Polytropic Process Questions in Hindi

(A) दी गई प्रक्रिया का नियम: $P^2 V = K$ (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$।
इस मान को दिए गए नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{nRT}{V})^2 V = K \Rightarrow \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} V = K \Rightarrow T^2 V^{-1} = \text{constant}$।
इसका अर्थ है कि $T^2 \propto V$।
चूंकि गैस का प्रसार हो रहा है, इसलिए आयतन $V$ बढ़ता है।
जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है, $T^2$ को भी बढ़ना चाहिए, जिसका अर्थ है कि गैस का तापमान $T$ बढ़ता है।
आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ को $U = n C_V T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $U \propto T$, तापमान $T$ बढ़ने के साथ गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ भी निरंतर बढ़ती है।

(B) पॉलीट्रापिक प्रक्रिया $PV^n = \text{constant}$ के लिए, मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र इस प्रकार है:
$C = C_V + \frac{R}{1-n} = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-n}$
प्रश्न के अनुसार, मोलर ऊष्मा धारिता $C$, $C_P$ और $C_V$ का अंकगणितीय माध्य है:
$C = \frac{C_P + C_V}{2}$
हम जानते हैं कि $C_P = C_V + R$, इसलिए:
$C = \frac{(C_V + R) + C_V}{2} = \frac{2C_V + R}{2} = C_V + \frac{R}{2}$
$C$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$C_V + \frac{R}{1-n} = C_V + \frac{R}{2}$
दोनों पक्षों से $C_V$ घटाने पर:
$\frac{R}{1-n} = \frac{R}{2}$
इसका अर्थ है:
$1 - n = 2$
$n = 1 - 2 = -1$
अतः, $n$ का मान $-1$ है।

(C) दी गई प्रक्रिया का समीकरण $PV^2 = C$ है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$।
इसे प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{nRT}{V})V^2 = C$।
यह सरल होकर $nRTV = C$ हो जाता है,या $TV = \text{constant}$ (चूंकि $nR$ और $C$ नियतांक हैं)।
इसलिए,$T_1 V_1 = T_2 V_2$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = \frac{V_2}{V_1}$।
यदि $V_2 > V_1$ है,तो $\frac{V_2}{V_1} > 1$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} > 1$,इसलिए $T_1 > T_2$ या $T_2 < T_1$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया का समीकरण $PV^x = \text{constant}$ है,जिसे $\log P + x \log V = \text{constant}$ या $\log P = -x \log V + \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = -x$ प्राप्त होता है।
प्रक्रिया $A$ के लिए,ढाल $\tan(\theta_A) = \gamma$ है। अतः,$-x_A = \gamma$,यानी $x_A = -\gamma$।
पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ है।
प्रक्रिया $A$ के लिए,$C_A = C_V + \frac{R}{1 - (-\gamma)} = C_V + \frac{R}{1+\gamma}$। चूंकि $\gamma > 1$,$C_A$ एक निश्चित धनात्मक मान है।
प्रक्रिया $B$ के लिए,ढाल $\tan(45^\circ) = 1$ है। अतः,$-x_B = 1$,यानी $x_B = -1$।
प्रक्रिया $B$ के लिए,$C_B = C_V + \frac{R}{1 - (-1)} = C_V + \frac{R}{2}$।
मानों की तुलना करने पर:
$C_P = C_V + R$
$C_B = C_V + 0.5R$
$C_A = C_V + \frac{R}{1+\gamma}$ (जहां $1 < \gamma < 1.67$,इसलिए $0.37R < \frac{R}{1+\gamma} < 0.5R$)
अतः,$C_P > C_B > C_A > C_V$।

(A) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = K$ के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} K V^{-x} \, dV$
$W = \frac{K V_2^{1-x} - K V_1^{1-x}}{1-x}$
चूंकि $P_1 V_1^x = K$ और $P_2 V_2^x = K$,हम लिख सकते हैं:
$W = \frac{P_2 V_2^x V_2^{1-x} - P_1 V_1^x V_1^{1-x}}{1-x} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-x}$
यहाँ $x = 3/2$ दिया गया है,इसलिए:
$W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - 3/2} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{-1/2}$
$W = -2(P_2 V_2 - P_1 V_1) = 2(P_1 V_1 - P_2 V_2)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए, पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{constant}$ के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ है।
दी गई प्रक्रिया $P/V = 1$ है, जिसका अर्थ है $P = V^1$, या $PV^{-1} = \text{constant}$।
इसकी तुलना $PV^x = \text{constant}$ से करने पर, हमें $x = -1$ प्राप्त होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3R}{2}$ होती है।
सूत्र में मान रखने पर: $C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1 - (-1)}$।
$C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{2} = \frac{4R}{2} = 2R$।

