Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ $L_o$ છે અને બંધ ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ $L_c$ છે.
આપેલ છે કે $L_o = 2 L_c$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2 L_o} = 100 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને $\frac{v}{L_o} = 200 \ Hz$ મળે છે.
$L_o = 2 L_c$ મૂકતા,આપણને $\frac{v}{2 L_c} = 200 \ Hz$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v}{L_c} = 400 \ Hz$.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4 L_c} = \frac{400}{4} = 100 \ Hz$ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપના હાર્મોનિક્સ એ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક $(f_c, 3f_c, 5f_c, \dots)$ હોય છે.
તેથી,બંધ પાઇપના ત્રીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $3 f_c = 3 \times 100 = 300 \ Hz$ થાય.

(A) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 330 \, Hz$ છે અને હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \, m/s$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{330} = 1 \, m = 100 \, cm$ છે.
એક છેડે બંધ નળી માટે,અનુનાદની શરત $l_n = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$.
$n=1$ માટે,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \, cm$.
$n=2$ માટે,$l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{300}{4} = 75 \, cm$.
$n=3$ માટે,$l_3 = \frac{5\lambda}{4} = 125 \, cm$ (જે નળીની લંબાઈ $120 \, cm$ કરતા વધારે છે).
નળી શરૂઆતમાં $l_2 = 75 \, cm$ પર અનુનાદિત છે.
જ્યારે પાણી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ ઘટે છે. આગળનો અનુનાદ $l_1 = 25 \, cm$ પર મળે છે.
જરૂરી પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $L - l_1 = 120 \, cm - 25 \, cm = 95 \, cm$ અથવા $L - l_2 = 120 \, cm - 75 \, cm = 45 \, cm$ છે.
ફરીથી અનુનાદ મેળવવા માટે પાણીના સ્તંભની લઘુત્તમ લંબાઈ $45 \, cm$ છે.

(B) ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_0 = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v = 360\ m/s$ અને $l = 1.5\ m$,તેથી $n_0 = \frac{360}{2 \times 1.5} = \frac{360}{3} = 120\ Hz$.
બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v'}{4l}$ છે,જ્યાં $v'$ એ $30\,^{\circ}C$ તાપમાને વાયુમાં અવાજની ઝડપ છે.
બંને પાઇપ સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદ કરતી હોવાથી,$n_1 = n_0 = 120\ Hz$.
તેથી,$120 = \frac{v'}{4 \times 1.5} \Rightarrow 120 = \frac{v'}{6} \Rightarrow v' = 720\ m/s$.
સંબંધ $v \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$0\,^{\circ}C$ તાપમાને વાયુમાં અવાજની ઝડપ $(v_0)$ અને $30\,^{\circ}C$ તાપમાને ઝડપ $(v')$ વચ્ચેનો સંબંધ $v_0 = v' \times \sqrt{\frac{T_0}{T_{30}}}$ છે.
અહીં $T_0 = 273\ K$ અને $T_{30} = 273 + 30 = 303\ K$.
$v_0 = 720 \times \sqrt{\frac{273}{303}} = 720 \times \sqrt{0.90099} \approx 720 \times 0.9492 \approx 683.4\ m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $683\ m/s$ મળે છે.

(B) જ્યારે ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ (સંકોચન) ખુલ્લા છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે નિમ્ન-દબાણના પલ્સ (વિરલતા) તરીકે પરાવર્તિત થાય છે કારણ કે ખુલ્લા છેડે દબાણ અચળ (વાતાવરણીય દબાણ) રહેવું જોઈએ. તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.
જ્યારે ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ (સંકોચન) બંધ છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે ઉચ્ચ-દબાણના પલ્સ (સંકોચન) તરીકે જ પરાવર્તિત થાય છે કારણ કે હવાના કણો સીમાની આગળ જઈ શકતા નથી,જેના કારણે દબાણ વધે છે. તેથી,વિધાન $(IV)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(II)$ અને $(IV)$ છે.

(A) ધારો કે હવામાં અવાજની ઝડપ $v$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ $P_1$ માટે,પ્રથમ હાર્મોનિક (મૂળભૂત આવૃત્તિ) ની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ $P_2$ માટે,ત્રીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{3v}{2l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પાઇપ સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે: $f_1 = f_2$.
તેથી,$\frac{v}{4l_1} = \frac{3v}{2l_2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{4l_1} = \frac{3}{2l_2}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
આમ,$P_1$ અને $P_2$ ની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1/6 \approx 0.167$ છે.

