Doppler’s Effect Questions in Hindi

(A) मान लीजिए ध्वनि की चाल $v$ है। प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर $v_0 = \frac{v}{5}$ की चाल से गति करता है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right)$
$f' = f \left( \frac{\frac{6v}{5}}{v} \right)$
$f' = f \left( \frac{6}{5} \right) = 1.2 f$
अतः,प्रेक्षक द्वारा दर्ज की गई आभासी आवृत्ति $1.2 f$ है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f^{\prime}$ का सूत्र $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ है।
यहाँ,$v$ ध्वनि की चाल है,$v_0$ प्रेक्षक की चाल है,और $v_s$ स्रोत की चाल है।
दिया गया है कि स्रोत स्थिर है,इसलिए $v_s = 0$ है।
प्रेक्षक स्रोत की ओर $v_0 = \frac{v}{5}$ की चाल से गति करता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f_0 \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2 f_0$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति में भिन्नात्मक वृद्धि $\frac{f^{\prime} - f_0}{f_0} = \frac{1.2 f_0 - f_0}{f_0} = 0.2$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने पर: $0.2 \times 100 \% = 20 \%$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार, जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जा रहे हों:
$f' = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$
यहाँ, प्रेक्षित आवृत्ति $f' = 1980 \,Hz$ है।
हवा में ध्वनि की गति $v = 340 \,ms^{-1}$ है।
प्रेक्षक का वेग $v_o = 10 \,ms^{-1}$ (दूर जा रहा है, इसलिए अंश में ऋणात्मक चिह्न)।
स्रोत का वेग $v_s = 10 \,ms^{-1}$ (दूर जा रहा है, इसलिए हर में धनात्मक चिह्न)।
मान रखने पर:
$1980 = f_0 \left( \frac{340 - 10}{340 + 10} \right)$
$1980 = f_0 \left( \frac{330}{350} \right)$
$f_0 = 1980 \times \frac{350}{330}$
$f_0 = 1980 \times \frac{35}{33}$
$f_0 = 60 \times 35 = 2100 \,Hz$.

(A) यहाँ, स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है, तो आभासी आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति से कम होती है।
आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 2000 \,Hz$ (वास्तविक आवृत्ति)
$v = 340 \,m/s$ (ध्वनि का वेग)
$v_s = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ (स्रोत का वेग)
मान रखने पर:
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{340}{340 + 20} \right)$
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{340}{360} \right)$
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{17}{18} \right) \approx 1888.89 \,Hz$
निकटतम पूर्णांक में, हमें $f^{\prime} \approx 1889 \,Hz$ प्राप्त होता है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, इमारत से परावर्तित होकर गतिमान प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति का सूत्र है:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right) \quad ... (i)$
यहाँ, $v = 340 \,m/s$ ध्वनि की गति है।
$v_b = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} \,m/s = 20 \,m/s$ बस की गति है।
$f = 1.7 \,kHz$ हॉर्न द्वारा उत्पन्न मूल आवृत्ति है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime} = 1.7 \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right) \,kHz$
$f^{\prime} = 1.7 \left( \frac{360}{320} \right) \,kHz$
$f^{\prime} = 1.7 \times 1.125 \,kHz = 1.9125 \,kHz$
इस मान को पूर्णांकित करने पर, हमें $f^{\prime} \approx 1.9 \,kHz$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों में से सबसे निकटतम मान $1.8 \,kHz$ है।

(B) दिया गया है: स्रोत की आवृत्ति, $f = 495 \,Hz$. ध्वनि की गति, $v_s = u$. दोनों ट्रकों की गति, $v_o = v_s' = 0.1 u$.
स्थिति $1$: जब ट्रक एक-दूसरे के करीब आ रहे हों。
गतिशील स्रोत और गतिशील प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र उपयोग करने पर:
$v_1 = f \left( \frac{v_s + v_o}{v_s - v_s'} \right) = 495 \left( \frac{u + 0.1 u}{u - 0.1 u} \right) = 495 \left( \frac{1.1 u}{0.9 u} \right) = 495 \times \frac{11}{9} = 55 \times 11 = 605 \,Hz$.
स्थिति $2$: जब ट्रक एक-दूसरे को पार कर चुके हों (दूर जा रहे हों)।
गतिशील स्रोत और गतिशील प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र उपयोग करने पर:
$v_2 = f \left( \frac{v_s - v_o}{v_s + v_s'} \right) = 495 \left( \frac{u - 0.1 u}{u + 0.1 u} \right) = 495 \left( \frac{0.9 u}{1.1 u} \right) = 495 \times \frac{9}{11} = 45 \times 9 = 405 \,Hz$.
अंतर का परिमाण है:
$|v_1 - v_2| = 605 \,Hz - 405 \,Hz = 200 \,Hz$.

