Beats and Tuning fork Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 220 \,Hz$, વેગ $v = 330 \,m/s$.
સૌ પ્રથમ, $v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{220} = 1.5 \,m$.
એક કંપનમાં, ધ્વનિ તરંગ એક તરંગલંબાઇ $\lambda$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી, $80$ કંપનો માટે, કુલ અંતર $d$ થશે:
$d = 80 \times \lambda = 80 \times 1.5 = 120 \,m$.

(B) સોનોમીટર વાયર માટે,આવૃત્તિ $f$ એ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $f \propto 1/l$.
ધારો કે બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 \propto 1/0.70$ અને $f_2 \propto 1/0.69$.
અહીં $f_2 > f_1$ હોવાથી,$f_2 - f_1 = 6 \ Hz$.
ધારો કે $f_1 = k/0.70$ અને $f_2 = k/0.69$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
બીટ આવૃત્તિના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $k/0.69 - k/0.70 = 6$.
$k(0.70 - 0.69) / (0.69 \times 0.70) = 6$.
$k(0.01) / 0.483 = 6$.
$k = 6 \times 0.483 / 0.01 = 6 \times 48.3 = 289.8$.
હવે,$f_1 = 289.8 / 0.70 = 414 \ Hz$.
અને $f_2 = 289.8 / 0.69 = 420 \ Hz$.
આમ,આવૃત્તિઓ $414 \ Hz$ અને $420 \ Hz$ છે.

(C) જ્યારે બાહ્ય બળની આવૃત્તિ સિસ્ટમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ અથવા તેના હાર્મોનિક્સ (પૂર્ણાંક ગુણાંક) સાથે મેળ ખાય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 256 \ Hz$ છે.
હાર્મોનિક્સ $n \times f$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
$1st \ harmonic = 1 \times 256 = 256 \ Hz$.
$2nd \ harmonic = 2 \times 256 = 512 \ Hz$.
$3rd \ harmonic = 3 \times 256 = 768 \ Hz$.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A) 256 \ Hz$ (અનુનાદ થાય છે)
$B) 512 \ Hz$ (અનુનાદ થાય છે)
$C) 754 \ Hz$ (અનુનાદ થતો નથી)
$D) 768 \ Hz$ (અનુનાદ થાય છે)
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $754 \ Hz$ સાથે અનુનાદ કરશે નહીં.

(C) આપેલા સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(710 \pi t)$ અને $y_2 = 3 \sin(702 \pi t)$ છે.
તેને $y = A \sin(2 \pi f t)$ સાથે સરખાવતા:
$2 \pi f_1 = 710 \pi \implies f_1 = 355 \text{ Hz}$
$2 \pi f_2 = 702 \pi \implies f_2 = 351 \text{ Hz}$
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $n = |f_1 - f_2| = |355 - 351| = 4 \text{ beats/s}$ છે.
કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$ અને $A_2 = 3$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા (waxing) $(A_1 + A_2)^2 = (4 + 3)^2 = 7^2 = 49$ ના પ્રમાણમાં છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા (waning) $(A_1 - A_2)^2 = (4 - 3)^2 = 1^2 = 1$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $49:1$ છે.
સાચો જવાબ $4, 49:1$ છે.

(B) બીટ આવૃત્તિ $|f_X - f_Y| = 6 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_X = 300 \ Hz$,તેથી $f_Y$ માટે શક્ય આવૃત્તિઓ $300 - 6 = 294 \ Hz$ અથવા $300 + 6 = 306 \ Hz$ છે.
જ્યારે તારનું તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ વધે છે કારણ કે $f \propto \sqrt{T}$.
કિસ્સો $1$: જો $f_Y = 294 \ Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $f_Y$ વધે છે. નવી બીટ આવૃત્તિ $|300 - (294 + \Delta f)|$ થશે. બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $4 \ Hz$ થતી હોવાથી,તે $300 \ Hz$ ની નજીક જવી જોઈએ. તેથી,$300 - (294 + \Delta f) = 4$,જે $\Delta f = 2 \ Hz$ આપે છે. આ શક્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_Y = 306 \ Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $f_Y$ એ $300 \ Hz$ થી વધુ દૂર જશે. નવી બીટ આવૃત્તિ $|300 - (306 + \Delta f)| = 6 + \Delta f$ થશે,જે $6 \ Hz$ કરતા વધારે હશે.
બીટ આવૃત્તિ ઘટી હોવાથી,મૂળ આવૃત્તિ $294 \ Hz$ હોવી જોઈએ.

