Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Hindi

(A) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_2$ सिंक का तापमान है और $T_1$ स्रोत का तापमान है।
प्रारंभ में,अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ है। इसलिए,$\eta_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
अंत में,अनुपात $\frac{T_2'}{T_1'} = \frac{3}{4}$ है। इसलिए,$\eta_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
दक्षता में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\eta_1 - \eta_2}{\eta_1} \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{\frac{4-3}{12}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{1/12}{1/3} \times 100 = \frac{3}{12} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$।

(C) सिंक का तापमान, $T_2 = 300 \,K$। इंजन की दक्षता, $\eta_1 = 0.25$।
दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
मान रखने पर: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.75 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \,K$।
जब स्रोत का तापमान $100 \,K$ बढ़ाया जाता है, तो नया स्रोत तापमान $T_1' = 400 + 100 = 500 \,K$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta_2 = 1 - \frac{T_2}{T_1'} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.40$।
दक्षता में वृद्धि $\Delta\eta = \eta_2 - \eta_1 = 0.40 - 0.25 = 0.15$ है।

(C) कार्नोट इंजन में,सिंक को एक ऊष्मीय ऊर्जा भंडार (thermal energy reservoir) के रूप में परिभाषित किया गया है। एक ऊष्मीय भंडार एक ऐसी प्रणाली है जिसकी ऊष्मा धारिता अनंत होती है,जिसका अर्थ है कि यह अपने तापमान में परिवर्तन किए बिना किसी भी मात्रा में ऊष्मा को अवशोषित या उत्सर्जित कर सकता है। इसलिए,जैसे ही गैस सिंक को ऊष्मीय ऊर्जा देती है,सिंक का तापमान स्थिर रहता है।

(C) कार्नोट इंजन एक आदर्श उत्क्रमणीय चक्र पर कार्य करता है। स्रोत को अनंत ऊष्मा धारिता वाले थर्मल रिज़र्वोयर के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए,जब कार्यशील पदार्थ (गैस) समतापीय प्रसार प्रक्रिया के दौरान स्रोत से ऊष्मीय ऊर्जा अवशोषित करती है,तो स्रोत का तापमान स्थिर रहता है।

(A) कार्नोट इंजन की प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है $(T_1 > T_2)$।
जब दोनों तापमानों में $100 \ K$ की कमी की जाती है,तो नए तापमान $T_1' = T_1 - 100$ और $T_2' = T_2 - 100$ हो जाते हैं।
नई दक्षता $\eta_2 = 1 - \frac{T_2 - 100}{T_1 - 100} = \frac{(T_1 - 100) - (T_2 - 100)}{T_1 - 100} = \frac{T_1 - T_2}{T_1 - 100}$ है।
चूंकि $T_1 - 100 < T_1$,नई दक्षता का हर (denominator) मूल दक्षता से छोटा है,जबकि अंश (numerator) समान रहता है।
इसलिए,$\eta_2 > \eta_1$,जिसका अर्थ है कि इंजन की दक्षता बढ़ जाती है।

