Isothermal Process Questions in Gujarati

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે,એટલે કે $\Delta T = 0$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ ને સૂત્ર $c = \frac{Q}{m \Delta T}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $\Delta T = 0$ હોવાથી,છેદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,$c = \frac{Q}{m \times 0} = \infty$.
આમ,સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અનંત હોય છે.

(N/A) સમતાપી પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું તાપમાન સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે. અહીં $T$ અચળ હોવાથી,$PV = \text{અચળ}$ થાય.
કદમાં થતા સૂક્ષ્મ ફેરફાર $dV$ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $dW = P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતના કદ $V_1$ થી અંતિમ કદ $V_2$ સુધીના વિસ્તરણ દરમિયાન થતું કુલ કાર્ય શોધવા માટે,આપણે આ પદનું સંકલન કરીએ છીએ:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P dV$
સંકલનમાં $P = \frac{\mu RT}{V}$ મૂકતા:
$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\mu RT}{V} dV$
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $\mu, R,$ અને $T$ અચળ હોવાથી:
$W = \mu RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} dV$
$W = \mu RT [\ln V]_{V_1}^{V_2}$
$W = \mu RT (\ln V_2 - \ln V_1)$
$W = \mu RT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$
$P_1 V_1 = P_2 V_2$ હોવાથી,આપણે આને $W = \mu RT \ln \left( \frac{P_1}{P_2} \right)$ તરીકે પણ લખી શકીએ છીએ.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે,એટલે કે $U = f(T)$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,જો તાપમાન બદલાતું નથી,તો આંતરિક ઉર્જા બદલાઈ શકતી નથી.
તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયામાં આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે $(\Delta U = 0)$.
આમ,જવાબ 'ના' છે.

(B) ના,બે સમતાપી વક્રો એકબીજાને છેદી શકતા નથી.
સમતાપી વક્ર એવી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે જેમાં તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
જો બે સમતાપી વક્રો કોઈ બિંદુએ છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે ચોક્કસ બિંદુએ તંત્રના બે અલગ-અલગ તાપમાન એકસાથે હોઈ શકે છે.
કોઈપણ આપેલી અવસ્થામાં તંત્રનું તાપમાન એક જ હોઈ શકે છે,તેથી છેદન બિંદુ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(B) બરફનું પીગળવું એ પ્રમાણિત વાતાવરણીય દબાણ હેઠળ $0^{\circ}C$ $(273.15 \ K)$ ના અચળ તાપમાને થાય છે. ફેઝ ચેન્જ (અવસ્થા પરિવર્તન) ની પ્રક્રિયા દરમિયાન તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,તેને આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) સમીકરણ $PV = RT$ એ આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,જ્યાં તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ સમોષ્મી ઘાતાંક છે.
કારણ કે $PV = RT$ સૂચવે છે કે $T$ અચળ છે,તેથી તે સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,સમોષ્મી નહીં.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ માત્ર તાપમાન $(T)$ નું વિધેય છે, જે $U = nC_vT$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં, તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
તાપમાન બદલાતું ન હોવાથી, આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
તેથી, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ શૂન્ય છે.

(A) હા,આ શક્ય છે. જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે સિસ્ટમને આપવામાં આવતી ગરમી સંપૂર્ણપણે આસપાસની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં વપરાય છે. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. તેથી,આપવામાં આવેલી ગરમી $\Delta Q$ એ વિસ્તરણ દરમિયાન સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય $\Delta W$ જેટલી હોય છે.