(D) ધ્રુજારી પામતા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તાર સમાન હોવાથી,$L$ અને $\mu$ અચળ છે,તેથી $f \propto \sqrt{T}$.
આપેલ છે કે $T_1 > T_2$,તેથી આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ એવી છે કે $f_1 > f_2$. બીટ આવૃત્તિ $f_1 - f_2 = 6$ છે.
જો આપણે તણાવમાં થોડો ફેરફાર કરીએ,તો બીટ આવૃત્તિ $6$ રહે છે જો આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન રહે.
ધારો કે $f_1 = k\sqrt{T_1}$ અને $f_2 = k\sqrt{T_2}$.
જો $T_1$ ઘટાડવામાં આવે,તો $f_1$ ઘટે છે,જે $f_2$ ની નજીક જાય છે. જો $T_2$ વધારવામાં આવે,તો $f_2$ વધે છે,જે $f_1$ ની નજીક જાય છે. બંને કિસ્સામાં,તફાવત $f_1 - f_2$ ઘટે છે.
જો કે,જો આપણે $T_1$ ને એવી રીતે ઘટાડીએ કે $f_1$ એ $f_2$ કરતા ઓછી થઈ જાય,તો બીટ આવૃત્તિ $|f_2 - f_1|$ એ $6$ રહી શકે છે જો નવો તફાવત મૂળ તફાવત જેટલો જ હોય.
ચોક્કસપણે,જો $T_1$ ઘટાડવામાં આવે અથવા $T_2$ વધારવામાં આવે,તો આવૃત્તિઓ એકબીજાની નજીક આવે છે અને પછી ક્રોસ થાય છે. થોડા ફેરફાર પછી બીટ આવૃત્તિ અપરિવર્તિત રહેવાની શરત એ છે કે નવો તફાવત $|f_1' - f_2'|$ એ મૂળ તફાવત $6$ જેટલો હોય.

(B) તરંગની આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$\omega_1 = 50 \pi$,તેથી $f_1 = \frac{50 \pi}{2 \pi} = 25 \text{ Hz}$.
બીજા તરંગ માટે,$\omega_2 = 46 \pi$,તેથી $f_2 = \frac{46 \pi}{2 \pi} = 23 \text{ Hz}$.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_1 - f_2| = |25 - 23| = 2 \text{ Hz}$.
બીટ આવૃત્તિ એ દર્શાવે છે કે પ્રતિ સેકન્ડ કેટલી વાર તીવ્રતા મહત્તમ બને છે.
તેથી,શ્રોતા એક સેકન્ડમાં $2$ વાર મહત્તમ તીવ્રતાનો અવાજ સાંભળે છે.

(D) બીટ આવૃત્તિ $f_b$ એ બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$f_b = |f_1 - f_2| = |258 \ Hz - 256 \ Hz| = 2 \ Hz$.
બીટ આવૃત્તિ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા મહત્તમ (બીટ્સ) ની સંખ્યા દર્શાવે છે.
બે ક્રમિક મહત્તમ વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ્સનો સમયગાળો છે,જેને $T_b$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$T_b = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{2 \ Hz} = 0.5 \ s$.
તેથી,બે ક્રમિક મહત્તમ વચ્ચેનો સમયગાળો $0.5 \ s$ છે.

(B) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
ધારો કે $T_1 = 225 \ N$ અને $T_2 = 256 \ N$ તણાવ પર તારની આવૃત્તિ અનુક્રમે $n_1$ અને $n_2$ છે.
તણાયેલા તારની આવૃત્તિ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(n \propto \sqrt{T})$,આપણને મળે છે:
$n_1 = n - 6$
$n_2 = n + 6$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$
$\frac{n - 6}{n + 6} = \frac{15}{16}$
$16(n - 6) = 15(n + 6)$
$16n - 96 = 15n + 90$
$n = 186 \ Hz$

