Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Hindi

(D) ऊष्मा इंजन एक ऐसा उपकरण है जो चक्रीय प्रक्रिया के माध्यम से ऊष्मीय ऊर्जा को यांत्रिक कार्य में परिवर्तित करता है。
$1$. यह उच्च तापमान वाले स्रोत $(T_H)$ से ऊष्मा अवशोषित करता है。
$2$. यह कुछ मात्रा में कार्य $(W)$ करता है。
$3$. यह शेष ऊष्मा को कम तापमान वाले सिंक $(T_L)$ में निष्कासित करता है。
$4$. चूंकि यह एक चक्रीय प्रक्रिया में कार्य करता है, इसलिए एक पूर्ण चक्र में निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ शून्य होता है $(\Delta U = 0)$。
अतः, उल्लिखित सभी विशेषताएं ऊष्मा इंजन की हैं।

(N/A) ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta$ को इंजन द्वारा प्रति चक्र किए गए कुल कार्य $(W)$ और गर्म जलाशय (स्रोत) से प्रति चक्र अवशोषित कुल ऊष्मा $(Q_H)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह ऊष्मा ऊर्जा के उस अंश को दर्शाता है जिसे उपयोगी कार्य में परिवर्तित किया गया है।
दक्षता का सूत्र इस प्रकार है:
$\eta = \frac{W}{Q_H}$
चूंकि $W = Q_H - Q_L$ (जहाँ $Q_L$ ठंडे जलाशय या सिंक को दी गई ऊष्मा है), इसलिए सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$
दक्षता को आमतौर पर परिणाम को $100\%$ से गुणा करके प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(A) हीट इंजन की सैद्धांतिक दक्षता को कार्नोट दक्षता द्वारा परिभाषित किया जाता है,जो दो तापमानों $T_1$ (स्रोत) और $T_2$ (सिंक) के बीच काम करने वाले किसी भी हीट इंजन के लिए अधिकतम संभव दक्षता का प्रतिनिधित्व करती है।
कार्नोट दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ गर्म जलाशय का निरपेक्ष तापमान है और $T_2$ ठंडे जलाशय का निरपेक्ष तापमान है।
यह दक्षता कार्यशील पदार्थ से स्वतंत्र है और केवल स्रोत और सिंक के तापमान पर निर्भर करती है।

(D) ऊष्मा इंजन की दक्षता को किए गए कार्य और स्रोत से अवशोषित ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक चक्र पूरा करने वाली आदर्श गैस के लिए,दक्षता स्रोत $(T_H)$ और सिंक $(T_L)$ के तापमान पर निर्भर करती है। कार्नोट प्रमेय के अनुसार,दो तापमानों के बीच कार्य करने वाले किसी भी ऊष्मा इंजन की अधिकतम दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है। इसलिए,आदर्श गैस के लिए दक्षता कोई निश्चित स्थिरांक नहीं है,बल्कि यह ऊष्मागतिक प्रक्रिया में शामिल जलाशयों के तापमान पर निर्भर करती है।

(N/A) कार्नोट चक्र सादी कार्नोट द्वारा प्रस्तावित एक सैद्धांतिक ऊष्मागतिक चक्र है। यह $T_{1}$ (स्रोत) और $T_{2}$ (सिंक) तापमान वाले दो ऊष्मा भंडारों के बीच कार्य करने वाले सबसे कुशल ऊष्मा इंजन का वर्णन करता है,जहाँ $T_{1} > T_{2}$ है।
यह चक्र चार उत्क्रमणीय प्रक्रियाओं से बना है:
$1$. उत्क्रमणीय समतापीय प्रसार: गैस $T_{1}$ तापमान पर प्रसारित होती है और स्रोत से $Q_{1}$ ऊष्मा अवशोषित करती है।
$2$. उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार: गैस बिना ऊष्मा विनिमय के और अधिक प्रसारित होती है और इसका तापमान $T_{1}$ से घटकर $T_{2}$ हो जाता है।
$3$. उत्क्रमणीय समतापीय संपीड़न: गैस $T_{2}$ तापमान पर संपीड़ित होती है और सिंक को $Q_{2}$ ऊष्मा त्यागती है।
$4$. उत्क्रमणीय रुद्धोष्म संपीड़न: गैस बिना ऊष्मा विनिमय के और अधिक संपीड़ित होती है और इसका तापमान $T_{2}$ से बढ़कर वापस $T_{1}$ हो जाता है।
कार्नोट चक्र के लिए $P-V$ आरेख चित्र में दर्शाया गया है।

