Isothermal Process Questions in Gujarati

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, આદર્શ વાયુનું અવસ્થા સમીકરણ $PV = \text{અચળ}$ છે.
કદ $V$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા, આપણને $P + V(dP/dV) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $P = -V(dP/dV)$.
વ્યાખ્યા મુજબ, બલ્ક મોડ્યુલસ (અથવા સ્થિતિસ્થાપકતા) $K$ એ $K = -V(dP/dV)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણે જાણી શકીએ છીએ કે સમતાપી સ્થિતિસ્થાપકતા $K_i$ એ વાયુના દબાણ $P$ જેટલી હોય છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે,જે $U = nC_vT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી (isothermal) હોવાથી,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 0$ છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T = 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુની આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમનું તાપમાન અચળ રહે છે $(T = \text{અચળ})$.
આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે $(U = f(T))$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા પણ અચળ રહે છે $(\Delta U = 0)$.
તેથી, વિકલ્પ $(C)$ સાચું વિધાન છે.

(A) બે સમતાપી વક્રો અચળ તાપમાને દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. જો બે સમતાપી વક્રો એક બિંદુએ છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે ચોક્કસ બિંદુએ (જે ચોક્કસ દબાણ અને કદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે),સિસ્ટમનું તાપમાન એકસાથે બે અલગ-અલગ હોય. સંતુલનમાં રહેલી સિસ્ટમ માટે આપેલ સ્થિતિએ માત્ર એક જ અનન્ય તાપમાન હોઈ શકે છે,તેથી બે અલગ-અલગ સમતાપી વક્રોનું છેદવું ભૌતિક રીતે અશક્ય છે. તેથી,તેઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદી શકતા નથી.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વિસ્તરણ દરમિયાન તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય હોવાથી $(U = f(T))$,અચળ તાપમાનનો અર્થ એ છે કે વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,$\Delta U = 0$.