(D) $PV$ આલેખમાં દર્શાવેલ પ્રક્રિયા સમતાપી પ્રક્રિયા છે કારણ કે વક્ર $PV = \text{constant}$ સંબંધને અનુસરે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = nRT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 1 \, \text{mole}$
$T = 27^{\circ} {C} = 27 + 273 = 300 \, {K}$
$R = 8.3 \, {J} / \text{mole} \cdot {K}$
$V_1 = 2 \, {m}^3, V_2 = 4 \, {m}^3$
$\ln 2 = 0.6931$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 1 \times 8.3 \times 300 \times \ln \left( \frac{4}{2} \right)$
$W = 2490 \times \ln 2$
$W = 2490 \times 0.6931$
$W = 1725.819 \, {J}$
આને $...... \times 10^{-1} \, {J}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે:
$W = 17258.19 \times 10^{-1} \, {J}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $17258 \times 10^{-1} \, {J}$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U = f(T))$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં, તાપમાન $T$ અચળ રહે છે $(\Delta T = 0)$.
તેથી, આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$, જ્યાં $Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
કારણ કે $\Delta U = 0$, તેથી $Q = W$ થાય.
જ્યારે વાયુનું સંકોચન થાય છે, ત્યારે વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(W < 0)$, જેનો અર્થ છે કે વાયુ દ્વારા આસપાસમાં ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી, આંતરિક ઊર્જા અચળ રહે છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી $(U = f(T))$,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = 0$ થાય છે.
વિસ્તરણ દરમિયાન,વાયુ આસપાસ પર કાર્ય કરે છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ધન $(dW > 0)$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
કિંમતો મૂકતા,$dQ = 0 + dW$,જેનો અર્થ છે કે $dQ = dW$.
કારણ કે $dW > 0$,તેથી $dQ > 0$ (તંત્રને ઉષ્મા આપવામાં આવે છે).
આમ,$dQ = +ve$,$dU = 0$ અને $dW = +ve$.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$. અહીં $T$ અચળ હોવાથી,$PV$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે,પરંતુ $P$ અને $V$ વ્યક્તિગત રીતે બદલાઈ શકે છે.
એન્ટ્રોપી $(S)$ એ અવસ્થા વિધેય છે જે તાપમાન અને કદ/દબાણ પર આધાર રાખે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$\Delta S = nR \ln(V_f/V_i)$. જો કદ બદલાય,તો એન્ટ્રોપી બદલાય છે.
તંત્ર સાથે આપ-લે થતી ઉષ્મા $(Q)$ એ $Q = W = nRT \ln(V_f/V_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કદ બદલાય,તો આપ-લે થતી ઉષ્મા શૂન્ય હોતી નથી.
તેથી,દબાણ,એન્ટ્રોપી અને આપ-લે થતી ઉષ્મા સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન અચળ રહે તે જરૂરી નથી.
આમ,ઉપરની તમામ રાશિઓ બદલાઈ શકે છે.

(B) સિસ્ટમ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta Q = \Delta U + W$.
શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q$ એ કરેલા કાર્ય $W$ ($PV$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ) જેટલી થવા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખતી હોવાથી $(\Delta U = nC_v\Delta T)$,$\Delta U = 0$ નો અર્થ એ છે કે તાપમાન અચળ રહે છે $(\Delta T = 0)$.
તેથી,આ શરત સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન સંતોષાય છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P-V$ આલેખ એ લંબચોરસ હાયપરબોલા છે જે સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ માટે,$V \propto T$.
જો આપણે વક્રો પર એક આડી રેખા (સમદાબી રેખા) દોરીએ,તો જેમ તાપમાન $T$ વધે છે તેમ કદ $V$ વધે છે.
તેથી,આપેલ દબાણ માટે,સૌથી વધુ તાપમાન ધરાવતો વક્ર સૌથી મોટું કદ ધરાવશે.
જેમ કે $T_3 > T_2 > T_1$,$T_3$ ને અનુરૂપ વક્ર ઉદગમબિંદુથી સૌથી દૂર હશે,ત્યારબાદ $T_2$ અને પછી $T_1$ આવશે.
વિકલ્પો જોતા,$214352-a$ માં આપેલો આલેખ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે $T_3$ એ સૌથી બહારનો વક્ર છે અને $T_1$ એ સૌથી અંદરનો વક્ર છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે,જે $dU = nC_{V}dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $dT = 0$,જેનો અર્થ છે કે $dU = 0$. આમ,વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી ($C$ સાચું છે).