(B) જ્યારે $L$ લંબાઈનો સળિયો તેના મધ્યમાં ક્લેમ્પ કરવામાં આવે છે,ત્યારે લંબગત કંપનનો મૂળભૂત મોડ કેન્દ્રમાં નોડ અને મુક્ત છેડાઓ પર એન્ટિનોડ ધરાવે છે.
આ એક સ્થિર તરંગને અનુરૂપ છે જ્યાં સળિયાની લંબાઈ તરંગલંબાઇના અડધા જેટલી હોય છે: $L = \lambda / 2$.
આપેલ $L = 100 \,cm = 1 \,m$,તેથી $\lambda = 2L = 2 \,m$.
અવાજની ઝડપ $v$ એ સંબંધ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ $f = 2.53 \,kHz = 2.53 \times 10^3 \,Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $v = (2.53 \times 10^3 \,Hz) \times (2 \,m) = 5.06 \times 10^3 \,m/s$.
કારણ કે $10^3 \,m = 1 \,km$,તેથી ઝડપ $5.06 \,km/s$ છે.

(A) એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,અનુનાદની શરત $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ કંપનનો પ્રકાર દર્શાવે છે.
તરંગલંબાઈ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\lambda_n = \frac{4L}{2n - 1}$ મળે છે.
ત્રણ સૌથી ઓછી આવૃત્તિઓ (મૂળભૂત અને પ્રથમ બે ઓવરટોન) માટે:
$n = 1$ માટે: $\lambda_1 = \frac{4L}{2(1) - 1} = 4L$.
$n = 2$ માટે: $\lambda_2 = \frac{4L}{2(2) - 1} = \frac{4L}{3}$.
$n = 3$ માટે: $\lambda_3 = \frac{4L}{2(3) - 1} = \frac{4L}{5}$.
આમ,તરંગલંબાઈઓ $4L, 4L/3, 4L/5$ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4(L + 0.6r)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે $L \gg r$ હોય,ત્યારે અંતિમ સુધારો $0.6r$ એ $L$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય છે,તેથી આવૃત્તિ આશરે $n \approx \frac{v}{4L}$ થાય છે.
જો લંબાઈ $L$ બમણી $(L' = 2L)$ કરવામાં આવે અને ત્રિજ્યા $r$ અડધી $(r' = r/2)$ કરવામાં આવે,તો નવી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ થશે:
$n' = \frac{v}{4(L' + 0.6r')} = \frac{v}{4(2L + 0.6(r/2))} = \frac{v}{4(2L + 0.3r)}$.
$L \gg r$ હોવાથી,$0.3r$ હજુ પણ નગણ્ય છે,તેથી $n' \approx \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{4L} \right) = \frac{n}{2}$.
આમ,આવૃત્તિ અડધી થઈ જાય છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા ઓવરટોન માટે,$n=3$,તેથી આવૃત્તિ $f_3 = (2(3)+1) \frac{v}{4L} = \frac{7v}{4L}$ થાય.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f_3} = \frac{4L}{7}$ મળે.
બંધ છેડાથી (જે સ્થાનાંતર માટે નિસ્પંદ બિંદુ તરીકે વર્તે છે) $x$ અંતરે સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $A(x) = A_{max} \sin(Kx)$ છે,જ્યાં $K = \frac{2\pi}{\lambda}$.
અહીં,$A_{max} = a$ અને $K = \frac{2\pi}{4L/7} = \frac{7\pi}{2L}$.
સમીકરણમાં $x = \frac{L}{7}$ મૂકતા:
$A(\frac{L}{7}) = a \sin\left(\frac{7\pi}{2L} \cdot \frac{L}{7}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = a(1) = a$.

(B) $l$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જેમ પાઇપમાં પાણી રેડવામાં આવે છે,તેમ હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ ઘટે છે.
કારણ કે $f_0 \propto \frac{1}{l}$,જેમ $l$ ઘટે છે,તેમ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ વધે છે.
અંતે,પાણીનું સ્તર એવા બિંદુએ પહોંચે છે જ્યાં પાણીનો અંદર આવવાનો દર તળિયે રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીના દર જેટલો થાય છે.
આ બિંદુએ,પાણીનું સ્તર અચળ થઈ જાય છે,અને પરિણામે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ અચળ થઈ જાય છે.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ પહેલા વધે છે અને પછી અચળ બને છે.

(B) રેઝોનન્સ ટ્યુબના પ્રયોગમાં,પ્રથમ રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે એર કોલમની લંબાઈ $L_1 = \lambda/4 + e$ હોય,જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
બીજું રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે એર કોલમની લંબાઈ $L_2 = 3\lambda/4 + e$ હોય.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$L_2 - L_1 = (3\lambda/4 + e) - (\lambda/4 + e)$
$L_2 - L_1 = 2\lambda/4 = \lambda/2$.
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = 2(L_2 - L_1)$ થાય.

