Beats and Tuning fork Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે અને સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f$ છે।
બીટ આવૃત્તિ $5\, \text{Hz}$ હોવાથી, વાયરની આવૃત્તિ કાં તો $(n + 5)$ અથવા $(n - 5)$ હશે।
સોનોમીટર વાયર માટે, આવૃત્તિ $f \propto \frac{1}{l}$, જેનો અર્થ છે કે $f_1 l_1 = f_2 l_2$.
$l_1 = 0.95\, \text{m}$ અને $l_2 = 1.0\, \text{m}$ હોવાથી, $0.95\, \text{m}$ પરની આવૃત્તિ $1.0\, \text{m}$ કરતા વધારે હશે।
તેથી, $(n + 5) \times 0.95 = (n - 5) \times 1.0$.
$0.95n + 4.75 = n - 5$.
$0.05n = 9.75$.
$n = \frac{9.75}{0.05} = 195\, \text{Hz}$.

(D) આપેલ છે: તાર $A$ ની આવૃત્તિ,$n_A = 425 \, Hz$. પ્રારંભિક બીટ આવૃત્તિ $x_1 = 5 \, Hz$.
બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 5 \, Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $n_B$ કાં તો $420 \, Hz$ અથવા $430 \, Hz$ હોઈ શકે છે.
જ્યારે તાર $B$ નું તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_B$ વધે છે કારણ કે $n \propto \sqrt{T}$.
કિસ્સો $1$: જો $n_B = 420 \, Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_B$ વધે છે. જેમ $n_B$ એ $n_A$ $(425 \, Hz)$ ની નજીક જાય છે,તેમ બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B|$ ઘટે છે. આ અવલોકન સાથે મેળ ખાય છે કે બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $3 \, Hz$ થઈ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_B = 430 \, Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_B$ એ $n_A$ $(425 \, Hz)$ થી વધુ દૂર જાય છે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ વધશે. આ અવલોકનથી વિપરીત છે.
તેથી,$B$ ની મૂળ આવૃત્તિ $420 \, Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિ $f_1$ અને $f_2$ ધરાવતા બે તરંગોનું સુપરપોઝિશન થાય છે,ત્યારે તે બીટ્સ (beats) ઉત્પન્ન કરે છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = |f_1 - f_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $f_1 = 9\,Hz$ અને $f_2 = 11\,Hz$ આપેલ છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = |11 - 9| = 2\,Hz$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિ સેકન્ડ $2$ બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે,અથવા દર $0.5\,s$ માં એક બીટ મળે છે.
પરિણામી તરંગ ભાતનું એન્વલપ કંપવિસ્તારમાં થતા ફેરફારને દર્શાવે છે,જે પ્રતિ સેકન્ડ બે વાર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ થાય છે.
આપેલ આકૃતિઓ જોતા,જે તરંગ ભાત $1\,s$ ના અંતરાલમાં કંપવિસ્તાર મોડ્યુલેશનના બે સંપૂર્ણ ચક્ર (અથવા એન્વલપનું એક ચક્ર) દર્શાવે છે,તે $2\,Hz$ ની બીટ આવૃત્તિને અનુરૂપ છે.
આકૃતિ $C$ એ આપેલ સમય અંતરાલ દરમિયાન $2\,Hz$ ની બીટ આવૃત્તિ સાથેના બે તરંગોના સુપરપોઝિશનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) બીટ આવૃત્તિ $f_b = |n_1 - n_2| = |384 - 380| = 4 \, Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ બીટ ચક્રનો સમયગાળો $T = 1/f_b = 1/4 \, s$ છે.
એક સંપૂર્ણ બીટ ચક્રમાં એક મહત્તમ (મોટો અવાજ) અને એક લઘુત્તમ (ધીમો અવાજ) હોય છે.
મહત્તમ અને ત્યારબાદના લઘુત્તમ અવાજ વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ સમયગાળાના અડધા જેટલો હોય છે.
તેથી,જરૂરી સમય $t = T/2 = (1/4) / 2 = 1/8 \, s$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_1 = a$ છે.
આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = 4 \, Hz$ છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની કુલ સંખ્યા $n = 24$ છે.
$n^{th}$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = a + (n - 1)d$ છે.
$24^{th}$ ફોર્ક માટે: $f_{24} = a + (24 - 1)4 = a + 92$.
પ્રશ્ન મુજબ,છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે: $f_{24} = 2f_1$.
કિંમતો મૂકતા: $a + 92 = 2a$,જે આપણને $a = 92 \, Hz$ આપે છે.
$5^{th}$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_5 = a + (5 - 1)d$ થશે.
$f_5 = 92 + 4(4) = 92 + 16 = 108 \, Hz$.

(B) સેકન્ડ દીઠ બીટ્સની સંખ્યા (બીટ આવૃત્તિ) $f_{beat} = \frac{9 \, \text{beats}}{3 \, \text{s}} = 3 \, \text{Hz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે તરંગોની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
સંબંધ $f = \frac{v}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં $v = 300 \, m \, s^{-1}$ અને $\lambda_1 = 2 \, m$ છે, પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{300}{2} = 150 \, \text{Hz}$ મળે છે.
$f_{beat} = |f_1 - f_2|$ હોવાથી, આપણને $3 = |150 - f_2|$ મળે છે.
આનાથી $f_2$ માટે બે શક્યતાઓ મળે છે: $f_2 = 150 - 3 = 147 \, \text{Hz}$ અથવા $f_2 = 150 + 3 = 153 \, \text{Hz}$.
$\lambda_2 = \frac{v}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરીને અનુરૂપ તરંગલંબાઈની ગણતરી કરતા:
કિસ્સો $1$: $\lambda_2 = \frac{300}{147} \approx 2.0408 \, m$.
કિસ્સો $2$: $\lambda_2 = \frac{300}{153} \approx 1.9607 \, m$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચો જવાબ $2.04 \, m$ છે.

