Polytropic Process Questions in Gujarati

(A) આપેલ પ્રક્રિયાનો નિયમ: $P^2 V = K$ (જ્યાં $K$ અચળાંક છે).
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ $P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમતને આપેલ નિયમમાં મૂકતા: $(\frac{nRT}{V})^2 V = K \Rightarrow \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} V = K \Rightarrow T^2 V^{-1} = \text{constant}$.
આ સૂચવે છે કે $T^2 \propto V$.
વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી, કદ $V$ વધે છે.
જેમ $V$ વધે છે, તેમ $T^2$ વધવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે વાયુનું તાપમાન $T$ વધે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ $U = n C_V T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $U \propto T$, તાપમાન $T$ વધવાની સાથે વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ પણ સતત વધે છે.

(B) પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = \text{constant}$ માટે, મોલર ઉષ્માધારિતા $C$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C = C_V + \frac{R}{1-n} = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-n}$
પ્રશ્ન મુજબ, મોલર ઉષ્માધારિતા $C$ એ $C_P$ અને $C_V$ નો અંકગણિતીય મધ્યક છે:
$C = \frac{C_P + C_V}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P = C_V + R$, તેથી:
$C = \frac{(C_V + R) + C_V}{2} = \frac{2C_V + R}{2} = C_V + \frac{R}{2}$
$C$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$C_V + \frac{R}{1-n} = C_V + \frac{R}{2}$
બંને બાજુથી $C_V$ બાદ કરતા:
$\frac{R}{1-n} = \frac{R}{2}$
આથી:
$1 - n = 2$
$n = 1 - 2 = -1$
તેથી, $n$ નું મૂલ્ય $-1$ છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^2 = C$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ $P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમતને પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{nRT}{V})V^2 = C$.
આનું સાદું રૂપ $nRTV = C$ થાય છે,અથવા $TV = \text{constant}$ (કારણ કે $nR$ અને $C$ અચળાંક છે).
તેથી,$T_1 V_1 = T_2 V_2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{T_1}{T_2} = \frac{V_2}{V_1}$.
જો $V_2 > V_1$ હોય,તો $\frac{V_2}{V_1} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_1}{T_2} > 1$,તેથી $T_1 > T_2$ અથવા $T_2 < T_1$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^x = \text{constant}$ છે,જેને $\log P + x \log V = \text{constant}$ અથવા $\log P = -x \log V + \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -x$ મળે છે.
પ્રક્રિયા $A$ માટે,ઢાળ $\tan(\theta_A) = \gamma$ છે. તેથી,$-x_A = \gamma$,એટલે કે $x_A = -\gamma$.
પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર ઉષ્માધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે.
પ્રક્રિયા $A$ માટે,$C_A = C_V + \frac{R}{1 - (-\gamma)} = C_V + \frac{R}{1+\gamma}$. કારણ કે $\gamma > 1$,$C_A$ એ એક નિશ્ચિત ધન મૂલ્ય છે.
પ્રક્રિયા $B$ માટે,ઢાળ $\tan(45^\circ) = 1$ છે. તેથી,$-x_B = 1$,એટલે કે $x_B = -1$.
પ્રક્રિયા $B$ માટે,$C_B = C_V + \frac{R}{1 - (-1)} = C_V + \frac{R}{2}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$C_P = C_V + R$
$C_B = C_V + 0.5R$
$C_A = C_V + \frac{R}{1+\gamma}$ (જ્યાં $1 < \gamma < 1.67$,તેથી $0.37R < \frac{R}{1+\gamma} < 0.5R$)
આમ,$C_P > C_B > C_A > C_V$.

(A) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = K$ માટે,વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} K V^{-x} \, dV$
$W = \frac{K V_2^{1-x} - K V_1^{1-x}}{1-x}$
કારણ કે $P_1 V_1^x = K$ અને $P_2 V_2^x = K$,આપણે લખી શકીએ:
$W = \frac{P_2 V_2^x V_2^{1-x} - P_1 V_1^x V_1^{1-x}}{1-x} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-x}$
અહીં $x = 3/2$ આપેલ છે,તેથી:
$W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - 3/2} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{-1/2}$
$W = -2(P_2 V_2 - P_1 V_1) = 2(P_1 V_1 - P_2 V_2)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે, પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ માટે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે.
અહીં પ્રક્રિયા $P/V = 1$ છે, જેનો અર્થ છે કે $P = V^1$, અથવા $PV^{-1} = \text{constant}$.
આને $PV^x = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = -1$ મળે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{3R}{2}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1 - (-1)}$.
$C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{2} = \frac{4R}{2} = 2R$.

