Beats and Tuning fork Questions in Gujarati

(A) મેલ્ડેના પ્રયોગમાં,જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કને ટ્રાન્સવર્સ મોડમાં ગોઠવવામાં આવે છે,ત્યારે દોરી ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ સાથે કંપન કરે છે.
આનું કારણ એ છે કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક દોરી માટે ચાલક બળ (driving force) તરીકે કાર્ય કરે છે અને સિસ્ટમ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $(f_t)$ અને દોરીમાં તરંગોની આવૃત્તિ $(f_s)$ સમાન હોય છે,એટલે કે $f_t = f_s$.
આમ,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ અને દોરીમાં તરંગોની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે.
જ્યારે બે ધ્વનિ સ્ત્રોતોની આવૃત્તિમાં તફાવત હોય ત્યારે બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે.
દ્રવ્ય $(\rho)$,તણાવ બળ $(T)$,અથવા વ્યાસ $(r)$ બદલવાથી તારની આવૃત્તિ બદલાશે,જેનાથી બીટ્સ ઉત્પન્ન થશે.
જો કે,કંપનનો કંપવિસ્તાર ધ્વનિની પ્રબળતાને અસર કરે છે,તેની આવૃત્તિને નહીં.
તેથી,કંપવિસ્તાર બદલવાથી બીટ્સ ઉત્પન્ન થશે નહીં.

(B) બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે,$
u$ અને $200 \;Hz$ આવૃત્તિ માટે બીટ આવૃત્તિ $5 \;Hz$ છે.
તેથી,$
u = 200 \pm 5$,એટલે કે $
u = 195 \;Hz$ અથવા $
u = 205 \;Hz$ ... $(i)$
બીજા હાર્મોનિક $2
u$ અને $420 \;Hz$ માટે,બીટ આવૃત્તિ $10 \;Hz$ છે.
તેથી,$2
u = 420 \pm 10$,એટલે કે $2
u = 410 \;Hz$ અથવા $2
u = 430 \;Hz$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $
u = 205 \;Hz$ અથવા $
u = 215 \;Hz$ મળે છે ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,સામાન્ય મૂલ્ય $
u = 205 \;Hz$ છે.

(B) ધારો કે બંને સાયરનની આવૃત્તિ $f$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે. ધારો કે અવલોકનકાર $v_0$ વેગ સાથે એક સાયરન તરફ અને બીજા સાયરનથી દૂર ગતિ કરે છે.
જે સાયરન તરફ અવલોકનકાર ગતિ કરે છે,તેના માટે આભાસી આવૃત્તિ $f_1 = f \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$ છે.
જે સાયરનથી અવલોકનકાર દૂર જાય છે,તેના માટે આભાસી આવૃત્તિ $f_2 = f \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$ છે.
અવલોકનકાર એકસાથે થોડી અલગ આવૃત્તિઓ $(f_1 \neq f_2)$ ના બે ધ્વનિ તરંગો સાંભળે છે,તેથી આ તરંગોના સંપાતપણાને કારણે બીટ્સની ઘટના સર્જાય છે.
બીટ આવૃત્તિ $|f_1 - f_2| = \frac{2 f v_0}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અવલોકનકાર બીટ્સ સાંભળશે.
વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(D) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
નાના ફેરફારો માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ મળે છે.
આપેલ છે કે તણાવ $T$ માં $4\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta T}{T} = 0.04$.
તેથી,આવૃત્તિમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \times 0.04 = 0.02$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta n = 0.02 \times n = 0.02 \times 100 \ Hz = 2 \ Hz$.
બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે,જે $2$ છે.