(A) कार इंजन की शक्ति $P = 20 kW = 20,000 W$ है।
यात्रा में लगा समय $t = 1$ घंटा $= 3600 s$ है।
इंजन द्वारा किया गया उपयोगी कार्य $W = P \times t = 20,000 \times 3600 = 7.2 \times 10^7 J$ है।
इंजन की तापीय दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{in}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $Q_{in}$ ईंधन दहन द्वारा उत्पन्न ऊर्जा है।
दिया गया है $\eta = 40 \% = 0.4$, इसलिए $Q_{in} = \frac{W}{\eta}$।
$Q_{in} = \frac{7.2 \times 10^7 J}{0.4} = 18 \times 10^7 J$।
$kJ$ में परिवर्तित करने पर, $Q_{in} = 180,000 kJ$ प्राप्त होता है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 40\% = 0.4$ और $T_{\text{sink}} = 27^{\circ}C = 300 K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
अब,दूसरे मामले के लिए,समान सिंक तापमान के साथ दक्षता $\eta_2 = 50\% = 0.5$ है।
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.5 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.5} = 600 K$.
स्रोत के तापमान में हुई वृद्धि $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 600 K - 500 K = 100 K$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ और $T_{\text{sink}} = 250 \ K$ है।
$0.25 = 1 - \frac{250}{T_{\text{source}}} \implies \frac{250}{T_{\text{source}}} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
अतः,$T_{\text{source}} = \frac{1000}{3} \ K$.
स्थिति $2$: अंतिम दक्षता $\eta_2 = 50 \% = 0.50$ है और $T_{\text{source}}$ स्थिर रहता है।
$0.50 = 1 - \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} \implies \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} = 0.50$.
$T'_{\text{sink}} = 0.50 \times \frac{1000}{3} = \frac{500}{3} \ K$.
सिंक के तापमान में परिवर्तन $\frac{1000}{6} \ K$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: स्रोत का तापमान $T_1 = 400 \,K$, सिंक का तापमान $T_2 = 300 \,K$, और किया गया कार्य $W = 400 \,J$ है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ होती है, जहाँ $Q_1$ स्रोत से अवशोषित ऊष्मा है।
मान रखने पर: $1 - \frac{300}{400} = \frac{400}{Q_1}$.
$\frac{1}{4} = \frac{400}{Q_1} \Rightarrow Q_1 = 1600 \,J$.
इंजन द्वारा निष्कासित ऊर्जा $(Q_2)$ का मान $Q_2 = Q_1 - W$ होता है।
$Q_2 = 1600 \,J - 400 \,J = 1200 \,J$.

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ है, जहाँ $T_L = 300 \,K$ और $T_H = 600 \,K$ है।
मान रखने पर, हमें $\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$ प्राप्त होता है।
प्रति चक्र किया गया कार्य $W$, $W = \eta \times Q_H$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q_H = 800 \,J$ स्रोत से अवशोषित ऊष्मा है।
अतः, $W = 0.5 \times 800 \,J = 400 \,J$।

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ है,जहाँ $T_C$ ठंडे जलाशय का तापमान है और $T_H$ गर्म जलाशय का तापमान केल्विन $(K)$ में है।
दिया गया है: $T_C = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ और $\eta = 20 \% = 0.2$.
सूत्र में मान रखने पर: $0.2 = 1 - \frac{400}{T_H}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{400}{T_H} = 1 - 0.2 = 0.8$.
$T_H$ के लिए हल करने पर: $T_H = \frac{400}{0.8} = 500 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_H = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है, सिंक का तापमान $T_{\text{sink}} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 K$.
प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ के लिए:
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
अंतिम दक्षता $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ के लिए:
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.4 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.4} = 750 K$.
स्रोत के तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 750 K - 500 K = 250 K$ है।

(C) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$.
यह दिया गया है कि तीनों इंजन समान रूप से कुशल हैं,मान लीजिए $\eta_1 = \eta_2 = \eta_3 = \eta$.
पहले इंजन के लिए: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$.
दूसरे इंजन के लिए: $\eta = 1 - \frac{T_3}{T_2} \Rightarrow \frac{T_3}{T_2} = 1 - \eta$.
तीसरे इंजन के लिए: $\eta = 1 - \frac{T_4}{T_3} \Rightarrow \frac{T_4}{T_3} = 1 - \eta$.
चूंकि $1 - \eta$ स्थिर है,हमारे पास $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_4}{T_3} = k$ है,जहाँ $k = 1 - \eta$.
इससे,$T_2 = T_1 k$,$T_3 = T_2 k = T_1 k^2$,और $T_4 = T_3 k = T_1 k^3$.
अतः,$k^3 = \frac{T_4}{T_1} \Rightarrow k = \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3}$.
$k$ का मान रखने पर:
$T_2 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3} = T_1^{2/3} T_4^{1/3} = (T_1^2 T_4)^{1/3}$.
$T_3 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{2/3} = T_1^{1/3} T_4^{2/3} = (T_1 T_4^2)^{1/3}$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) कार्नोट हीट इंजन की दक्षता का सूत्र: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
यहाँ,$T_1$ स्रोत (गर्म जलाशय) का तापमान है और $T_2$ सिंक (ठंडे जलाशय) का तापमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि दक्षता केवल स्रोत और सिंक के तापमान पर निर्भर करती है।
यह इंजन में उपयोग किए जाने वाले कार्यकारी पदार्थ की प्रकृति से स्वतंत्र है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही कथन है।

