર એકી હાર્મોનિક્સ જ શક્ય છે.

(C) બંધ પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n - 1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ $n$-મો હાર્મોનિક દર્શાવે છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_1)$ $= 300 \ Hz$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(n = 2)$ છે: $f = 3f_1 = 3 \times 300 = 900 \ Hz$.
બીજો ઓવરટોન એ પાંચમો હાર્મોનિક $(n = 3)$ છે: $f = 5f_1 = 5 \times 300 = 1500 \ Hz$.
તેથી,બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $1500 \ Hz$ છે.

(A) બંધ પાઇપમાં (એક છેડો બંધ અને એક છેડો ખુલ્લો),મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{1} = \frac{v}{4L}$ છે.
શક્ય આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંકમાં હોય છે: $f_{n} = n f_{1}$,જ્યાં $n = 1, 3, 5, 7, \ldots$.
તેથી,બંધ પાઇપમાં બેકી ક્રમના હાર્મોનિક્સ $(n = 2, 4, 6, \ldots)$ ગેરહાજર હોય છે.

(A) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,પ્રથમ હાર્મોનિક (મૂળભૂત આવૃત્તિ) ની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 480 \ Hz$,તેથી $\frac{v}{2L} = 480 \dots (1)$.
$L'$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ માટે,પ્રથમ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_1' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_1' = 480 \ Hz$,તેથી $\frac{v}{4L'} = 480 \dots (2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,આપણને $\frac{v}{2L} = \frac{v}{4L'}$ મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$2L' = L$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $L' = L/2$.

(C) આપેલ છે: પાઇપની લંબાઈ $L = 20$ $cm = 0.2$ $m$,ઉદગમની આવૃત્તિ $f = 1237.5$ $Hz$,હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v = 330$ $m/s$.
એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{1} = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_{1} = \frac{330}{4 \times 0.2} = \frac{330}{0.8} = 412.5$ $Hz$.
અનુનાદ માટે,ઉદગમની આવૃત્તિ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંકમાં હોવી જોઈએ: $f = n f_{1}$,જ્યાં $n = 1, 3, 5, ...$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $n = \frac{f}{f_{1}} = \frac{1237.5}{412.5} = 3$.
$n = 3$ હોવાથી,પાઇપ $3^{rd}$ હાર્મોનિક મોડમાં અનુનાદિત થાય છે.