(B) $P-V$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए,संबंध $P \propto V$ है,जिसका अर्थ है $P = kV$ या $\frac{P}{V} = \text{नियतांक}$.
इसे $P V^{-1} = \text{नियतांक}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया के समीकरण $P V^x = \text{नियतांक}$ से करने पर,हमें $x = -1$ प्राप्त होता है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C$ का सूत्र $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_V = \frac{3}{2} R$ है।
मान रखने पर,$C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1 - (-1)} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = \frac{4 R}{2} = 2 R$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है।
इससे, हम $P = \frac{nRT}{V}$ लिख सकते हैं।
प्रक्रिया के लिए दी गई स्थिति $PV^2 = \text{constant}$ है।
दी गई स्थिति में $P$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^2 = \text{constant}$
$nRT V = \text{constant}$
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं, हमें $TV = \text{constant}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{V}$।
जैसे-जैसे गैस फैलती है, आयतन $V$ बढ़ता है।
चूंकि $T$, $V$ के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए आयतन में वृद्धि होने पर गैस का तापमान घट जाएगा।

(C) आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से, हमारे पास $P = \frac{nRT}{V}$ है।
दी गई प्रक्रिया का नियम $VP^2 = \text{constant}$ है।
दिए गए नियम में $P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $V \left(\frac{nRT}{V}\right)^2 = \text{constant}$.
इसे सरल करने पर $V \cdot \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} = \text{constant}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{T^2}{V} = \text{constant}$.
इसलिए, $\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$.
यहाँ $T_1 = T$, $V_1 = V$, और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{T^2}{V} = \frac{T_2^2}{2V}$.
$T_2^2 = 2T^2$.
$T_2 = \sqrt{2} T$.

(C) दी गई रुद्धोष्म प्रक्रिया का समीकरण: $Pv^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$ ... $(i)$
आदर्श गैस नियम से: $PV = nRT$,इसलिए $P = \frac{nRT}{V}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$
$T V^{\frac{1}{2}} = \text{constant}$
अतः,$T_1 V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 V_2^{\frac{1}{2}}$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{4}$ दिया गया है:
$T V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 \left(\frac{V_1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{2}\right)$
$T_2 = 2T$

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = \text{constant}$ के लिए, किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{1-n}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_V\Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ है।
दी गई प्रक्रिया $PV^2 = \text{constant}$ के लिए, $n = 2$ है।
किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{1-2} = -nR\Delta T$ है।
गैस द्वारा किए गए कार्य और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का अनुपात $\frac{W}{\Delta U} = \frac{-nR\Delta T}{n(\frac{5}{2}R)\Delta T} = \frac{-1}{2.5} = -0.4$ है।

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{constant}$ के लिए, किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{x - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है。
यहाँ $n = 1$ और $x = 3$ दिया गया है。
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1$ है, इसलिए $T_1 - T_2 = -\Delta T$ होगा。
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{1 \cdot R \cdot (-\Delta T)}{3 - 1}$
$W = \frac{-R \Delta T}{2}$
किए गए कार्य का परिमाण $|W| = \left| \frac{-R \Delta T}{2} \right| = \frac{R \Delta T}{2}$ है।

(C) दी गई स्थिति $V \propto T^{2/3}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$P = \frac{nRT}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V \propto T^{2/3}$,हम $V = cT^{2/3}$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $T \propto V^{3/2}$।
इसे आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P \propto \frac{T}{V} \propto \frac{V^{3/2}}{V} = V^{1/2}$।
अतः,$P = kV^{1/2}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
किया गया कार्य $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} kV^{1/2} \, dV$ है।
$W = k \left[ \frac{V^{3/2}}{3/2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{2}{3} [kV_2^{3/2} - kV_1^{3/2}] = \frac{2}{3} [P_2V_2 - P_1V_1]$।
$PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$W = \frac{2}{3} nR(T_2 - T_1) = \frac{2}{3} nR \Delta T$ प्राप्त होता है।
यहाँ $n = 1 \ mol$,$\Delta T = 30 \ K$,और $R = 8.314 \ J/mol \cdot K$ है।
$W = \frac{2}{3} \times 1 \times 8.314 \times 30 = 20 \times 8.314 = 166.28 \ J$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$W = 166.2 \ J$।

(B) पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = \text{constant}$ के लिए, मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{R}{1-n}$ होती है।
दिया गया है $n = 3$ और एकपरमाणुक गैस के लिए $C_V = \frac{3R}{2}$।
अतः, $C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-3} = \frac{3R}{2} - \frac{R}{2} = R$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ ($1$ मोल के लिए) से, $T = \frac{PV}{R}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक अवस्था: $T_1 = \frac{P_1 V_1}{R}$।
अंतिम अवस्था: चूँकि $P_1 V_1^3 = P_2 V_2^3$, इसलिए $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^3$।
$T_2 = \frac{P_2 V_2}{R} = \frac{P_1 V_1^3}{R V_2^2}$।
अवशोषित ऊष्मा $Q = n C \Delta T = 1 \cdot R \cdot (T_2 - T_1)$ है।
$Q = R \left( \frac{P_1 V_1^3}{R V_2^2} - \frac{P_1 V_1}{R} \right) = P_1 V_1 \left( \frac{V_1^2}{V_2^2} - 1 \right)$।