(A) $L$ લંબાઈની એક છેડે બંધ પાઇપ $(COP)$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4L} = 412 \, Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{v}{L} = 412 \times 4 = 1648 \, Hz$.
જ્યારે પાઇપને $L' = \frac{L}{2}$ લંબાઈના બે સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે એક ટુકડો બંધ પાઇપ $(COP)$ રહે છે અને બીજો ખુલ્લી પાઇપ $(OOP)$ બની જાય છે.
નવી બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{COP} = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L} = 2 \times \frac{v}{4L} = 2 \times 412 = 824 \, Hz$ છે.
નવી ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{OOP} = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 1648 \, Hz$ છે.
આમ,આવૃત્તિઓ $824 \, Hz$ અને $1648 \, Hz$ છે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{nv}{2l}$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 33 \, cm = 0.33 \, m$
આવૃત્તિ $f = 1000 \, Hz$
ધ્વનિનો વેગ $v = 330 \, m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1000 = \frac{n \times 330}{2 \times 0.33}$
$1000 = \frac{n \times 330}{0.66}$
$1000 = n \times 500$
$n = \frac{1000}{500} = 2$
અહીં $n = 2$ હોવાથી,કંપનનો પ્રકાર $2^{nd}$ હાર્મોનિક છે.

(A) રેઝોનન્સ કોલમ (એક છેડે બંધ) માટે,રેઝોનન્સ લંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન (અંતિમ સુધારો) છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\frac{\lambda}{4} = l_1 + e$.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$l_2 + e = 3(l_1 + e)$
$l_2 + e = 3l_1 + 3e$
$l_2 = 3l_1 + 2e$
અહીં એન્ડ કરેક્શન $e$ હંમેશા ધન $(e > 0)$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $l_2 > 3l_1$.

(B) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(2n+1)V}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોન નંબર છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,$f_1 = \frac{3V}{4L_1}$.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(n+1)V}{2L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,$f_3 = \frac{4V}{2L_2} = \frac{2V}{L_2}$.
બંને પાઇપ સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે: $\frac{3V}{4L_1} = \frac{2V}{L_2}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4 \times 2} = \frac{3}{8} = 0.375$.

(B) $\ell$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{V}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે。
બે પાઇપ માટે, આપણી પાસે $n_1 = \frac{V}{2\ell_1}$ અને $n_2 = \frac{V}{2\ell_2}$ છે。
આનો અર્થ એ છે કે $\ell_1 = \frac{V}{2n_1}$ અને $\ell_2 = \frac{V}{2n_2}$。
જ્યારે બે પાઇપને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે નવી પાઇપની કુલ લંબાઈ $\ell = \ell_1 + \ell_2$ થાય છે。
નવી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{V}{2\ell} = \frac{V}{2(\ell_1 + \ell_2)}$ છે。
$\ell_1$ અને $\ell_2$ ની કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $n = \frac{V}{2(\frac{V}{2n_1} + \frac{V}{2n_2})} = \frac{V}{V(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})} = \frac{1}{\frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + n_2}$。

(C) આપેલી આવૃત્તિઓ $425 \, Hz$,$595 \, Hz$ અને $765 \, Hz$ છે.
તેમને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(85)$ વડે ભાગતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $425:595:765 = 5:7:9$.
આવૃત્તિઓ એકી પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તરમાં $(5:7:9)$ હોવાથી,આ પાઇપ બંધ ઓર્ગન પાઇપ હોવી જોઈએ.
બંધ પાઇપ માટે અનુનાદ આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{n V}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 3, 5, ...)$.
પ્રથમ અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ માટે,$n = 5$,તેથી $\frac{5 V}{4l} = 425 \, Hz$.
$V = 340 \, m/s$ મૂકતા:
$l = \frac{5 \times 340}{4 \times 425} = \frac{1700}{1700} = 1 \, m$.

(A) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં,પ્રથમ રેઝોનન્સ લંબાઈ $\ell_1 = \frac{\lambda}{4} - e$ પર અને બીજી રેઝોનન્સ લંબાઈ $\ell_2 = \frac{3\lambda}{4} - e$ પર મળે છે,જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
બંને લંબાઈની બાદબાકી કરતા: $\ell_2 - \ell_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
આપેલ છે કે $\ell_1 = 17 \, cm$ અને $\ell_2 = 51 \, cm$,તેથી $\frac{\lambda}{2} = 51 - 17 = 34 \, cm$.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 2 \times 34 \, cm = 68 \, cm = 0.68 \, m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 512 \, Hz$.
$v = 512 \times 0.68 = 348.16 \, m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ધ્વનિની ઝડપ $348 \, m/s$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340 \, m \, s^{-1}$.
પાઇપની લંબાઈ,$L = 17 \, cm = 0.17 \, m$.
ઉદ્ગમની આવૃત્તિ,$f = 1.5 \, kHz = 1500 \, Hz$.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, 7, \dots$ એ હાર્મોનિક મોડ દર્શાવે છે.
$f_n = f$ લેતા,આપણને મળે છે $1500 = \frac{n \times 340}{4 \times 0.17}$.
$1500 = \frac{n \times 340}{0.68}$.
$1500 = n \times 500$.
$n = \frac{1500}{500} = 3$.
આમ,$3^{\text{rd}}$ હાર્મોનિક મોડ ઉદ્ગમ સાથે અનુનાદિત થાય છે.