(B) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t)$ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$Y_1 = 0.25 \sin(316t)$,સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ થાય.
બીજા તરંગ માટે,$Y_2 = 0.25 \sin(310t)$,સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ થાય.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
$f_{beat} = \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) ધારો કે $28$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ વધતા ક્રમમાં $n_1, n_2, \dots, n_{28}$ છે.
દરેક ફોર્ક તેના અગાઉના ફોર્ક સાથે '$x$' બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d = x$ છે.
આમ,$k^{\text{th}}$ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_k = n_1 + (k-1)x$ થાય.
$12^{\text{th}}$ ફોર્ક માટે: $n_{12} = n_1 + 11x = 152 \text{ Hz} \quad \dots(1)$.
$28^{\text{th}}$ ફોર્ક માટે: $n_{28} = n_1 + 27x$.
આપેલ છે કે છેલ્લો ફોર્ક પ્રથમ ફોર્કનો ઓક્ટેવ છે,તેથી $n_{28} = 2n_1$.
$n_{28}$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $2n_1 = n_1 + 27x \Rightarrow n_1 = 27x$.
સમીકરણ $(1)$ માં $n_1 = 27x$ મૂકતા:
$27x + 11x = 152$
$38x = 152$
$x = \frac{152}{38} = 4 \text{ Hz}$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરના સમીકરણો:
$x_1 = 2 \sin(1000 \pi t)$
$x_2 = 3 \sin(1006 \pi t)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિઓ: $\omega_1 = 1000 \pi$ અને $\omega_2 = 1006 \pi$.
કંપવિસ્તાર: $A_1 = 2$ અને $A_2 = 3$.
આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{1000 \pi}{2 \pi} = 500 \text{ Hz}$ અને $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{1006 \pi}{2 \pi} = 503 \text{ Hz}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|f_2 - f_1| = |503 - 500| = 3 \text{ બીટ્સ/સેકન્ડ}$ મળે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા મહત્તમ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(A_{\text{max}} = A_1 + A_2)$.
$A_{\text{max}} = 2 + 3 = 5$ એકમ.
મહત્તમ તીવ્રતા $\propto (A_{\text{max}})^2 = (5)^2 = 25$ એકમ.
તેથી,તરંગો $3$ બીટ્સ/સેકન્ડ અને $25$ એકમની મહત્તમ તીવ્રતા ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $C$ ની આવૃત્તિ $n$ છે।
આપેલ છે કે $A$ ની આવૃત્તિ $C$ કરતા $1.4 \%$ વધારે છે, તેથી $n_A = n + 0.014n = 1.014n$.
આપેલ છે કે $B$ ની આવૃત્તિ $C$ કરતા $2.6 \%$ ઓછી છે, તેથી $n_B = n - 0.026n = 0.974n$.
જ્યારે $A$ અને $B$ ને સાથે વગાડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા તેમની આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $|n_A - n_B| = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $1.014n - 0.974n = 10$.
$0.04n = 10$.
$n = \frac{10}{0.04} = \frac{1000}{4} = 250 \text{ Hz}$.

(B) બીટ આવૃત્તિ એ બે તરંગોની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_2 - f_1|$.
અહીં $f_1 = 340 \ Hz$ અને $f_2 = 335 \ Hz$ આપેલ છે.
$f_{beat} = 340 \ Hz - 335 \ Hz = 5 \ Hz$.
બે ક્રમિક મહત્તમ વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે:
$T = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{5} \ s = 0.2 \ s$.

(D) બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_2 - f_1| = |256 \,Hz - 250 \,Hz| = 6 \,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બીટ તરંગનો આવર્તકાળ $T_b = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{6} \,s$ છે।
તીવ્રતા $t=0$ સમયે મહત્તમ છે। તીવ્રતા બીટના આવર્તકાળના અડધા સમય પછી ન્યૂનતમ થાય છે, જે મહત્તમ અને ત્યારબાદના ન્યૂનતમ વચ્ચેના સમયગાળાને અનુરૂપ છે।
તેથી, જરૂરી સમય $t = \frac{T_b}{2} = \frac{1}{6 \times 2} = \frac{1}{12} \,s$ છે।