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
दूसरी स्थिति के लिए: $\eta_2 = 0.6$,$T_2 = 300 \ K$,और हमें नया स्रोत तापमान $T_1'$ ज्ञात करना है।
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4$.
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.

(C) दिया गया है कि तापमान $T_1 = 500 \ K$ और $T_2 = 300 \ K$ हैं।
इन तापमानों के बीच कार्य करने वाले इंजन की अधिकतम सैद्धांतिक दक्षता (कार्नोट दक्षता) $\eta_{max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
$\eta_{max} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ या $40\%$.
अब, प्रत्येक डिज़ाइन के लिए दक्षता $(\eta = \frac{W}{Q_{in}})$ की गणना करें:
डिज़ाइन $A$ के लिए: $\eta_A = \frac{150}{1000} = 0.15$ $(15\%)$.
डिज़ाइन $B$ के लिए: $\eta_B = \frac{450}{1000} = 0.45$ $(45\%)$.
डिज़ाइन $C$ के लिए: $\eta_C = \frac{300}{1000} = 0.30$ $(30\%)$.
ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार, किसी भी इंजन की दक्षता कार्नोट दक्षता से अधिक नहीं हो सकती है। चूंकि $\eta_B = 0.45 > 0.4$, डिज़ाइन $B$ दूसरे नियम का उल्लंघन करता है और यह असंभव है। डिज़ाइन $C$ की दक्षता $0.3$ है, जो $0.4$ से कम है, इसलिए यह भौतिक रूप से संभव है। अतः, डिज़ाइन $C$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान (केल्विन में) है।
दिया गया है: $\eta = 30\% = 0.3$ और $T_1 = 500 \ K$.
सूत्र में मान रखने पर:
$0.3 = 1 - \frac{T_2}{500}$
$\frac{T_2}{500} = 1 - 0.3 = 0.7$
$T_2 = 0.7 \times 500 = 350 \ K$.
तापमान को केल्विन से सेल्सियस में बदलने के लिए,हम $T(^{\circ}C) = T(K) - 273$ संबंध का उपयोग करते हैं।
$T_2 = 350 - 273 = 77^{\circ} C$.

(B) हीट इंजन की दक्षता को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$
जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि दक्षता $\eta$ तापमान के अंतर $(T_1 - T_2)$ के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,जैसे-जैसे स्रोत और सिंक के बीच तापमान का अंतर बढ़ता है,हीट इंजन की दक्षता बढ़ती है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ ...$(i)$
जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
$100 \%$ दक्षता के लिए,हम $\eta = 1$ रखते हैं।
समीकरण $(i)$ में यह मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{T_2}{T_1} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T_2 = 0$।
अतः,कार्नोट इंजन की दक्षता $100 \%$ केवल तभी होती है जब सिंक का तापमान परम शून्य $(0 \ K)$ के बराबर हो।

(B) कार्नो इंजन द्वारा ली गई ऊष्मा,$Q = 3 \times 10^6 \text{ cal} = 4.2 \times 3 \times 10^6 \text{ J} = 12.6 \times 10^6 \text{ J}$.
स्रोत का तापमान,$T_1 = (627 + 273) \text{ K} = 900 \text{ K}$.
सिंक का तापमान,$T_2 = (27 + 273) \text{ K} = 300 \text{ K}$.
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{300}{900}$.
$\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \text{ J} = 8.4 \times 10^6 \text{ J}$.