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 256\, Hz$ છે. તે ખુલ્લી પાઇપના ત્રીજા નોર્મલ મોડ સાથે $1\, beat/s$ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,ત્રીજા નોર્મલ મોડની આવૃત્તિ $f_3 = 256 \pm 1\, Hz$,એટલે કે $255\, Hz$ અથવા $257\, Hz$ થાય.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,$N$ માં નોર્મલ મોડની આવૃત્તિ $f_N = \frac{N v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N=3$,$v = 340\, m/s$,અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
કિસ્સો $1$: $255 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{510} = 2\, m = 200\, cm$.
કિસ્સો $2$: $257 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{514} \approx 1.98\, m = 198\, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$200\, cm$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) પ્રથમ અનુનાદ માટે,અસરકારક લંબાઈ $L_1 = \ell_1 + e$ છે,જ્યાં $\ell_1 = 10 \, cm$ અને $e = 1 \, cm$ છે.
તેથી,$L_1 = 10 + 1 = 11 \, cm$.
કારણ કે $L_1 = \frac{\lambda}{4}$,તેથી $\lambda = 4 \times 11 = 44 \, cm$ મળે.
બીજા અનુનાદ માટે,અસરકારક લંબાઈ $L_2 = \ell_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $L_2 = 3 \times 11 = 33 \, cm$ મળે છે.
તેથી,$\ell_2 = 33 - e = 33 - 1 = 32 \, cm$ થાય.

(C) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ભુજાઓનું દળ છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કની ભુજાઓને ઘસવામાં આવે છે,ત્યારે દળ $m$ ઘટે છે,જેના કારણે આવૃત્તિ $n$ વધે છે.
અનુનાદ નળીમાં,અનુનાદની શરત $n = \frac{v}{4(L+e)}$ છે,જ્યાં $L$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે અને $e$ એ અંતિમ સુધારો છે.
જેમ કે $n$ વધે છે,ધ્વનિની ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી અનુનાદની શરત જાળવી રાખવા માટે $(L+e)$ પદ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L$ ઘટાડવી જોઈએ,વધારવી નહીં.
આમ,વિધાન $1$ ખોટું છે અને વિધાન $2$ સાચું છે.

(D) અનુનાદ નળી માટે,અનુનાદની શરત $L + e = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ છે,જ્યાં $e$ એ અંતિમ સુધારો (end correction) છે.
આપેલ છે $L_1 = 16\,cm$ અને $L_2 = 50\,cm$,$f = 500\,Hz$ માટે.
$L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2} \implies 50 - 16 = 34\,cm = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 68\,cm = 0.68\,m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = f \lambda = 500 \times 0.68 = 340\,m/s$.
હવે,$L_1 + e = \frac{\lambda}{4} \implies 16 + e = \frac{68}{4} = 17 \implies e = 1\,cm = 0.01\,m$.
જ્યારે નળીને પાણીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે તે $L = 60.5\,cm + 2e = 60.5 + 2(1) = 62.5\,cm = 0.625\,m$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ખુલ્લી પાઇપની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{n v}{2L}$ છે.
$n=1$ માટે,$f_1 = \frac{340}{2 \times 0.625} = \frac{340}{1.25} = 272\,Hz$.
$n=2$ માટે,$f_2 = 2 \times f_1 = 544\,Hz$.

(B) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = 264 \, Hz$ છે. ધ્વનિનો વેગ $v = 330 \, m/s$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદની આવૃત્તિઓ $n = \frac{(2k-1)v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
મૂળભૂત લંબાઈ $(k=1)$ $L_1 = \frac{v}{4n} = \frac{330}{4 \times 264} = 0.3125 \, m = 31.25 \, cm$ છે.
શક્ય અનુનાદ લંબાઈઓ $L = (2k-1) \times 31.25 \, cm$ છે.
$k=1$ માટે,$L = 31.25 \, cm$.
$k=2$ માટે,$L = 3 \times 31.25 = 93.75 \, cm$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$93.75 \, cm$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંકમાં હોય છે,જે $f_n = (2n + 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$ અને $f_0 = 1500\, Hz$ છે.
આપણે એવા ઓવરટોન્સની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $f_n \leq 20,000\, Hz$ થાય.
$(2n + 1) \times 1500 \leq 20,000$
$2n + 1 \leq \frac{20,000}{1500} = 13.33$
$2n \leq 12.33 \implies n \leq 6.16$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
અહીં,$n=0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
ઓવરટોન્સ $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,કુલ $6$ ઓવરટોન્સ સાંભળી શકાય છે.