(D) સમતાપી પ્રતિવર્તી વિસ્તરણમાં થયેલું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$.
અહીં,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,$V_1$ એ પ્રારંભિક કદ છે અને $V_2$ એ અંતિમ કદ છે.
આપેલ છે: ઓક્સિજનનું દળ $(m)$ = $96\, g$,$O_2$ નું આણ્વીય દળ $(M)$ = $32\, g/mol$.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{m}{M} = \frac{96}{32} = 3\, mol$.
તાપમાન $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\, K$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 70\, L$,અંતિમ કદ $V_2 = 140\, L$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણકને $10$ ના આધારમાં ફેરવતા: $\ln(x) = 2.303 \log_{10}(x)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 3 \times R \times 300 \times 2.3 \log_{10}\left(\frac{140}{70}\right)$.
$W = 900 \times 2.3 \times R \times \log_{10}(2)$.
આમ,થયેલું કાર્ય $2.3 \times 900\, R\, \log_{10} 2$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
અહીં $n$,$R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$PV = \text{અચળ}$ થાય.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P \Delta V + V \Delta P = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $V \Delta P = -P \Delta V$ મળે છે.
બંને બાજુ $PV$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta P}{P} = -\frac{\Delta V}{V}$.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર: $W = -\mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ છે.
આપેલ છે: $\mu = 1 \text{ mole}$,$T = 273 \text{ K}$,$V_1 = 22.4 \text{ litres}$,$V_2 = 11.2 \text{ litres}$,અને $R = 8.31 \text{ J/mol K}$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = -1 \times 8.31 \times 273 \times \ln\left(\frac{11.2}{22.4}\right)$.
$W = -8.31 \times 273 \times \ln(0.5)$.
કારણ કે $\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$,
$W = -8.31 \times 273 \times (-0.693) \approx 1572.5 \text{ J}$.
નોંધ: વાયુ પર થયેલ કાર્ય ધન હોય છે,પરંતુ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ હોય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$-1572.5 \text{ J}$ એ સંકોચન દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય દર્શાવે છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
$1$ મોલ વાયુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ પરથી,$P = \frac{RT}{V}$ મળે છે.
કદ $V_1$ થી $V_2$ સુધીના સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{RT}{V} \, dV$
અહીં $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,તેમને સંકલનની બહાર લેતા:
$W = RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \, dV$
$W = RT [\ln V]_{V_1}^{V_2}$
$W = RT (\ln V_2 - \ln V_1)$
$W = RT \log_{e} \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમતાપી સંકોચનક્ષમતા $\beta_T$ એ $\beta_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$,તેથી $P = \frac{nRT}{V}$.
જેમ કે $T$ અચળ છે,દબાણ $P$ એ કદ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,અને સંકોચનક્ષમતા $\beta_T = \frac{1}{P}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,દબાણ $P$ એ સમતાપી સંકોચનક્ષમતાના વ્યસ્ત દ્વારા નક્કી થાય છે,એટલે કે $P = \frac{1}{\beta_T}$.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા એ એક એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે, એટલે કે $T = \text{constant}$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ, $PV = nRT$.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $n$, $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી, $PV$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ.
તેથી, $PV = \text{constant}$, જે બોઈલના નિયમનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે.
આમ, સમતાપી ફેરફાર દરમિયાન આદર્શ વાયુ બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખતી હોવાથી $(U = f(T))$,આંતરિક ઉર્જા પણ અચળ રહે છે $(dU = 0)$.
જોકે,સમતાપી પ્રક્રિયા થવા માટે,તંત્ર દ્વારા અથવા તંત્ર પર થયેલા કાર્યને સરભર કરવા માટે તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉર્જાની આપ-લે થવી જરૂરી છે $(dQ = dW)$.
તેથી,'ઉર્જાની કોઈ આપ-લે થતી નથી' તે વિધાન ખોટું છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 0$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{Q}{m \Delta T}$ છે,જ્યાં $Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$m$ એ દળ છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં $\Delta T = 0$ હોવાથી,છેદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,$C = \frac{Q}{m \times 0} = \infty$.
આમ,સમતાપી પ્રક્રિયામાં વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અનંત હોય છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા અચળ તાપમાને થાય છે.
અચળ તાપમાન જાળવી રાખવા માટે,તંત્ર તેના પર્યાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોવું જોઈએ.
આ માટે પાત્રની દીવાલો ઉષ્માની સુવાહક હોવી જરૂરી છે જેથી તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માનું મુક્તપણે આદાન-પ્રદાન થઈ શકે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,તાંબુ એ ધાતુ છે અને ઉષ્માનો સારો સુવાહક છે,જ્યારે કાચ,લાકડું અને કાપડ ઉષ્માના અવાહક છે.
તેથી,તાંબાનું બનેલું પાત્ર સમતાપી પ્રક્રિયા માટે યોગ્ય છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = 0$ થાય છે.
વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $dW = P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કદ અડધું થાય છે,ત્યારે અંતિમ કદ $V_2 = V_1 / 2$ થાય છે.
તેથી,કદમાં થતો ફેરફાર $dV = V_2 - V_1 = V_1 / 2 - V_1 = -V_1 / 2$ થાય છે.
$dV$ ઋણ હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $dW = P dV$ ઋણ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવ્યું છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાને અવસ્થા ચલ $P$,$V$,અને $T$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Isochoric$ (સમકદ) પ્રક્રિયા એવી છે જેમાં કદ $V$ અચળ રહે છે.
$Isobaric$ (સમદાબ) પ્રક્રિયા એવી છે જેમાં દબાણ $P$ અચળ રહે છે.
$Isothermal$ (સમતાપી) પ્રક્રિયા એવી પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં સિસ્ટમનું તાપમાન $T$ ફેરફાર દરમિયાન અચળ રહે છે,ભલે દબાણ $P$ અને કદ $V$ બદલાતા હોય.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$\Delta T = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = 0$. જ્યારે વાયુનું સંકોચન થાય છે,ત્યારે વાયુ પર કાર્ય થાય છે,તેથી $\Delta W < 0$. આ કિંમતો પ્રથમ નિયમમાં મૂકતા,$\Delta Q = 0 + \Delta W$. કારણ કે $\Delta W < 0$,તેથી $\Delta Q$ પણ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે અચળ તાપમાન જાળવી રાખવા માટે વાયુ દ્વારા આસપાસમાં ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
$\Delta U = 0$ હોવાથી,$\Delta Q = \Delta W$ મળે.
અહીં વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી $\Delta W = -1.5 \times 10^4 \ J$ (પરંપરા મુજબ,તંત્ર પર થયેલ કાર્ય ઋણ લેવાય છે).
તેથી,$\Delta Q = -1.5 \times 10^4 \ J$.
જૂલને કેલરીમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \ \text{cal} \approx 4.18 \ J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\Delta Q = \frac{-1.5 \times 10^4}{4.18} \ \text{cal} \approx -3.588 \times 10^3 \ \text{cal} \approx -3.6 \times 10^3 \ \text{cal}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઉષ્મા વાયુમાંથી બહાર નીકળી છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
$\Delta U = 0$ મૂકતા,આપણને $\Delta Q = \Delta W$ મળે છે.
તેથી,વાયુને આપેલી ઉષ્મા સંપૂર્ણપણે બાહ્ય કાર્ય કરવામાં વપરાય છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર: $W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ છે.
આપેલ કિંમતો છે: $\mu = 1 \, mol$,$R = 8.31 \, J/mol \cdot K$,$T = 300 \, K$,$V_1 = 10 \, L$,અને $V_2 = 20 \, L$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 1 \times 8.31 \times 300 \times \ln\left(\frac{20}{10}\right)$
$W = 2493 \times \ln(2)$
$\ln(2) \approx 0.6931$ લેતા:
$W = 2493 \times 0.6931 \approx 1728 \, J$.