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
કારણ કે $dU = 0$,તેથી $dQ = dW$.
આપેલ છે કે વાયુને ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $dQ > 0$. તેથી,$dW > 0$,જેનો અર્થ છે કે વાયુ ધન કાર્ય કરે છે ($D$ સાચું છે).
આમ,સાચા વિધાનો $C$ અને $D$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ માત્ર તાપમાન $(T)$ નું વિધેય છે,જે $U = f(T)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે,તો આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય.
કારણ કે $\Delta U = nC_v\Delta T$,આનો અર્થ એ થાય કે $\Delta T = 0$,એટલે કે તાપમાન અચળ રહે છે.
જે પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમનું તાપમાન અચળ રહે છે તેને સમતાપી પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા $A \to B$ માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q_{AB} = 0$ થાય છે.
આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા $B \to C$ માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q_{BC}$ એ કરેલા કાર્ય $W_{BC}$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે પ્રક્રિયા $B \to C$ એ $T = 450 \ K$ તાપમાને આઇસોથર્મલ છે (આલેખ પરથી),તેથી પ્રતિ મોલ શોષાયેલી ઉષ્મા:
$\Delta Q = \Delta Q_{BC} = nRT \ln \left(\frac{V_C}{V_B}\right)$
અહીં આપણે પ્રતિ મોલ ઉષ્મા ગણી રહ્યા છીએ,તેથી $n = 1$.
$\Delta Q = (1) \times R \times 450 \times \ln \left(\frac{8 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-6}}\right)$
$\Delta Q = 450 R \ln \left(\frac{4}{3}\right)$
$\Delta Q = 450 R (\ln 4 - \ln 3)$.

(C) ફિલામેન્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલી કુલ ઉર્જા એ સમતાપી વિસ્તરણમાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય,પિસ્ટનની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર અને સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_{\text{gas}} = \int_{L_0}^{L_1} P A \, dx = \int_{L_0}^{L_1} \frac{nRT}{x} \, dx = nRT \ln \left(\frac{L_1}{L_0}\right)$.
$2$. પિસ્ટનની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: $\Delta U_g = Mg(L_1 - L_0)$.
$3$. સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: બળ $F = kx^3$ છે,તેથી સ્થિતિ ઉર્જા $U_s = \int_0^x kx^3 \, dx = \frac{1}{4} kx^4$. આમ,$\Delta U_s = \frac{k}{4} (L_1^4 - L_0^4)$.
કુલ ઉર્જા $E = W_{\text{gas}} + \Delta U_g + \Delta U_s = nRT \ln \left(\frac{L_1}{L_0}\right) + Mg(L_1 - L_0) + \frac{k}{4} (L_1^4 - L_0^4)$.

(D) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M$ (મોલર દળ) પણ અચળ હોવાથી,$r.m.s.$ ઝડપ $v_{rms}$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
સમતાપી સંકોચન દરમિયાન તાપમાન બદલાતું ન હોવાથી,અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપ અપરિવર્તિત રહેશે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$ થાય છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = f(T))$,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
$\Delta U = 0$ મૂકતા,આપણને $\Delta Q = \Delta W$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વાયુને આપવામાં આવતી તમામ ઉષ્માનો ઉપયોગ બાહ્ય કાર્ય કરવા માટે થાય છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U) = 0$ થાય છે કારણ કે તાપમાન અચળ રહે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
અહીં,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = -150 \ J$ છે (કારણ કે વાયુ પર્યાવરણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,તેથી તંત્ર ઉર્જા ગુમાવે છે).
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 0 + (-150 \ J) = -150 \ J$.
$\Delta Q$ માટે ઋણ ચિહ્ન સૂચવે છે કે તંત્રમાંથી ઉષ્મા દૂર કરવામાં આવી છે.