(A) मान लीजिए कि हॉर्न $A$ और $B$ की आवृत्तियाँ क्रमशः $n_A$ और $n_B$ हैं।
दिया गया है कि जब दोनों हॉर्न एक साथ बजाए जाते हैं तो ड्राइवर $10$ सेकंड में $50$ बीट्स रिकॉर्ड करता है:
$|n_A - n_B| = \frac{50}{10} = 5 \,Hz$.
जब ट्रक $v_s = 10 \,m/s$ की गति से दीवार की ओर बढ़ता है, तो ड्राइवर द्वारा सुनी गई गूँज की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n_B' = n_B \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$, जहाँ $v = 330 \,m/s$ ध्वनि की गति है।
$n_B' = n_B \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = n_B \left( \frac{340}{320} \right) = n_B \left( \frac{17}{16} \right) = 1.0625 n_B$.
गूँज के साथ बीट आवृत्ति $n_B' - n_B = 5 \,Hz$ है।
$1.0625 n_B - n_B = 5 \implies 0.0625 n_B = 5$.
$n_B = \frac{5}{0.0625} = 80 \,Hz$.
यह दिया गया है कि $n_A$ को कम करने पर बीट आवृत्ति $|n_A - n_B|$ बढ़ जाती है, जिसका अर्थ है कि $n_A < n_B$ है।
चूँकि $|n_A - n_B| = 5$, इसलिए $n_B - n_A = 5$ होगा।
$n_A = n_B - 5 = 80 - 5 = 75 \,Hz$.

(C) स्थिर बाधा द्वारा परावर्तित ध्वनि तरंगों की आवृत्ति, डॉपलर प्रभाव के सूत्र के अनुसार:
$f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
मान रखने पर:
$f_1 = 1000 \left( \frac{330}{330 - 33} \right) = \frac{1000 \times 330}{297} \text{ Hz}$.
अब, परावर्तित तरंगें एक स्रोत (स्थिर) के रूप में कार्य करती हैं और रिसीवर (स्रोत के साथ गतिमान) परावर्तित तरंगों की ओर गति करने वाले प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v + v_D}{v} \right)$
$f_1$ का मान रखने पर:
$f_2 = \left( \frac{1000 \times 330}{297} \right) \left( \frac{330 + 33}{330} \right) = \frac{1000 \times 363}{297} \text{ Hz}$.
$f_2 = 1000 \times 1.2 = 1200 \text{ Hz} = 1.2 \text{ kHz}$.

(B) जब स्रोत, स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के साथ $\theta$ कोण पर गति कर रहा हो, तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $v^{\prime}$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$v^{\prime} = v \left( \frac{V}{V - v_s \cos \theta} \right)$
जहाँ $V = 340 \,m/s$ ध्वनि की गति है, $v_s = \frac{100}{3} \,m/s$ स्रोत की गति है, और $v = 640 \,Hz$ स्रोत की आवृत्ति है।
स्रोत, बिंदु $A$ और प्रेक्षक $O$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से, स्रोत और $O$ के बीच की दूरी $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \,m$ है।
अतः, $\cos \theta = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$.
मान रखने पर:
$v^{\prime} = 640 \left( \frac{340}{340 - (\frac{100}{3}) \times (\frac{3}{5})} \right)$
$v^{\prime} = 640 \left( \frac{340}{340 - 20} \right)$
$v^{\prime} = 640 \times \frac{340}{320}$
$v^{\prime} = 640 \times \frac{34}{32} = 20 \times 34 = 680 \,Hz$.

(B) मान लीजिए कि स्रोतों की आवृत्ति $n = 680 \ Hz$ है और ध्वनि की गति $v = 340 \ ms^{-1}$ है।
श्रोता $A$ से $B$ की ओर $u$ वेग से गति करता है।
स्रोत $A$ से दूर जाते समय श्रोता द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ है:
$n' = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 - u}{340} \right) = 2(340 - u)$
स्रोत $B$ की ओर गति करते समय श्रोता द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n''$ है:
$n'' = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 + u}{340} \right) = 2(340 + u)$
विस्पंद आवृत्ति दोनों आभासी आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$|n'' - n'| = 10$
$2(340 + u) - 2(340 - u) = 10$
$680 + 2u - 680 + 2u = 10$
$4u = 10$
$u = 2.5 \ ms^{-1}$

(B) स्रोत का वेग $v_s = r \omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 2 m$ और $\omega = 15 rad/s$ दिया गया है,इसलिए $v_s = 2 \times 15 = 30 m/s$।
स्थिर श्रोता और गतिमान स्रोत के लिए डॉपलर प्रभाव का सूत्र $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ है।
उच्चतम आवृत्ति तब सुनी जाती है जब स्रोत सीधे श्रोता की ओर बढ़ रहा हो,जो $\theta = 0^\circ$ के अनुरूप है,इसलिए $\cos \theta = 1$।
मान रखने पर: $f' = 540 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 540 \left( \frac{330}{300} \right) = 540 \times 1.1 = 594 Hz$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार, स्रोत से दूर जा रहे प्रेक्षक द्वारा सीधे सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति: $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$.
यहाँ $f_1 = 970 \,Hz$, $f_0 = 1000 \,Hz$, और $v = 330 \,m/s$ दिया गया है: $970 = 1000 \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$v_s$ के लिए हल करने पर: $330 + v_s = \frac{1000 \times 330}{970} \approx 340.2 \,m/s$, अतः $v_s \approx 10.2 \,m/s$.
पहाड़ी से परावर्तित ध्वनि ऐसे व्यवहार करती है जैसे वह प्रेक्षक की ओर आते हुए स्रोत से आ रही हो। परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $f_2$ का सूत्र: $f_2 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
मान रखने पर: $f_2 = 1000 \left( \frac{330}{330 - 10.2} \right) = 1000 \left( \frac{330}{319.8} \right) \approx 1031.89 \,Hz$.
निकटतम पूर्णांक में, आवृत्ति लगभग $1032 \,Hz$ है।