(A) સમાન માધ્યમમાં,ધ્વનિની ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
ઝડપ,આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f\lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{v}{\lambda}$.
ધારો કે $f_1$ અને $f_2$ એ બે તરંગોની આવૃત્તિઓ છે. તેથી $f_1 = \frac{v}{\lambda_1}$ અને $f_2 = \frac{v}{\lambda_2}$.
અહીં $\lambda_2 > \lambda_1$ હોવાથી,$f_1 > f_2$ થશે.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $n = f_1 - f_2$.
$f_1$ અને $f_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{v}{\lambda_1} - \frac{v}{\lambda_2}$
$n = v \left( \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2} \right)$
$v$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$v = \frac{n\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(C) દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{\ell}$ થાય.
વિકલન કરતા,$\frac{\Delta n}{n} = -\frac{\Delta \ell}{\ell}$ મળે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $2 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta \ell}{\ell} = -0.02$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta n}{n} = -(-0.02) = 0.02$.
આનો અર્થ એ છે કે આવૃત્તિમાં $2 \%$ નો વધારો થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = n_1 + \Delta n = n_1 + 0.02 \times n_1 = 1.02 \times 392$ થાય.
$n_2 = 399.84 \, Hz$.
બીટ્સની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|n_2 - n_1| = |399.84 - 392| = 7.84 \, Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,બીટ્સની સંખ્યા $8$ મળે છે.

(B) જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર અને થોડી અલગ આવૃત્તિઓ $v_1$ અને $v_2$ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે,ત્યારે પરિણામી તરંગની સરેરાશ આવૃત્તિ $\frac{v_1 + v_2}{2}$ જેટલી હોય છે.
આ પરિણામી તરંગ 'બીટ્સ' (beats) તરીકે ઓળખાતી ઘટના દર્શાવે છે,જેમાં ધ્વનિની તીવ્રતા $|v_1 - v_2|$ જેટલી બીટ આવૃત્તિ પર વધઘટ થાય છે.
તેથી,સંભળાતા ધ્વનિની આવૃત્તિ એ બંને સ્ત્રોતોની સરેરાશ આવૃત્તિ છે.

(D) ધારો કે ગિટારના તારની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f$ છે. બીટ આવૃત્તિ $|f - 256| = 5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $f = 256 \pm 5$,તેથી $f = 261\,Hz$ અથવા $f = 251\,Hz$ મળે.
જ્યારે તારમાં તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તારની આવૃત્તિ $f$ વધે છે $(f \propto \sqrt{T})$.
કિસ્સો $1$: જો $f = 261\,Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $f > 261\,Hz$ થશે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $|f - 256|$ એ $5$ થી વધી જશે.
કિસ્સો $2$: જો $f = 251\,Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $f$ એ $256\,Hz$ ની નજીક જશે. નવી બીટ આવૃત્તિ $|f' - 256| = 2$ છે. કારણ કે $f' > 251$,તેથી $f'$ એ $254\,Hz$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $256 - 254 = 2$).
આમ,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $251\,Hz$ હતી.

(D) જ્યારે લગભગ સમાન આવૃત્તિઓ $v_1$ અને $v_2$ ધરાવતા બે તરંગો એક બિંદુએ એકસાથે પહોંચે છે,ત્યારે બીટ્સ (beats) ઉત્પન્ન થાય છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $v_{\text{beat}} = |v_1 - v_2|$.
ક્રમિક મહત્તમ મૂલ્યો (maxima) વચ્ચેનો સમયગાળો (બીટનો સમયગાળો) એ બીટ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે.
તેથી,સમયગાળો $T = \frac{1}{v_{\text{beat}}} = \frac{1}{|v_1 - v_2|}$ થાય છે.

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્ક બે પ્રૉન્ગ્સનું બનેલું હોય છે જે ધ્રુજારી દરમિયાન વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
જ્યારે એક પ્રૉન્ગ બહારની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે બીજો પ્રૉન્ગ પણ બહારની તરફ ગતિ કરે છે,પરંતુ ફોર્કના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં તેમનું સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,કોઈપણ ક્ષણે,એક પ્રૉન્ગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સંઘનન (compression) બીજા પ્રૉન્ગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિઘનન (rarefaction) સાથે હોય છે.
તેથી,બંને પ્રૉન્ગ્સની ધ્રુજારીઓ વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો કળા તફાવત $180^o$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n \text{ Hz}$ છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કને આવૃત્તિના વધતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવ્યા હોવાથી અને ક્રમિક ફોર્ક વચ્ચેની બીટ આવૃત્તિ $4 \text{ Hz}$ હોવાથી,આ આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની કુલ સંખ્યા $N = 56$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 4 \text{ Hz}$ છે.
$N^{th}$ ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_N = n + (N - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$f_{56} = n + (56 - 1) \times 4 = n + 55 \times 4 = n + 220$.
પ્રશ્ન મુજબ,છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતાં બમણી છે,એટલે કે $f_{56} = 2n$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $n + 220 = 2n$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = 220 \text{ Hz}$.