(D) પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L = l + e$ છે,જ્યાં $l$ એ માપેલ લંબાઈ છે અને $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે: $f_1 = 512\,Hz$,$l_1 = 11\,cm$.
રેઝોનન્સ માટેની શરત $L_1 = \frac{\lambda_1}{4} = \frac{v}{4f_1} \Rightarrow 11 + e = \frac{v}{4 \times 512} \quad (1)$ છે.
બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે: $f_2 = 256\,Hz$,$l_2 = 27\,cm$.
રેઝોનન્સ માટેની શરત $L_2 = \frac{\lambda_2}{4} = \frac{v}{4f_2} \Rightarrow 27 + e = \frac{v}{4 \times 256} \quad (2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{11 + e}{27 + e} = \frac{256}{512} = \frac{1}{2}$
$22 + 2e = 27 + e \Rightarrow e = 5\,cm$.
$e = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$11 + 5 = \frac{v}{4 \times 512} \Rightarrow 16 = \frac{v}{2048}$
$v = 16 \times 2048 = 32768\,cm/s = 327.68\,m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,વેગ $328\,ms^{-1}$ છે.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબના પ્રયોગમાં,અવાજની ઝડપ $\nu$,આવૃત્તિ $f$ અને બે ક્રમિક અનુનાદ લંબાઈઓ $\ell_1$ અને $\ell_2$ વચ્ચેના તફાવત સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\nu = 2f(\ell_2 - \ell_1)$.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $f = 480\, Hz$
$\ell_1 = 30\, cm = 0.30\, m$
$\ell_2 = 70\, cm = 0.70\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\nu = 2 \times 480 \times (0.70 - 0.30)$
$\nu = 960 \times 0.40$
$\nu = 384\, m/s$.

(A) બંધ પાઇપમાં રેઝોનન્સ માટેની શરત $L_n = \frac{(2n-1)v}{4f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ રેઝોનન્સનો ક્રમ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે.
શિયાળામાં પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે $(n=1)$: $L_1 = \frac{v_w}{4f} = 18\,cm$.
ઉનાળામાં બીજા રેઝોનન્સ માટે $(n=2)$: $L_2 = \frac{3v_s}{4f} = x\,cm$.
ઉનાળામાં તાપમાન શિયાળા કરતા વધારે હોવાથી,ઉનાળામાં ધ્વનિની ઝડપ $(v_s)$ શિયાળા $(v_w)$ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $v_s > v_w$.
પ્રથમ રેઝોનન્સ પરથી,આપણી પાસે $v_w = 4f \times 18 = 72f$ છે.
બીજા રેઝોનન્સના સમીકરણમાં $v_s > v_w$ મૂકતા: $x = \frac{3v_s}{4f} > \frac{3v_w}{4f} = 3 \times 18 = 54\,cm$.
તેથી,$x > 54$.

(D) $L = 0.5\,m$ લંબાઈ ધરાવતી એક છેડે બંધ પાઈપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_c = \frac{(2n-1)v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
કિંમતો મૂકતા: $f_c = \frac{(2n-1) \times 340}{4 \times 0.5} = (2n-1) \times 170\,Hz$.
આનાથી મળતી આવૃત્તિઓ: $170\,Hz, 510\,Hz, 850\,Hz, \dots$
$L = 0.5\,m$ લંબાઈ ધરાવતી બંને છેડે ખુલ્લી પાઈપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_o = \frac{mv}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 1, 2, 3, \dots$
કિંમતો મૂકતા: $f_o = \frac{m \times 340}{2 \times 0.5} = m \times 340\,Hz$.
આનાથી મળતી આવૃત્તિઓ: $340\,Hz, 680\,Hz, 1020\,Hz, \dots$
બંને આવૃત્તિઓના સમૂહની સરખામણી કરતા,એવી કોઈ સામાન્ય આવૃત્તિ નથી કે જેના પર બંને પાઈપ અનુનાદિત થઈ શકે.

(A) $l$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n = \frac{v}{2l}$
આપેલ છે:
અવાજનો વેગ $v = 350\, m/s$
પાઇપની લંબાઈ $l = 0.5\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{350}{2 \times 0.5}$
$n = \frac{350}{1}$
$n = 350\, Hz$
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $350\, Hz$ છે.

(D) બંધ પાઇપ માટે અનુનાદની સ્થિતિ $L_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4} + e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ અંતિમ સુધારો (end correction) છે.
બે ક્રમિક અનુનાદ લંબાઈ $L_1$ અને $L_2$ માટે,તફાવત $\frac{\lambda}{2} = L_2 - L_1$ છે.
આપેલ છે કે $L_1 = 33.4 \, cm = 0.334 \, m$ અને $L_2 = 101.8 \, cm = 1.018 \, m$.
$\frac{\lambda}{2} = 1.018 - 0.334 = 0.684 \, m$.
તેથી,$\lambda = 2 \times 0.684 = 1.368 \, m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$v = 256 \times 1.368 = 350.208 \, ms^{-1}$.
નજીકની કિંમત લેતા,$v \approx 350 \, ms^{-1}$.

(B) બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ:
$f = \frac{v}{2L} = 480 \, Hz$
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,પ્રથમ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ:
$f' = \frac{v}{4L'} = 480 \, Hz$
ટ્યુનિંગ ફોર્ક સમાન હોવાથી,$f = f'$,તેથી:
$\frac{v}{2L} = \frac{v}{4L'}$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$4L' = 2L$
$L' = \frac{2L}{4} = \frac{L}{2}$
આમ,એક છેડે બંધ પાઇપની લંબાઈ $\frac{L}{2}$ હોવી જોઈએ.