(C) કંપન કરતા વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $fl = \text{અચળ}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે.
શરૂઆતમાં,લંબાઈ $l_1 = 50 \ cm$ છે અને બીટ આવૃત્તિ $3$ છે,તેથી વાયરની આવૃત્તિ $f_1 = f - 3$ (અથવા $f + 3$) થાય.
લંબાઈ $1 \ cm$ ઘટાડ્યા પછી,$l_2 = 49 \ cm$ થાય છે. બીટ આવૃત્તિ હજુ પણ $3$ છે,તેથી વાયરની આવૃત્તિ $f_2 = f + 3$ (અથવા $f - 3$) થાય.
$f_1 l_1 = f_2 l_2$ હોવાથી,$(f - 3) \times 50 = (f + 3) \times 49$.
$50f - 150 = 49f + 147$.
$50f - 49f = 147 + 150$.
$f = 297 \ Hz$.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$.
આપેલ છે $y_1 = 0.35 \sin(316 t)$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$. આમ,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{316}{2 \pi} \text{ Hz}$.
આપેલ છે $y_2 = 0.35 \sin(310 t)$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$. આમ,આવૃત્તિ $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{310}{2 \pi} \text{ Hz}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એટલે કે બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \frac{316}{2 \pi} - \frac{310}{2 \pi} = \frac{6}{2 \pi} = \frac{3}{\pi} \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = a \sin(2 \pi n t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$2 \pi n_1 = 2000 \pi$,જે $n_1 = 1000 \text{ Hz}$ આપે છે.
બીજા તરંગ માટે,$2 \pi n_2 = 2008 \pi$,જે $n_2 = 1004 \text{ Hz}$ આપે છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{\text{beat}} = |n_2 - n_1| = |1004 - 1000| = 4 \text{ Hz}$.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ $n_A, n_B, n_C$ છે જ્યાં $n_A > n_B > n_C$ છે.
જ્યારે ફોર્ક $A$ અને $B$ ને એકસાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $n_1 = n_A - n_B$ છે (સમીકરણ $i$).
જ્યારે ફોર્ક $A$ અને $C$ ને એકસાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $n_2 = n_A - n_C$ છે (સમીકરણ $ii$).
આપણે $B$ અને $C$ ને એકસાથે વગાડતી વખતે બીટ આવૃત્તિ શોધવી છે,જે $n_B - n_C$ છે.
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(n_A - n_C) - (n_A - n_B) = n_2 - n_1$
$n_A - n_C - n_A + n_B = n_2 - n_1$
$n_B - n_C = n_2 - n_1$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $n_2 - n_1$ છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 5.0 \ m$ અને $\lambda_2 = 5.5 \ m$. ધ્વનિનો વેગ $v = 300 \ m/s$.
તરંગની આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{v}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ: $n_1 = \frac{300}{5.0} = 60 \ Hz$.
બીજા તરંગની આવૃત્તિ: $n_2 = \frac{300}{5.5} = \frac{3000}{55} \approx 54.55 \ Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $n_{beats} = |n_1 - n_2| = |60 - 54.55| = 5.45 \ Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,બીટ્સની સંખ્યા આશરે $5 \ Hz$ અથવા $6 \ Hz$ થાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$6 \ Hz$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(B) ધ્રુજતા તારની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
તાર સમાન હોવાથી,$\ell$ અને $m$ અચળ છે,તેથી $n \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1$ અને પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે. તણાવમાં $2 \%$ નો વધારો કરતા,નવો તણાવ $T_2 = T_1 + 0.02 T_1 = 1.02 T_1$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $n_2$ માટે,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{1.02} = 1.01$ મળે.
આમ,$n_2 = 1.01 n_1$ થાય.
બીટ આવૃત્તિ $n_2 - n_1 = 5 \ Hz$ આપેલ છે.
$n_2$ ની કિંમત મૂકતા,$1.01 n_1 - n_1 = 5$ મળે.
$0.01 n_1 = 5$.
તેથી,$n_1 = \frac{5}{0.01} = 500 \ Hz$.

(B) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $C$ ની આવૃત્તિ $f_C$ છે।
આપેલ છે કે $A$ ની આવૃત્તિ $f_C$ કરતા $1.5 \%$ વધારે છે:
$f_A = f_C + 0.015 f_C = 1.015 f_C$.
આપેલ છે કે $B$ ની આવૃત્તિ $f_C$ કરતા $2.5 \%$ ઓછી છે:
$f_B = f_C - 0.025 f_C = 0.975 f_C$.
જ્યારે $A$ અને $B$ ને સાથે વગાડવામાં આવે છે, ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $12 \text{ Hz}$ છે:
$|f_A - f_B| = 12$.
સમીકરણો મૂકતા:
$1.015 f_C - 0.975 f_C = 12$.
$0.040 f_C = 12$.
$f_C = \frac{12}{0.040} = 300 \text{ Hz}$.

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_A$ છે અને ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $f_B = 480 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|f_A - f_B| = 5 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f_A = 480 \pm 5$,તેથી $f_A$ કાં તો $485 \ Hz$ અથવા $475 \ Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે.
મીણ ઉમેર્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $|f_A' - 480| = 2 \ Hz$ થાય છે,જ્યાં $f_A' < f_A$.
જો $f_A = 475 \ Hz$ હોય,તો મીણ ઉમેરવાથી આવૃત્તિ વધુ ઘટશે (દા.ત. $473 \ Hz$ સુધી),જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|473 - 480| = 7 \ Hz$ થશે,જે $2 \ Hz$ નથી.
જો $f_A = 485 \ Hz$ હોય,તો મીણ ઉમેરવાથી આવૃત્તિ $480 \ Hz$ ની નજીક ઘટશે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|482 - 480| = 2 \ Hz$ થશે.
આમ,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $485 \ Hz$ હતી.

(D) બીટ્સ એ ધ્વનિની તીવ્રતામાં થતા સામયિક ફેરફારો છે જે ત્યારે સંભળાય છે જ્યારે સહેજ અલગ આવૃત્તિઓ અને તુલનાત્મક કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ (interference) કરે છે.
સ્પષ્ટ બીટ્સની રચના માટે,બે ધ્વનિ સ્ત્રોતોની આવૃત્તિઓ લગભગ સમાન હોવી જોઈએ જેથી બીટ આવૃત્તિ $(f_{beat} = |f_1 - f_2|)$ એટલી ઓછી હોય કે માનવ કાન તેને અનુભવી શકે.
વધુમાં,તેમની પાસે લગભગ સમાન કંપવિસ્તાર હોવો જોઈએ જેથી વ્યતિકરણને કારણે તીવ્રતાના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો સ્પષ્ટપણે સાંભળી શકાય.