(D) તાર $A$ ની આવૃત્તિ $f_A = 324 \ Hz$ છે.
ધારો કે તાર $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે.
સ્પંદન આવૃત્તિ $n = |f_A - f_B| = 6 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f_B = 324 \pm 6$,તેથી $f_B = 330 \ Hz$ અથવા $318 \ Hz$ મળે.
તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે તાર $A$ માં તણાવ $T$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે.
જો $f_B = 330 \ Hz$ હોય,તો શરૂઆતમાં $f_B - f_A = 330 - 324 = 6 \ Hz$ થાય. જેમ $f_A$ ઘટે છે,તેમ તફાવત $(f_B - f_A)$ વધે છે,તેથી સ્પંદન આવૃત્તિ વધશે.
જો $f_B = 318 \ Hz$ હોય,તો શરૂઆતમાં $f_A - f_B = 324 - 318 = 6 \ Hz$ થાય. જેમ $f_A$ ઘટે છે,તેમ તફાવત $(f_A - f_B)$ ઘટે છે. સ્પંદન આવૃત્તિ ઘટીને $3 \ Hz$ થઈ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.
તેથી,$B$ ની આવૃત્તિ $318 \ Hz$ છે.

(C) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi n$ અને $n$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$y_1 = a \sin(1000 \pi t)$,આપણી પાસે $\omega_1 = 1000 \pi$ છે.
તેથી,$2 \pi n_1 = 1000 \pi$,જે $n_1 = 500 \text{ Hz}$ આપે છે.
બીજા તરંગ માટે,$y_2 = a \sin(998 \pi t)$,આપણી પાસે $\omega_2 = 998 \pi$ છે.
તેથી,$2 \pi n_2 = 998 \pi$,જે $n_2 = 499 \text{ Hz}$ આપે છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_{beat} = |n_1 - n_2|$.
$n_{beat} = |500 - 499| = 1 \text{ Hz}$.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $1$ છે.

(B) એક કંપનનો સમયગાળો $T = 1/n$ છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે.
$32$ કંપનો માટે,લાગતો કુલ સમય $t = 32 \times T = 32/n$ છે.
આ સમય દરમિયાન ધ્વનિ દ્વારા કપાયેલું અંતર $d = v \times t$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = v \times (32/n) = 344 \times (32/256)$.
$d = 344 \times (1/8) = 43 \, m$.

(B) કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 500\pi \, \text{rad/s}$ અને $\omega_2 = 506\pi \, \text{rad/s}$ છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$,તેથી $f_1 = \frac{500\pi}{2\pi} = 250 \, \text{Hz}$ અને $f_2 = \frac{506\pi}{2\pi} = 253 \, \text{Hz}$ મળે.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $\alpha = |f_2 - f_1| = |253 - 250| = 3 \, \text{beats/s}$ છે.
કંપનવિસ્તાર $a_1 = 4$ અને $a_2 = 2$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\beta = \frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\beta = \left( \frac{4 + 2}{4 - 2} \right)^2 = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 3^2 = 9$ મળે.
અંતે,$\beta - \alpha = 9 - 3 = 6$ થાય.

(A) ધારો કે ગિટારના તારની આવૃત્તિ $f_s$ છે.
જ્યારે તેને $440\, Hz$ ના ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $|f_s - 440| = 5\, Hz$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $f_s = 445\, Hz$ અથવા $f_s = 435\, Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે તેને $437\, Hz$ ના ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $|f_s - 437| = 8\, Hz$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $f_s = 445\, Hz$ અથવા $f_s = 429\, Hz$ હોઈ શકે.
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા,સામાન્ય આવૃત્તિ $f_s = 445\, Hz$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $440\, Hz$ થી ઘટીને $437\, Hz$ થાય છે ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $5\, Hz$ થી વધીને $8\, Hz$ થાય છે,તેથી તારની આવૃત્તિ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા વધારે હોવી જોઈએ. આમ,$f_s = 440 + 5 = 445\, Hz$.

(D) ધારો કે ફોર્ક $1$ ની આવૃત્તિ $n_1 = 200 \, Hz$ છે અને ફોર્ક $2$ ની આવૃત્તિ $n_2$ છે.
શરૂઆતમાં,બીટ આવૃત્તિ $|n_1 - n_2| = 4 \, Hz$ છે. આનો અર્થ એ થાય કે $n_2 = 200 \pm 4$,તેથી $n_2 = 204 \, Hz$ અથવા $n_2 = 196 \, Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ફોર્ક $2$ ના પ્રોંગ પર ટેપ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_2$ ઘટે છે.
જો $n_2 = 204 \, Hz$ હોત,તો તેને ઘટાડવાથી બીટ આવૃત્તિ $|200 - n_2'|$ એ $4 \, Hz$ કરતા ઓછી થઈ જાત.
જો $n_2 = 196 \, Hz$ હોત,તો તેને વધુ ઘટાડવાથી (દા.ત. $194 \, Hz$ સુધી) બીટ આવૃત્તિ $|200 - 194| = 6 \, Hz$ થઈ જાય.
તેથી,બીટ આવૃત્તિ વધીને $6 \, Hz$ થતી હોવાથી,ફોર્ક $2$ ની મૂળ આવૃત્તિ $196 \, Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) તરંગની આવૃત્તિ $n$ એ સૂત્ર $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
અહીં $v = 396\, m/s$,$\lambda_1 = 99\, cm = 0.99\, m$,અને $\lambda_2 = 100\, cm = 1.00\, m$ આપેલ છે.
આવૃત્તિઓની ગણતરી કરતા:
$n_1 = \frac{396}{0.99} = 400\, Hz$
$n_2 = \frac{396}{1.00} = 396\, Hz$
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{બીટ આવૃત્તિ} = |n_1 - n_2| = |400 - 396| = 4\, Hz$.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $4$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તણાવ $T$ વધારવાથી આવૃત્તિ $v$ વધે છે.
શરૂઆતમાં,સ્પંદન આવૃત્તિ $|v_A - v_B| = 5 \; Hz$ છે. $v_A = 427 \; Hz$ આપેલ હોવાથી,$v_B$ માટે શક્ય મૂલ્યો $427 - 5 = 422 \; Hz$ અથવા $427 + 5 = 432 \; Hz$ છે.
જ્યારે $B$ નું તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે $v_B$ વધે છે.
જો $v_B = 432 \; Hz$ હોય,તો $v_B$ વધારવાથી તફાવત $|427 - v_B|$ એ $5 \; Hz$ કરતા વધી જાય.
જો $v_B = 422 \; Hz$ હોય,તો $v_B$ વધારવાથી તફાવત $|427 - v_B|$ ઘટે છે અને $427 \; Hz$ ની નજીક જાય છે.
સ્પંદન આવૃત્તિ ઘટીને $3 \; Hz$ થતી હોવાથી,તે સાબિત કરે છે કે $v_B$ ની મૂળ આવૃત્તિ $422 \; Hz$ હતી.