(C) આપેલ અનુનાદ આવૃત્તિઓ $f_1 = 425 \, Hz$,$f_2 = 595 \, Hz$ અને $f_3 = 765 \, Hz$ છે.
આ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા: $425 : 595 : 765 = 5 : 7 : 9$.
ક્રમિક અનુનાદ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર એકી સંખ્યાના ગુણોત્તરમાં $(5:7:9)$ હોવાથી,આ દર્શાવે છે કે પાઇપ એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે અનુનાદ આવૃત્તિઓનું સૂત્ર $f_n = \frac{n V}{4 \ell}$ છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક $(1, 3, 5, \dots)$ છે.
પ્રથમ અવલોકિત આવૃત્તિ $f_1 = 425 \, Hz$ માટે,$n = 5$ છે (કારણ કે $425/85 = 5$).
તેથી,$\frac{5 V}{4 \ell} = 425 \, Hz$.
આપેલ છે કે $V = 340 \, m/s$,કિંમત મૂકતા: $\frac{5 \times 340}{4 \ell} = 425$.
$\frac{1700}{4 \ell} = 425 \Rightarrow \frac{425}{\ell} = 425$.
આમ,$\ell = 1 \, m$.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે $m^{th}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{(2m+1)V}{4L_{c}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રથમ ઓવરટોન માટે $m=1$ લેતા,$f_{c} = \frac{3V}{4L_{c}}$ મળે છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે $m^{th}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{(m+1)V}{2L_{o}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રથમ ઓવરટોન માટે $m=1$ લેતા,$f_{o} = \frac{2V}{2L_{o}} = \frac{V}{L_{o}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $f_{c} = f_{o}$:
$\frac{3V}{4L_{c}} = \frac{V}{L_{o}}$
લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_{c}:L_{o}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{L_{c}}{L_{o}} = \frac{3}{4}$
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(A) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 330\,Hz$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 330\,m/s$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{330} = 1\,m = 100\,cm$ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ (અનુનાદ નળી) માટે,અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ હોય,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
ટ્યુબની કુલ લંબાઈ $L = 120\,cm$ હોવાથી,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ એ $120\,cm$ થી ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
$n=1$ માટે,$l_1 = \frac{100}{4} = 25\,cm$.
$n=2$ માટે,$l_2 = \frac{3 \times 100}{4} = 75\,cm$.
$n=3$ માટે,$l_3 = \frac{5 \times 100}{4} = 125\,cm$ (જે $120\,cm$ થી વધારે છે,તેથી શક્ય નથી).
પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $h = L - l$ દ્વારા મળે છે.
પાણીના સ્તંભની લઘુત્તમ લંબાઈ મેળવવા માટે,આપણે હવાના સ્તંભની મહત્તમ લંબાઈ $l$ લેવી જોઈએ જે $120\,cm$ થી ઓછી હોય.
તેથી,$l = 75\,cm$ લેતા,પાણીના સ્તંભની લઘુત્તમ લંબાઈ $h = 120\,cm - 75\,cm = 45\,cm$ મળે છે.

(B) આપેલ છે:
ધ્વનિની ઝડપ,$v = 330 \, m/s$
પાઇપની લંબાઈ,$L = 30 \, cm = 0.3 \, m$
સ્ત્રોતની આવૃત્તિ,$f_n = 1.1 \, kHz = 1100 \, Hz$
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$f_n = \frac{n v}{2L}$
$n$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$n = \frac{2 L f_n}{v}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 0.3 \times 1100}{330}$
$n = \frac{0.6 \times 1100}{330}$
$n = \frac{660}{330} = 2$
આમ,$2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક મોડ સ્ત્રોત સાથે અનુનાદિત થાય છે.

(C) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $L$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
આપેલ લંબાઈ $L_1 = 50 \, cm = 0.5 \, m$ અને $L_2 = 50.5 \, cm = 0.505 \, m$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ મૂળભૂત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_1 - f_2 = 3 \, Hz$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{2 \times 0.5} - \frac{v}{2 \times 0.505} = 3$.
$v - \frac{v}{1.01} = 3$.
$v \left( 1 - \frac{1}{1.01} \right) = 3$.
$v \left( \frac{1.01 - 1}{1.01} \right) = 3$.
$v \left( \frac{0.01}{1.01} \right) = 3$.
$v = \frac{3 \times 1.01}{0.01} = 3 \times 101 = 303 \, m/s$.