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta = 1/3$,इसलिए $\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
जब सिंक का तापमान $40 \%$ कम किया जाता है,तो नया सिंक तापमान $T_2^{\prime} = T_2 - 0.40 T_2 = 0.6 T_2$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta^{\prime} = 1 - \frac{T_2^{\prime}}{T_1} = 1 - \frac{0.6 T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ का मान रखने पर,हमें $\eta^{\prime} = 1 - 0.6 \times \frac{2}{3} = 1 - 0.4 = 0.6$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत में बदलने पर,$\eta^{\prime} = 0.6 \times 100 \% = 60 \%$ होगा।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान (केल्विन में) है।
दिया गया है: $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ और $T_2 = 27^{\circ} C = 300 \ K$.
मान रखने पर: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.75 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
अब,दक्षता को बढ़ाकर $\eta_2 = 40 \% = 0.4$ करना है जबकि $T_1$ को $400 \ K$ पर स्थिर रखना है।
माना नया सिंक तापमान $T_2'$ है।
तब,$0.4 = 1 - \frac{T_2'}{400} \Rightarrow \frac{T_2'}{400} = 1 - 0.4 = 0.6$.
$T_2' = 0.6 \times 400 = 240 \ K$.

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दक्षता $\eta$ को अधिकतम करने के लिए,भिन्न $\frac{T_2}{T_1}$ का मान यथासंभव छोटा होना चाहिए।
यह तब होता है जब अंश $T_2$ (सिंक का तापमान) यथासंभव कम हो और हर $T_1$ (स्रोत का तापमान) यथासंभव अधिक हो।
इसलिए,दक्षता तब अधिकतम होती है जब $T_1$ अधिक हो और $T_2$ कम हो।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रत्येक स्थिति के लिए दक्षता की गणना:
$(A)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 300 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ ($iii$ से मेल खाता है)
$(B)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 350 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{350}{500} = 1 - 0.7 = 0.3$ ($ii$ से मेल खाता है)
$(C)$ $T_1 = 800 \text{ K}, T_2 = 400 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0.5 = 0.5$ ($iv$ से मेल खाता है)
$(D)$ $T_1 = 450 \text{ K}, T_2 = 360 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{360}{450} = 1 - 0.8 = 0.2$ ($i$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-iii, B-ii, C-iv, D-i$ है।

(B) स्रोत तापमान $T_1$ और सिंक तापमान $T_2$ के बीच कार्य करने वाले कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = (1 - \frac{T_2}{T_1}) \times 100$ है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\eta_1 = 40 \% = 0.4$ और $T_1 = 500 \ K$ है।
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$।
दूसरी स्थिति के लिए,हम समान सिंक तापमान $T_2 = 300 \ K$ के साथ $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ चाहते हैं।
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 1 - 0.6 = 0.4$।
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$।
अतः,आवश्यक स्रोत तापमान $750 \ K$ है।

(B) कार्नोट ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि दोनों ऊष्मा इंजनों $X$ और $Y$ की दक्षता समान है, अतः $\eta_X = \eta_Y$.
इंजन $X$ के लिए, स्रोत का तापमान $900 \,K$ है और सिंक का तापमान $T \,K$ है। अतः, $\eta_X = 1 - \frac{T}{900}$.
इंजन $Y$ के लिए, स्रोत का तापमान $T \,K$ है और सिंक का तापमान $400 \,K$ है। अतः, $\eta_Y = 1 - \frac{400}{T}$.
दक्षताओं की तुलना करने पर:
$1 - \frac{T}{900} = 1 - \frac{400}{T}$
$\frac{T}{900} = \frac{400}{T}$
$T^2 = 900 \times 400$
$T^2 = 360000$
$T = \sqrt{360000} = 600 \,K$.
अतः, तापमान $T$ का मान $600 \,K$ है।