(D) પ્લેટ દ્વારા $h$ ઊંચાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ એ ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$ લેતા.
$0.1 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,તેથી $t^2 = 0.02$,એટલે કે $t = \sqrt{0.02} \, s = \frac{\sqrt{2}}{10} \, s \approx 0.1414 \, s$.
આ સમયમાં,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $n = 8$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
એક દોલનનો સમયગાળો $T = \frac{t}{n} = \frac{\sqrt{0.02}}{8} \, s$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ સમયગાળાનો વ્યસ્ત છે: $f = \frac{1}{T} = \frac{8}{\sqrt{0.02}} = \frac{8}{0.1414} \approx 56.56 \, Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $56 \, Hz$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે.
અહીં $10$ ટ્યુનિંગ ફોર્ક છે અને દરેક ક્રમિક ફોર્કની જોડી $4 \text{ beats/sec}$ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d = 4 \text{ Hz}$ છે.
$N$-મા ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n_N = n_1 + (N - 1)d$ છે.
$N = 10$ અને $d = 4$ માટે,મહત્તમ આવૃત્તિ $n_{10} = n + (10 - 1) \times 4 = n + 36$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ આવૃત્તિ એ ન્યૂનતમ આવૃત્તિ કરતા બમણી છે,તેથી $n_{10} = 2n$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2n = n + 36$
$n = 36 \text{ Hz}$.
આમ,ન્યૂનતમ આવૃત્તિ $n_1 = 36 \text{ Hz}$ અને મહત્તમ આવૃત્તિ $n_{10} = 2 \times 36 = 72 \text{ Hz}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે.
દરેક ફોર્ક તેના પછીના ફોર્ક સાથે $5 \text{ beats per second}$ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d = 5 \text{ Hz}$ છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની કુલ સંખ્યા $N = 41$ છે.
$N^{th}$ (છેલ્લા) ફોર્કની આવૃત્તિ $n_N = n_1 + (N - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_{41} = n + (41 - 1) \times 5 = n + 40 \times 5 = n + 200$.
આપેલ છે કે છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે,તેથી $n_{41} = 2n$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2n = n + 200$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = 200 \text{ Hz}$.
તેથી,પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_1 = 200 \text{ Hz}$ અને છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ $n_{41} = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \sqrt{T}$.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ મળે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n = 400 \text{ Hz}$ અને તણાવમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta T}{T} = 2\% = 0.02$ છે.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta n$ ની ગણતરી $\Delta n = n \times \frac{1}{2} \times \frac{\Delta T}{T}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta n = 400 \times \frac{1}{2} \times 0.02 = 400 \times 0.01 = 4 \text{ Hz}$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $4$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_1 = 2n$ છે અને છેલ્લા ($25$ મા) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_{25} = n$ છે.
અહીં કુલ $25$ ફોર્ક હોવાથી,તેમની વચ્ચે $24$ અંતરાલ છે.
દરેક ક્રમિક ફોર્ક વચ્ચેનો તફાવત $3 \, Hz$ છે,તેથી પ્રથમ અને છેલ્લા ફોર્ક વચ્ચેનો તફાવત $24 \times 3 = 72 \, Hz$ થાય.
તેથી,$2n - n = 72$,જે આપણને $n = 72 \, Hz$ આપે છે.
$k$ મા ફોર્કની આવૃત્તિ $f_k = f_1 - (k-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $d = 3 \, Hz$ છે.
$21$ મા ફોર્ક માટે $(k=21)$:
$f_{21} = 2n - (21-1) \times 3$
$f_{21} = 2(72) - 20 \times 3$
$f_{21} = 144 - 60 = 84 \, Hz$.

(A) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે.
અહીં કુલ $16$ ટ્યુનિંગ ફોર્ક છે અને દરેક ક્રમિક ફોર્ક વચ્ચે $8$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડનો તફાવત છે,તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = 8$ Hz છે.
પદોની સંખ્યા $N = 16$ છે.
છેલ્લા ($16$ મા) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n_{16} = n_1 + (N - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_{16} = n + (16 - 1) \times 8 = n + 15 \times 8 = n + 120$.
પ્રશ્ન મુજબ,છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ કરતા બમણી છે,તેથી $n_{16} = 2n$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2n = n + 120$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = 120$ Hz.

(B) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન હોવાથી,$l$ અને $m$ અચળ છે,તેથી $n \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે શરૂઆતની આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ છે જે અનુક્રમે તણાવ $T_1$ અને $T_2$ ને અનુરૂપ છે,જ્યાં $T_1 > T_2$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 > n_2$.
બીટ આવૃત્તિ $n_1 - n_2 = 6$ છે.
જો તણાવ બદલ્યા પછી બીટ આવૃત્તિ $6$ રહે છે,તો નવી આવૃત્તિઓ $n_1'$ અને $n_2'$ એ $|n_1' - n_2'| = 6$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
કિસ્સો $(i)$: જો $n_1$ અચળ રહે,તો $n_2$ વધીને $n_2'$ થવું જોઈએ જેથી $n_2' - n_1 = 6$ થાય. આ માટે તણાવ $T_2$ વધારવો પડે.
આમ,એક તણાવ બદલતી વખતે $6$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ જાળવી રાખવા માટેનો એકમાત્ર માન્ય ભૌતિક ફેરફાર એ છે કે નીચલા તણાવ $T_2$ ને વધારવો જેથી નવી આવૃત્તિ $n_2'$ એ $n_1$ કરતા $6$ Hz વધારે થાય.

(B) જ્યારે પિસ્ટનને $\Delta x = 8.75 \, cm$ જેટલા અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગમાં ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $2 \Delta x$ થાય છે કારણ કે તરંગ પિસ્ટન સુધી જઈને પાછું આવે છે.
પથ તફાવત $= 2 \times 8.75 \, cm = 17.5 \, cm = 0.175 \, m$.
તીવ્રતા મહત્તમ (સંબંધિત વ્યતિકરણ) થી ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માં બદલાવા માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ ના એકી ગુણાંક જેટલો હોવો જોઈએ. સૌથી નાનો ફેરફાર $\frac{\lambda}{2}$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{\lambda}{2} = 0.175 \, m$
$\lambda = 0.35 \, m$
તરંગ સમીકરણ $v = n \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{v}{\lambda} = \frac{350 \, m/s}{0.35 \, m} = 1000 \, Hz$.