(B) કંપિત તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \frac{m}{L}$ છે.
આપેલ છે: $T = 240 \, N$,$m = 3 \times 10^{-3} \, kg$,$L = 8 \, m$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{3 \times 10^{-3}}{8} \, kg/m$.
કિંમતો મૂકતા: $f_n = \frac{n}{2 \times 8} \sqrt{\frac{240}{3 \times 10^{-3} / 8}} = \frac{n}{16} \sqrt{\frac{240 \times 8}{3 \times 10^{-3}}} = \frac{n}{16} \sqrt{640000} = \frac{n}{16} \times 800 = 50n \, Hz$.
સાંભળી શકાય તેવી શ્રેણી $120 \, Hz \leq 50n \leq 12020 \, Hz$ છે.
$50$ વડે ભાગતા: $2.4 \leq n \leq 240.4$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n$ ની કિંમતો $3$ થી $240$ સુધીની હોઈ શકે છે.
આવી આવૃત્તિઓની સંખ્યા $240 - 3 + 1 = 238$ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \frac{1}{\ell}$.
ટૂંકી લંબાઈ ધરાવતી પાઈપની આવૃત્તિ વધારે હોવાથી,ધારો કે $\ell_1 = 20\,cm$ લંબાઈ ધરાવતી પાઈપની આવૃત્તિ $n_1$ છે અને $\ell_2 = 20.5\,cm$ લંબાઈ ધરાવતી પાઈપની આવૃત્તિ $n_2$ છે.
આપેલ છે કે $n_1 - n_2 = 5\,Hz$,તેથી $n_1 = n_2 + 5$.
સંબંધ $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{n_2 + 5}{n_2} = \frac{20.5}{20}$
$20(n_2 + 5) = 20.5 n_2$
$20 n_2 + 100 = 20.5 n_2$
$0.5 n_2 = 100$
$n_2 = \frac{100}{0.5} = 200\,Hz$.
તેથી,$n_1 = 200 + 5 = 205\,Hz$.
આમ,આવૃત્તિઓ $205\,Hz$ અને $200\,Hz$ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4(L + 0.6r)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે $L \gg r$ હોય,ત્યારે અંતિમ સુધારો $0.6r$ ને અવગણી શકાય છે,જેથી સૂત્ર $n \approx \frac{v}{4L}$ બને છે.
જો લંબાઈ $L$ બમણી $(L' = 2L)$ કરવામાં આવે અને ત્રિજ્યા $r$ અડધી $(r' = r/2)$ કરવામાં આવે,તો નવી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે:
$n' = \frac{v}{4(L' + 0.6r')} = \frac{v}{4(2L + 0.6(r/2))} = \frac{v}{4(2L + 0.3r)}$.
$L \gg r$ હોવાથી,આપણે $2L + 0.3r \approx 2L$ લઈ શકીએ.
તેથી,$n' \approx \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{4L} \right) = \frac{n}{2}$.
આમ,આવૃત્તિ અડધી થઈ જાય છે.

(B) એક છેડે બંધ રેઝોનન્સ ટ્યુબ માટે,રેઝોનન્સ લંબાઈ $L_1$ અને $L_2$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને એન્ડ કરેક્શન $e$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
બીજા સમીકરણને પહેલા સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{L_2 + e}{L_1 + e} = 3$
$L_2 + e = 3L_1 + 3e$
$L_2 - 3L_1 = 2e$
$e = \frac{L_2 - 3L_1}{2}$
આપેલ છે કે $L_1 = 10\, cm$ અને $L_2 = 32\, cm$:
$e = \frac{32 - 3(10)}{2} = \frac{32 - 30}{2} = \frac{2}{2} = 1\, cm$.

(A) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = v / (2L)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપને તેની અડધી લંબાઈ $(L/2)$ સુધી પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી તે બિંદુએ બંધ છેડા તરીકે કાર્ય કરે છે.
આમ,હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $L' = L/2$ થાય છે.
પાઇપ હવે એક છેડે બંધ (પાણી દ્વારા) અને બીજા છેડે ખુલ્લી હોવાથી,તે $L' = L/2$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = v / (4L')$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $L' = L/2$ મૂકતા,આપણને $f' = v / (4 * (L/2)) = v / (2L)$ મળે છે.
આને મૂળ આવૃત્તિ $f = v / (2L)$ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f' = f$.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{V}{2l}$
આપેલ છે:
ધ્વનિનો વેગ $V = 340\, m/s$
પાઇપની લંબાઈ $l = 34\, cm = 0.34\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{340}{2 \times 0.34}$
$f = \frac{340}{0.68}$
$f = 500\, Hz$
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $500\, Hz$ છે.