(D) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
कार्नो चक्र में,रुद्धोष्म प्रसार अवस्था $C$ से अवस्था $D$ तक होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
अतः,$T_C V_C^{\gamma-1} = T_D V_D^{\gamma-1}$।
यहाँ $V_C = V$ और $V_D = 32 V$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{T_C}{T_D} = \left(\frac{V_D}{V_C}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{32 V}{V}\right)^{\frac{7}{5}-1} = (32)^{\frac{2}{5}}$।
चूंकि $32 = 2^5$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T_C}{T_D} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$।
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_D}{T_C}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\eta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है,$Q$ इनपुट ऊष्मा है,$T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रारंभ में,$\eta = \frac{1}{4}$. इसलिए,$1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{4} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4} \implies T_2 = \frac{3}{4}T_1$ (समीकरण $i$).
जब सिंक का तापमान $50 \ K$ कम किया जाता है,तो नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 50$ होता है। नई दक्षता $\eta' = 33 \frac{1}{3} \% = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$1 - \frac{T_2 - 50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{T_2}{T_1} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ से $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$ का मान समीकरण $ii$ में रखने पर:
$1 - \frac{3}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{1}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.
$T_1 = 50 \times 12 = 600 \ K$.
अब,$T_2 = \frac{3}{4} \times 600 = 450 \ K$.
अतः,प्रारंभिक तापमान $600 \ K$ और $450 \ K$ हैं।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
मान लीजिए प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
जब स्रोत का तापमान तीन गुना किया जाता है,तो नया तापमान $T_1' = 3T_1$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta_2 = 1 - \frac{T_2}{3T_1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\eta_2 = 2\eta_1$.
अतः,$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2(1 - \frac{T_2}{T_1})$.
$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - \frac{2T_2}{T_1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{2T_2}{T_1} - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - 1$.
$\frac{6T_2 - T_2}{3T_1} = 1$.
$\frac{5T_2}{3T_1} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{5} = 0.6$.
इस मान को प्रारंभिक दक्षता के सूत्र में रखने पर: $\eta_1 = 1 - 0.6 = 0.4$.
इस प्रकार,प्रारंभिक दक्षता $40 \%$ है।

(D) माना स्रोत का प्रारंभिक तापमान $T_1$ और सिंक का तापमान $T_2$ है। प्रारंभिक दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
जब स्रोत का तापमान $25 \%$ बढ़ाया जाता है,तो नया तापमान $T_1' = 1.25 T_1$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta' = 1 - \frac{T_2}{1.25 T_1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\eta' = \eta + 0.80 \eta = 1.8 \eta$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{T_2}{1.25 T_1} = 1.8 \left( 1 - \frac{T_2}{T_1} \right)$.
सरलता के लिए $T_1 = 100 \text{ K}$ मानने पर,$\eta = 1 - \frac{T_2}{100}$.
अतः $1 - \frac{T_2}{125} = 1.8 \left( 1 - \frac{T_2}{100} \right)$.
$1 - \frac{T_2}{125} = 1.8 - 0.018 T_2$.
$0.018 T_2 - 0.008 T_2 = 1.8 - 1 \Rightarrow 0.01 T_2 = 0.8 \Rightarrow T_2 = 80 \text{ K}$.
नई दक्षता $\eta' = 1 - \frac{80}{125} = \frac{125 - 80}{125} = \frac{45}{125} = 0.36 = 36 \%$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ है।
बहु-चरणीय कार्नोट इंजन में,कुल दक्षता केवल प्रारंभिक स्रोत तापमान और अंतिम सिंक तापमान पर निर्भर करती है।
यहाँ,प्रारंभिक स्रोत तापमान $T_{\text{source}} = T$ है और अंतिम सिंक तापमान $T_{\text{sink}} = \beta T$ है।
इन मानों को दक्षता के सूत्र में रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{\beta T}{T} = 1 - \beta$।