(B) પ્રક્રિયા ખૂબ જ ધીમી હોવાથી અને તંત્ર આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેતું હોવાથી,આ એક સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $\mu = 0.2 \, mol$
તાપમાન $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \, J/(mol \cdot K)$
અંતિમ કદ $V_2 = 2V_1$,તેથી $\frac{V_2}{V_1} = 2$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.2 \times 8.3 \times 300 \times \ln(2)$
$W = 0.2 \times 8.3 \times 300 \times 0.693$
$W = 498 \times 0.693 \approx 345 \, J$
આમ,તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય આશરે $345 \, J$ છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ બોઈલના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1 \, L = 1000 \, cm^3$.
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 72 \, cm$ $Hg$.
અંતિમ કદ $V_2 = 900 \, cm^3$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{72 \times 1000}{900} = 80 \, cm$ $Hg$.
દબાણમાં થતો વધારો $\Delta P = P_2 - P_1 = 80 - 72 = 8 \, cm$ $Hg$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે,એટલે કે $U = f(T)$.
સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જા બદલાતી નથી.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી $\Delta Q = \Delta W$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા એ વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા એ એક એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમનું તાપમાન અચળ રહે છે.
તાપમાન અચળ રહે તે માટે,સિસ્ટમે થર્મલ સંતુલન જાળવવા માટે તેની આસપાસના વાતાવરણ સાથે ખૂબ જ ધીમેથી ગરમીની આપ-લે કરવી પડે છે.
જો પ્રક્રિયા ઝડપી હોય,તો સિસ્ટમ પાસે ગરમીની આપ-લે કરવા માટે પૂરતો સમય હોતો નથી અને તાપમાન બદલાઈ જાય છે,જે તેને સમતાપીને બદલે એડિયાબેટિક બનાવે છે.
તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયાઓ સ્વાભાવિક રીતે ધીમી પ્રક્રિયાઓ છે.