(A) તાર $A$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ,$f_A = 324 \; Hz$.
ધારો કે તાર $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે.
સ્પંદ આવૃત્તિ $n = |f_A - f_B| = 6 \; Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f_B = 324 \pm 6$,તેથી $f_B = 330 \; Hz$ અથવા $318 \; Hz$.
જ્યારે તાર $A$ માં તણાવ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે (કારણ કે $f \propto \sqrt{T}$).
જો $f_A = 324 \; Hz$ હોય અને તે ઘટે,તો નવી આવૃત્તિ $f_A'$ એ $324 \; Hz$ કરતા ઓછી થાય.
કિસ્સો $1$: જો $f_B = 330 \; Hz$ હોય,તો સ્પંદ આવૃત્તિ $n' = |f_B - f_A'| = |330 - f_A'|$. જેમ $f_A'$ એ $324$ થી ઘટે છે,તેમ તફાવત $|330 - f_A'|$ વધે છે (દા.ત.,જો $f_A' = 321$,તો $n' = 9 \; Hz$). આ આપેલી માહિતી સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે કે સ્પંદ આવૃત્તિ ઘટીને $3 \; Hz$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_B = 318 \; Hz$ હોય,તો સ્પંદ આવૃત્તિ $n' = |f_A' - f_B| = |f_A' - 318|$. જેમ $f_A'$ એ $324$ થી $318$ તરફ ઘટે છે,તેમ તફાવત ઘટે છે. સ્પંદ આવૃત્તિ $3 \; Hz$ થવા માટે,$f_A'$ એ $321 \; Hz$ હોવું જોઈએ $(321 - 318 = 3)$. આ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$B$ ની આવૃત્તિ $318 \; Hz$ છે.

બીટ એ સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે હાર્મોનિક તરંગોના વ્યતિકરણથી ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
જ્યારે સમાન દિશામાં ગતિ કરતા લગભગ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય ત્યારે ધ્વનિની તીવ્રતામાં થતા વધઘટને બીટ કહે છે.
બીટ એ ધ્વનિની તીવ્રતામાં એકવાર વધારો અને એકવાર ઘટાડો થવાને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
એક સેકન્ડમાં (એકમ સમયમાં) ઉત્પન્ન થતા બીટની સંખ્યાને બીટ આવૃત્તિ કહે છે. બીટ આવૃત્તિ એ બે તરંગોની આવૃત્તિઓનો તફાવત છે.
બીટનું ગાણિતિક નિરૂપણ:
હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = a \sin(kx - \omega t + \phi)$ છે.
બીટ માટે,આપણે $x = 0$ અને $\phi = 0$ લેતા,બે તરંગોના સ્થાનાંતર:
$s_1 = a \cos(\omega_1 t)$
$s_2 = a \cos(\omega_2 t)$
જ્યાં $\omega_1 > \omega_2$ છે.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી સ્થાનાંતર $s$:
$s = s_1 + s_2 = a(\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = 2a \cos(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t) \cos(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t)$
ધારો કે $\omega_b = \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ અને $\omega_a = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$.
$s = [2a \cos(\omega_b t)] \cos(\omega_a t)$
તીવ્રતા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે. પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર $A(t) = 2a \cos(\omega_b t)$ છે.
તીવ્રતા મહત્તમ ત્યારે હોય છે જ્યારે $\cos(\omega_b t) = \pm 1$,જે $\cos(\omega_b t)$ ના એક ચક્રમાં બે વાર થાય છે.
તેથી,બીટ આવૃત્તિ $f_b = f_1 - f_2$ થાય છે.

(N/A) $11 \ Hz$ અને $9 \ Hz$ આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોના સમય-સ્થાનાંતર આલેખ આકૃતિ $(a)$ અને $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
તેમના સંપાતીકરણનું પરિણામ આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવેલ છે.
બીટ્સ એ થોડી અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ તીવ્રતામાં થતો સામયિક ફેરફાર છે. બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = |f_1 - f_2| = |11 \ Hz - 9 \ Hz| = 2 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિ સેકન્ડ $2$ બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે.