(N/A) कार्नो इंजन निकोलस लियोनार्ड सादी कार्नो द्वारा प्रस्तावित एक सैद्धांतिक ऊष्मागतिक चक्र है। यह $T_H$ (स्रोत) और $T_L$ (सिंक) तापमान वाले दो ऊष्मा भंडारों के बीच कार्य करता है।
$1$. कार्नो इंजन के घटक:
- अचालक दीवारों और पूर्णतः सुचालक आधार वाला एक सिलेंडर।
- एक घर्षणहीन,अचालक पिस्टन।
- एक कार्यकारी पदार्थ (आदर्श गैस)।
- उच्च तापमान $T_H$ पर एक ऊष्मा स्रोत।
- निम्न तापमान $T_L$ पर एक ऊष्मा सिंक।
- एक अचालक स्टैंड।
$2$. कार्नो चक्र के चरण:
- चरण $I$: समतापीय प्रसार: गैस को ऊष्मा स्रोत पर रखा जाता है। यह $T_H$ तापमान पर समतापीय रूप से प्रसारित होती है और स्रोत से $Q_H$ ऊष्मा अवशोषित करती है।
- चरण $II$: रुद्धोष्म प्रसार: सिलेंडर को अचालक स्टैंड पर रखा जाता है। गैस तब तक रुद्धोष्म रूप से प्रसारित होती है जब तक कि उसका तापमान $T_L$ तक न गिर जाए।
- चरण $III$: समतापीय संपीड़न: सिलेंडर को ऊष्मा सिंक पर रखा जाता है। गैस को $T_L$ तापमान पर समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है,जिससे वह सिंक को $Q_L$ ऊष्मा त्यागती है।
- चरण $IV$: रुद्धोष्म संपीड़न: सिलेंडर को वापस अचालक स्टैंड पर रखा जाता है। गैस को तब तक रुद्धोष्म रूप से संपीड़ित किया जाता है जब तक कि उसका तापमान वापस $T_H$ न हो जाए,जिससे चक्र पूरा हो जाता है।

(N/A) कार्नोट इंजन चार प्रतिवर्ती प्रक्रियाओं के चक्र के माध्यम से काम करता है:
$(1)$ समतापीय प्रसार $(A \rightarrow B)$: गैस स्थिर तापमान $T_1$ पर फैलती है। अवशोषित ऊष्मा $Q_1 = \mu RT_1 \ln(V_2/V_1)$ है। किया गया कार्य $W_1 = Q_1 = \mu RT_1 \ln(V_2/V_1)$ है।
$(2)$ रुद्धोष्म प्रसार $(B \rightarrow C)$: गैस $(P_2, V_2, T_1)$ से $(P_3, V_3, T_2)$ तक रुद्धोष्म रूप से फैलती है। किया गया कार्य $W_2 = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ है।
$(3)$ समतापीय संपीड़न $(C \rightarrow D)$: गैस स्थिर तापमान $T_2$ पर संकुचित होती है। मुक्त की गई ऊष्मा $Q_2 = \mu RT_2 \ln(V_3/V_4)$ है। गैस पर किया गया कार्य $W_3 = \mu RT_2 \ln(V_3/V_4)$ है।
$(4)$ रुद्धोष्म संपीड़न $(D \rightarrow A)$: गैस $(P_4, V_4, T_2)$ से $(P_1, V_1, T_1)$ तक रुद्धोष्म रूप से संकुचित होती है। गैस पर किया गया कार्य $W_4 = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ है।
सिस्टम द्वारा किया गया कुल कार्य: $W = W_1 + W_2 - W_3 - W_4 = W_1 - W_3 = \mu RT_1 \ln(V_2/V_1) - \mu RT_2 \ln(V_3/V_4)$.
दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.

(N/A) कार्नोट प्रमेय के दो मुख्य भाग हैं:
$(a)$ $T_{1}$ और $T_{2}$ तापमान वाले दो ऊष्मा भंडारों के बीच कार्य करने वाले किसी भी ऊष्मा इंजन की दक्षता,उन्हीं दो भंडारों के बीच कार्य करने वाले प्रतिवर्ती (reversible) कार्नोट इंजन से अधिक नहीं हो सकती है।
$(b)$ समान दो ऊष्मा भंडारों के बीच कार्य करने वाले सभी प्रतिवर्ती इंजनों की दक्षता समान होती है,चाहे कार्यशील पदार्थ कोई भी हो।
भाग $(a)$ को सिद्ध करने के लिए,$T_{1}$ तापमान के स्रोत और $T_{2}$ तापमान के सिंक के बीच कार्य करने वाले एक अपरिवर्तनीय (irreversible) इंजन $I$ और एक प्रतिवर्ती कार्नोट इंजन $R$ पर विचार करें।
मान लीजिए $I$ स्रोत से $Q_{1}$ ऊष्मा अवशोषित करता है,$W'$ कार्य करता है और $Q_{1} - W'$ ऊष्मा सिंक को देता है। $R$ को $I$ के साथ इस प्रकार जोड़ें कि $R$ एक रेफ्रिजरेटर के रूप में कार्य करे,जो सिंक से $Q_{2}$ ऊष्मा ले और स्रोत को $Q_{1}$ ऊष्मा वापस देने के लिए $W$ कार्य की आवश्यकता हो।
यदि हम मान लें कि $\eta_{I} > \eta_{R}$,तो स्रोत से अवशोषित समान ऊष्मा $Q_{1}$ के लिए,$I$ द्वारा किया गया कार्य $W' > W$ होगा। संयुक्त प्रणाली का कुल कार्य $W' - W$ है और ठंडे भंडार से निकाली गई कुल ऊष्मा $(Q_{1} - W) - (Q_{1} - W') = W' - W$ है। इसका अर्थ है कि प्रणाली बिना किसी अन्य प्रभाव के ऊष्मा को सीधे कार्य में परिवर्तित करती है,जो ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के केल्विन-प्लैंक कथन का उल्लंघन करता है। अतः,$\eta_{I} \leq \eta_{R}$।
भाग $(b)$ के लिए,यदि हमारे पास दो प्रतिवर्ती इंजन $R_{1}$ और $R_{2}$ हैं,तो हम एक को उल्टा चलाकर एक संयुक्त प्रणाली बना सकते हैं। यदि एक अधिक कुशल होता,तो यह दूसरे नियम का उल्लंघन करता। इसलिए,सभी प्रतिवर्ती इंजनों की दक्षता समान होनी चाहिए,जो $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ द्वारा दी जाती है,जो कार्यशील पदार्थ से स्वतंत्र है।