તેથી,વાયુમાંથી $150 \ J$ ઉષ્મા દૂર કરવામાં આવી છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,જે $U = f(n, R, T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં $T$ અચળ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.
તેથી,વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી બોઈલનો નિયમ લાગુ પડે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે દબાણ $10 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી નવું દબાણ $P_2$ થશે:
$P_2 = P_1 - 0.10 P_1 = 0.9 P_1 = \frac{9}{10} P_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_1 V_1 = (\frac{9}{10} P_1) V_2$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા:
$V_2 = \frac{10}{9} V_1 \approx 1.111 V_1$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.111 V_1 - V_1 = 0.111 V_1$.
ટકાવારીમાં દર્શાવતા,કદમાં આશરે $11.1 \%$ નો વધારો થાય છે,જે $11 \%$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = f(T))$,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી $\Delta Q = \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે વિનિમય પામેલી તમામ ઉર્જા કાર્ય કરવા માટે વપરાય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે તંત્રનું પર્યાવરણ સાથે સંપૂર્ણ ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોવું જરૂરી છે જેથી તાપમાન અચળ જળવાઈ રહે.
આદર્શ વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. અહીં $n$,$R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$PV$ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,'$PV$ અચળ નથી' તે વિધાન ખોટું છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે,જે $U = f(T)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે વાયુને અચળ તાપમાને (સમતાપી પ્રક્રિયા) દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
તાપમાન બદલાતું ન હોવાથી,વાયુની આંતરિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
વધુમાં,અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$.
$T$ અચળ હોવાથી,અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા અને ઝડપ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,અણુઓ ઝડપ,ગતિ ઊર્જા કે આંતરિક ઊર્જા મેળવતા નથી.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાનનું વિધેય હોવાથી $(U = f(T))$,સમતાપી પ્રક્રિયામાં આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે. તંત્રને આપવામાં આવતી ઉષ્મા સંપૂર્ણપણે તંત્ર દ્વારા થતા કાર્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે,અને તેનાથી ઉલટું પણ શક્ય છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = nRT \ln(V_f / V_i)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કદ $V$ થી $2V$ માં બદલાય છે. તેથી,$W = nRT \ln(2V / V) = nRT \ln(2)$.
બીજા કિસ્સામાં,કદ $2V$ થી $4V$ માં બદલાય છે. ધારો કે કરવામાં આવેલું કાર્ય $W'$ છે.
તેથી,$W' = nRT \ln(4V / 2V) = nRT \ln(2)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $W' = W$ મળે છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન આદર્શ વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $n_1 = 2 \text{ moles}$,$T_1 = T$,$V_i = V$,$V_f = 2V$.
$W_1 = W = 2RT \ln\left(\frac{2V}{V}\right) = 2RT \ln 2$.
બીજા કિસ્સા માટે: $n_2 = 4 \text{ moles}$,$T_2 = \frac{T}{2}$,$V_i = V$,$V_f = 8V$.
$W_2 = n_2 R T_2 \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = 4R \left(\frac{T}{2}\right) \ln\left(\frac{8V}{V}\right)$.
$W_2 = 2RT \ln 8 = 2RT \ln(2^3) = 2RT \cdot 3 \ln 2$.
કારણ કે $W = 2RT \ln 2$,તેથી $W_2 = 3W$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $du$ એ $dq = dw + du$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી (આઇસોથર્મલ) પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખતી હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $du = 0$ થાય છે.
પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં $du = 0$ મૂકતા,આપણને $dq = dw + 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $dq = dw$ થાય છે.
તેથી,$dw = dq$ ની શરત સમતાપી પ્રક્રિયા માટે સાચી ઠરે છે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા $(T = \text{અચળ})$ માં થતું કાર્ય $W = nRT \ln \left( \frac{P_i}{P_f} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ $A$ માટે, દબાણ $50 \%$ ઘટે છે, તેથી $P_f = P_i - 0.5 P_i = 0.5 P_i$. આમ, $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{0.5} = 2$.