(D) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{200}{400} = 1 - 0.5 = 0.5$,इसलिए $W = 0.5 Q_1$ है।
कार्नोट रेफ्रिजरेटर के लिए,निष्पादन गुणांक $COP = \frac{Q_4}{W} = \frac{T_4}{T_3 - T_4}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{Q_4}{W} = \frac{250}{350 - 250} = \frac{250}{100} = 2.5$,इसलिए $W = \frac{Q_4}{2.5} = 0.4 Q_4$ है।
चूंकि इंजन रेफ्रिजरेटर को चलाता है,इंजन द्वारा उत्पन्न कार्य $W$ रेफ्रिजरेटर द्वारा उपभोग किए गए कार्य $W$ के बराबर है।
अतः,$0.5 Q_1 = 0.4 Q_4$,जिसका अर्थ है $\frac{Q_4}{Q_1} = \frac{0.5}{0.4} = 1.25$ है।
कार्नोट रेफ्रिजरेटर के लिए,$\frac{Q_3}{T_3} = \frac{Q_4}{T_4}$,इसलिए $Q_3 = Q_4 \left( \frac{T_3}{T_4} \right) = Q_4 \left( \frac{350}{250} \right) = 1.4 Q_4$ है।
अब,हम अनुपात $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{Q_3}{Q_4} \times \frac{Q_4}{Q_1} = 1.4 \times 1.25 = 1.75$ प्राप्त करते हैं।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान $(T_2 = 500 \ K)$ है।
$\eta_1 = 50\% = 0.5$ के लिए:
$0.5 = 1 - \frac{500}{T_1} \Rightarrow \frac{500}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 1000 \ K$.
$\eta_2 = 80\% = 0.8$ के लिए,मान लीजिए नया स्रोत तापमान $T_1' = T_1 + \Delta T$ है:
$0.8 = 1 - \frac{500}{T_1 + \Delta T} \Rightarrow \frac{500}{T_1 + \Delta T} = 0.2$.
$T_1 + \Delta T = \frac{500}{0.2} = 2500 \ K$.
चूँकि $T_1 = 1000 \ K$,इसलिए वृद्धि $\Delta T = 2500 \ K - 1000 \ K = 1500 \ K$ है।

(B) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
रुद्धोष्म विस्तार प्रक्रिया के दौरान,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
अतः,$\gamma - 1 = 0.4 = \frac{2}{5}$ होगा।
दिया गया है कि आयतन $32$ के गुणक में बढ़ता है,अर्थात $V_2 = 32 V_1$।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = \left( \frac{1}{32} \right)^{2/5}$।
$\frac{T_2}{T_1} = \left( (2^5)^{-1} \right)^{2/5} = (2^{-5})^{2/5} = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25$।
अब,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$।
प्रतिशत में बदलने पर,$\eta = 75 \%$।

(D) किया गया कार्य, $W = 2000 \,J$।
परिवेश में छोड़ी गई ऊष्मा, $Q_2 = 4000 \,J$।
माना इंजन को दी गई ऊष्मा $Q_1$ है।
एक चक्र के लिए ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $Q_1 = W + Q_2$।
$Q_1 = 2000 \,J + 4000 \,J = 6000 \,J$।
तापीय दक्षता, $\eta = \frac{W}{Q_1} \times 100 \%$।
$\eta = \frac{2000}{6000} \times 100 \% = \frac{1}{3} \times 100 \% \approx 33.3 \%$।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ इनटेक तापमान है और $T_2$ निकास (exhaust) तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\eta_1 = 50 \% = 0.5$ और $T_1 = 500 \ K$ है।
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.5 \implies T_2 = 250 \ K$।
दूसरी स्थिति के लिए,$\eta_2 = 60 \% = 0.6$ है और निकास तापमान $T_2$ समान यानी $250 \ K$ रहता है। माना नया इनटेक तापमान $T_1'$ है।
$0.6 = 1 - \frac{250}{T_1'} \implies \frac{250}{T_1'} = 1 - 0.6 = 0.4$।
$T_1' = \frac{250}{0.4} = \frac{2500}{4} = 625 \ K$।