(N/A) कार्नोट चक्र $1824$ में निकोलस लियोनार्ड सादी कार्नोट द्वारा प्रस्तावित एक सैद्धांतिक ऊष्मागतिक चक्र है। यह $T_H$ (गर्म) और $T_C$ (ठंडे) तापमान वाले दो ऊष्मा भंडारों के बीच काम करने वाले सबसे कुशल ऊष्मा इंजन का वर्णन करता है। यह चक्र चार उत्क्रमणीय प्रक्रियाओं से बना है:
$1$. उत्क्रमणीय समतापीय प्रसार: गैस स्थिर उच्च तापमान $T_H$ पर फैलती है और स्रोत से ऊष्मा $Q_H$ अवशोषित करती है।
$2$. उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार: गैस बिना ऊष्मा विनिमय के फैलती रहती है,और इसका तापमान $T_H$ से गिरकर $T_C$ हो जाता है।
$3$. उत्क्रमणीय समतापीय संपीड़न: गैस स्थिर निम्न तापमान $T_C$ पर संकुचित होती है और सिंक को ऊष्मा $Q_C$ निष्कासित करती है।
$4$. उत्क्रमणीय रुद्धोष्म संपीड़न: गैस बिना ऊष्मा विनिमय के संकुचित होती है,और इसका तापमान $T_C$ से बढ़कर वापस $T_H$ हो जाता है,जिससे चक्र पूरा हो जाता है।

(B) कार्नोट इंजन $1824$ में सादी कार्नोट द्वारा प्रस्तावित ऊष्मा इंजन का एक सैद्धांतिक मॉडल है।
यह कार्नोट चक्र नामक एक प्रतिवर्ती चक्र पर काम करता है,जिसमें दो समतापीय प्रक्रियाएं और दो रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रियाएं शामिल होती हैं।
यह दो दिए गए तापमानों,$T_H$ (गर्म जलाशय) और $T_L$ (ठंडा जलाशय) के बीच काम करने वाले किसी भी ऊष्मा इंजन की दक्षता के लिए सैद्धांतिक ऊपरी सीमा प्रदान करता है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ तापमान केल्विन $(K)$ में होते हैं।
चूंकि यह एक प्रतिवर्ती चक्र है,इसलिए यह दो ऊष्मा जलाशयों के बीच संभव सबसे अधिक कुशल इंजन है।

(A) कार्नो इंजन एक सैद्धांतिक ऊष्मागतिक चक्र है जिसे फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी $Nicolas$ $Léonard$ $Sadi$ $Carnot$ द्वारा $1824$ में प्रस्तावित किया गया था।
उन्होंने इस मॉडल को यह निर्धारित करने के लिए विकसित किया था कि जब कोई ऊष्मा इंजन दो अलग-अलग तापमान वाले थर्मल जलाशयों के बीच काम करता है,तो वह अधिकतम कितनी दक्षता प्राप्त कर सकता है।
इसलिए,सही उत्तर $Nicolas$ $Léonard$ $Sadi$ $Carnot$ है।

(D) एक आदर्श इंजन,विशेष रूप से कार्नोट इंजन,कार्नोट चक्र पर कार्य करता है।
यह चक्र चार उत्क्रमणीय प्रक्रियाओं से बना है:
$1$. उत्क्रमणीय समतापीय प्रसार।
$2$. उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार।
$3$. उत्क्रमणीय समतापीय संपीड़न।
$4$. उत्क्रमणीय रुद्धोष्म संपीड़न।
इसलिए,एक आदर्श इंजन में समतापीय और रुद्धोष्म प्रक्रियाओं का संयोजन शामिल होता है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि दक्षता केवल स्रोत और सिंक के तापमान ($T_1$ और $T_2$) पर निर्भर करती है।
यह इंजन में उपयोग किए जाने वाले कार्यशील पदार्थ की प्रकृति और इंजन की बनावट से स्वतंत्र है।