(A) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 225 \ N$ તણાવ પર આવૃત્તિ $f_1$ છે અને $T_2 = 256 \ N$ તણાવ પર આવૃત્તિ $f_2$ છે.
$f \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,$\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$,તેથી $f_2 = \frac{16}{15} f_1$.
બંને કિસ્સામાં બીટ આવૃત્તિ $6 \ Hz$ આપેલ છે,ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $x$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $f_1 = x - 6$ (ધારીએ કે $x > f_1$).
બીજા કિસ્સા માટે: $f_2 = x + 6$ (કારણ કે $f_2 > f_1$,આવૃત્તિ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા વધી જશે).
$f_1$ અને $f_2$ ની કિંમત મૂકતા: $x + 6 = \frac{16}{15} (x - 6)$.
$15(x + 6) = 16(x - 6) \implies 15x + 90 = 16x - 96$.
$x = 90 + 96 = 186 \ Hz$.

(C) ધારો કે બે તરંગોનો કંપવિસ્તાર $A$ અને તીવ્રતા $I_0$ છે. તરંગની તીવ્રતા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $I_0 \propto A^2$.
જ્યારે આ બે તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે,ત્યારે સહાયક વ્યતિકરણ દરમિયાન મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = A + A = 2A$ મળે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ એ મહત્તમ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $I_{max} \propto (A_{max})^2 = (2A)^2 = 4A^2$.
જેથી $I_0 \propto A^2$ હોવાથી,$I_{max} = 4I_0$ મળે છે.
આમ,મહત્તમ તીવ્રતા એ દરેક ઘટક તરંગની તીવ્રતા કરતા $4$ ગણી હોય છે.

(C) પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા આવૃત્તિઓના તફાવત $|n_{1} - n_{2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તરંગ સમીકરણો $y_{1} = a \sin(2000 \pi t)$ અને $y_{2} = a \sin(2008 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a \sin(2 \pi n t)$ સાથે સરખાવતા.
પ્રથમ તરંગ માટે: $2 \pi n_{1} = 2000 \pi \implies n_{1} = 1000 \text{ Hz}$.
બીજા તરંગ માટે: $2 \pi n_{2} = 2008 \pi \implies n_{2} = 1004 \text{ Hz}$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $|n_{2} - n_{1}| = |1004 - 1000| = 4 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$ છે.

(A) બીટ્સ એ એક એવી ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો,જે સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
આ સંપાતીકરણને કારણે પરિણામી ધ્વનિની તીવ્રતામાં સમયાંતરે ફેરફાર થાય છે,જેને વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,બીટ્સનું નિર્માણ એ ધ્વનિ તરંગોના વ્યતિકરણનું સીધું પરિણામ છે.

(C) એક કંપન માટેનો સમયગાળો $T = \frac{1}{n} \ s$ છે.
$x$ કંપનો માટે લાગતો કુલ સમય $t = x \times T = \frac{x}{n} \ s$ થાય.
સમય $t$ માં તરંગ દ્વારા કપાયેલું અંતર $d = V \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $d = V \times \frac{x}{n} = \frac{xV}{n} \ m$ મળે છે.

(B) $N$ ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર $(N-1) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે $5$ ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર $0.8 \ m$ છે,તેથી:
$4 \lambda = 0.8 \ m$
$\lambda = \frac{0.8}{4} = 0.2 \ m$
તરંગના સમીકરણ $v = n \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે:
$n = \frac{v}{\lambda}$
આપેલ કિંમતો $v = 56 \ m/s$ અને $\lambda = 0.2 \ m$ મૂકતા:
$n = \frac{56}{0.2} = 280 \ Hz$
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $280 \ Hz$ છે.

(B) ધારો કે $1^{\text{st}}$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_1$ છે.
આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = 5 \text{ Hz}$ છે.
$41^{\text{st}}$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_{41} = n_1 + (41 - 1) \times d$ દ્વારા મળે છે.
$n_{41} = n_1 + 40 \times 5 = n_1 + 200$.
આપેલ છે કે છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ કરતા બમણી છે,તેથી $n_{41} = 2n_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2n_1 = n_1 + 200$.
$n_1$ માટે ઉકેલતા: $n_1 = 200 \text{ Hz}$.
તેથી,$n_{41} = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}$.