(A) कार्नोट चक्र में,स्रोत और सिंक दोनों की ऊष्मा धारिता अनंत मानी जाती है।
इस अनंत ऊष्मा धारिता के कारण,उनसे ऊष्मा लेने या उनमें ऊष्मा छोड़ने से उनके तापमान में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
इसलिए,पूरी प्रक्रिया के दौरान स्रोत का तापमान स्थिर रहता है।

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है,$\eta_1 = 0.4$ और $T_1 = 500 \ K$।
इन मानों को रखने पर: $0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \Rightarrow \frac{T_2}{500} = 0.6 \Rightarrow T_2 = 300 \ K$।
अब,दूसरे मामले के लिए,दक्षता $\eta_2 = 0.5$ है और सिंक का तापमान $T_2 = 300 \ K$ समान रहता है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $0.5 = 1 - \frac{300}{T_1}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{300}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $Q_1$,$T_1$ पर स्रोत से इंजन $C_1$ द्वारा अवशोषित ऊष्मा है,और $Q_2$,$T_2$ पर $C_1$ द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा है।
इंजन $C_1$ की दक्षता $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$ है।
इंजन $C_2$,$C_1$ द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा $Q_2$ को अवशोषित करता है और $T_3$ पर ऊष्मा $Q_3$ छोड़ता है।
इंजन $C_2$ की दक्षता $\eta_2 = 1 - \frac{T_3}{T_2} = \frac{Q_2 - Q_3}{Q_2}$ है।
संयुक्त प्रणाली द्वारा किया गया कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = (Q_1 - Q_2) + (Q_2 - Q_3) = Q_1 - Q_3$ है।
संयुक्त प्रणाली द्वारा अवशोषित कुल ऊष्मा $Q_1$ है।
संयुक्त इंजन की दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_3}{Q_1} = 1 - \frac{Q_3}{Q_1}$ है।
दक्षता के सूत्रों से: $Q_2 = Q_1(1 - \eta_1) = Q_1 \frac{T_2}{T_1}$ और $Q_3 = Q_2(1 - \eta_2) = Q_2 \frac{T_3}{T_2}$।
$Q_3$ के व्यंजक में $Q_2$ का मान रखने पर: $Q_3 = \left(Q_1 \frac{T_2}{T_1}\right) \frac{T_3}{T_2} = Q_1 \frac{T_3}{T_1}$।
अतः,संयुक्त इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_3}{Q_1} = 1 - \frac{T_3}{T_1}$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
अवकलन करने पर,हमें $d\eta = \frac{T_2}{T_1^2} dT_1 - \frac{1}{T_1} dT_2$ प्राप्त होता है।
$T_1$ में छोटे परिवर्तन के लिए ($T_2$ को स्थिर रखते हुए),$\Delta \eta_1 = \frac{T_2}{T_1^2} \Delta T_1 = \frac{T_2}{T_1} \left( \frac{\Delta T_1}{T_1} \right) = (1 - \eta) \frac{\Delta T_1}{T_1}$ है।
दिया गया है $\frac{\Delta T_1}{T_1} = 0.4 \%$,इसलिए $\Delta \eta_1 = (1 - \eta) \times 0.004$ है।
$T_2$ में छोटे परिवर्तन के लिए ($T_1$ को स्थिर रखते हुए),$\Delta \eta_2 = -\frac{1}{T_1} \Delta T_2 = -\frac{T_2}{T_1} \left( \frac{\Delta T_2}{T_2} \right) = -(1 - \eta) \frac{\Delta T_2}{T_2}$ है।
दिया गया है $\frac{\Delta T_2}{T_2} = 0.2 \%$,इसलिए $\Delta \eta_2 = -(1 - \eta) \times 0.002$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{\Delta \eta_1}{\Delta \eta_2} = \frac{(1 - \eta) \times 0.004}{-(1 - \eta) \times 0.002} = -2$ प्राप्त होता है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$ या $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{1 - \eta}$ प्राप्त होता है।
$T_2$ को स्थिर रखते हुए दक्षता को $1.5 \eta$ तक बढ़ाने के लिए,मान लें कि गर्म जलाशय का नया तापमान $T_1' = T_1 + \Delta T$ है।
नई दक्षता $1.5 \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1 + \Delta T}$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{T_2}{T_1 + \Delta T} = 1 - 1.5 \eta$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{T_1 + \Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta}$।
बाईं ओर को विभाजित करने पर,$\frac{T_1}{T_2} + \frac{\Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta}$।
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{1 - \eta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{1 - \eta} + \frac{\Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta} - \frac{1}{1 - \eta} = \frac{(1 - \eta) - (1 - 1.5 \eta)}{(1 - 1.5 \eta)(1 - \eta)} = \frac{0.5 \eta}{(1 - 1.5 \eta)(1 - \eta)}$।
इसलिए,$\Delta T = \frac{0.5 T_2 \eta}{(1 - 1.5 \eta)(1 - \eta)}$।