(N/A) બીટ ફ્રીક્વન્સી એટલે એકમ સમયમાં ઉત્પન્ન થતી બીટ્સની સંખ્યા.
જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ (interference) પામે છે,ત્યારે પરિણામી ધ્વનિની તીવ્રતા સમયાંતરે બદલાય છે.
તીવ્રતામાં થતા આ ફેરફારની આવૃત્તિને બીટ ફ્રીક્વન્સી $(f_b)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેને ગાણિતિક રીતે બે આવૃત્તિઓના તફાવતના માનાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે: $f_b = |f_1 - f_2|$.

(A) બીટની ઘટના થોડી અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગોના સુપરપોઝિશનને કારણે થાય છે.
માનવ કાન માટે આ બીટ્સને તીવ્રતામાં સ્પષ્ટ વધઘટ તરીકે અનુભવવા માટે,બીટની આવૃત્તિ એટલી ઓછી હોવી જોઈએ કે કાન તેને અલગ કરી શકે.
જો બીટની આવૃત્તિ ખૂબ વધારે હોય,તો સાંભળવાની ક્ષમતા (persistence of hearing) ને કારણે માનવ કાન વ્યક્તિગત બીટ્સને અલગ કરી શકતો નથી.
સામાન્ય રીતે,જો બીટની આવૃત્તિ $10 \ Hz$ થી ઓછી હોય તો માનવ કાન બીટ્સને સ્પષ્ટપણે અલગ કરી શકે છે.
તેથી,સ્પષ્ટ અનુભૂતિ માટે યોગ્ય શ્રેણી $10 \ Hz$ થી ઓછી છે.

(C) બીટ્સમાં પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર $A' = 2A \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ કંપવિસ્તાર $(A')_{\max} = 2A$ છે,કારણ કે કોસાઇન વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} \propto (2A)^2 = 4A^2$ થાય.
દરેક વ્યક્તિગત સંપાતીકરણ પામતા તરંગની તીવ્રતા $I \propto A^2$ છે.
તેથી,મહત્તમ તીવ્રતા અને એક સંપાતીકરણ પામતા તરંગની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I} = \frac{4A^2}{A^2} = 4$ થાય.
આપેલ છે કે $I_{\max} = xI$,તેથી $x = 4$ મળે છે.

(N/A) જ્યારે એક ધ્રુજતો ટ્યુનિંગ ફોર્ક દિવાલ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ફોર્ક દ્વારા ઉત્સર્જિત અવાજના તરંગો દિવાલ તરફ જાય છે અને પરાવર્તિત થઈને પાછા આવે છે.
ડોપ્લર અસરને કારણે,પરાવર્તિત અવાજના તરંગોની આવૃત્તિ,જે અવલોકનકાર (અથવા ફોર્ક) દ્વારા અનુભવાય છે,તે મૂળ અવાજના તરંગોની આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય છે કારણ કે ઉદગમ પરાવર્તિત સપાટી તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે.
પરિણામે,ટ્યુનિંગ ફોર્કમાંથી આવતા સીધા અવાજના તરંગો અને પરાવર્તિત અવાજના તરંગોની આવૃત્તિ વચ્ચે થોડો તફાવત સર્જાય છે.
જ્યારે આ બે સહેજ અલગ આવૃત્તિવાળા અવાજના તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે તેઓ બીટ્સની ઘટના ઉત્પન્ન કરે છે,જે અવાજની તીવ્રતામાં સામયિક ફેરફાર તરીકે સંભળાય છે.

(N/A) બીટ્સ એ ધ્વનિની તીવ્રતામાં થતા સામયિક ફેરફારો છે જે ત્યારે સંભળાય છે જ્યારે સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે. માનવ કાનમાં 'પર્સિસ્ટન્સ ઓફ હિયરિંગ' (શ્રવણની સાતત્યતા) નામની ઘટના હોય છે,જે વ્યક્તિગત ધ્વનિ પલ્સને અલગ પાડવાની આપણી ક્ષમતાને મર્યાદિત કરે છે. આપણે પ્રતિ સેકન્ડ મહત્તમ $10$ બીટ્સ સુધીના તીવ્રતાના ફેરફારોને જ અનુભવી શકીએ છીએ. જો આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $10 \ Hz$ કરતા વધારે હોય,તો પલ્સ એટલી ઝડપથી એકબીજાની પાછળ આવે છે કે કાન અલગ બીટ્સને બદલે સતત ધ્વનિ અનુભવે છે.

(C) આપેલ ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_{A} = 512 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $5 \ Hz$ હોવાથી,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $(f_{B})$ $f_{A} \pm 5 = 517 \ Hz$ અથવા $507 \ Hz$ હોઈ શકે છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_{A}$ ઘટે છે. ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_{A}^{\prime} < 512 \ Hz$ છે.
મીણ લગાવ્યા પછી,બીટ આવૃત્તિ હજુ પણ $5 \ Hz$ છે,તેથી $|f_{A}^{\prime} - f_{B}| = 5$.
જો $f_{B} = 517 \ Hz$ હોય,તો $f_{B} - f_{A} = 5 \ Hz$. મીણ લગાવવાથી $f_{A}$ ઘટે છે,તેથી $f_{B} - f_{A}^{\prime} > 5 \ Hz$ થાય.
સાચો જવાબ $517 \ Hz$ છે.

(B) જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ ધરાવતા બે તરંગો એક બિંદુ પર સંપાત થાય છે,ત્યારે તેઓ 'બીટ્સ' (beats) ની ઘટના ઉત્પન્ન કરે છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b$ ને બે આવૃત્તિઓના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $f_b = |n_1 - n_2|$.
બે ક્રમિક મહત્તમ મૂલ્યો (અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્યો) વચ્ચેનો સમયગાળો $T$ એ બીટ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે.
તેથી,$T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{|n_1 - n_2|}$.