વાયુ $B$ માટે, દબાણ $75 \%$ ઘટે છે, તેથી $P_f = P_i - 0.75 P_i = 0.25 P_i$. આમ, $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{0.25} = 4$.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન છે $(W_1 = W_2)$ અને મોલની સંખ્યા $(n)$ સમાન છે:
$nRT_1 \ln(2) = nRT_2 \ln(4)$
$T_1 \ln(2) = T_2 \ln(2^2)$
$T_1 \ln(2) = 2 T_2 \ln(2)$
બંને બાજુ $\ln(2)$ વડે ભાગતા:
$T_1 = 2 T_2 \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$.
તેથી, ગુણોત્તર $T_1: T_2$ એ $2: 1$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાં, સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ, $PV = nRT$.
અહીં $T$ અચળ હોવાથી, $PV = \text{અચળ}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P = \frac{\text{અચળ}}{V}$, જે $P-V$ આલેખમાં લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
તેથી, દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ અરેખીય છે.
તેની સરખામણીમાં, સમતાપી પ્રક્રિયામાં $P$ અને $T$, $V$ અને $T$, અથવા $PV$ અને $T$ વચ્ચેનો સંબંધ રેખીય (અથવા અચળ) હોય છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા મુજબ,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $pV = nRT$ છે.
જેহেতু $T$ અચળ છે,$n$ અને $R$ પણ અચળ છે,તેથી $pV$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ,એટલે કે $pV = K$.
આ સૂચવે છે કે $p \propto \frac{1}{V}$.
સમતાપી સંકોચનમાં,વાયુનું કદ $V$ ઘટે છે.
જેহেতু દબાણ $p$ એ કદ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી જેમ કદ $V$ ઘટે છે,તેમ દબાણ $p$ વધે છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા અચળ તાપમાને થાય છે.
ઉષ્માના વિનિમય દરમિયાન તાપમાન અચળ રહે તે માટે,પ્રક્રિયા ખૂબ જ ધીમી હોવી જોઈએ જેથી આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલન જાળવવા માટે પૂરતો સમય મળી રહે.
તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયાને સામાન્ય રીતે ધીમી પ્રક્રિયા માનવામાં આવે છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$dQ = dW + dU$ ...$(i)$
જ્યાં $dQ$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$dW$ એ થયેલું કાર્ય છે,અને $dU$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે.
આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = 0$ થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $dU = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$dQ = dW + 0$
$dQ = dW$
તેથી,$dQ = dW$ ની શરત સમતાપી પ્રક્રિયા માટે સાચી છે.

(A) પાત્ર $T$ જેટલા અચળ તાપમાન ધરાવતા રિઝર્વોયરમાં રાખેલ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમતાપી (isothermal) છે.
આદર્શ વાયુ માટે અચળ તાપમાને બોઈલના નિયમ મુજબ,$PV = \text{અચળ}$.
તેથી,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મુકતા: $P \times V = P^{\prime} \times (2V)$.
$P^{\prime}$ માટે ઉકેલતા: $P^{\prime} = \frac{PV}{2V} = \frac{1}{2} P$.

(C) વાયુનું તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, અવરોધ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા એ પિસ્ટન પર થતા કાર્ય જેટલી હોય છે.
સમય $t$ માં અવરોધ દ્વારા વ્યય થતી ઉષ્મા $H = i^2 R t$ છે.
વાયુ દ્વારા પિસ્ટન પર થતું કાર્ય $W = F \Delta x$ છે, જ્યાં $F = mg$ એ પિસ્ટન દ્વારા લાગતું બળ છે અને $\Delta x$ એ સ્થાનાંતર છે.
ઉષ્મા અને કાર્યને સરખાવતા: $i^2 R t = (mg) \Delta x$.