(C) પ્રક્રિયા સમતાપી છે,તેથી $T = \text{અચળ}$.
$PV = \mu RT$ હોવાથી,$P = \frac{\mu RT}{V}$ મળે.
પાત્ર $A$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_A RT}{V} - \frac{\mu_A RT}{2V} = \frac{\mu_A RT}{2V} \dots (i)$.
પાત્ર $B$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $1.5 \Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_B RT}{V} - \frac{\mu_B RT}{2V} = \frac{\mu_B RT}{2V} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,$\frac{\Delta P}{1.5 \Delta P} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{1}{1.5} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\mu = \frac{m}{M}$ હોવાથી,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી $\frac{m_A/M}{m_B/M} = \frac{2}{3} \implies \frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3m_A = 2m_B$.

(A) આપેલ વાન ડર વાલ્સના સમીકરણ મુજબ:
$(V - n\beta) \left( P + \frac{\alpha n^2}{V^2} \right) = nRT$
$P$ ને કર્તા બનાવતા:
$P = \frac{nRT}{V - n\beta} - \frac{\alpha n^2}{V^2}$
થયેલ કાર્ય $W$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \left( \frac{nRT}{V - n\beta} - \frac{\alpha n^2}{V^2} \right) dV$
$W = nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V - n\beta} - \alpha n^2 \int_{V_1}^{V_2} V^{-2} dV$
પદોનું સંકલન કરતા:
$W = nRT [\log_e(V - n\beta)]_{V_1}^{V_2} - \alpha n^2 \left[ -\frac{1}{V} \right]_{V_1}^{V_2}$
$W = nRT \log_e \left( \frac{V_2 - n\beta}{V_1 - n\beta} \right) + \alpha n^2 \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right)$
$W = nRT \log_e \left( \frac{V_2 - n\beta}{V_1 - n\beta} \right) + \alpha n^2 \left( \frac{V_1 - V_2}{V_1 V_2} \right)$

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાં, તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ, $PV = nRT$.
અહીં $n$, $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી, $PV = \text{constant}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $P \propto \frac{1}{V}$.
આ સંબંધ $PV$ આલેખમાં લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ $B$ માં આપેલો આલેખ આ અતિવલય સંબંધ દર્શાવે છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રમાં, સમતાપી પ્રક્રિયા (Isothermal process) એ એક એવી ઉષ્મીય પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન, તંત્રમાં ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ એટલી ધીમી ગતિએ થાય છે કે તાપીય સંતુલન જળવાઈ રહે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ, જો $T$ અચળ હોય, તો $PV$ નો ગુણાકાર પણ અચળ રહેવો જોઈએ $(PV = \text{constant})$.
તેથી, જ્યારે $T$ અચળ રહે છે, ત્યારે દબાણ $P$ અને કદ $V$ બંને બદલાય છે જેથી સમીકરણનું પાલન થાય.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $\mu = 1 \; mol$
વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \; J/mol \cdot K$
તાપમાન $T = 300 \; K$
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 10 \; L$
અંતિમ કદ $V_2 = 20 \; L$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 1 \times 8.31 \times 300 \times \ln\left(\frac{20}{10}\right)$
$W = 2493 \times \ln(2)$
$\ln(2) \approx 0.693$ લેતા:
$W \approx 2493 \times 0.693 \approx 1727.65 \; J$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$W \approx 1728 \; J$ મળે છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,થતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$.
આપેલ છે: $n = 5 \, \text{મોલ}$,$T = 500 \, K$,$V_f = 2V_i$,અને $R \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 5 \times 8.314 \times 500 \times \ln(2)$.
$\ln(2) \approx 0.693$ હોવાથી,$W = 5 \times 8.314 \times 500 \times 0.693$.
$W = 2500 \times 8.314 \times 0.693 \approx 14412 \, J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,થતું કાર્ય આશરે $14400 \, J$ છે.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q + W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,$Q$ એ તંત્રમાં ઉમેરાતી ઉષ્મા છે,અને $W$ એ તંત્ર પર થયેલું કાર્ય છે.
આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,$\Delta U = 0$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $0 = Q + W$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $Q = -W$.
આપેલ છે કે વાયુ તેના પર્યાવરણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,તેથી વાયુ પર થયેલું કાર્ય $W = -150 \, J$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $Q = -(-150 \, J) = +150 \, J$ મળે છે.
$Q$ નું ધન મૂલ્ય દર્શાવે છે કે વાયુમાં $150 \, J$ ઉષ્મા ઉમેરવામાં આવી છે.