(D) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{l}$ થાય.
ધારો કે $f_1$ અને $f_2$ એ બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ છે જે અનુક્રમે $l_1 = 0.97 \ m$ અને $l_2 = 0.96 \ m$ લંબાઈ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$f_1 = \frac{k}{0.97}$ અને $f_2 = \frac{k}{0.96}$,જ્યાં $k = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $f_2 - f_1 = 5 \ Hz$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{k}{0.96} - \frac{k}{0.97} = 5$.
$k \left( \frac{0.97 - 0.96}{0.96 \times 0.97} \right) = 5$.
$k \left( \frac{0.01}{0.9312} \right) = 5 \implies k = 5 \times 93.12 = 465.6$.
હવે,$f_1 = \frac{465.6}{0.97} = 480 \ Hz$.
અને $f_2 = \frac{465.6}{0.96} = 485 \ Hz$.

(B) આપેલ છે: બીટ આવૃત્તિ $= 4 \,Hz$, ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $(f_B)$ $= 384 \,Hz$.
ફોર્ક $A$ ની સંભવિત આવૃત્તિઓ $(f_A)$ $f_B \pm 4$ છે, એટલે કે $388 \,Hz$ અથવા $380 \,Hz$.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગને ઘસવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું દળ ઘટે છે, જેનાથી તેની આવૃત્તિ વધે છે ($f_A$ વધે છે).
કિસ્સો $1$: જો $f_A = 380 \,Hz$ હોય, તો ઘસવાથી $f_A$ વધીને $384 \,Hz$ ની નજીક જશે, તેથી બીટ આવૃત્તિ $(|f_A - f_B|)$ ઘટશે.
કિસ્સો $2$: જો $f_A = 388 \,Hz$ હોય, તો ઘસવાથી $f_A$ વધીને $384 \,Hz$ થી દૂર જશે (દા.ત. $389 \,Hz$ સુધી), તેથી બીટ આવૃત્તિ $(|f_A - f_B|)$ વધશે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ વધે છે, તેથી ફોર્ક $A$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $388 \,Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે અજ્ઞાત આવૃત્તિ $n \,Hz$ છે.
$A$ $(n_A = 258 \,Hz)$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $x = |n - 258|$ છે.
$B$ $(n_B = 262 \,Hz)$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $2x = |n - 262|$ છે.
જો $n < 258$ હોય, તો $x = 258 - n$.
તેથી $2x = |n - 262| = 262 - n$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા: $2(258 - n) = 262 - n$.
$516 - 2n = 262 - n$.
$n = 516 - 262 = 254 \,Hz$.
શરત તપાસતા: જો $n = 254 \,Hz$ હોય, તો $A$ સાથેના બીટ્સ $|254 - 258| = 4 \,Hz$ થાય.
$B$ સાથેના બીટ્સ $|254 - 262| = 8 \,Hz$ થાય.
જેથી $8 = 2 \times 4$ થાય છે, જે શરતનું પાલન કરે છે.

(D) ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \ m \ s^{-1}$ છે.
તરંગલંબાઈઓ $\lambda_1 = 0.99 \ m$ અને $\lambda_2 = 1.00 \ m$ છે.
આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{330}{0.99} = \frac{33000}{99} = \frac{1000}{3} \ Hz$ અને $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{330}{1.00} = 330 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2| = |\frac{1000}{3} - 330| = |\frac{1000 - 990}{3}| = \frac{10}{3} \ Hz$ થાય.
બીટ આવૃત્તિ એટલે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા. તેથી,$f_b = \frac{\text{બીટ્સની સંખ્યા}}{t}$.
આપેલ છે કે $t$ સેકન્ડમાં $10$ બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે,તેથી $\frac{10}{3} = \frac{10}{t}$.
આમ,$t = 3 \ s$ મળે.

(D) બે ધ્વનિ તરંગોના આપેલા સમીકરણો $y_1 = 3 \sin(250 \pi t)$ અને $y_2 = 2 \sin(260 \pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 250 \pi \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 260 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ એ $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$f_1 = \frac{250 \pi}{2 \pi} = 125 \text{ Hz}$ અને $f_2 = \frac{260 \pi}{2 \pi} = 130 \text{ Hz}$.
બીટ આવૃત્તિ $f_b$ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_2 - f_1| = |130 - 125| = 5 \text{ Hz}$.
બે ક્રમિક મહત્તમ તીવ્રતાઓ વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ્સનો સમયગાળો છે,જે $T_b = \frac{1}{f_b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_b = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ s}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 4 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે દોરી $A$ માં તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_A$ વધે છે કારણ કે $n \propto \sqrt{T}$.
$n_A$ વધારવાથી બીટ્સની સંખ્યા $4$ થી વધીને $7$ થાય છે,તેનો અર્થ એ કે $n_A$ એ $n_B$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ (એટલે કે $n_A - n_B = 4$).
જો $n_A$ એ $n_B$ કરતા ઓછું હોત,તો $n_A$ વધારવાથી બીટ આવૃત્તિ શૂન્ય તરફ ઘટત અને પછી વધત,પરંતુ પ્રશ્ન સીધો વધારો સૂચવે છે.
તેથી,$n_A = n_B + 4$.
આપેલ છે કે $n_B = 480 \ Hz$,તેથી $n_A = 480 + 4 = 484 \ Hz$.