(N/A) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ है,जहाँ $T_L$ ठंडे जलाशय (सिंक) का निरपेक्ष तापमान है और $T_H$ गर्म जलाशय (स्रोत) का निरपेक्ष तापमान है।
दक्षता $\eta$ को $100\%$ (या $1$) होने के लिए,$\frac{T_L}{T_H}$ पद को $0$ के बराबर होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि या तो $T_L = 0 \ K$ (परम शून्य) होना चाहिए या $T_H = \infty$ होना चाहिए।
ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के अनुसार,सीमित चरणों में परम शून्य $(0 \ K)$ तापमान तक पहुँचना असंभव है।
इसके अतिरिक्त,अनंत तापमान वाला ऊष्मा स्रोत होना भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए,आदर्श कार्नोट इंजन सहित किसी भी ऊष्मा इंजन के लिए $100\%$ दक्षता प्राप्त करना असंभव है।

(N/A) कार्नोट प्रमेय ऊष्मा इंजन की दक्षता के संबंध में दो मुख्य बिंदु बताता है:
$1$. समान दो तापमानों ($T_1$ और $T_2$) के बीच कार्य करने वाले सभी उत्क्रमणीय (reversible) ऊष्मा इंजनों की दक्षता समान होती है,चाहे कार्यशील पदार्थ कोई भी हो।
$2$. दो दिए गए तापमानों के बीच कार्य करने वाले किसी भी अनुत्क्रमणीय (irreversible) ऊष्मा इंजन की दक्षता,उन्हीं दो तापमानों के बीच कार्य करने वाले उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन की दक्षता से अधिक नहीं हो सकती है।
गणितीय रूप से,कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को इस प्रकार दिया जाता है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत (source) का तापमान है और $T_2$ सिंक (sink) का तापमान है।

(N/A) एक आदर्श ऊष्मा इंजन,जिसे अक्सर कार्नोट इंजन कहा जाता है,एक उत्क्रमणीय चक्र पर कार्य करता है। इसकी दो आवश्यक विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:
$(i)$ ऊष्मा स्रोत की ऊष्मा धारिता अनंत होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह अपने तापमान में परिवर्तन किए बिना किसी भी मात्रा में ऊष्मा प्रदान कर सकता है।
$(ii)$ सिंक की ऊष्मा धारिता अनंत होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह अपने तापमान में परिवर्तन किए बिना किसी भी मात्रा में ऊष्मा को अवशोषित कर सकता है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दक्षता $\eta$ को $100 \%$ (या $1$) होने के लिए,पद $\frac{T_2}{T_1}$ का मान $0$ होना चाहिए।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है यदि सिंक का तापमान $T_2$,$0 \ K$ (परम शून्य) हो,जबकि स्रोत का तापमान $T_1$ परिमित हो और $0 \ K$ से अधिक हो।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$।
समतापीय प्रक्रिया के लिए तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है $T_1 = T_2$।
इस मान को दक्षता के सूत्र में रखने पर: $\eta = 1 - \frac{T_1}{T_1} = 1 - 1 = 0$।
चूंकि दक्षता $\eta$ शून्य है,इसलिए इंजन ऊष्मा को उपयोगी कार्य में परिवर्तित नहीं कर सकता है। अतः,कोई उपयोगी कार्य नहीं किया जाता है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ है,जहाँ $T_L$ सिंक का तापमान है और $T_H$ केल्विन में स्रोत का तापमान है।
पानी के लिए,क्वथनांक $100^{\circ}C = 373.15 \ K$ और हिमांक $0^{\circ}C = 273.15 \ K$ होता है।
यहाँ,$T_H = 373.15 \ K$ और $T_L = 273.15 \ K$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{273.15}{373.15} = \frac{373.15 - 273.15}{373.15} = \frac{100}{373.15} \approx 0.268$।
प्रतिशत में बदलने पर,$\eta \approx 26.8\%$ प्राप्त होता है।