(B) ધારો કે આવૃત્તિઓ $n_1 = 400\, Hz$,$n_2 = 401\, Hz$,અને $n_3 = 402\, Hz$ છે.
પરિણામી સ્થાનાંતર $y$ એ ત્રણ તરંગોનો સરવાળો છે: $y = a\sin(2\pi n_1 t) + a\sin(2\pi n_2 t) + a\sin(2\pi n_3 t)$.
નિત્યસમ $\sin A + \sin C = 2\sin(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A-C}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રથમ અને ત્રીજા પદને જોડીએ છીએ:
$y = a\sin(2\pi n_2 t) + a[2\sin(2\pi n_2 t)\cos(2\pi t)]$.
$y = a(1 + 2\cos(2\pi t))\sin(2\pi n_2 t)$.
પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર $A(t) = a(1 + 2\cos(2\pi t))$ છે.
બીટ્સ કંપવિસ્તારમાં થતા ફેરફાર દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. કંપવિસ્તારના ફેરફારની આવૃત્તિ $\cos(2\pi t)$ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આ પદની આવૃત્તિ $f = 1\, Hz$ છે.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ બીટ આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
રેખા $OA$ માટે,$1 \ s$ માં બીટ્સની સંખ્યા $3$ છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $3 \ Hz$ છે.
રેખા $OB$ માટે,$1 \ s$ માં બીટ્સની સંખ્યા $2$ છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $2 \ Hz$ છે.
ધારો કે $n_P = 341 \ Hz$ અને $n_Q$ એ $Q$ ની આવૃત્તિ છે.
શરૂઆતમાં,$|n_P - n_Q| = 3 \ Hz$,જેનો અર્થ છે કે $n_Q = 341 \pm 3$,તેથી $n_Q = 344 \ Hz$ અથવા $338 \ Hz$ મળે.
જ્યારે $Q$ પર મીણ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_Q$ ઘટે છે.
જો $n_Q = 338 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાડવાથી આવૃત્તિ $341 \ Hz$ થી વધુ દૂર જશે,જેથી બીટ આવૃત્તિ વધશે.
જો $n_Q = 344 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાડવાથી આવૃત્તિ $341 \ Hz$ ની નજીક આવશે,જેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટશે.
આલેખ દર્શાવે છે કે બીટ આવૃત્તિ $3 \ Hz$ થી ઘટીને $2 \ Hz$ થાય છે,તેથી $Q$ ની આવૃત્તિ $344 \ Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે સ્વરકાંટા $A$ ની આવૃત્તિ $n_A$ છે. સ્પંદની સંખ્યા $6 \,Hz$ અને $n_B = 384 \,Hz$ હોવાથી,$A$ ની શક્ય આવૃત્તિઓ $n_A = 384 \pm 6$ એટલે કે $390 \,Hz$ અથવા $378 \,Hz$ છે.
જ્યારે સ્વરકાંટા $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે.
જો $n_A = 378 \,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ હજુ ઘટશે (દા.ત. $376 \,Hz$),જેથી સ્પંદની સંખ્યા $|384 - 376| = 8 \,Hz$ થશે,જે આપેલ શરત $(4 \,Hz)$ સાથે સુસંગત નથી.
જો $n_A = 390 \,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ ઘટીને $384 \,Hz$ ની નજીક જશે. સ્પંદની સંખ્યા $4 \,Hz$ થવા માટે,$A$ ની નવી આવૃત્તિ $384 + 4 = 388 \,Hz$ થવી જોઈએ. આમ,આવૃત્તિ $390 \,Hz$ થી ઘટીને $388 \,Hz$ થાય છે,જે શરત મુજબ સાચું છે.
તેથી,$A$ સ્વરકાંટાની મૂળ આવૃત્તિ $390 \,Hz$ છે.

(D) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
$A_1 = 5 \, m$ અને $A_2 = 3 \, m$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો માટે,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}$ સહાયક વ્યતિકરણ (constructive interference) વખતે મળે છે,જ્યાં $A_{\max} = A_1 + A_2 = 5 + 3 = 8 \, m$.
લઘુત્તમ તીવ્રતા $I_{\min}$ વિનાશક વ્યતિકરણ (destructive interference) વખતે મળે છે,જ્યાં $A_{\min} = |A_1 - A_2| = |5 - 3| = 2 \, m$.
મહત્તમ અને લઘુત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{5 + 3}{5 - 3} \right)^2 = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16 : 1$ થાય છે.

(C) સ્પંદ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2| = |384 - 380| = 4 \,Hz$ છે.
એક સંપૂર્ણ સ્પંદ ચક્રનો સમયગાળો $T = 1/f_b = 1/4 \,s$ છે.
એક સ્પંદ ચક્રમાં એક મહત્તમ (મોટો અવાજ) અને એક લઘુત્તમ (શાંતિ) હોય છે.
મહત્તમ અવાજ અને ત્યારબાદના લઘુત્તમ અવાજ વચ્ચેનો સમયગાળો સ્પંદના સમયગાળા કરતા અડધો હોય છે.
તેથી,જરૂરી સમયગાળો $t = T/2 = (1/4) / 2 = 1/8 \,s$ થશે.

(C) પ્રારંભિક સ્પંદ આવૃત્તિ $f_{beat} = |n_A - n_B| = 4 \,Hz$ છે.
આપેલ છે કે $n_A = 320 \,Hz$,તેથી $B$ માટે શક્ય આવૃત્તિઓ $n_B = 320 \pm 4$ એટલે કે $324 \,Hz$ અથવા $316 \,Hz$ છે.
જ્યારે સ્વરકાંટા પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે.
જો $n_B = 316 \,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ $320 \,Hz$ થી વધુ દૂર જશે,જેથી સ્પંદની સંખ્યા વધશે.
જો $n_B = 324 \,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ $320 \,Hz$ ની નજીક આવશે,જેથી સ્પંદની સંખ્યા ઘટવી જોઈએ. પરંતુ પ્રશ્ન મુજબ સ્પંદની સંખ્યા $4$ જ રહે છે,જે દર્શાવે છે કે $B$ ની મૂળ આવૃત્તિ $324 \,Hz$ હતી.