(A) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} \mu RT = \frac{f}{2} \left( \frac{N}{N_A} \right) RT$ છે,જે દર્શાવે છે કે $U \propto NT$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. તેથી,આંતરિક ઊર્જા $U$ એ અણુઓની સંખ્યા $N$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(U \propto N)$.
પરિણામે,જો અણુઓની સંખ્યા $N$ માં વધારો કરવામાં આવે,તો સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા આદર્શ વાયુ માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$. અહીં $n$,$R$,અને $T$ અચળ હોવાથી,$PV$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ. તેથી,$P = \text{constant} / V$,જે સૂચવે છે કે $P \propto 1/V$.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં,વાયુનું દબાણ $P_1$ એ $P_1 = P_0 + \frac{Mg}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા કિસ્સામાં,જ્યારે ટ્યુબને ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુનું દબાણ $P_2$ એ $P_2 = P_0 - \frac{Mg}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$P_1 V_1 = P_2 V_2$. $V = A \times L$ હોવાથી,આપણને $P_1 L_1 = P_2 L_2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{P_0 + \frac{Mg}{A}}{P_0 - \frac{Mg}{A}} = \frac{P_0 A + Mg}{P_0 A - Mg}$.
કિંમતો મૂકતા: $P_0 A = 10^5 \times 20 \times 10^{-6} = 2 \, N$ અને $Mg = 0.002 \times 10 = 0.02 \, N$.
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{2 + 0.02}{2 - 0.02} = \frac{2.02}{1.98} = \frac{202}{198} = \frac{101}{99}$.

(D) દીવાલો ઉષ્મા-વાહક હોવાથી અને પ્રક્રિયા ધીમી હોવાથી,તાપમાન $T_0$ અચળ રહે છે. આ એક સમતાપી પ્રક્રિયા છે.
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$\Delta U = 0$ (આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે).
$2$. વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P \, dV = \int_{V_0}^{\eta V_0} \frac{RT_0}{V} \, dV = RT_0 \ln \eta$.
$3$. પિસ્ટન હલકો હોવાથી,વાયુનું દબાણ હંમેશા વાતાવરણીય દબાણ $P_{atm}$ જેટલું હોય છે. $PV = RT_0$ હોવાથી,$P = \frac{RT_0}{V}$. શરૂઆતમાં $P_i = \frac{RT_0}{V_0}$ અને અંતે $P_f = \frac{RT_0}{\eta V_0} = \frac{P_i}{\eta}$. આમ,અંતિમ દબાણ પ્રારંભિક દબાણના $\frac{1}{\eta}$ ગણું છે.
$4$. વાતાવરણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_{atm} = P_{atm} \Delta V = P_i (\eta V_0 - V_0) = P_i V_0 (\eta - 1) = RT_0(\eta - 1)$.
આમ,વિકલ્પ $D$ માં આપેલું વિધાન કે અંતિમ દબાણ $\frac{1}{(\eta - 1)}$ ગણું છે,તે ખોટું છે.