(C) ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,$f \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે તાર $B$ માં તણાવ $T$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_B$ ઘટે છે.
પ્રારંભિક સ્પંદ આવૃત્તિ $|f_A - f_B| = 6 \, Hz$ છે. $f_A = 530 \, Hz$ આપેલ હોવાથી,$f_B$ માટે શક્ય મૂલ્યો $530 + 6 = 536 \, Hz$ અથવા $530 - 6 = 524 \, Hz$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $f_B = 536 \, Hz$ હોય,તો તણાવ ઘટાડવાથી $f_B$ ઘટે છે. જેમ $f_B$ એ $530 \, Hz$ ની નજીક જાય છે,તેમ સ્પંદ આવૃત્તિ $|530 - f_B|$ ઘટે છે (દા.ત.,$536 \to 535 \implies$ સ્પંદ $6 \to 5$). આ સમસ્યાના વિધાનથી વિરોધાભાસી છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_B = 524 \, Hz$ હોય,તો તણાવ ઘટાડવાથી $f_B$ ઘટે છે. જેમ $f_B$ એ $530 \, Hz$ થી દૂર જાય છે,તેમ સ્પંદ આવૃત્તિ $|530 - f_B|$ વધે છે (દા.ત.,$524 \to 523 \implies$ સ્પંદ $6 \to 7$). આ સમસ્યાના વિધાન સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$B$ ની મૂળ આવૃત્તિ $524 \, Hz$ છે.

(C) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_A$ છે. જાણીતા ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 340 \, Hz$ છે.
પ્રારંભિક બીટ આવૃત્તિ $|f_A - 340| = 5 \, Hz$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f_A = 345 \, Hz$ અથવા $f_A = 335 \, Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કને ઘસવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ વધે છે.
કિસ્સો $1$: જો $f_A = 345 \, Hz$ હોય,તો ઘસવાથી આવૃત્તિ વધીને $f_A' > 345 \, Hz$ થાય. નવી બીટ આવૃત્તિ $|f_A' - 340| > 5 \, Hz$ થશે. આ આપેલી માહિતી સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે કે બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $2 \, Hz$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_A = 335 \, Hz$ હોય,તો ઘસવાથી આવૃત્તિ વધીને $f_A' = 335 + \Delta f$ થાય. નવી બીટ આવૃત્તિ $|340 - (335 + \Delta f)| = |5 - \Delta f| = 2 \, Hz$ થાય.
આનાથી $5 - \Delta f = 2$ મળે છે,તેથી $\Delta f = 3 \, Hz$,જે શક્ય છે.
તેથી,ફોર્ક $A$ ની મૂળ આવૃત્તિ $335 \, Hz$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે.
દરેક ફોર્ક તેના અગાઉના ફોર્ક સાથે $4 \; Hz$ ના સ્પંદ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d = 4 \; Hz$ છે.
$n$-મા ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = f_1 + (n - 1)d$ છે.
$20$-મા ફોર્ક માટે $(n = 20)$:
$f_{20} = f + (20 - 1) \times 4 = f + 19 \times 4 = f + 76$.
પ્રશ્ન મુજબ,છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે:
$f_{20} = 2f_1$.
કિંમતો મૂકતા:
$f + 76 = 2f$.
$f$ માટે ઉકેલતા:
$f = 76 \; Hz$.
છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ $f_{20} = 2f = 2 \times 76 = 152 \; Hz$ થાય.

(D) બીટ આવૃત્તિ $f_b$ ને એકમ સમયમાં થતા બીટ્સની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $f_b = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}\,Hz$.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 4.08\,m$ અને $\lambda_2 = 4.16\,m$ ને અનુરૂપ આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1}$ અને $f_2 = \frac{v}{\lambda_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = f_1 - f_2 = v \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{3} = v \left( \frac{1}{4.08} - \frac{1}{4.16} \right)$.
તફાવતની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{4.08} - \frac{1}{4.16} = \frac{4.16 - 4.08}{4.08 \times 4.16} = \frac{0.08}{16.9728} \approx 0.004713$.
આમ,$v = \frac{10}{3} \times \frac{4.08 \times 4.16}{0.08} = \frac{10}{3} \times 212.16 = 707.2\,m\,s^{-1}$.

(B) બીટ આવૃત્તિને એક સેકન્ડમાં લગભગ સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતી પરિણામી તીવ્રતા કેટલી વાર મહત્તમ કે ન્યૂનતમ બને છે,તેની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિ $f_1$ અને $f_2$ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા સમય સાથે સામયિક રીતે બદલાય છે. આ ફેરફારની આવૃત્તિ $|f_1 - f_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,જ્યારે તરંગો સહાયક વ્યતિકરણ પામે ત્યારે તીવ્રતા મહત્તમ બને છે અને જ્યારે વિનાશક વ્યતિકરણ પામે ત્યારે તે ન્યૂનતમ બને છે. પ્રતિ સેકન્ડ આવા મહત્તમ કે ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યાને બીટ આવૃત્તિ કહેવાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે અજ્ઞાત આવૃત્તિ $f$ છે.
આપેલ છે કે $254 \,Hz$ ના ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે બીટ આવૃત્તિ $4 \,Hz$ છે,તેથી શક્ય આવૃત્તિઓ $f = 254 \pm 4$ છે,એટલે કે $f = 258 \,Hz$ અથવા $f = 250 \,Hz$ છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે.
કિસ્સો $1$: જો $f = 250 \,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ ઘટશે (દા.ત. $249 \,Hz$ સુધી),જેના પરિણામે બીટ આવૃત્તિ $|254 - 249| = 5 \,Hz$ થશે. આ પ્રશ્નના વિધાન સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $f = 258 \,Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ ઘટશે,જે $254 \,Hz$ ની નજીક જશે. આ કિસ્સામાં,યોગ્ય ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $258 \,Hz$ મળે છે.