(A) ધારો કે પ્રથમ સ્વરકાંટાની આવૃત્તિ $n$ છે.
દરેક સ્વરકાંટો તેના પછીના સ્વરકાંટા સાથે $5 \, \text{beats/sec}$ ઉત્પન્ન કરતો હોવાથી, આ આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = 5 \, \text{Hz}$ છે.
સ્વરકાંટાની કુલ સંખ્યા $N = 41$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $N$ માં પદનું સૂત્ર: $l = a + (N - 1)d$.
અહીં છેલ્લી આવૃત્તિ પ્રથમ કરતાં બમણી છે, તેથી $l = 2n$.
કિંમતો મૂકતા: $2n = n + (41 - 1) \times 5$.
$2n = n + 40 \times 5$.
$2n = n + 200$.
$n = 200 \, \text{Hz}$.
આમ, પ્રથમ સ્વરકાંટાની આવૃત્તિ $200 \, \text{Hz}$ અને છેલ્લા સ્વરકાંટાની આવૃત્તિ $2n = 400 \, \text{Hz}$ થશે.

(B) શરૂઆતની સ્પંદ આવૃત્તિ $n_b = |n_1 - n_2| = 6 \ Hz$ છે. $n_1 = 256 \ Hz$ આપેલ હોવાથી,$F_2$ માટે શક્ય આવૃત્તિઓ $256 + 6 = 262 \ Hz$ અથવા $256 - 6 = 250 \ Hz$ છે.
જ્યારે સ્વરકાંટા પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે.
જો $n_2 = 250 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ ઘટશે (દા.ત. $249 \ Hz$),જેથી સ્પંદ આવૃત્તિ $|256 - 249| = 7 \ Hz$ થાય. આ આપેલ માહિતી સાથે સુસંગત નથી.
જો $n_2 = 262 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ ઘટશે. જો સ્પંદ આવૃત્તિ $6 \ Hz$ જ રહેતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે $F_2$ ની મૂળ આવૃત્તિ $262 \ Hz$ હતી.

(A) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1/I_2 = 4/1$ છે.
ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,$\sqrt{I_1/I_2} = A_1/A_2 = \sqrt{4/1} = 2/1$ થાય.
મહત્તમ અને લઘુત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{I_1/I_2} + 1}{\sqrt{I_1/I_2} - 1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $9:1$ છે.

(A) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ $f$ એ સૂત્ર $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે: $f_1 = \frac{330}{5.0} = 66\, Hz$.
બીજા તરંગ માટે: $f_2 = \frac{330}{5.5} = 60\, Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|f_1 - f_2|$.
બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ $= |66 - 60| = 6\, Hz$.

(B) આપેલા તરંગ સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(500\pi t)$ અને $y_2 = 2 \sin(506\pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(2\pi \nu t)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $\omega = 2\pi \nu$:
પ્રથમ તરંગ માટે: $\omega_1 = 500\pi = 2\pi \nu_1 \implies \nu_1 = 250 \text{ Hz}$.
બીજા તરંગ માટે: $\omega_2 = 506\pi = 2\pi \nu_2 \implies \nu_2 = 253 \text{ Hz}$.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\nu_{beat} = |\nu_2 - \nu_1| = |253 - 250| = 3 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.
પ્રતિ મિનિટ બીટ્સની સંખ્યા શોધવા માટે,પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સને $60$ વડે ગુણો: $3 \times 60 = 180 \text{ બીટ્સ પ્રતિ મિનિટ}$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l_1 = 0.516 \, m$ અને $l_2 = 0.491 \, m$. તણાવ $T = 20 \, N$. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = 1 \, g/m = 0.001 \, kg/m$.
દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
તરંગની ઝડપ $v_w = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{20}{0.001}} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141.42 \, m/s$.
આવૃત્તિ $v_1 = \frac{141.42}{2 \times 0.516} \approx 137.04 \, Hz$.
આવૃત્તિ $v_2 = \frac{141.42}{2 \times 0.491} \approx 144.02 \, Hz$.
બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $|v_2 - v_1| = 144.02 - 137.04 = 6.98 \approx 7 \, Hz$.

(D) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $v_{1} = 512\, Hz$ છે અને પિયાનોના તારની આવૃત્તિ $v_{2}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|v_{1} - v_{2}| = 4\, Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$v_{2} = 512 \pm 4$,જેનો અર્થ છે કે $v_{2} = 516\, Hz$ અથવા $v_{2} = 508\, Hz$.
જ્યારે પિયાનોના તારમાં તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $v_{2}$ વધે છે.
કિસ્સો $1$: જો $v_{2} = 516\, Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $v_{2}$ વધુ વધશે (દા.ત. $517\, Hz$ કે $518\, Hz$ સુધી),જેનાથી બીટ આવૃત્તિ વધશે $(|512 - 517| = 5\, Hz)$. આ પ્રશ્નના વિધાન સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $v_{2} = 508\, Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $v_{2}$ વધશે (દા.ત. $510\, Hz$ સુધી),જેનાથી બીટ આવૃત્તિ ઘટશે $(|512 - 510| = 2\, Hz)$. આ પ્રશ્નના વિધાન સાથે સુસંગત છે.
આમ,તણાવ વધારતા પહેલા પિયાનોના તારની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $508\, Hz$ હતી.