(A) कार्नोट इंजन की तापीय दक्षता का सूत्र इस प्रकार है:
$\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
दिया गया है:
किया गया कार्य $W = 300 \,J$
अवशोषित ऊष्मा $Q_1 = 400 \,J$
स्रोत का तापमान $T_1 = 1000 \,K$
सिंक का तापमान $T_2 = T$
दक्षता के सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{300}{400} = 1 - \frac{T}{1000}$
$\frac{3}{4} = 1 - \frac{T}{1000}$
$T$ के लिए हल करने पर:
$\frac{T}{1000} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$T = \frac{1000}{4} = 250 \,K$
अतः, सिंक का तापमान $250 \,K$ है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta_1 = \frac{1}{6}$, इसलिए $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$ या $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ (समीकरण $1$)।
जब सिंक का तापमान $62^{\circ} C$ कम किया जाता है, तो नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 62$ हो जाता है। नई दक्षता $\eta_2 = 2 \times \eta_1 = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ है।
अतः, $\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
समीकरण में $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ रखने पर: $\frac{1}{3} = 1 - \frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = 1 - \frac{5}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{6} + \frac{62}{T_1}$.
इसे व्यवस्थित करने पर $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{62}{T_1}$ प्राप्त होता है, इसलिए $\frac{1}{6} = \frac{62}{T_1}$, जिसका अर्थ है $T_1 = 372 \,K$.
समीकरण $1$ का उपयोग करने पर, $T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \,K$।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_2$ सिंक का तापमान है और $T_1$ स्रोत का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए, $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ और $T_2 = 300 \,K$ है।
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.6 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.6} = 500 \,K$।
द्वितीय स्थिति के लिए, $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ और $T_2 = 300 \,K$ है।
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1^{\prime}} \Rightarrow \frac{300}{T_1^{\prime}} = 0.4 \Rightarrow T_1^{\prime} = \frac{300}{0.4} = 750 \,K$।
स्रोत के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1^{\prime} - T_1 = 750 \,K - 500 \,K = 250 \,K$ है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है $\eta = \frac{1}{6}$,इसलिए $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6} T_1$.
जब सिंक का तापमान $62 \ K$ कम किया जाता है ($62^{\circ} C$ का परिवर्तन $62 \ K$ के बराबर है),तो नई दक्षता $\eta' = 2\eta = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ हो जाती है।
अतः,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$T_2 = \frac{5}{6} T_1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{4}{6} \implies \frac{62}{T_1} = \frac{1}{6} \implies T_1 = 372 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ} C$.
तब $T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K$. सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ} C$.
अतः,तापमान $99^{\circ} C$ और $37^{\circ} C$ हैं।