(D) दिया गया है:
सीटी की आवृत्ति,$f_0 = 660 \,Hz$
ध्वनि की गति,$v = 340 \,m/s$
सीटी की कोणीय गति,$\omega = 10 \,rad/s$
वृत्त की त्रिज्या,$r = 1 \,m$
सीटी का रैखिक वेग $v_s = \omega r = 10 \times 1 = 10 \,m/s$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि श्रोता वृत्त के केंद्र से लंबी दूरी पर है,इसलिए सीटी और श्रोता को जोड़ने वाली रेखा पर सीटी के वेग का घटक तब अधिकतम होता है जब सीटी सीधे श्रोता की ओर बढ़ रही हो।
स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ते स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
मान रखने पर:
$f = 660 \times \left( \frac{340}{340 - 10} \right)$
$f = 660 \times \left( \frac{340}{330} \right)$
$f = 2 \times 340 = 680 \,Hz$
अतः,श्रोता द्वारा सुनी जाने वाली उच्चतम आवृत्ति $680 \,Hz$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: कोणीय गति $\omega = 40 \ rad \ s^{-1}$,त्रिज्या $r = 50 \ cm = 0.5 \ m$।
स्रोत की रैखिक गति $v_s = r \omega = 0.5 \times 40 = 20 \ m \ s^{-1}$ है।
अधिकतम आवृत्ति के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र (जब स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ता है) $n_{\max} = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
न्यूनतम आवृत्ति के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र (जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है) $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ है।
अधिकतम और न्यूनतम आवृत्ति का अनुपात $\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$ है।
मान $v = 340 \ m \ s^{-1}$ और $v_s = 20 \ m \ s^{-1}$ रखने पर:
$\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{340 + 20}{340 - 20} = \frac{360}{320} = \frac{9}{8}$।
अतः,अनुपात $9: 8$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार है:
$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$f_0 = 1000 \ Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 333 \ m/s$ (ध्वनि का वेग)
$v_o = 33 \ m/s$ (प्रेक्षक का वेग,स्रोत की ओर गति के कारण धनात्मक)
$v_s = 33 \ m/s$ (स्रोत का वेग,प्रेक्षक की ओर गति के कारण धनात्मक)
मान रखने पर:
$f' = 1000 \left( \frac{333 + 33}{333 - 33} \right)$
$f' = 1000 \left( \frac{366}{300} \right)$
$f' = 1000 \times 1.22 = 1220 \ Hz$

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब कोई प्रेक्षक $v_0$ वेग के साथ स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $N_{\text{approach}}$ इस प्रकार दी जाती है:
$N_{\text{approach}} = N \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
यहाँ $N = 850 \text{ Hz}$, $v = 340 \text{ m/s}$, और $v_0 = 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \text{ m/s}$.
$N_{\text{approach}} = 850 \left( \frac{340 + 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{360}{340} \right) = 900 \text{ Hz}$.
जब प्रेक्षक स्रोत से दूर जाता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $N_{\text{separation}}$ इस प्रकार दी जाती है:
$N_{\text{separation}} = N \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$
$N_{\text{separation}} = 850 \left( \frac{340 - 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{320}{340} \right) = 800 \text{ Hz}$.
दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$\Delta N = N_{\text{approach}} - N_{\text{separation}} = 900 \text{ Hz} - 800 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$.

(B) दिया गया है:
ध्वनि का वेग,$v = 340 \ m/s$
श्रोता (कार) का वेग,$v_L = 17 \ m/s$
स्रोत (बस) का वेग,$v_S = ?$
उत्सर्जित हॉर्न की आवृत्ति,$f = 640 \ Hz$
आभासी आवृत्ति,$f' = 680 \ Hz$
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v + v_L}{v - v_S} \right)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$680 = 640 \left( \frac{340 + 17}{340 - v_S} \right)$
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर:
$17 = 16 \left( \frac{357}{340 - v_S} \right)$
$17(340 - v_S) = 16 \times 357$
$5780 - 17v_S = 5712$
$17v_S = 5780 - 5712$
$17v_S = 68$
$v_S = 4 \ m/s$

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 640 \ Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 340 \ ms^{-1}$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 20 \ ms^{-1}$ (स्रोत/ट्रेन की गति)
मान रखने पर:
$f' = 640 \left( \frac{340}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{340}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.0625 = 680 \ Hz$
अतः,प्लेटफॉर्म पर खड़े व्यक्ति को सुनाई देने वाली आवृत्ति $680 \ Hz$ होगी।