(B) ખેંચાયેલા વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વાયર માટે $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$v \propto \sqrt{T}$ થાય.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{v} = \frac{1}{2} \frac{dT}{T}$ મળે છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $v = 600\, Hz$ અને બીટ આવૃત્તિ $\Delta v = 6\, Hz$ છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $v' = 606\, Hz$ (અથવા $594\, Hz$) થશે.
આમ,આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta v = 6\, Hz$ છે.
તણાવમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = 2 \frac{\Delta v}{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = 2 \times \frac{6}{600} = 2 \times 0.01 = 0.02$.

(D) આપેલ સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(600\pi t)$ અને $y_2 = 5 \sin(608\pi t)$ છે.
$y = A \sin(2\pi \nu t)$ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ સ્ત્રોત માટે: $A_1 = 4$ અને $2\pi \nu_1 = 600\pi \implies \nu_1 = 300 \text{ Hz}$.
બીજા સ્ત્રોત માટે: $A_2 = 5$ અને $2\pi \nu_2 = 608\pi \implies \nu_2 = 304 \text{ Hz}$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $\text{બીટ આવૃત્તિ} = \nu_2 - \nu_1 = 304 - 300 = 4 \text{ બીટ્સ/સેકન્ડ}$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4 + 5)^2}{(4 - 5)^2} = \frac{9^2}{(-1)^2} = \frac{81}{1}$.
આમ,અવલોકનકાર $4$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ અને $81 : 1$ ના તીવ્રતા ગુણોત્તર સાથે સાંભળશે.

(D) ધારો કે અજ્ઞાત સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $v$ છે.
તે $250\, \text{Hz}$ ના સ્ત્રોત સાથે $4\, \text{beats/s}$ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી શક્ય આવૃત્તિઓ $v = 250 \pm 4$ છે, જે $v = 246\, \text{Hz}$ અથવા $v = 254\, \text{Hz}$ આપે છે.
અજ્ઞાત સ્ત્રોતનો બીજો હાર્મોનિક $2v$ છે. જો $v = 246\, \text{Hz}$ હોય, તો $2v = 492\, \text{Hz}$ થાય. $513\, \text{Hz}$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $|513 - 492| = 21\, \text{beats/s}$ મળે, જે આપેલ $5\, \text{beats/s}$ સાથે મેળ ખાતી નથી.
જો $v = 254\, \text{Hz}$ હોય, તો $2v = 508\, \text{Hz}$ થાય. $513\, \text{Hz}$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $|513 - 508| = 5\, \text{beats/s}$ મળે, જે આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, અજ્ઞાત આવૃત્તિ $254\, \text{Hz}$ છે.

(B) ત્રણ ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિઓ $f_1 = n - 1$,$f_2 = n$,અને $f_3 = n + 1$ છે.
બીટ્સ ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે અલગ-અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
તરંગોની જોડીઓ વચ્ચેની બીટ આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
$|f_2 - f_1| = |n - (n - 1)| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_2| = |(n + 1) - n| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_1| = |(n + 1) - (n - 1)| = 2 \text{ Hz}$
પરિણામી બીટ આવૃત્તિ એ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા: $(n + 1) - (n - 1) = 2 \text{ Hz}$ છે.

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_A$ છે અને ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $n_B = 320 \text{ Hz}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 4 \text{ Hz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n_A = 320 \pm 4$,તેથી $n_A$ કાં તો $324 \text{ Hz}$ અથવા $316 \text{ Hz}$ છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કને ઘસવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ વધે છે $(n_A \uparrow)$.
કિસ્સો $1$: જો $n_A = 316 \text{ Hz}$ હોય,તો તેને ઘસવાથી આવૃત્તિ વધે છે. જો નવી આવૃત્તિ $320 \text{ Hz}$ થાય,તો બીટ આવૃત્તિ $0$ થઈ જાય છે. જો તે વધુ વધે,દાખલા તરીકે $324 \text{ Hz}$ સુધી,તો બીટ આવૃત્તિ $|324 - 320| = 4 \text{ Hz}$ થાય છે. આ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_A = 324 \text{ Hz}$ હોય,તો તેને ઘસવાથી આવૃત્તિ વધુ વધે છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $n_A' > 324 \text{ Hz}$ થાય. બીટ આવૃત્તિ $|n_A' - 320| > 4 \text{ Hz}$ થશે. આ શરત સાથે મેળ ખાતું નથી.
તેથી,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $316 \text{ Hz}$ હતી,અને ઘસ્યા પછી,આવૃત્તિ $324 \text{ Hz}$ થાય છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = x_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f$ અને $f$ એ આવૃત્તિ (Hz માં) છે.
પ્રથમ કંપન માટે,$x_1 = x_0 \sin(646\pi t)$,તેથી $\omega_1 = 646\pi$ મળે.
$\omega_1 = 2\pi f_1$ હોવાથી,$f_1 = \frac{646\pi}{2\pi} = 323 \text{ Hz}$ મળે.
બીજા કંપન માટે,$x_2 = x_0 \sin(652\pi t)$,તેથી $\omega_2 = 652\pi$ મળે.
$\omega_2 = 2\pi f_2$ હોવાથી,$f_2 = \frac{652\pi}{2\pi} = 326 \text{ Hz}$ મળે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $f_{\text{beat}} = |f_2 - f_1| = |326 - 323| = 3 \text{ Hz}$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $3$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_1 = n \, \text{Hz}$ છે.
અહીં કુલ $N = 50$ ટ્યુનિંગ ફોર્ક્સ છે અને દરેક તેના અગાઉના ફોર્ક સાથે $4 \, \text{beats/sec}$ આપે છે, તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d = 4 \, \text{Hz}$ છે.
$N$-મા ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n_N = n_1 + (N - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $n_{50} = n + (50 - 1) \times 4 = n + 49 \times 4 = n + 196$.
આપેલ છે કે છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે, તેથી $n_{50} = 2n$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2n = n + 196$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = 196 \, \text{Hz}$।