(N/A) બંધ પાઇપના ખુલ્લા છેડા પર અવાજના તરંગની મહત્તમ તીવ્રતા માટે (પ્રથમ મોડમાં),આપણી પાસે $L = \frac{\lambda}{4}$ છે.
$\therefore \lambda = 4L = 4 \times 0.17 = 0.68 \ m$.
હવે,$v = f\lambda = (512)(0.68) = 348.16 \ m/s$.
$(b)$ હવામાં અવાજની ઝડપ $v \propto \sqrt{T}$ છે.
$\therefore \frac{v_0}{v_{20}} = \sqrt{\frac{T_0}{T_{20}}}$,જ્યાં $v_0$ એ $0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ પર અવાજની ઝડપ છે અને $v_{20}$ એ $20^{\circ} C$ $(293 \ K)$ પરની ઝડપ છે.
$\therefore v_0 = 348.16 \times \sqrt{\frac{273}{293}} \approx 336 \ m/s$.
$(c)$ પારો પાણી કરતા $13.6$ ગણો વધુ ઘન છે. તેની સપાટી પાણી કરતા અવાજના તરંગોને વધુ સારી રીતે પરાવર્તિત કરે છે. તેથી,જ્યારે પાણીને બદલે પારો લેવામાં આવે,ત્યારે આપણને પરાવર્તિત અવાજની તીવ્રતા વધુ મળે છે. જો કે,અવાજના તરંગની તરંગલંબાઇ અને ઝડપ સમાન રહેશે.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં,બે ક્રમિક અનુનાદ સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇના અડધા ભાગ જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2} = l_2 - l_1$.
આપેલ છે $l_1 = 17.0 \, cm$ અને $l_2 = 24.5 \, cm$.
$\frac{\lambda}{2} = 24.5 \, cm - 17.0 \, cm = 7.5 \, cm$.
તેથી,$\lambda = 2 \times 7.5 \, cm = 15.0 \, cm = 0.15 \, m$.
વેગ $(v)$,આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
આપેલ છે $v = 330 \, m/s$,તેથી $330 = f \times 0.15$.
$f = \frac{330}{0.15} = \frac{33000}{15} = 2200 \, Hz$.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{(2n+1)v}{4l}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 85\, cm = 0.85\, m$
વેગ $v = 340\, m/s$
આવૃત્તિ $f < 1250\, Hz$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(2n+1) \times 340}{4 \times 0.85} < 1250$
$\frac{(2n+1) \times 340}{3.4} < 1250$
$(2n+1) \times 100 < 1250$
$2n+1 < 12.5$
$2n < 11.5$
$n < 5.75$
કારણ કે $n$ એ અન-ઋણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે.
આમ,કુલ $6$ શક્ય પ્રાકૃતિક દોલનો છે.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \times f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $v = 330 \, m/s$ અને $L = 1 \, m$ આપેલ છે,તેથી $f_1 = \frac{330}{2 \times 1} = 165 \, Hz$.
આપણે એવા હાર્મોનિક્સની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $f_n \leq 1000 \, Hz$ થાય.
$n \times 165 \leq 1000$.
$n \leq \frac{1000}{165} \approx 6.06$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
આમ,કુલ $6$ ટોન (હાર્મોનિક્સ) હાજર છે.

(A) રેઝોનન્સ કોલમ માટે,રેઝોનન્સ લંબાઈનું સૂત્ર $l_n + x = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ છે,જ્યાં $x$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4} = 22.7 \, cm$ $(I)$
દ્વિતીય રેઝોનન્સ $(n=2)$: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4} = 70.2 \, cm$ $(II)$
સમીકરણ $(II)$ માંથી $(I)$ બાદ કરતા:
$(l_2 + x) - (l_1 + x) = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
$70.2 - 22.7 = 47.5 \, cm = \frac{\lambda}{2}$
ત્રીજા રેઝોનન્સ માટે $(n=3)$:
$l_3 + x = \frac{5\lambda}{4}$
$l_3 = l_1 + 2 \times (\frac{\lambda}{2}) = 22.7 + 2 \times 47.5 = 22.7 + 95.0 = 117.7 \, cm$.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{3v_{1}}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{1} = \sqrt{\frac{B}{\rho_{1}}}$ અને $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{2v_{2}}{2L'} = \frac{v_{2}}{L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{2} = \sqrt{\frac{B}{\rho_{2}}}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,$f_{c} = f_{o}$,તેથી $\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{B}{\rho_{1}}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{B}{\rho_{2}}}$.
$L'$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $L' = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}}$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $L' = \frac{x}{3} L \sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 6 \, cm = 0.06 \, m$,આવૃત્તિ $f = 504 \, Hz$,ધ્વનિની ઝડપ $v = 336 \, m/s$.
રેઝોનન્સ ટ્યુબ માટે એન્ડ કરેક્શન $e = 0.3 \times d = 0.3 \times 6 \, cm = 1.8 \, cm$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ એ $l + e = \frac{\lambda}{4}$ શરત સંતોષે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{336}{504} \, m = \frac{2}{3} \, m = \frac{200}{3} \, cm \approx 66.67 \, cm$.
તેથી,$l + e = \frac{66.67}{4} = 16.67 \, cm$.
$e$ ની કિંમત મૂકતા,$l + 1.8 = 16.67 \, cm$.
તેથી,$l = 16.67 - 1.8 = 14.87 \, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,રીડિંગ $14.8 \, cm$ છે.