(A) स्रोत का तापमान $T_1 = 500\, K$ है और सिंक का तापमान $T_2 = 300\, K$ है।
प्रति चक्र किया गया कार्य $W = 1\, kJ = 1000\, J$ है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ प्राप्त होता है।
चूंकि दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_1}$ है,इसलिए स्रोत से इंजन को स्थानांतरित ऊष्मा $Q_1 = \frac{W}{\eta}$ होगी।
$Q_1 = \frac{1000\, J}{0.4} = 2500\, J$।
सिंक को दी गई ऊष्मा $Q_2 = Q_1 - W = 2500\, J - 1000\, J = 1500\, J$ होगी।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$
जहाँ $T_{1}$ स्रोत का निरपेक्ष तापमान है और $T_{2}$ सिंक का निरपेक्ष तापमान है।
अतः,कार्नोट इंजन की दक्षता स्रोत और सिंक दोनों के तापमान पर निर्भर करती है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि अंतिम आयतन $V_2 = 3V_1$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{3}$ है।
$\gamma = 1.5$ और $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{3}$ के मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1.5-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{0.5} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
कार्नोट चक्र की दक्षता $\eta$ को $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुपात का मान रखने पर,हमें $\eta = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) कार्नोट चक्र की दक्षता का सूत्र है:
$\eta = 1 - \frac{T_{cold}}{T_{hot}}$
यहाँ,ठंडे जलाशय का तापमान $T_{cold} = 4^{\circ} C = 273 + 4 = 277 \ K$ है।
गर्म जलाशय का तापमान $T_{hot} = 15^{\circ} C = 273 + 15 = 288 \ K$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{277}{288}$
$\eta = 1 - 0.9618$
$\eta \approx 0.0382$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\eta = 0.038$ प्राप्त होता है।

(C) कार्नोट इंजन के लिए,ऊष्मा विनिमय का अनुपात परम तापमान के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{Q_{\text{source}}}{Q_{\text{sink}}} = \frac{T_{\text{source}}}{T_{\text{sink}}}$
दिया गया है:
$T_{\text{source}} = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_{\text{sink}} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
$Q_{\text{source}} = 500 \ J$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{500}{Q_{\text{sink}}} = \frac{400}{300}$
$\frac{500}{Q_{\text{sink}}} = \frac{4}{3}$
$Q_{\text{sink}} = \frac{500 \times 3}{4} = 125 \times 3 = 375 \ J$

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1 = 800\, K$ (स्रोत का तापमान) और $T_2 = 400\, K$ (सिंक का तापमान) है।
$\eta = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0.5 = 0.5$.
साथ ही,दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_1}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $W$ कार्य आउटपुट है और $Q_1$ दी गई ऊष्मा है।
यहाँ $W = 1200\, J$ दिया गया है,इसलिए $0.5 = \frac{1200}{Q_1}$.
अतः,$Q_1 = \frac{1200}{0.5} = 2400\, J$.

(A) एक आदर्श (कार्नोट) हीट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ है,जहाँ $T_H$ स्रोत का तापमान है और $T_L$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है: $\eta = 60\, \% = 0.60$ और $T_H = 127\,^{\circ} C = 127 + 273 = 400\, K$.
मान रखने पर: $0.60 = 1 - \frac{T_L}{400}$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{T_L}{400} = 1 - 0.60 = 0.40$.
$T_L = 0.40 \times 400 = 160\, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_L(^{\circ} C) = 160 - 273 = -113\,^{\circ} C$.

(B) ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta = \frac{1}{4}$,इसलिए $\frac{1}{4} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$,यानी $T_2 = 0.75 T_1$ है।
जब सिंक का तापमान $52 \, K$ कम किया जाता है,तो नई दक्षता $\eta' = 2 \times \eta = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ हो जाती है।
नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 52$ है।
नई स्थिति के लिए दक्षता सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 52}{T_1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{T_2 - 52}{T_1} = \frac{1}{2}$,या $T_2 - 52 = 0.5 T_1$ प्राप्त होता है।
$T_2 = 0.75 T_1$ को समीकरण में रखने पर: $0.75 T_1 - 52 = 0.5 T_1$।
$0.25 T_1 = 52$,जिससे $T_1 = \frac{52}{0.25} = 208 \, K$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: गर्म रिज़र्वायर से ली गई ऊष्मा $Q_{\text{in}} = 300 \, J$.
ठंडे रिज़र्वायर को दी गई ऊष्मा $Q_{\text{out}} = 240 \, J$.
ठंडे रिज़र्वायर का तापमान $T_{2} = 400 \, K$.
एक उत्क्रमणीय हीट इंजन (कार्नोट इंजन) के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\eta = 1 - \frac{240}{300} = 1 - 0.8 = 0.2$.
साथ ही,कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ होती है।
दक्षता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $0.2 = 1 - \frac{400}{T_{1}}$.
$\frac{400}{T_{1}} = 1 - 0.2 = 0.8$.
$T_{1} = \frac{400}{0.8} = 500 \, K$.
अतः,गर्म रिज़र्वायर का न्यूनतम तापमान $500 \, K$ होना चाहिए।

(A) माना $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
दिया है $\eta = \frac{1}{4}$,इसलिए $\frac{1}{4} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4} \dots (i)$.
जब सिंक का तापमान $58^{\circ}C$ कम किया जाता है (जो तापमान के अंतर के रूप में $58 \ K$ है),तो नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 58$ होता है।
नई दक्षता दोगुनी हो जाती है,इसलिए $\eta' = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 58}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2 - 58}{T_1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{4} - \frac{58}{T_1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{58}{T_1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow T_1 = 58 \times 4 = 232 \ K$.
अब,$T_2 = \frac{3}{4} \times 232 = 174 \ K$.