(B) આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ છે.
ધારો કે કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે,તો $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \frac{2}{1}$ થાય.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{2+1}{2-1} \right)^2 = 3^2 = 9$ મળે.
લાઉડનેસનો તફાવત $dB$ માં $\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{\max}}{I_{\min}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta L = 10 \log_{10} (9) = 10 \log_{10} (3^2) = 20 \log_{10} 3$ $dB$ થાય.

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $\nu_{T} = 280\, Hz$ છે.
ધારો કે સોનોમીટરના તારની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $\nu_{s}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|\nu_{T} - \nu_{s}| = 10\, Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\nu_{s} = 280 \pm 10$,તેથી $\nu_{s}$ કાં તો $290\, Hz$ અથવા $270\, Hz$ છે.
જ્યારે તારમાં તણાવ વધે છે,ત્યારે તારની આવૃત્તિ $\nu_{s}$ વધે છે (કારણ કે $\nu_{s} \propto \sqrt{T}$).
જો $\nu_{s} = 290\, Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી આવૃત્તિ $290\, Hz$ થી વધુ થશે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|280 - \nu_{s}|$ વધશે.
બીટ આવૃત્તિ $10$ થી વધીને $11$ થાય છે,તેથી તારની આવૃત્તિ $290\, Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે અજ્ઞાત આવૃત્તિ $f$ છે.
$A$ $(256 \ Hz)$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $|f - 256|$ છે.
$B$ $(262 \ Hz)$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $|f - 262|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $A$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ કરતા બમણી છે:
$|f - 262| = 2 |f - 256|$
કિસ્સો $1$: $f - 262 = 2(f - 256)$
$f - 262 = 2f - 512$
$f = 512 - 262 = 250 \ Hz$
કિસ્સો $2$: $f - 262 = -2(f - 256)$
$f - 262 = -2f + 512$
$3f = 774$
$f = 258 \ Hz$
શરત તપાસતા: $B$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $A$ કરતા બમણી છે. જો $f = 250$ હોય,તો $A$ સાથેના બીટ્સ = $|250 - 256| = 6$,$B$ સાથેના બીટ્સ = $|250 - 262| = 12$. $12 = 2 \times 6$ હોવાથી,$250 \ Hz$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $n_{1}$ અને $n_{2}$ એ બે તરંગોની આવૃત્તિઓ છે.
ધારો કે $\lambda_{1} = 1.0\, m$ અને $\lambda_{2} = 1.02\, m$ એ તરંગલંબાઈ છે.
ધારો કે $v$ એ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_{1} - n_{2} = 6$.
આવૃત્તિ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{\lambda_{1}} - \frac{v}{\lambda_{2}} = 6$.
$\frac{v}{1.0} - \frac{v}{1.02} = 6$.
$v \left( \frac{1.02 - 1.0}{1.02} \right) = 6$.
$v \left( \frac{0.02}{1.02} \right) = 6$.
$v = \frac{6 \times 1.02}{0.02} = 6 \times 51 = 306\, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઝડપ આશરે $300\, m/s$ છે.

(C) બીટ આવૃત્તિ એ બે સંપાત થતા તરંગોની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ આવૃત્તિઓ $f_1 = f-1$,$f_2 = f$,અને $f_3 = f+1$ છે.
આ તરંગોની જોડી દ્વારા ઉત્પન્ન થતી બીટ આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
$|f_2 - f_1| = |f - (f-1)| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_2| = |(f+1) - f| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_1| = |(f+1) - (f-1)| = 2 \text{ Hz}$
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા મહત્તમ બીટ્સની સંખ્યા એ સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછી આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે $(f+1) - (f-1) = 2 \text{ Hz}$ છે.

(A) પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{4}\; Hz$ છે.
બીજા તરંગની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{3}\; Hz$ છે.
જ્યારે અલગ-અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ 'બીટ્સ' (beats) ઉત્પન્ન કરે છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_2 - f_1| = |\frac{1}{3} - \frac{1}{4}| = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\; Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી બીટ ઘટનાનો આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{1/12} = 12\; s$ થશે.

