Beats and Tuning fork Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ત્રીજા સ્વરની આવૃત્તિ $n$ છે અને ધ્વનિનો વેગ $v$ છે.
બે સ્વરોની આવૃત્તિઓ $n_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{36/195} = \frac{195v}{36}$ અને $n_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{36/193} = \frac{193v}{36}$ છે.
દરેક સ્વર ત્રીજા સ્વર સાથે પ્રતિ સેકન્ડ $10$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરતું હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{195v}{36} - n = 10$ ---$(i)$
$n - \frac{193v}{36} = 10$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$\frac{195v}{36} - \frac{193v}{36} = 10 + 10$
$\frac{2v}{36} = 20$
$\frac{v}{18} = 20$
$v = 360 \,m/s$.

(D) એક છેડે બંધ નળી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $f_{c1} - f_{c2} = 2$ છે,જ્યાં $f_{c1} = \frac{v}{4L_1}$ અને $f_{c2} = \frac{v}{4L_2}$ છે.
તેથી,$\frac{v}{4L_1} - \frac{v}{4L_2} = 2$.
બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી બીટ આવૃત્તિ $f_{o1} - f_{o2} = \frac{v}{2L_1} - \frac{v}{2L_2}$ છે.
આને આપણે $2 \times (\frac{v}{4L_1} - \frac{v}{4L_2})$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
જાણીતી કિંમત મૂકતા,નવી બીટ આવૃત્તિ $2 \times 2 = 4$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $\lambda_1 = 5 \,m$,$\lambda_2 = 6 \,m$.
તરંગની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ: $n_1 = \frac{v}{5}$.
બીજા તરંગની આવૃત્તિ: $n_2 = \frac{v}{6}$.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_1 - n_2 = \frac{\text{બીટ્સની સંખ્યા}}{\text{સમય}} = \frac{30}{3} = 10 \,Hz$.
$n_1$ અને $n_2$ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{5} - \frac{v}{6} = 10$.
$v$ ને સામાન્ય લેતા: $v \left( \frac{6 - 5}{30} \right) = 10$.
$\frac{v}{30} = 10$.
તેથી,$v = 300 \,m/s$.

(B) દોરી $A$ ની આવૃત્તિ $f_A = 320 \ Hz$ છે. ધારો કે દોરી $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે. સ્પંદની આવૃત્તિ $n = |f_A - f_B| = 8 \ Hz$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f_B = 320 \pm 8$,તેથી $f_B$ એ $312 \ Hz$ અથવા $328 \ Hz$ હોઈ શકે છે.
જ્યારે દોરી $A$ માં તણાવ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે કારણ કે $f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_A'$ છે. $f_A' < 320 \ Hz$ હોવાથી,નવી સ્પંદ આવૃત્તિ $n' = |f_A' - f_B| = 4 \ Hz$ થાય છે.
જો $f_B = 312 \ Hz$ હોય,તો $f_A' - 312 = 4 \implies f_A' = 316 \ Hz$ (જે $320 \ Hz$ કરતા ઓછી છે,જે સુસંગત છે).
જો $f_B = 328 \ Hz$ હોય,તો $328 - f_A' = 4 \implies f_A' = 324 \ Hz$ (જે $320 \ Hz$ કરતા વધારે છે,જે અસંગત છે).
તેથી,$B$ ની આવૃત્તિ $312 \ Hz$ હોવી જોઈએ.

(D) આપેલ છે કે,પ્રથમ તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 500 \,Hz$ છે।
ધારો કે બીજા તારની આવૃત્તિ $f_2$ છે।
બીટ આવૃત્તિ $f_b = 5 \,Hz$ છે।
જ્યારે પ્રથમ તારમાં તણાવ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે। તે બીજા તાર સાથે દર સેકન્ડે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી બીજા તારની આવૃત્તિ $f_2 = 505 \,Hz$ લેતા।
સંબંધ $f \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$f_2 = 505 \,Hz$ અને $f_1 = 500 \,Hz$ લેતા,$\frac{T_2}{T_1} = (\frac{505}{500})^2 = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$ મળે છે।

(B) ધારો કે બંને વાયરની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n = 600 \text{ Hz}$ છે.
ખેંચાયેલા વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક વાયરનો તણાવ વધારીને $T'$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $6 \text{ Hz}$ છે,તેથી $n' - n = 6$.
તેથી,$n' = 600 + 6 = 606 \text{ Hz}$.
બંને આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n'}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$\frac{606}{600} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$1.01 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T'}{T} = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$.
તણાવમાં આંશિક વધારો $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{T'}{T} - 1$ છે.
$\frac{\Delta T}{T} = 1.02 - 1 = 0.02$.

(D) જે ઘટનામાં અવાજની તીવ્રતા સમય સાથે આવર્તનીય રીતે બદલાય છે તેને $beats$ (બીટ્સ) કહેવામાં આવે છે.
$Beats$ ત્યારે થાય છે જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો,$f_1$ અને $f_2$,એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ (interference) કરે છે.
પરિણામી તીવ્રતા બંને આવૃત્તિઓના તફાવત,$|f_1 - f_2|$,જેટલી આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે.
વધુમાં,જો સ્ત્રોતની તીવ્રતા પોતે જ આવર્તનીય રીતે બદલાતી હોય,તો અવલોકનકાર તીવ્રતામાં આવર્તનીય ફેરફાર અનુભવશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ એ $beats$ માટેની ભૌતિક સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે,જે આવર્તનીય તીવ્રતાના ફેરફારનું પ્રમાણભૂત કારણ છે.

(A) બીટ આવૃત્તિ એટલે પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા. શરૂઆતમાં,$2$ સેકન્ડમાં $8$ બીટ્સ એટલે કે બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = 8/2 = 4$ Hz છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|f_A - f_B| = 4$ Hz.
અહીં $f_B = 380$ Hz આપેલ છે,તેથી $|f_A - 380| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $f_A = 384$ Hz અથવા $f_A = 376$ Hz.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે.
મીણ લગાવ્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $2$ સેકન્ડમાં $4$ બીટ્સ છે,એટલે કે $f'_{beat} = 4/2 = 2$ Hz.
જો $f_A = 376$ Hz હોત,તો મીણ લગાવવાથી તે $380$ Hz થી વધુ દૂર જત,જેથી બીટ આવૃત્તિ વધત.
જો $f_A = 384$ Hz હોત,તો મીણ લગાવવાથી તે $380$ Hz ની નજીક આવત,જેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $2$ Hz થાત.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની મૂળ આવૃત્તિ $384$ Hz હોવી જોઈએ.