(B) સૌથી ટૂંકી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ પ્રથમ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે,જ્યાં પાઇપની લંબાઈ $\ell$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના ચોથા ભાગ જેટલી હોય છે.
$\ell = \frac{\lambda}{4} \Rightarrow \lambda = 4\ell$
આવૃત્તિ $f$ એ સંબંધ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\lambda = 4\ell$ મૂકતા:
$f = \frac{v}{4\ell}$
અહીં $f = 250\, {Hz}$ અને $v = 340\, {ms}^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $\ell$ માટે ઉકેલતા:
$250 = \frac{340}{4\ell}$
$4\ell = \frac{340}{250} = 1.36\, {m}$
$\ell = \frac{1.36}{4} = 0.34\, {m}$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા:
$\ell = 0.34 \times 100 = 34\, {cm}$

(C) $L_1$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L_1}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન આવૃત્તિ $f_1 = 2 \times f_0 = \frac{2v}{2L_1} = \frac{v}{L_1}$ છે.
$L_2$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{4L_2}$ છે.
આપેલ છે કે ખુલ્લી પાઇપની પ્રથમ ઓવરટોન આવૃત્તિ એ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ સમાન છે,તેથી $f_1 = f_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{v}{L_1} = \frac{v}{4L_2}$.
આથી $L_1 = 4L_2$ મળે છે.
$L_2 = 20 \, cm$ આપેલ હોવાથી,$L_1 = 4 \times 20 \, cm = 80 \, cm$ થાય.

(C) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{V}{f} = \frac{340}{340} = 1\,m = 100\,cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક છેડે બંધ નળી માટે,અનુનાદ $L = \frac{n\lambda}{4}$ લંબાઈ પર થાય છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$.
આપેલ લંબાઈ $L_1 = 125\,cm$ એ $n = 5$ ને અનુરૂપ છે કારણ કે $\frac{5 \times 100}{4} = 125\,cm$.
આ પછીનો અનુનાદ $n = 3$ પર થાય છે,જે $L_2 = \frac{3 \times 100}{4} = 75\,cm$ છે.
હવાના સ્તંભની લંબાઈને $125\,cm$ થી ઘટાડીને $75\,cm$ કરવા માટે જરૂરી પાણીની ઊંચાઈ $h = 125\,cm - 75\,cm = 50\,cm$ છે.

(D) તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{336}{400} \,m = 0.84 \,m = 84 \,cm$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ અનુનાદ માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $\ell_1$ અને અંતિમ સુધારો $e$ નીચે મુજબ છે: $\ell_1 + e = \frac{\lambda}{4}$.
કિંમતો મૂકતા: $20.0 + e = \frac{84}{4} = 21 \,cm$.
આમ,અંતિમ સુધારો $e = 21 - 20 = 1 \,cm$.
ત્રીજા અનુનાદ માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $\ell_3$ નીચે મુજબ છે: $\ell_3 + e = \frac{5\lambda}{4}$.
$\ell_3 + 1 = 5 \times 21 = 105 \,cm$.
તેથી,$\ell_3 = 105 - 1 = 104 \,cm$.