(D) બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે $f_{beat} = v_1 - v_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ક્રમિક મહત્તમ (maxima) અથવા બે ક્રમિક ન્યૂનતમ (minima) વચ્ચેના સમયના અંતરાલને બીટ્સનો સમયગાળો $(T_{beat})$ કહેવામાં આવે છે.
સમયગાળો એ બીટ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે:
$T_{beat} = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{v_1 - v_2}$.
તેથી,બે ક્રમિક ન્યૂનતમ વચ્ચેનો સમયગાળો $\frac{1}{v_1 - v_2}$ છે.

(D) બીટ્સ એ બે ધ્વનિ તરંગોના સંપાતપણાને કારણે ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર અને સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
આ વ્યતિકરણને પરિણામે પરિણામી ધ્વનિની તીવ્રતામાં સમયાંતરે ફેરફાર થાય છે,જેને બીટ્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,બીટ્સની રચના એ ધ્વનિ તરંગોના વ્યતિકરણનું સીધું પરિણામ છે.

(D) આપેલ છે કે, ટ્યુનિંગ ફોર્ક $X$ અને $Y$ ની આવૃત્તિઓ:
$n_X = 280 \,Hz$
$n_Y = 284 \,Hz$
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $Z$ ની આવૃત્તિ $n_Z$ છે અને $X$ અને $Z$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી બીટ આવૃત્તિ $b$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ, $b = |n_Z - 280|$.
બીજી શરત મુજબ, $Y$ અને $Z$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી બીટ આવૃત્તિ $3b$ છે, તેથી $3b = |n_Z - 284|$.
કિસ્સો $1$: જો $n_Z > 284$ હોય, તો $n_Z - 280 = b$ અને $n_Z - 284 = 3b$. $b$ ની કિંમત મૂકતા, $n_Z - 284 = 3(n_Z - 280) \Rightarrow n_Z - 284 = 3n_Z - 840 \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$. આ $n_Z > 284$ ની ધારણા સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_Z < 280$ હોય, તો $280 - n_Z = b$ અને $284 - n_Z = 3b$. $b$ ની કિંમત મૂકતા, $284 - n_Z = 3(280 - n_Z) \Rightarrow 284 - n_Z = 840 - 3n_Z \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$. આ $n_Z < 280$ ની ધારણા સાથે સુસંગત છે.
આમ, $Z$ ની આવૃત્તિ $278 \,Hz$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની કુલ સંખ્યા $n = 56$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $d = 4 \text{ Hz}$ છે.
$n$મા ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = f_1 + (n - 1)d$ છે.
તેથી, $f_{56} = f + (56 - 1) \times 4 = f + 55 \times 4 = f + 220$.
આપેલ છે કે છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે, તેથી $f_{56} = 2f$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2f = f + 220$, જે આપણને $f = 220 \text{ Hz}$ આપે છે.
$19$મા ફોર્કની આવૃત્તિ $f_{19} = f_1 + (19 - 1)d$ થશે.
$f_{19} = 220 + 18 \times 4 = 220 + 72 = 292 \text{ Hz}$.

(A) બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f_{beat} = |f_2 - f_1| = |323 \ Hz - 320 \ Hz| = 3 \ Hz$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિ સેકન્ડ $3$ બીટ્સ સંભળાય છે.
બે ક્રમિક બીટ્સ (એક મહત્તમ અને એક નજીકનો લઘુત્તમ અવાજ) વચ્ચેનો સમયગાળો એ એક બીટ ચક્રના સમયગાળા કરતા અડધો હોય છે.
બીટનો સમયગાળો $T = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{3} \ s$ છે.
મહત્તમ અવાજ અને તેની નજીકના લઘુત્તમ અવાજ વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \ s = \frac{1}{6} \ s$ થાય.