(D) ધારો કે $10$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ વધતા ક્રમમાં $f_1, f_2, \dots, f_{10}$ છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક ટ્યુનિંગ ફોર્ક પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $4 \ Hz$ છે.
આમ,$f_n = f_1 + (n-1)d$,જ્યાં $d = 4 \ Hz$.
$n = 10$ માટે,$f_{10} = f_1 + (10-1) \times 4 = f_1 + 36$.
આપેલ છે કે સૌથી વધુ આવૃત્તિ સૌથી ઓછી કરતા બમણી છે,તેથી $f_{10} = 2f_1$.
$f_{10}$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $2f_1 = f_1 + 36$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f_1 = 36 \ Hz$.
તેથી,$f_{10} = 2 \times 36 = 72 \ Hz$.
આમ,સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછી આવૃત્તિઓ $72 \ Hz$ અને $36 \ Hz$ છે,જે વિકલ્પ $(d)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(500 \pi t)$ અને $y_2 = 2 \sin(506 \pi t)$ છે.
$y = A \sin(2 \pi f t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{500 \pi}{2 \pi} = 250 \, Hz$ અને $f_2 = \frac{506 \pi}{2 \pi} = 253 \, Hz$ મળે છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_2 - f_1| = |253 - 250| = 3 \, Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે દર સેકન્ડે $3$ બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે.
કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$ અને $A_2 = 2$ છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણસર છે $(I \propto A^2)$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4 + 2)^2}{(4 - 2)^2} = \frac{6^2}{2^2} = \frac{36}{4} = 9$.
આમ,પરિણામ દર સેકન્ડે $3$ બીટ્સ અને તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $9$ છે.

(D) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે અને $T$ તાપમાને હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ $n_T$ છે. ધ્વનિની ઝડપ $v \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,આવૃત્તિ $n_T \propto \sqrt{T}$ થાય.
$51^{\circ} C$ $(324 \, K)$ તાપમાને,બીટ આવૃત્તિ $4$ છે,તેથી $n_{324} = f \pm 4$.
$16^{\circ} C$ $(289 \, K)$ તાપમાને,બીટ આવૃત્તિ $1$ છે,તેથી $n_{289} = f \pm 1$.
જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ બીટ્સની સંખ્યા ઘટે છે,તેથી હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા વધારે હોવી જોઈએ $(n_T > f)$.
આમ,$n_{324} = f + 4$ અને $n_{289} = f + 1$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_{324}}{n_{289}} = \sqrt{\frac{324}{289}} = \frac{18}{17}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{f+4}{f+1} = \frac{18}{17}$.
$17(f+4) = 18(f+1) \implies 17f + 68 = 18f + 18$.
$f = 68 - 18 = 50 \, Hz$.

(C) વાયોલિનના તારની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 205 \,Hz$ છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું તણાવ વધે છે,જેનાથી ઉત્સર્જિત સૂરની આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_2$ છે.
દર સેકન્ડે ઉત્પન્ન થતા સ્પંદનોની સંખ્યા સ્પંદન આવૃત્તિ $f_b = |f_2 - f_{tuning\,fork}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તાર $2$ સેકન્ડમાં $6$ સ્પંદનો ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી સ્પંદન આવૃત્તિ $f_b = \frac{6}{2} = 3 \,Hz$ છે.
તારને ખેંચવામાં આવ્યો હોવાથી,$f_2 > 205 \,Hz$ થશે.
તેથી,$f_2 - 205 = 3$.
$f_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $f_2 = 205 + 3 = 208 \,Hz$ મળે છે.