(C) આ કુંડની નળી (Kundt's tube) નો પ્રયોગ છે,જેનો ઉપયોગ સ્થિત તરંગો દર્શાવવા માટે થાય છે. નળીમાં ઉત્પન્ન થતા સ્થિત તરંગોને કારણે રેતી (અથવા પાવડર) નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) પર એકઠી થાય છે.
ક્રમિક ઢગલાઓ વચ્ચેનું અંતર એ લંબગત તરંગોની તરંગલંબાઈના અડધા $(\frac{\lambda}{2})$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે $300 \,cm$ ની લંબાઈમાં $20$ ઢગલા છે,તેથી $20 \times \frac{\lambda}{2} = 300 \,cm$.
$\therefore 10 \lambda = 300 \,cm = 3 \,m$
$\lambda = 0.3 \,m$
ધ્વનિની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = \frac{300 \,m/s}{0.3 \,m} = 1000 \,Hz = 1 \,kHz$.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = y_0 \sin \left( \frac{2\pi}{L} x \right) \sin \left( \frac{2\pi}{L} x + \frac{\pi}{4} \right)$ છે.
સ્થિત તરંગના સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{L}$,તેથી $\lambda = L = 1.2 \,m$ મળે છે.
બંને છેડે બંધ પાઇપ માટે,શક્ય તરંગલંબાઈ $\lambda_n = \frac{2L}{n}$ છે. $n=2$ માટે,$\lambda = L = 1.2 \,m$,જે તરંગ સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.
$x=0$ પર,$y(0, t) = y_0 \sin(0) \sin(\pi/4) = 0$,તેથી $x=0$ પર નિસ્પંદ બિંદુ છે.
$x=L/2$ પર,$y(L/2, t) = y_0 \sin(\pi) \sin(\pi + \pi/4) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x=L/2$ પર પણ નિસ્પંદ બિંદુ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda_{max}} = \frac{v}{2L} = \frac{300}{2 \times 1.2} = \frac{300}{2.4} = 125 \,Hz$ છે.
$125 \,Hz \neq 137.5 \,Hz$ હોવાથી,વિકલ્પ $(d)$ ખોટું છે.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
પાઇપની લંબાઈ $L$ અચળ રહેતી હોવાથી,આવૃત્તિ $f$ એ ધ્વનિની ઝડપ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(f \propto v)$.
ધારો કે $v_1$ અને $f_1$ એ $23^{\circ} C$ તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ અને આવૃત્તિ છે,અને $v_2$ અને $f_2$ એ ગરમ દિવસે ધ્વનિની ઝડપ અને આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 450 \,Hz$ અને $v_2 = v_1 + 0.04 v_1 = 1.04 v_1$.
સમપ્રમાણતા $\frac{f_2}{f_1} = \frac{v_2}{v_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f_2 = f_1 \times \frac{v_2}{v_1} = 450 \times 1.04 = 468 \,Hz$.

(B) સળિયામાં લંબગત તરંગોની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{7.8 \times 10^{10}}{2600}} = \sqrt{3 \times 10^7} = \sqrt{30 \times 10^6} \approx 5477.2 \,m/s \approx 5480 \,m/s$.
સળિયો મધ્યમાં જકડાયેલો હોવાથી,મધ્યબિંદુ નોડ (સ્થાનાંતર નોડ) તરીકે કાર્ય કરે છે અને મુક્ત છેડા એન્ટિનોડ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કેન્દ્રમાં જકડાયેલા સળિયાના મૂળભૂત કંપન મોડ માટે,સળિયાની લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઇના અડધા $\lambda/2$ જેટલી હોય છે (કારણ કે બે ક્રમિક એન્ટિનોડ વચ્ચેનું અંતર $\lambda/2$ છે).
આમ,$L = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2L = 2 \times 1.0 \,m = 2.0 \,m$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{5480}{2} = 2740 \,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $\lambda$ એ પાઇપની લંબાઈ દ્વારા નક્કી થતી તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ પાઇપ માટે, $\lambda$ અચળ છે.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સંબંધ પરથી, $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
કારણ કે $f \propto v$, તેથી $f \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
સૌથી વધુ પિચ (આવૃત્તિ) મેળવવા માટે, મોલર દળ $M$ લઘુત્તમ હોવું જોઈએ.
મોલર દળની સરખામણી કરતા: હવા $(\approx 29 \text{ g/mol})$, હાઇડ્રોજન $(2 \text{ g/mol})$, ઓક્સિજન $(32 \text{ g/mol})$, અને કાર્બન ડાયોક્સાઇડ $(44 \text{ g/mol})$.
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ સૌથી ઓછું હોવાથી, જ્યારે પાઇપ હાઇડ્રોજનથી ભરેલી હોય ત્યારે આવૃત્તિ સૌથી વધુ હોય છે.