(B) $P-V$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા માટે,સંબંધ $P \propto V$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P = kV$ અથવા $\frac{P}{V} = \text{અચળ}$.
આને $P V^{-1} = \text{અચળ}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયાના સમીકરણ $P V^x = \text{અચળ}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -1$ મળે છે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ નું સૂત્ર $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1 - (-1)} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = \frac{4 R}{2} = 2 R$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે।
આના પરથી, આપણે $P = \frac{nRT}{V}$ લખી શકીએ।
પ્રક્રિયા માટે આપેલી શરત $PV^2 = \text{constant}$ છે।
આપેલ શરતમાં $P$ નું પદ મૂકતા:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^2 = \text{constant}$
$nRT V = \text{constant}$
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી, આપણને $TV = \text{constant}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{V}$।
જેમ વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે, તેમ કદ $V$ વધે છે।
$T$ એ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી, કદમાં વધારો થવાથી વાયુનું તાપમાન ઘટશે।

(C) આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ પરથી, આપણને મળે છે $P = \frac{nRT}{V}$.
આપેલ પ્રક્રિયાનો નિયમ $VP^2 = \text{constant}$ છે.
આપેલ નિયમમાં $P$ ની કિંમત મૂકતા: $V \left(\frac{nRT}{V}\right)^2 = \text{constant}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $V \cdot \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} = \text{constant}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{T^2}{V} = \text{constant}$.
તેથી, $\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$.
અહીં $T_1 = T$, $V_1 = V$, અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{T^2}{V} = \frac{T_2^2}{2V}$.
$T_2^2 = 2T^2$.
$T_2 = \sqrt{2} T$.

(C) આપેલ એડિબેટિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $Pv^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$ ... $(i)$
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ: $PV = nRT$,તેથી $P = \frac{nRT}{V}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$
$T V^{\frac{1}{2}} = \text{constant}$
તેથી,$T_1 V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 V_2^{\frac{1}{2}}$
શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = T$ અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{4}$ આપેલ છે:
$T V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 \left(\frac{V_1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{2}\right)$
$T_2 = 2T$

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = \text{constant}$ માટે, થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1-n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_V\Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ છે.
આપેલ પ્રક્રિયા $PV^2 = \text{constant}$ માટે, $n = 2$ છે.
થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1-2} = -nR\Delta T$ છે.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનો ગુણોત્તર $\frac{W}{\Delta U} = \frac{-nR\Delta T}{n(\frac{5}{2}R)\Delta T} = \frac{-1}{2.5} = -0.4$ થાય છે.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ માટે, થતું કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{x - 1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં $n = 1$ અને $x = 3$ આપેલ છે。
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1$ છે, તેથી $T_1 - T_2 = -\Delta T$ થાય。
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1 \cdot R \cdot (-\Delta T)}{3 - 1}$
$W = \frac{-R \Delta T}{2}$
થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = \left| \frac{-R \Delta T}{2} \right| = \frac{R \Delta T}{2}$ મળે છે।

(C) આપેલ શરત $V \propto T^{2/3}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
$V \propto T^{2/3}$ હોવાથી,$V = cT^{2/3}$ લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $T \propto V^{3/2}$.
આને આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા: $P \propto \frac{T}{V} \propto \frac{V^{3/2}}{V} = V^{1/2}$.
તેથી,$P = kV^{1/2}$ જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} kV^{1/2} \, dV$.
$W = k \left[ \frac{V^{3/2}}{3/2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{2}{3} [kV_2^{3/2} - kV_1^{3/2}] = \frac{2}{3} [P_2V_2 - P_1V_1]$.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$W = \frac{2}{3} nR(T_2 - T_1) = \frac{2}{3} nR \Delta T$.
અહીં $n = 1 \ mol$,$\Delta T = 30 \ K$,અને $R = 8.314 \ J/mol \cdot K$ છે.
$W = \frac{2}{3} \times 1 \times 8.314 \times 30 = 20 \times 8.314 = 166.28 \ J$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$W = 166.2 \ J$.

(B) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = \text{constant}$ માટે, મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-n}$ છે.
આપેલ છે કે $n = 3$ અને એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે $C_V = \frac{3R}{2}$.
તેથી, $C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-3} = \frac{3R}{2} - \frac{R}{2} = R$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ ($1$ મોલ માટે) પરથી, $T = \frac{PV}{R}$ મળે.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $T_1 = \frac{P_1 V_1}{R}$.
અંતિમ અવસ્થા: $P_1 V_1^3 = P_2 V_2^3$ હોવાથી, $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^3$.
$T_2 = \frac{P_2 V_2}{R} = \frac{P_1 V_1^3}{R V_2^2}$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C \Delta T = 1 \cdot R \cdot (T_2 - T_1)$ છે.
$Q = R \left( \frac{P_1 V_1^3}{R V_2^2} - \frac{P_1 V_1}{R} \right) = P_1 V_1 \left( \frac{V_1^2}{V_2^2} - 1 \right)$.