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ केल्विन में सिंक का तापमान है।
पहले मामले में,$\eta_1 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$ (समीकरण $i$)।
दूसरे मामले में,सिंक का तापमान $62^{\circ}C$ कम हो जाता है (जो तापमान के अंतर में $62 K$ के बराबर है),इसलिए नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 62$ है। नई दक्षता $\eta_2 = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ से समीकरण $ii$ को घटाने पर: $\frac{T_2}{T_1} - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3}$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$.
इसलिए,$T_1 = 62 \times 6 = 372 K$.
केल्विन को सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^{\circ}C) = 372 - 273 = 99^{\circ}C$।

(A) कार्नोट इंजन $A$ के लिए: दक्षता $\eta_A = 1 - \frac{T}{T_1} = \frac{W_A}{Q_1}$. अतः,$W_A = Q_1 \left(1 - \frac{T}{T_1}\right) = Q_1 - \frac{Q_1 T}{T_1}$.
चूँकि $\frac{Q}{Q_1} = \frac{T}{T_1}$,इसलिए $Q = \frac{Q_1 T}{T_1}$.
कार्नोट इंजन $B$ के लिए: यह $T$ तापमान पर $Q_B = Q/2$ ऊष्मा अवशोषित करता है और $T_3$ तापमान पर $Q_3$ ऊष्मा निष्कासित करता है। दक्षता $\eta_B = 1 - \frac{T_3}{T} = \frac{W_B}{Q_B}$.
अतः,$W_B = \frac{Q}{2} \left(1 - \frac{T_3}{T}\right) = \frac{Q}{2} - \frac{Q T_3}{2 T}$.
दिया गया है कि $W_A = W_B$,इसलिए $Q_1 - Q = \frac{Q}{2} - Q_3$.
$Q = \frac{Q_1 T}{T_1}$ रखने पर,हमें मिलता है $Q_1 - \frac{Q_1 T}{T_1} = \frac{Q_1 T}{2 T_1} - Q_3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $Q_1 + Q_3 = \frac{Q_1 T}{T_1} + \frac{Q_1 T}{2 T_1} = \frac{3 Q_1 T}{2 T_1}$.
इंजन $B$ के लिए संबंध का उपयोग करते हुए,$\frac{Q_3}{Q/2} = \frac{T_3}{T} \Rightarrow Q_3 = \frac{Q T_3}{2 T} = \frac{Q_1 T T_3}{2 T_1 T} = \frac{Q_1 T_3}{2 T_1}$.
$Q_3$ का मान वापस रखने पर: $Q_1 + \frac{Q_1 T_3}{2 T_1} = \frac{3 Q_1 T}{2 T_1}$.
$Q_1$ से भाग देने पर: $1 + \frac{T_3}{2 T_1} = \frac{3 T}{2 T_1}$.
$\frac{2 T_1}{3}$ से गुणा करने पर: $T = \frac{2 T_1}{3} + \frac{T_3}{3} = \frac{2}{3} T_1 + \frac{1}{3} T_3$.

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $Q_H = 5000 \, kcal$,$T_H = 727 + 273 = 1000 \, K$,$T_L = 127 + 273 = 400 \, K$.
दक्षता $\eta = 1 - \frac{400}{1000} = 1 - 0.4 = 0.6$.
किया गया कार्य $W = \eta \times Q_H = 0.6 \times 5000 \, kcal = 3000 \, kcal$.
चूंकि $1 \, kcal = 4184 \, J$,इसलिए $W = 3000 \times 4184 \, J = 12,552,000 \, J$.
निकटतम मान लेने पर,$W \approx 12.6 \times 10^{6} \, J$.

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_L$ सिंक का तापमान है और $T_H$ स्रोत का तापमान है।
दिया गया है $T_L = 27\,^{\circ} C = 300\, K$ और $\eta = 25\% = 0.25$।
मान रखने पर: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_H} \implies \frac{300}{T_H} = 0.75 \implies T_H = \frac{300}{0.75} = 400\, K$।
यदि दक्षता में उसके मूल मान का $100\%$ बढ़ाया जाता है,तो नई दक्षता $\eta' = \eta + 100\% \text{ of } \eta = 0.25 + 0.25 = 0.50$ या $50\%$ होगी।
माना नया स्रोत तापमान $T_H'$ है।
$0.50 = 1 - \frac{300}{T_H'} \implies \frac{300}{T_H'} = 0.50 \implies T_H' = \frac{300}{0.50} = 600\, K$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_H' - T_H = 600\, K - 400\, K = 200\, K$ है।
चूंकि तापमान में $1\, K$ का परिवर्तन $1\,^{\circ} C$ के परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए तापमान को $200\,^{\circ} C$ तक बढ़ाया जाना चाहिए।