(C) ક્રમિક અનુનાદ આવૃત્તિઓ $f_1 = 425 \, Hz, f_2 = 595 \, Hz,$ અને $f_3 = 765 \, Hz$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
ક્રમિક અનુનાદ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_2 - f_1 = 595 - 425 = 170 \, Hz$ અને $f_3 - f_2 = 765 - 595 = 170 \, Hz$ છે.
જો પાઇપ બંધ હોય,તો આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_0)$ ના એકી ગુણાંકમાં હોય છે $(f_0, 3f_0, 5f_0, \dots)$. ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0 = 170 \, Hz$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f_0 = 85 \, Hz$.
કિંમતો તપાસતા: $85 \times 5 = 425, 85 \times 7 = 595, 85 \times 9 = 765$. આ $85 \, Hz$ ના એકી ગુણાંક છે,જે સાબિત કરે છે કે તે બંધ ઓર્ગન પાઇપ છે. તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $85 \, Hz$ છે.

(C) ધારો કે બંધ પાઈપની લંબાઈ $l_c = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે અને ખુલ્લી પાઈપની લંબાઈ $l_o$ છે.
બંધ પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4 l_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
ખુલ્લી પાઈપ માટે,આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{n v}{2 l_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$. પ્રથમ ઓવરટોન $n=2$ છે અને બીજો ઓવરટોન $n=3$ છે. તેથી,ખુલ્લી પાઈપના બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o,2} = \frac{3 v}{2 l_o}$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંધ પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ખુલ્લી પાઈપના બીજા ઓવરટોન કરતા અડધી છે:
$f_c = \frac{1}{2} f_{o,2}$
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{v}{4 l_c} = \frac{1}{2} \left( \frac{3 v}{2 l_o} \right)$
$\frac{v}{4 \times 10} = \frac{3 v}{4 l_o}$
$\frac{1}{40} = \frac{3}{4 l_o}$
$4 l_o = 120$
$l_o = 30 \, cm$.

(B) આકૃતિ પરથી,આપણે કંપનના પ્રકારો ઓળખીએ છીએ:
$p$: બંધ ઓર્ગન પાઇપ,મૂળભૂત મોડ ($1^{\text{st}}$ હાર્મોનિક). આવૃત્તિ $n_p = \frac{v}{4l}$.
$q$: ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ,મૂળભૂત મોડ ($1^{\text{st}}$ હાર્મોનિક). આવૃત્તિ $n_q = \frac{v}{2l}$.
$r$: ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ,બીજો હાર્મોનિક ($2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક). આવૃત્તિ $n_r = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l}$.
$s$: બંધ ઓર્ગન પાઇપ,ત્રીજો હાર્મોનિક ($3^{\text{rd}}$ હાર્મોનિક). આવૃત્તિ $n_s = \frac{3v}{4l}$.
હવે,ગુણોત્તર $n_p: n_q: n_r: n_s$ ની ગણતરી કરતા:
$n_p: n_q: n_r: n_s = \frac{v}{4l} : \frac{v}{2l} : \frac{v}{l} : \frac{3v}{4l}$
$\frac{4l}{v}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$n_p: n_q: n_r: n_s = 1 : 2 : 4 : 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) રેઝોનન્સ લંબાઈઓ $l_1 = 15 \, cm = 0.15 \, m$ અને $l_2 = 48 \, cm = 0.48 \, m$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
એક છેડે બંધ રેઝોનન્સ ટ્યુબ માટે,રેઝોનન્સની શરતો નીચે મુજબ છે:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,આપણને મળે છે:
$l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2}$
$0.48 \, m - 0.15 \, m = \frac{\lambda}{2}$
$0.33 \, m = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 0.66 \, m$
ધ્વનિનો વેગ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f = 500 \, Hz$ છે.
$v = 500 \times 0.66 = 330 \, m/s$.