(C) આપેલ આવૃત્તિઓ $f_1 = n-1$,$f_2 = n$ અને $f_3 = n+1$ છે.
બીટ્સ એ ધ્વનિ સ્ત્રોતોની આવૃત્તિઓના તફાવતને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા સિસ્ટમમાં હાજર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$\text{ઉત્પન્ન થતા બીટ્સ} = f_{\text{max}} - f_{\text{min}} = (n+1) - (n-1) = 2 \text{ બીટ્સ/સેકન્ડ}$.
ત્રણેય સ્ત્રોતો એકસાથે કંપન કરી રહ્યા હોવાથી,વ્યતિકરણની ભાત $2 \text{ Hz}$ ની બીટ આવૃત્તિ આપે છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $2$ છે અને સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા પણ $2$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $y_1 = 5 \sin(400 \pi t)$ અને $y_2 = 8 \sin(408 \pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 400 \pi \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 408 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ એ $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f_1 = \frac{400 \pi}{2 \pi} = 200 \text{ Hz}$ અને $f_2 = \frac{408 \pi}{2 \pi} = 204 \text{ Hz}$.
બીટ આવૃત્તિ $|f_2 - f_1| = |204 - 200| = 4 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$ છે.
પ્રતિ મિનિટ બીટ્સની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $60$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\text{બીટ્સ પ્રતિ મિનિટ} = 4 \times 60 = 240 \text{ બીટ્સ/મિનિટ}$.

(A) આપેલ છે: ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $(f_A)$ = $250 \,Hz$. ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $(f_B)$ = $x \,Hz$.
શરૂઆતમાં, બીટ આવૃત્તિ $5 \,Hz$ છે, તેથી $|f_A - f_B| = 5$.
આનો અર્થ એ છે કે $250 - x = 5$ અથવા $x - 250 = 5$, જે $x = 245 \,Hz$ અથવા $x = 255 \,Hz$ આપે છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે $(f_B' < f_B)$.
મીણ લગાવ્યા પછી, નવી બીટ આવૃત્તિ $3 \,Hz$ છે.
જો $x = 255 \,Hz$ હોય, તો $f_B$ ઘટીને $250 \,Hz$ ની નજીક આવે છે, તેથી બીટ આવૃત્તિ $5$ થી ઘટીને $3$ થાય છે. તેથી, $x = 255 \,Hz$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે તાર $A$ ની આવૃત્તિ $f_A = f_0$ છે અને તાર $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે.
શરૂઆતમાં,સ્પંદ આવૃત્તિ $\Delta f_1 = |f_0 - f_B| > 0$ છે.
જ્યારે તાર $A$ માં તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ વધીને $f_A'$ થાય છે.
નવી સ્પંદ આવૃત્તિ $\Delta f_2 = |f_A' - f_B| < \Delta f_1$ છે.
તાર $A$ ની આવૃત્તિ વધાર્યા પછી સ્પંદ આવૃત્તિ ઘટી હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે $f_A$ એ $f_B$ ની નજીક જઈ રહી હતી.
તેથી,$f_B$ એ $f_A$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
આમ,$\Delta f_1 = f_B - f_0$,જે દર્શાવે છે કે $f_B = f_0 + \Delta f_1$.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તાર સમાન હોવાથી,$L$ અને $\mu$ અચળ છે,તેથી $f \propto \sqrt{T}$.
શરૂઆતમાં,બંને તાર માટે આવૃત્તિ $f_0 \propto \sqrt{T}$ છે. તેથી,$f_0^2 \propto T$ ... $(i)$
જ્યારે એક તારનું તણાવ $\Delta T$ જેટલું વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નવી આવૃત્તિ $f' = f_0 + N$ થાય છે.
તેથી,$(f_0 + N)^2 \propto (T + \Delta T)$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} = \frac{T + \Delta T}{T}$
$\frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} = 1 + \frac{\Delta T}{T}$
$\frac{\Delta T}{T}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} - 1 = \left(\frac{f_0 + N}{f_0}\right)^2 - 1$.

(A) ધારો કે ધ્વનિનો વેગ $v$ છે અને ત્રીજા ધ્વનિની આવૃત્તિ $f_0$ છે. આપેલા બે ધ્વનિની આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{40/195} = \frac{195v}{40}$ અને $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{40/193} = \frac{193v}{40}$ છે.
દરેક ધ્વનિ ત્રીજા ધ્વનિ સાથે દર સેકન્ડે $9$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરતું હોવાથી:
$|f_1 - f_0| = 9$ અને $|f_2 - f_0| = 9$.
આનો અર્થ એ છે કે $f_1 - f_0 = 9$ અને $f_0 - f_2 = 9$ (ધારો કે $f_1 > f_0 > f_2$).
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(f_1 - f_0) + (f_0 - f_2) = 9 + 9$
$f_1 - f_2 = 18$
$\frac{195v}{40} - \frac{193v}{40} = 18$
$\frac{2v}{40} = 18$
$\frac{v}{20} = 18$
$v = 360 \,m/s$.