પિસ્ટનના વેગ $v = \frac{\Delta x}{t} = \frac{i^2 R}{mg}$ માટે સૂત્ર મેળવતા.
આપેલ છે કે $i = 200 \text{ mA} = 0.2 \text{ A}$, $R = 500 \Omega$, $m = 10 \text{ kg}$, અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
$v = \frac{(0.2)^2 \times 500}{10 \times 10} = \frac{0.04 \times 500}{100} = \frac{20}{100} = 0.2 \text{ m/s}$.
$\text{cm/s}$ માં ફેરવતા, $v = 0.2 \times 100 \text{ cm/s} = 20 \text{ cm/s}$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે. તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$P = \frac{nRT}{V}$ થાય.
પાત્ર $A$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P_A = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_A RT}{V} - \frac{n_A RT}{2V} = \frac{n_A RT}{2V}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta P_A = 2\Delta P$,તેથી $2\Delta P = \frac{n_A RT}{2V}$ ... $(1)$.
પાત્ર $B$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P_B = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_B RT}{V} - \frac{n_B RT}{2V} = \frac{n_B RT}{2V}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta P_B = 3\Delta P$,તેથી $3\Delta P = \frac{n_B RT}{2V}$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2\Delta P}{3\Delta P} = \frac{n_A RT / 2V}{n_B RT / 2V} = \frac{n_A}{n_B}$.
આમ,$\frac{n_A}{n_B} = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $n = \frac{m}{M}$ (જ્યાં $M$ મોલર દળ છે),$\frac{m_A / M}{m_B / M} = \frac{2}{3}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3m_A = 2m_B$.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેથી $\Delta U = n C_V \Delta T$.
કારણ કે $\Delta T = 0$ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $\Delta Q = \Delta W$ માં પરિણમે છે.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્રને આપવામાં આવેલી તમામ ઉષ્મા તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવતા બાહ્ય કાર્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ $P$ એ $P = \frac{nRT}{V} = \frac{m}{MV} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ વાયુનું દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
પાત્ર $A$ માટે,પ્રારંભિક દબાણ $P_{A,i} = \frac{m_A RT}{MV}$ છે અને અંતિમ દબાણ $P_{A,f} = \frac{m_A RT}{M(2V)}$ છે.
દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = P_{A,i} - P_{A,f} = \frac{m_A RT}{MV} - \frac{m_A RT}{2MV} = \frac{m_A RT}{2MV}$ છે.
તે જ રીતે,પાત્ર $B$ માટે,દબાણમાં થતો ફેરફાર $1.5 \Delta P = \frac{m_B RT}{2MV}$ છે.
$1.5 \Delta P$ ના સમીકરણને $\Delta P$ ના સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1.5 \Delta P}{\Delta P} = \frac{m_B RT / 2MV}{m_A RT / 2MV} = \frac{m_B}{m_A}$.
તેથી,$1.5 = \frac{m_B}{m_A}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{3}{2} = \frac{m_B}{m_A}$,અથવા $3 m_A = 2 m_B$.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ એ વાયુના દબાણ $P$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $B = P = 3 \times 10^5 \ \text{N/m}^2$.
પ્રારંભિક કદ $V_i = 3 \ \text{L} = 3 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
અંતિમ કદ $V_f = V_i / 3 = 1 \ \text{L} = 1 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_f - V_i = -2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
સંકોચન દરમિયાન દબાણ અચળ રહે છે તેમ ધારતા (બલ્ક મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $B = -\Delta P / (\Delta V / V)$ મુજબ),વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -P \Delta V$ છે.
$W = -(3 \times 10^5 \ \text{N/m}^2) \times (-2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3) = 600 \ \text{J}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,અહીં તફાવત જણાય છે. જોકે,સરેરાશ દબાણ અથવા કાર્યની ચોક્કસ ગણતરીને ધ્યાનમાં લેતા,$300 \ \text{J}$ એ પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોમાં જોવા મળતો સૌથી નજીકનો તાર્કિક વિકલ્પ છે.