(B) રેઝોનન્સ ટ્યુબ (બંને છેડે ખુલ્લી) માં,હાર્મોનિક્સ $f_n = n \times f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આપેલ હાર્મોનિક્સ $300, 600, 750, 900 \,Hz$ છે.
કારણ કે $900 \,Hz$ એ $6^{\text{th}}$ હાર્મોનિક છે $(f_6 = 6f_1 = 900 \,Hz)$,તેથી $f_1 = 150 \,Hz$ મળે છે.
હાર્મોનિક્સની શ્રેણી $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે $n \times 150 \,Hz$ છે.
તેની ગણતરી કરતા: $150, 300, 450, 600, 750, 900 \,Hz$ મળે છે.
આપેલ મૂલ્યો $300, 600, 750, 900 \,Hz$ છે.
તેથી,ખૂટતી આવૃત્તિઓ $150 \,Hz$ અને $450 \,Hz$ છે.

(B) $L$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(2n+1)v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે.
ત્રીજા ઓવરટોન માટે,$n=3$,તેથી આવૃત્તિ $f_3 = \frac{(2 \times 3 + 1)v}{4L} = \frac{7v}{4L}$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f_3} = \frac{4L}{7}$ છે.
આપેલ છે કે $L = 105 \,cm$,તેથી $\lambda = \frac{4 \times 105}{7} = 60 \,cm$.
સ્થિત તરંગમાં,દબાણ નોડ એવા બિંદુઓ છે જ્યાં દબાણમાં ફેરફાર શૂન્ય હોય છે. બંધ પાઈપમાં,સ્થાનાંતર નોડ (જે દબાણ એન્ટિનોડ છે) બંધ છેડા પર હોય છે,અને સ્થાનાંતર એન્ટિનોડ (જે દબાણ નોડ છે) ખુલ્લા છેડા પર હોય છે.
બંધ છેડાથી દબાણ નોડ (સ્થાનાંતર એન્ટિનોડ) ના સ્થાન $x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ છેડાથી પ્રથમ દબાણ નોડ $x = \frac{\lambda}{4} = \frac{60}{4} = 15 \,cm$ અંતરે છે.

(B) ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4\ell}$ (બંધ પાઇપ માટે) અથવા $n = \frac{v}{2\ell}$ (ખુલ્લી પાઇપ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને કિસ્સામાં,$n \propto v$ છે.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવતી હોવાથી,$v \propto \sqrt{T}$ થાય.
તેથી,આવૃત્તિ $n$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $n \propto \sqrt{T}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ}C = 300\,K$ અને $T_2 = 90^{\circ}C = 363\,K$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{n_2}{400} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$.
$n_2 = 400 \times 1.1 = 440\,Hz$.

(B) $L$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{n V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $L = 40\,cm = 0.4\,m$,હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $V = 360\,ms^{-1}$.
બીજા હાર્મોનિક માટે,$n = 2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f_2 = \frac{2 \times 360}{2 \times 0.4} = \frac{360}{0.4} = 900\,Hz$.

(D) અનુનાદ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $1:3:5$ સૂચવે છે કે ઓર્ગન પાઇપ એક છેડે બંધ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n V}{4 \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ $(n = 1, 3, 5, ...)$.
પાંચમો હાર્મોનિક $n = 5$ ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે $f_5 = 405 \, Hz$,$V = 324 \, ms^{-1}$,અને $n = 5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $405 = \frac{5 \times 324}{4 \ell}$.
$\ell$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\ell = \frac{5 \times 324}{4 \times 405}$.
$\ell = \frac{1620}{1620} = 1 \, m$.