(A) પ્રક્રિયા $DA$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે કારણ કે તાપમાન $T$ એ $300 \text{ K}$ પર અચળ છે જ્યારે દબાણ $1 \times 10^5 \text{ Pa}$ થી $2 \times 10^5 \text{ Pa}$ સુધી બદલાય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V = \frac{nRT}{P}$ મળે છે,તેથી $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$.
આમ,$W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{P_D}{P_A}\right) = 2.303 nRT \log_{10}\left(\frac{P_D}{P_A}\right)$.
અહીં $n = 2$,$T = 300 \text{ K}$,$P_D = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,અને $P_A = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ આપેલ છે.
$W_{\text{by}} = 2.303 \times 2 \times R \times 300 \times \log_{10}\left(\frac{1 \times 10^5}{2 \times 10^5}\right) = 2.303 \times 600 \times R \times \log_{10}(0.5)$.
$W_{\text{by}} = 1381.8 \times R \times (-0.3) = -414.54 R \approx -414 R$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -(-414 R) = +414 R$ થાય છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
અહીં આપેલ છે કે વાયુ $600\,J$ કાર્ય કરે છે,તેથી $dW = 600\,J$.
આ કિંમતો મૂકતા,$dQ = 0 + 600\,J = 600\,J$.
અહીં $dQ$ ધન હોવાથી,વાયુ આસપાસમાંથી $600\,J$ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે.

(B) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C$ ને $C = \frac{\Delta Q}{n \Delta T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta T = 0$.
સૂત્રમાં $\Delta T = 0$ મૂકતા,આપણને $C = \frac{\Delta Q}{n \times 0} = \infty$ મળે છે.
તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અનંત હોય છે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ પર થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = -nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા હોવાથી,$P_i V_i = P_f V_f$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$.
અહીં દબાણ બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી $P_f = 2P_i$,એટલે કે $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{V_f}{V_i} = \frac{1}{2}$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -nRT \ln\left(\frac{1}{2}\right) = nRT \ln(2)$ થશે.
અહીં $n = 1$ મોલ અને $T = 27 + 273 = 300\,K$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = 1 \times R \times 300 \times \ln(2) = 300R \ln(2)$.

(D) આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $P = \frac{\text{constant}}{V}$ સંબંધને અનુસરે છે,જેનો અર્થ છે કે $PV = \text{constant}$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જો $PV$ અચળ હોય,તો $T$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ $(T = \text{constant})$.
આ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$T-P$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયાને આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (જ્યાં $P$ બદલાય તેમ $T$ અચળ રહે છે).
$P-V$ આલેખ જોતા,બિંદુ $1$ થી $2$ તરફ જતા દબાણ $P$ ઘટે છે (કારણ કે $V$ વધે છે).
તેથી,$T-P$ આલેખમાં,પ્રક્રિયા એક આડી રેખા હોવી જોઈએ જે $1$ થી શરૂ થાય અને $P$ ઘટતા $2$ તરફ જાય.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખમાં $T$ અચળ છે અને $P$ ઘટતા $1$ થી $2$ તરફ જાય છે,તે વિકલ્પ $(d)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
$n$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$V_1$ થી $V_2$ સુધીના સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન આપેલ ઉષ્મા $\Delta Q$ એ કરેલા કાર્ય $W$ જેટલી હોય છે,કારણ કે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} \, dV = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$.
અહીં $n = 1$ મોલ આપેલ હોવાથી,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = RT \ln \frac{V_2}{V_1}$ થશે.
એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S$ ની વ્યાખ્યા $\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}$ છે.
$\Delta Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta S = \frac{RT \ln \frac{V_2}{V_1}}{T} = R \ln \frac{V_2}{V_1}$ મળે છે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W_{by} = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $PV = nRT$ હોવાથી,$P = nRT/V$ થાય.
આનું સંકલન કરતા,$W_{by} = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V} dV = nRT \ln(V_f/V_i)$ મળે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,$P_i V_i = P_f V_f$,તેથી $V_f/V_i = P_i/P_f$.
આમ,$W_{by} = nRT \ln(P_i/P_f) = -nRT \ln(P_f/P_i)$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય એ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું ઋણ મૂલ્ય છે: $W_{on} = -W_{by} = -nRT \ln(V_f/V_i) = nRT \ln(P_f/P_i)$.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + P\Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U = f(T))$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$.
આમ,$\Delta U = nC_v\Delta T$ હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $\Delta U = 0$ થાય છે.
પ્રથમ નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા: $\Delta Q = 0 + P\Delta V$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = P\Delta V$.
તેથી,આપવામાં આવેલી ઉષ્મા તંત્ર દ્વારા થતા કાર્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે,આંતરિક ઊર્જામાં નહીં.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ એ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનું સાચું વિધાન છે.