(B) एक प्रतिवर्ती (कार्नोट) हीट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
ठंडे रिज़र्वायर का तापमान,$T_L = 324 \; K$.
गर्म रिज़र्वायर से ली गई ऊष्मा,$Q_H = 300 \; J$.
ठंडे रिज़र्वायर को दी गई ऊष्मा,$Q_L = 180 \; J$.
प्रतिवर्ती इंजन के लिए संबंध का उपयोग करते हुए: $\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{T_L}{T_H}$.
मान रखने पर:
$\frac{180}{300} = \frac{324}{T_H}$.
$T_H = \frac{324 \times 300}{180}$.
$T_H = \frac{324 \times 5}{3} = 108 \times 5 = 540 \; K$.
अतः,गर्म रिज़र्वायर का न्यूनतम तापमान $540 \; K$ है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = \left(1 - \frac{T_L}{T_H}\right) \times 100\,\%$
यहाँ,आइस पॉइंट $T_L = 0\,^{\circ}C = 273\,K$ है और स्टीम पॉइंट $T_H = 100\,^{\circ}C = 373\,K$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\eta = \left(1 - \frac{273}{373}\right) \times 100\,\%$
$\eta = \left(\frac{373 - 273}{373}\right) \times 100\,\%$
$\eta = \left(\frac{100}{373}\right) \times 100\,\%$
$\eta \approx 0.2681 \times 100\,\% = 26.81\,\%$

(A) दिया गया है:
रिज़र्वायर का तापमान,$T_{1} = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \; K$.
सिंक का तापमान,$T_{2} = 200 \; K$.
किया गया कार्य,$W = 12000 \; kJ = 12 \times 10^{6} \; J$.
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $Q_{1}$ रिज़र्वायर से अवशोषित ऊष्मा है।
दक्षता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$1 - \frac{200}{800} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$1 - \frac{1}{4} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$\frac{3}{4} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$Q_{1} = \frac{12 \times 10^{6} \times 4}{3}$
$Q_{1} = 16 \times 10^{6} \; J$.
अतः,$x$ का मान $16$ है।

(D) एक उत्क्रमणीय (reversible) हीट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $Q_1 = 300 \, cal$ और $Q_2 = 225 \, cal$ दिया गया है।
स्रोत का तापमान $T_1 = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \, K$ है।
संबंध $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{225}{300} = \frac{T_2}{500}$.
$T_2 = \frac{225 \times 500}{300} = \frac{225 \times 5}{3} = 75 \times 5 = 375 \, K$.
सिंक के तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ} C) = 375 - 273 = 102^{\circ} C$.

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ तापमान केल्विन $(K = ^{\circ}C + 273)$ में होना चाहिए।
$\eta_{1}$ के लिए:
$T_{H} = 447 + 273 = 720 \ K$
$T_{L} = 147 + 273 = 420 \ K$
$\eta_{1} = 1 - \frac{420}{720} = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
$\eta_{2}$ के लिए:
$T_{H} = 947 + 273 = 1220 \ K$
$T_{L} = 47 + 273 = 320 \ K$
$\eta_{2} = 1 - \frac{320}{1220} = 1 - \frac{16}{61} = \frac{45}{61}$.
अब,अनुपात $\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}$ है:
$\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}} = \frac{5/12}{45/61} = \frac{5}{12} \times \frac{61}{45} = \frac{61}{108} \approx 0.5648$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,अनुपात $0.56$ है।

(A) प्रथम स्थिति: कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\eta = 1 - \frac{100}{300} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
दूसरी स्थिति: दो इंजन श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। श्रेणीक्रम में जुड़े दो इंजनों की कुल दक्षता $\eta_{\text{net}} = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2$ द्वारा दी जाती है।
$300 \, K$ और $200 \, K$ के बीच कार्य करने वाले पहले इंजन $(E_1)$ के लिए,$\eta_1 = 1 - \frac{200}{300} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$200 \, K$ और $100 \, K$ के बीच कार्य करने वाले दूसरे इंजन $(E_2)$ के लिए,$\eta_2 = 1 - \frac{100}{200} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अब,कुल दक्षता की गणना करने पर: $\eta_{\text{net}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2+3-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,दूसरी स्थिति में दक्षता प्रथम स्थिति के समान है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\eta_1 = 0.5$,इसलिए $0.5 = 1 - \frac{T_L}{T_H} \implies \frac{T_L}{T_H} = 0.5 \implies T_L = 0.5 T_H$.
जब सिंक का तापमान $40 \, K$ कम किया जाता है,तो नया सिंक तापमान $T_L' = T_L - 40$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta_2$ मूल दक्षता से $30 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $\eta_2 = 0.5 + 0.3 = 0.8$.
नई दक्षता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $0.8 = 1 - \frac{T_L - 40}{T_H}$.
$T_L = 0.5 T_H$ प्रतिस्थापित करने पर: $0.8 = 1 - \frac{0.5 T_H - 40}{T_H}$.
$0.8 = 1 - 0.5 + \frac{40}{T_H}$.
$0.3 = \frac{40}{T_H} \implies T_H = \frac{40}{0.15} = 266.67 \, K$.