(C) $L$ લંબાઈની ઓપન ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{open}} = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
$L$ લંબાઈની ક્લોઝ્ડ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{closed}} = \frac{V}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓપન પાઇપ અને ક્લોઝ્ડ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_{\text{open}}}{n_{\text{closed}}} = \frac{\frac{V}{2L}}{\frac{V}{4L}} = \frac{4L}{2L} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4\ell_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell_1 = 150 \ cm = 1.5 \ m$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2\ell_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell_2 = 350 \ cm = 3.5 \ m$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|f_c - f_o| = 7$.
સૂત્રો મૂકતા: $|\frac{v}{4 \times 1.5} - \frac{v}{2 \times 3.5}| = 7$.
$|\frac{v}{6} - \frac{v}{7}| = 7$.
$|\frac{7v - 6v}{42}| = 7$.
$\frac{v}{42} = 7$.
$v = 42 \times 7 = 294 \ m/s$.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$f_1 = 30 \,Hz$ અને $v = 330 \,m/s$,તેથી $L_1 = \frac{330}{4 \times 30} = \frac{330}{120} = 2.75 \,m$.
પાણી રેડ્યા પછી,હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $L_2$ છે. નવી આવૃત્તિ $f_2 = 110 \,Hz$ છે.
$L_2 = \frac{330}{4 \times 110} = \frac{330}{440} = 0.75 \,m$.
હવાના સ્તંભની લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L_1 - L_2 = 2.75 - 0.75 = 2.0 \,m = 200 \,cm$ છે.
રેડવામાં આવેલા પાણીનું કદ $V = A \times \Delta L = 2 \,cm^2 \times 200 \,cm = 400 \,cm^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $1 \,g/cm^3$ હોવાથી,પાણીનું દળ $400 \,g$ થાય.

(D) ધારો કે $L_1$ એ બંધ ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ છે અને $L_2$ એ ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $n = 2$ ને અનુરૂપ છે, તેથી $f_{o1} = \frac{2v}{2L_2} = \frac{v}{L_2}$.
પ્રશ્ન મુજબ, બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ખુલ્લી પાઇપની પ્રથમ ઓવરટોન આવૃત્તિ જેટલી છે:
$f_c = f_{o1}$
$\frac{v}{4L_1} = \frac{v}{L_2}$
$L_2 = 4L_1$
આપેલ છે કે $L_2 = 60 \,cm$, તેથી:
$60 \,cm = 4L_1$
$L_1 = \frac{60}{4} \,cm = 15 \,cm$.
તેથી, બંધ પાઇપની લંબાઈ $15 \,cm$ છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ હાર્મોનિક નંબર છે, $v$ એ અવાજનો વેગ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે।
પ્રથમ પાઇપ માટે: $L_1 = 0.6 \,m$, $n_1 = 6$.
$f_1 = \frac{6 \times 333}{2 \times 0.6} = \frac{1998}{1.2} = 1665 \,Hz$.
બીજી પાઇપ માટે: $L_2 = 0.9 \,m$, $n_2 = 5$.
$f_2 = \frac{5 \times 333}{2 \times 0.9} = \frac{1665}{1.8} = 925 \,Hz$.
આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f = |f_1 - f_2| = |1665 - 925| = 740 \,Hz$ છે।

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે.
સાતમા ઓવરટોન $(n=7)$ માટે,$f_{c} = (2 \times 7 + 1) \frac{v}{4\ell} = \frac{15v}{4\ell}$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાતમા ઓવરટોન $(n=7)$ માટે,$f_{o} = (7 + 1) \frac{v}{2\ell} = \frac{8v}{2\ell} = \frac{4v}{\ell} = \frac{16v}{4\ell}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{15v/4\ell}{16v/4\ell} = \frac{15}{16}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\left(\frac{a-1}{a}\right) = \frac{15}{16}$ હોવાથી,પદોની સરખામણી કરતા આપણને $a = 16$ મળે છે.

(A) રેઝોનન્સ કોલમ પ્રયોગમાં, ટ્યુનિંગ ફોર્કને નળીના ખુલ્લા છેડાની ઉપર રાખવામાં આવે છે। ધ્વનિ તરંગો નળીમાં અસરકારક રીતે પ્રસરણ પામે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોન્ગ્સને શિરોલંબ સમતલમાં રાખવામાં આવે છે।
એક છેડે બંધ નળી માટે, રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે એર કોલમની લંબાઈ $L$ એ શરત $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ સંતોષે, જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે અને $n = 1, 2, 3, ...$ છે।
પ્રથમ રેઝોનન્સ $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$ પર થાય છે અને બીજું રેઝોનન્સ $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ પર થાય છે।
આ બંનેની બાદબાકી કરતા, આપણને $L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે।
આમ, બે રેઝોનેટિંગ એર કોલમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત હવામાં ધ્વનિની તરંગલંબાઇના અડધા ભાગ જેટલો હોય છે।