(B) ધારો કે ફોર્ક $1$ ની આવૃત્તિ $f_1 = 200 \,Hz$ છે અને ફોર્ક $2$ ની આવૃત્તિ $f_2$ છે.
શરૂઆતમાં,બીટ આવૃત્તિ $|f_1 - f_2| = 4 \,Hz$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $f_2 = 200 \pm 4$,તેથી $f_2 = 204 \,Hz$ અથવા $f_2 = 196 \,Hz$ છે.
જ્યારે ફોર્ક $2$ ના પ્રોંગ પર ટેપ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દળ વધે છે,જેના કારણે તેની આવૃત્તિ $f_2$ ઘટે છે.
ટેપ ઉમેર્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $|f_1 - f_2'| = 6 \,Hz$ છે,જ્યાં $f_2' < f_2$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $f_2 = 204 \,Hz$ હોય,તો $f_2'$ એ $204 \,Hz$ થી ઘટે છે. બીટ આવૃત્તિ $|200 - f_2'|$ ઘટશે (દા.ત.,જો $f_2' = 202 \,Hz$ હોય,તો બીટ્સ $= 2 \,Hz$ થાય). આ અવલોકન સાથે વિરોધાભાસ છે કે બીટ્સ વધીને $6 \,Hz$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_2 = 196 \,Hz$ હોય,તો $f_2'$ એ $196 \,Hz$ થી ઘટે છે (દા.ત.,$f_2' = 194 \,Hz$). બીટ આવૃત્તિ $|200 - 194| = 6 \,Hz$ થાય છે. આ અવલોકન સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ફોર્ક $2$ ની મૂળ આવૃત્તિ $196 \,Hz$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_1$ છે અને બીજાની આવૃત્તિ $f_2$ છે.
એક છેડે બંધ રેઝોનન્સ ટ્યુબ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે.
તેથી,$f_1 = \frac{v}{4 \times 24}$ અને $f_2 = \frac{v}{4 \times 25}$ થાય.
અહીં $f_1 > f_2$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{25}{24}$ મળે.
બીટ આવૃત્તિ $6 \, Hz$ આપેલી છે,તેથી $f_1 - f_2 = 6$.
$f_1 = f_2 \times \frac{25}{24}$ ને બીટ સમીકરણમાં મૂકતા: $f_2 \times \frac{25}{24} - f_2 = 6$.
$f_2 \times (\frac{25-24}{24}) = 6 \implies f_2 = 6 \times 24 = 144 \, Hz$.
તેથી,$f_1 = 144 + 6 = 150 \, Hz$.
આમ,ફોર્કની આવૃત્તિઓ $150 \, Hz$ અને $144 \, Hz$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x = a \cos(1.5 t) \cos(50.5 t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x = \frac{a}{2} [\cos(50.5 t + 1.5 t) + \cos(50.5 t - 1.5 t)]$
$x = \frac{a}{2} \cos(52 t) + \frac{a}{2} \cos(49 t)$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 52 \ rad/s$ અને $\omega_2 = 49 \ rad/s$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2| = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f_{\text{beat}} = \frac{52 - 49}{2 \pi} = \frac{3}{2 \pi} \ Hz$.
બીટ આવર્તકાળ $T_{\text{beat}} = \frac{1}{f_{\text{beat}}} = \frac{2 \pi}{3} \ s$ છે.
$\pi \approx 3.14$ મૂકતા,આપણને $T_{\text{beat}} = \frac{2 \times 3.14}{3} = \frac{6.28}{3} \approx 2.09 \ s$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,બીટ આવર્તકાળ $2 \ s$ થાય છે.

(A) તાર $P$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_P = 256 \ Hz$ છે. $P$ નો ત્રીજો હાર્મોનિક $f_{P3} = 3 \times 256 \ Hz = 768 \ Hz$ છે.
તાર $Q$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_Q = 382 \ Hz$ છે. $Q$ નો બીજો હાર્મોનિક $f_{Q2} = 2 \times 382 \ Hz = 764 \ Hz$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Beats} = |f_{P3} - f_{Q2}|$
$= |768 - 764| \ Hz$
$= 4 \ Hz$.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ સંભળાશે.

(C) ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$v \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે તાર $B$ નું તણાવ $T$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $v_B$ ઘટે છે.
શરૂઆતમાં,સ્પંદન આવૃત્તિ $|v_B - v_A| = 5 \ Hz$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $v_B$ કાં તો $255 + 5 = 260 \ Hz$ અથવા $255 - 5 = 250 \ Hz$ હોઈ શકે.
જો $v_B = 250 \ Hz$ હોય,તો તણાવ ઘટાડવાથી $v_B$ વધુ નાનું થશે (દા.ત. $248 \ Hz$),જેનાથી સ્પંદન આવૃત્તિ વધીને $|248 - 255| = 7 \ Hz$ થશે.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે સ્પંદન આવૃત્તિ ઘટીને $3 \ Hz$ થાય છે.
જો $v_B = 260 \ Hz$ હોય,તો તણાવ ઘટાડવાથી $v_B$ નાનું થશે (દા.ત. $258 \ Hz$),જેનાથી નવી સ્પંદન આવૃત્તિ $|258 - 255| = 3 \ Hz$ મળે છે.
આ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$B$ ની મૂળ આવૃત્તિ $260 \ Hz$ છે.

(C) બીટ આવૃત્તિ $b$ એ બે તરંગોની આવૃત્તિઓના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $b = n_1 - n_2$.
આવૃત્તિ $n = v / \lambda$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $2 = \frac{v}{\lambda_1} - \frac{v}{\lambda_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 = v \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2.02} \right)$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $2 = v \left( \frac{2.02 - 2}{2 \times 2.02} \right) = v \left( \frac{0.02}{4.04} \right)$.
$2 = v \left( \frac{2}{404} \right)$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{2 \times 404}{2} = 404 \ m/s$.

(B) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \sqrt{T}$.
વિકલન લેતા,આપણને સંબંધ $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ મળે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n = 400 \ Hz$ અને તણાવમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta T}{T} = 1\% = 0.01$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta n = n \times \frac{1}{2} \times \frac{\Delta T}{T}$ મળે છે.
$\Delta n = 400 \times \frac{1}{2} \times 0.01 = 2 \ Hz$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $2 \ Hz$ છે.

(C) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{V}{f}$ છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે,$f_1 = 320 \,Hz$,તેથી $\lambda_1 = \frac{320 \,ms^{-1}}{320 \,Hz} = 1 \,m$.
બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે,$f_2 = 480 \,Hz$,તેથી $\lambda_2 = \frac{320 \,ms^{-1}}{480 \,Hz} = \frac{2}{3} \,m \approx 0.67 \,m$.
તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta\lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = 1 \,m - 0.67 \,m = 0.33 \,m$ છે.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા,$0.33 \,m = 33 \,cm$ મળે છે.