एक अवमंदित दोलक (damped oscillator) की गति का | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ है। विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होन

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$[M^0 L^0 T^0]$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ है। विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए। अतः,$m \frac{d^2 x}{dt^2}$,$b \frac{dx}{dt}$,और $kx$ की विमाएँ समान हैं। $b \frac{dx}{dt}$ और $kx$ की विमाओं की तुलना करने पर: $[b] [v] = [k] [x] \implies [b] = [k] [x] / [v] = [k] [x] / ([x] / [t]) = [k] [t]$। इसलिए,$[b] = [k] [T]$। अब,व्यंजक $\frac{b}{\sqrt{km}}$ पर विचार करें। इस व्यंजक में $[b] = [k] [T]$ रखने पर: $\frac{[b]}{\sqrt{[k][m]}} = \frac{[k][T]}{\sqrt{[k][m]}}$। चूँकि $k = F/x = ma/x$,इसलिए $k$ की विमाएँ $[M T^{-2}]$ हैं। साथ ही,अवमंदित दोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ से संबंधित है,इसलिए $\sqrt{k/m}$ की विमाएँ $[T^{-1}]$ होती हैं। वैकल्पिक रूप से,$[b] = [k] [T]$ का उपयोग करते हुए: $\frac{b}{\sqrt{km}} = \frac{k T}{\sqrt{km}} = \sqrt{\frac{k}{m}} T = [T^{-1}] [T] = [M^0 L^0 T^0]$।

List-$I$	List-$II$
$A$. मीटर $(L)$	$I$. $\sqrt{\frac{hc}{G}}$
$B$. सेकंड $(S)$	$II$. $\sqrt{\frac{Gh}{c^5}}$
$C$. किलोग्राम $(M)$	$III$. $\sqrt{\frac{L^2c^3}{Gh}}$
$D$. केल्विन $(K)$	$IV$. $\sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$

एक अवमंदित दोलक (damped oscillator) की गति का समीकरण $m \frac{d^2 x}{d t^2}+b \frac{d x}{d t}+k x=0$ द्वारा दिया गया है। $\frac{b}{\sqrt{k m}}$ का विमीय सूत्र क्या है?

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