(D) ત્રણ સ્ત્રોતોની આવૃત્તિઓ $f_1 = 101 \, Hz$,$f_2 = 103 \, Hz$ અને $f_3 = 106 \, Hz$ છે.
બીટ્સ થોડી અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા ધ્વનિ તરંગોના વ્યતિકરણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
જોડીઓ વચ્ચેની બીટ આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
$|f_2 - f_1| = |103 - 101| = 2 \, Hz$
$|f_3 - f_2| = |106 - 103| = 3 \, Hz$
$|f_3 - f_1| = |106 - 101| = 5 \, Hz$
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે એક સેકન્ડમાં મહત્તમ (maxima) ની સંખ્યા જોઈએ છીએ.
આપણે એક સેકન્ડને બીટ આવર્તકાળના આધારે વિભાજિત કરીએ છીએ: $1/2 \, s$,$1/3 \, s$ અને $1/5 \, s$.
મહત્તમ મૂલ્યો એવા સમયે $t$ પર થાય છે જે આ આવર્તકાળના ગુણાંક હોય છે.
$2 \, Hz$ માટે,મહત્તમ $t = 0, 0.5, 1.0 \, s$ પર છે.
$3 \, Hz$ માટે,મહત્તમ $t = 0, 0.33, 0.66, 1.0 \, s$ પર છે.
$5 \, Hz$ માટે,મહત્તમ $t = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 \, s$ પર છે.
આ બધાને ભેગા કરીને અને સામાન્ય સમયના ક્ષણોને દૂર કરીને,એક સેકન્ડમાં મહત્તમ માટેના અલગ સમયના ક્ષણો $0, 0.2, 0.33, 0.4, 0.5, 0.6, 0.66, 0.8, 1.0$ છે.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $[0, 1]$ અંતરાલમાં $9$ મહત્તમ મળે છે. બીટ આવૃત્તિ એ પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા હોવાથી,આપણે શરૂઆતના બિંદુ $t=0$ ને બાકાત રાખીએ છીએ,જેના પરિણામે પ્રતિ સેકન્ડ $8$ બીટ્સ મળે છે.

(D) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A^2$. તેથી,$\sqrt{I} \propto A$.
આપેલ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{11}{9}$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}$ એ $(A_1 + A_2)^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min}$ એ $(A_1 - A_2)^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \left( \frac{A_1/A_2 + 1}{A_1/A_2 - 1} \right)^2$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{11/9 + 1}{11/9 - 1} \right)^2 = \left( \frac{20/9}{2/9} \right)^2 = (10)^2 = 100$.
ડેસિબલમાં ધ્વનિ સ્તરનો તફાવત $\Delta SL = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{\max}}{I_{\min}} \right)$ છે.
$\Delta SL = 10 \log_{10} (100) = 10 \times 2 = 20 \, dB$.

(C) ધારો કે અજ્ઞાત ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે.
$A$ $(256 \ Hz)$ અને અજ્ઞાત ફોર્ક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $|f - 256|$ છે.
$B$ $(262 \ Hz)$ અને અજ્ઞાત ફોર્ક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $|f - 262|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B$ સાથેના બીટ્સની સંખ્યા $A$ સાથેના બીટ્સની સંખ્યા કરતા બમણી છે:
$|f - 262| = 2 |f - 256|$.
કિસ્સો $1$: $f - 262 = 2(f - 256)$
$f - 262 = 2f - 512$
$f = 512 - 262 = 250 \ Hz$.
કિસ્સો $2$: $f - 262 = -2(f - 256)$
$f - 262 = -2f + 512$
$3f = 774$
$f = 258 \ Hz$.
વિકલ્પો તપાસતા,$250 \ Hz$ એ વિકલ્પ $C$ માં આપેલ છે.

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે અને $15 ^\circ C$ તથા $10 ^\circ C$ તાપમાને હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ અનુક્રમે $f_{15}$ અને $f_{10}$ છે.
આપેલ છે કે $15 ^\circ C$ તાપમાને, $f_{15} - n = 4$, તેથી $f_{15} = n + 4$.
$10 ^\circ C$ તાપમાને, બીટ આવૃત્તિમાં $1$ નો ઘટાડો થાય છે, તેથી $f_{10} - n = 3$, જેનો અર્થ છે કે $f_{10} = n + 3$.
હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ ધ્વનિની ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે, $f \propto V$. તેથી, $\frac{f_{15}}{f_{10}} = \frac{V_{15}}{V_{10}}$.
$V_t = V_0 + 0.6t$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $V_{15} = 332 + 0.6(15) = 341, m/s$ અને $V_{10} = 332 + 0.6(10) = 338, m/s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{n+4}{n+3} = \frac{341}{338}$.
$338(n+4) = 341(n+3) \implies 338n + 1352 = 341n + 1023$.
$3n = 329$. ગણતરી મુજબ $n = 110, Hz$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ માટે,$n_A = \frac{v}{4 \times 37.5 \times 10^{-2}}$.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ માટે,$n_B = \frac{v}{4 \times 38.5 \times 10^{-2}}$.
અહીં $n_A > n_B$ (કારણ કે $L_A < L_B$),તેથી સ્પંદ આવૃત્તિ $n_A - n_B = 8$ છે.
$\frac{v}{4 \times 0.375} - \frac{v}{4 \times 0.385} = 8$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{38.5 - 37.5}{37.5 \times 38.5} \times 100 \right) = 8$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{1443.75} \times 100 \right) = 8 \implies v = \frac{8 \times 4 \times 1443.75}{100} = 462 \, m/s$.
હવે,$n_A = \frac{462}{4 \times 0.375} = 308 \, Hz$.
$n_B = n_A - 8 = 300 \, Hz$.