(A) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\, m/s}{340\, Hz} = 1\, m = 100\, cm$ છે.
એક છેડે બંધ નળી માટે અનુનાદિત લંબાઈ $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$n=1$ માટે,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100\, cm}{4} = 25\, cm$.
$n=2$ માટે,$l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100\, cm}{4} = 75\, cm$.
$n=3$ માટે,$l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100\, cm}{4} = 125\, cm$.
નળીની કુલ ઊંચાઈ $120\, cm$ હોવાથી,માત્ર $l_1 = 25\, cm$ અને $l_2 = 75\, cm$ શક્ય છે.
પાણીની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે અનુનાદ માટે શક્ય મહત્તમ હવાના સ્તંભની લંબાઈ લેવી પડે,જે $l_2 = 75\, cm$ છે.
પાણીની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $= \text{કુલ ઊંચાઈ} - l_2 = 120\, cm - 75\, cm = 45\, cm$.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,જેની લંબાઈ $\ell$ છે,$p^{th}$ મોડની આવૃત્તિ $f_{open} = p \frac{v}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,જેની લંબાઈ $\ell$ છે,$p^{th}$ મોડની આવૃત્તિ $f_{closed} = (2p - 1) \frac{v}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપ અને બંધ પાઇપની $p^{th}$ મોડની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{f_{open}}{f_{closed}} = \frac{p \frac{v}{2\ell}}{(2p - 1) \frac{v}{4\ell}}$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{f_{open}}{f_{closed}} = \frac{p}{2\ell} \times \frac{4\ell}{2p - 1} = \frac{2p}{2p - 1}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{2p}{2p - 1}$ મળે છે.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 256\, Hz$ અને લંબાઈ $L_1 = 25.4\, cm = 0.254\, m$ છે.
$256 = \frac{v}{4 \times 0.254} \implies v = 256 \times 4 \times 0.254 = 260.096\, m/s$.
જ્યારે લંબાઈમાં $2\, mm = 0.2\, cm$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L_2 = 25.4 + 0.2 = 25.6\, cm = 0.256\, m$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{4L_2} = \frac{260.096}{4 \times 0.256} = \frac{260.096}{1.024} = 254\, Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $|n_1 - n_2| = |256 - 254| = 2\, Hz$ થશે.

(A) આપેલ લંબાઈ $L_{1} = 50 \, cm = 0.5 \, m$ અને $L_{2} = 50.5 \, cm = 0.505 \, m$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $L_{2} > L_{1}$ હોવાથી,આવૃત્તિ $n_{1} > n_{2}$ થશે.
બીટ આવૃત્તિ $n_{1} - n_{2} = 3 \, Hz$ છે.
આવૃત્તિ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{2L_{1}} - \frac{v}{2L_{2}} = 3$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{0.505} \right) = 3$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.505 - 0.5}{0.5 \times 0.505} \right) = 3$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.005}{0.2525} \right) = 3$.
$v \left( \frac{0.005}{0.505} \right) = 3$.
$v = \frac{3 \times 0.505}{0.005} = 3 \times 101 = 303 \, m/s$.

(A) $l$ લંબાઈ ધરાવતી ઓપન ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવાના સ્તંભમાં ધ્વનિનો વેગ છે.
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ ધ્વનિનો વેગ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સંબંધ મુજબ વધે છે.
જોકે તાપીય પ્રસરણને કારણે પાઇપની લંબાઈ $l$ માં થોડો વધારો થઈ શકે છે,પરંતુ ધ્વનિના વેગ $v$ માં થતો વધારો ઘણો વધારે નોંધપાત્ર હોય છે.
કારણ કે $f \propto v$ અને $f \propto \frac{1}{l}$,તેથી $v$ માં થતો વધારો $l$ માં થતા નજીવા વધારાની અસર પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે,જેના પરિણામે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ માં એકંદરે વધારો થાય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) એક છેડે બંધ રેઝોનન્સ કોલમ ટ્યુબ માટે,અનુનાદ લંબાઈ $l_1, l_2, l_3, \dots$ એ $l_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ક્રમિક અનુનાદ લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta l = l_{n+1} - l_n = \frac{\lambda}{2}$ છે.
અહીં $l_1 = 9.75 \; cm$ અને $l_2 = 31.25 \; cm$ આપેલ છે,તેથી તફાવત $\Delta l = 31.25 \; cm - 9.75 \; cm = 21.50 \; cm = 0.215 \; m$ છે.
આમ,$\frac{\lambda}{2} = 0.215 \; m$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 0.43 \; m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો $f = 800 \; Hz$ અને $\lambda = 0.43 \; m$ મૂકતા,આપણને $v = 800 \times 0.43 = 344 \; m/s$ મળે છે.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વાયુ અને હવા માટે $\gamma$ અને $P$ સમાન છે,તેથી $\frac{v_{gas}}{v_{air}} = \sqrt{\frac{\rho_{air}}{\rho_{gas}}}$.
આપેલ છે કે $\rho_{gas} = 2 \rho_{air}$,તેથી $\frac{v_{gas}}{300} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$v_{gas} = \frac{300}{\sqrt{2}} = 150 \sqrt{2} \; m/s$.
$L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ અને બીજો હાર્મોનિક $f_2 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L}$ છે.
આવૃત્તિ તફાવત $\Delta f = f_2 - f_1 = \frac{v}{2L}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta f = \frac{150 \sqrt{2}}{2(1)} = 75 \sqrt{2} \approx 75 \times 1.414 = 106.05 \; Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,જવાબ $106 \; Hz$ છે.