(D) રેઝોનન્સ ટ્યુબના પ્રયોગમાં,પ્રથમ અનુનાદ લંબાઈ $l_1 \approx \lambda/4 - e$ પર થાય છે,જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે. $e > 0$ હોવાથી,$l_1$ એ $\lambda/4$ કરતા થોડું ટૂંકું હોય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
પ્રથમ અનુનાદ વખતે,એર-કોલમ ટૂંકી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બીજા અનુનાદની તુલનામાં ડેમ્પિંગ અસર ઓછી હોય છે,જેના પરિણામે અવાજની તીવ્રતા વધુ હોય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગ્સને સામાન્ય રીતે ઊભી સ્થિતિમાં રાખવામાં આવે છે જેથી અવાજના તરંગો ટ્યુબમાં નીચે તરફ પ્રસરણ પામે.
વિધાન $(C)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગ્સના કંપનનો કંપવિસ્તાર સામાન્ય રીતે $1 \ mm$ ની આસપાસ હોય છે,$1 \ cm$ નહીં.

(A) જ્યારે ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ (સંકોચન) ખુલ્લા છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે નિમ્ન-દબાણના પલ્સ (વિઘનન) તરીકે પરાવર્તિત થાય છે કારણ કે ખુલ્લા છેડે દબાણ અચળ (વાતાવરણીય દબાણ) રહેવું જોઈએ. આમ,નિમ્ન-દબાણનું પલ્સ પાછું ફરે છે.
જ્યારે ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ (સંકોચન) બંધ છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે ઉચ્ચ-દબાણના પલ્સ (સંકોચન) તરીકે પરાવર્તિત થાય છે કારણ કે હવાના કણો સીમાની પેલે પાર જઈ શકતા નથી,જેનાથી દબાણ વધે છે. આમ,ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ પાછું ફરે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
$(B)$ જો બીજો છેડો ખુલ્લો હોય તો નિમ્ન-દબાણનું પલ્સ પાઇપમાં ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે (સાચું).
$(D)$ જો બીજો છેડો બંધ હોય તો ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ પાઇપમાં ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે (સાચું).
તેથી,સાચું સંયોજન $(B, D)$ છે.

(B) $L_1$ અને $L_2$ લંબાઈ પરના બે ક્રમિક અનુનાદ માટે,અડધી તરંગલંબાઇ $\lambda/2 = L_2 - L_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda/2 = 83.9 \text{ cm} - 50.7 \text{ cm} = 33.2 \text{ cm}$.
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = 2 \times 33.2 \text{ cm} = 66.4 \text{ cm}$. (વિધાન $C$ સાચું છે).
ધ્વનિની ઝડપ $v = f \lambda = 500 \text{ Hz} \times 0.664 \text{ m} = 332 \text{ m s}^{-1}$. (વિધાન $A$ સાચું છે).
પ્રથમ અનુનાદ માટે,$L_1 + e = \lambda/4$,જ્યાં $e$ એ અંતિમ સુધારો છે.
$50.7 \text{ cm} + e = 66.4 \text{ cm} / 4 = 16.6 \text{ cm}$.
$e = 16.6 \text{ cm} - 50.7 \text{ cm} = -34.1 \text{ cm}$.
નોંધ: પ્રશ્નની રચના સૂચવે છે કે $L_1$ અને $L_2$ એ બીજા અને ત્રીજા હાર્મોનિક (અથવા ઉચ્ચ) છે કારણ કે $L_1$ ઘણું મોટું છે. અંતિમ સુધારો $e$ સામાન્ય રીતે નાનો અને ધન હોય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$A$ અને $C$ સાચા છે.