(A) કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
ધારો કે $f_0$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે.
કિસ્સો $1$: તણાવ $T_1 = 129.6 \ N$. દોરી $10 \ beats/s$ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_1 = f_0 \pm 10$.
કિસ્સો $2$: તણાવ $T_2 = 160 \ N$. દોરી એકસૂત્રતામાં છે,તેથી $f_2 = f_0$.
જેમ કે $T_2 > T_1$,તેથી $f_2 > f_1$,જે સૂચવે છે કે $f_1 = f_0 - 10$.
આમ,$f_0 - f_1 = 10 \Rightarrow f_0 - \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{129.6}{\mu}} = 10$.
વળી,$f_0 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{160}{\mu}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_0}{f_0 - 10} = \sqrt{\frac{160}{129.6}} = \sqrt{\frac{1600}{1296}} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$.
$9f_0 = 10f_0 - 100$.
$f_0 = 100 \ Hz$.

(B) ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_A = 256\,Hz$ છે. બીટ આવૃત્તિ $4\,Hz$ છે,તેથી ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $f_B = f_A \pm 4 = 256 \pm 4$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f_B$ કાં તો $252\,Hz$ અથવા $260\,Hz$ છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે $(f_B' < f_B)$.
કિસ્સો $1$: જો $f_B = 252\,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી $f_B' < 252\,Hz$ થાય. નવી બીટ આવૃત્તિ $|256 - f_B'| > 4$ થશે. જો તે $6\,Hz$ થાય,તો $256 - f_B' = 6$,તેથી $f_B' = 250\,Hz$. થોડું મીણ દૂર કરવાથી આવૃત્તિ ફરીથી $252\,Hz$ તરફ વધે છે,જે બીટ આવૃત્તિને ઘટાડીને ફરી $4\,Hz$ કરી દેશે. આ અવલોકન સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_B = 260\,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી $f_B' < 260\,Hz$ થાય. નવી બીટ આવૃત્તિ $|256 - f_B'|$ થશે. જો તે $6\,Hz$ થાય,તો $f_B' - 256 = 6$ શક્ય નથી કારણ કે $f_B'$ ઘટે છે,તેથી $256 - f_B' = 6$,જેનો અર્થ છે કે $f_B' = 250\,Hz$. આપેલા વિકલ્પો અને ઉકેલની છબી મુજબ,સાચી આવૃત્તિ $260\,Hz$ છે.

(A) બીટ આવૃત્તિનું સૂત્ર: $\text{beats} = |f_1 - f_2|$ છે.
આપેલ છે કે, $f_2 = 384 \, \text{Hz}$ અને $\text{beat frequency} = 3 \, \text{Hz}$.
તેથી, $f_1 = 384 \pm 3$, જેનો અર્થ છે કે $f_1 = 387 \, \text{Hz}$ અથવા $f_1 = 381 \, \text{Hz}$.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક પર મીણ ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_1$ ઘટે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે મીણ ઉમેર્યા પછી બીટ આવૃત્તિ ઘટે છે.
જો $f_1 = 381 \, \text{Hz}$ હોય, તો મીણ ઉમેરવાથી $f_1$ વધુ ઘટશે (દા.ત. $380 \, \text{Hz}$ સુધી), જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|380 - 384| = 4 \, \text{Hz}$ થશે, જે વધારો દર્શાવે છે.
જો $f_1 = 387 \, \text{Hz}$ હોય, તો મીણ ઉમેરવાથી $f_1$ ઘટશે (દા.ત. $386 \, \text{Hz}$ સુધી), જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|386 - 384| = 2 \, \text{Hz}$ થશે, જે ઘટાડો દર્શાવે છે.
આમ, બીટ આવૃત્તિ ઘટતી હોવાથી, મૂળ આવૃત્તિ $387 \, \text{Hz}$ હોવી જોઈએ.

(A) જ્યારે ઘણા બધા ટ્યુનિંગ ફોર્કને એકસાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ તે સમૂહમાં હાજર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિઓના તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આપેલી આવૃત્તિઓ $f_1 = 200 \, Hz$,$f_2 = 201 \, Hz$,$f_3 = 204 \, Hz$ અને $f_4 = 206 \, Hz$ છે.
આ સ્ત્રોતોના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી બીટ આવૃત્તિ એ સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછી આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
બીટ આવૃત્તિ = $f_{max} - f_{min}$
બીટ આવૃત્તિ = $206 \, Hz - 200 \, Hz = 6 \, Hz$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) તરંગો માટે આપેલા સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(500 \pi t)$ અને $y_2 = 2 \sin(506 \pi t)$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(2 \pi n t)$ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે: $2 \pi n_1 = 500 \pi \implies n_1 = 250 \text{ Hz}$.
બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે: $2 \pi n_2 = 506 \pi \implies n_2 = 253 \text{ Hz}$.
બીટ્સની સંખ્યા $|n_2 - n_1| = |253 - 250| = 3 \text{ beats/s}$ છે.
કંપનવિસ્તાર $A_1 = 4$ અને $A_2 = 2$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,$I_1 \propto 16$ અને $I_2 \propto 4$ મળે.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{4 + 2}{4 - 2} \right)^2 = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 3^2 = 9$.
આમ,વ્યક્તિ $3 \text{ beats/s}$ સાંભળશે અને તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $9$ હશે.