(D) વિધાન ખોટું છે. અલગ-અલગ તાપમાન માટેના બે સમતાપી વક્રો એકબીજાને ક્યારેય છેદી શકતા નથી. જો તેઓ કોઈ બિંદુએ છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે ચોક્કસ $(P, V)$ અવસ્થાએ તંત્રનું તાપમાન એકસાથે બે અલગ-અલગ મૂલ્યો ધરાવે છે,જે અશક્ય છે.
કારણ સાચું છે. સમતાપી પ્રક્રિયા એ એક ધીમી પ્રક્રિયા છે જે તંત્રને તેના પર્યાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેવા દે છે. $P-V$ આલેખ પર સમતાપી વક્રનો ઢાળ $-\frac{dP}{dV} = \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $P$ અને $V$ ધન હોવાથી,આ ઢાળ મર્યાદિત અને એડિબેટિક (સમઉષ્મી) વક્રોની તુલનામાં પ્રમાણમાં ઓછો હોય છે (જેનો ઢાળ $\gamma \frac{P}{V}$ હોય છે).

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા એ એવી પ્રક્રિયા છે જે અચળ તાપમાને થાય છે. આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. કારણ કે $T$ અચળ છે,$P = (nRT)/V$,જે સૂચવે છે કે $P \propto 1/V$.
બે અલગ-અલગ સમતાપી વક્રો બે અલગ-અલગ તાપમાન ($T_1$ અને $T_2$) દર્શાવે છે. જો તેઓ એકબીજાને છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે છેદબિંદુ પર,સિસ્ટમનું તાપમાન એકસાથે બે અલગ-અલગ હોય,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
વધુમાં,સમતાપી પ્રક્રિયાઓ થર્મલ સંતુલન જાળવવા માટે સ્વાભાવિક રીતે ધીમી (ક્વાસી-સ્ટેટિક) હોય છે,જે $Reason$ માં કરેલા દાવા કે તે ઝડપથી થાય છે તેનાથી વિપરીત છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને ખોટા છે.

(N/A) આદર્શ વાયુની સમતાપી પ્રક્રિયામાં તાપમાન અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેથી સમતાપી પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
આ સમીકરણમાં $\Delta U = 0$ મૂકતા:
$\Delta Q = \Delta W$
આનો અર્થ એ છે કે સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રને આપવામાં આવતી તમામ ઉષ્માનો ઉપયોગ તંત્ર દ્વારા કાર્ય કરવામાં થાય છે.

(N/A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે $(T = \text{અચળ})$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે $(\Delta U = 0)$.
આ કિંમતને ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\Delta Q = \Delta W$.
આનો અર્થ એ છે કે સમતાપી વિસ્તરણમાં,તંત્રને આપવામાં આવતી તમામ ઉષ્માનો ઉપયોગ તંત્ર દ્વારા કાર્ય કરવા માટે થાય છે.

(N/A) હા,તંત્રને ગરમ કરવા છતાં તેનું તાપમાન અચળ રહેવું શક્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
જો આપેલી ઉષ્મા $(dQ)$ સંપૂર્ણપણે પરિસરની વિરુદ્ધ કાર્ય $(dW)$ કરવામાં વપરાય,તો આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(dU)$ શૂન્ય થાય છે.
આંતરિક ઉર્જા એ તાપમાનનું વિધેય હોવાથી $(U \propto T)$,જો $dU = 0$ હોય,તો તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $(dT)$ પણ શૂન્ય થાય છે.
આ પ્રક્રિયા સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન જોવા મળે છે,જેમ કે અચળ દબાણે $0^{\circ}C$ પર બરફનું પીગળવું અથવા $100^{\circ}C$ પર પાણીનું ઉકળવું.