(D) दिया गया चक्र एक कार्नोट चक्र है जिसमें दो समतापीय और दो रुद्धोष्म प्रक्रियाएं शामिल हैं।
कार्नोट चक्र की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_{L}$ ठंडे जलाशय का तापमान है और $T_{H}$ गर्म जलाशय का तापमान है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$.
रुद्धोष्म संपीड़न चरण $(A \to B)$ में, गैस को तापमान $T_{L}$ से $T_{H}$ तक आयतन $V_{1}$ से $V_{B} = 1 \; m^{3}$ तक संपीड़ित किया जाता है।
अतः, $T_{L} V_{1}^{\gamma-1} = T_{H} V_{B}^{\gamma-1}$.
$\frac{T_{L}}{T_{H}} = \left( \frac{V_{B}}{V_{1}} \right)^{\gamma-1} = \left( \frac{1}{V_{1}} \right)^{\gamma-1}$.
दिया गया है $\eta = 3/4$, इसलिए $1 - \frac{T_{L}}{T_{H}} = 3/4$, जिसका अर्थ है $\frac{T_{L}}{T_{H}} = 1/4$.
एकपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$, इसलिए $\gamma - 1 = 2/3$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left( \frac{1}{V_{1}} \right)^{2/3} = 1/4$.
व्युत्क्रम लेने पर: $V_{1}^{2/3} = 4$.
दोनों पक्षों की घात $3/2$ करने पर: $V_{1} = 4^{3/2} = (2^{2})^{3/2} = 2^{3} = 8 \; m^{3}$.

(A) हीट इंजन की दक्षता $\eta$ को इंजन द्वारा किए गए कार्य $W$ और स्रोत से अवशोषित ऊष्मा $Q_H$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$
ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार,किसी भी हीट इंजन की दक्षता $1$ $(100\%)$ नहीं हो सकती,क्योंकि इसके लिए सिंक में छोड़ी गई ऊष्मा $Q_L$ का मान $0$ होना चाहिए,जो कि असंभव है।
साथ ही,दक्षता ऋणात्मक नहीं हो सकती क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि इंजन बिना किसी बाहरी कार्य के ठंडे जलाशय से ऊष्मा अवशोषित करके कार्य कर रहा है,जो दूसरे नियम का उल्लंघन है।
इसलिए,दक्षता $\eta$ हमेशा $0$ और $1$ के बीच होती है $(0 < \eta < 1)$।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}$ है,जहाँ $T_1$ सिंक का तापमान है और $T_2$ स्रोत का तापमान है (केल्विन में)।
दिया गया है:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$
सूत्र में मान रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{400}{800}$
$\eta = 1 - 0.5 = 0.5$
दक्षता को प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए:
$\text{दक्षता} = 0.5 \times 100 = 50 \%$

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
यह दिया गया है कि सिंक का तापमान परम शून्य है,इसलिए $T_2 = 0 \ K$ है।
इस मान को दक्षता सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\eta = 1 - \frac{0}{T_1} = 1 - 0 = 1$.
दक्षता को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\eta = 1 \times 100\% = 100\%$.
अतः,कार्नोट इंजन की दक्षता $100\%$ होगी।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $T_2 = 300 \, K$ और प्रारंभिक दक्षता $\eta = 0.5$ है।
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 600 \, K$ प्राप्त होता है।
अब,नई दक्षता $\eta' = 0.7$ है और सिंक का तापमान $T_2 = 300 \, K$ समान रहता है।
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_1'} \Rightarrow \frac{300}{T_1'} = 0.3 \Rightarrow T_1' = \frac{300}{0.3} = 1000 \, K$ प्राप्त होता है।
स्रोत के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1' - T_1 = 1000 \, K - 600 \, K = 400 \, K$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए तापमान $T_1 = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \, K$ और $T_2 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$ हैं।
स्रोत से ली गई ऊष्मा $Q_1 = 6000 \, cal = 6 \, kcal$ है।
दक्षता $\eta = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $\eta = \frac{W}{Q_1}$,इसलिए किया गया कार्य $W = \eta \times Q_1$ है।
$W = \frac{2}{3} \times 6 \, kcal = 4 \, kcal$.

(B) सही उत्तर $(B)$ है।
कार्नोट इंजन एक उत्क्रमणीय चक्र पर कार्य करता है,जो एक आदर्श सैद्धांतिक मॉडल है।
वास्तविक दुनिया में,सभी ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं में घर्षण,अशांति और परिवेश में ऊष्मा की हानि शामिल होती है,जो उन्हें स्वाभाविक रूप से अनुत्क्रमणीय बनाती है।
चूंकि व्यवहार में पूर्णतः उत्क्रमणीय प्रक्रिया प्राप्त नहीं की जा सकती है,इसलिए वास्तविक ऊष्मा इंजनों की दक्षता हमेशा समान दो तापमानों के बीच कार्य करने वाले सैद्धांतिक कार्नोट इंजन की तुलना में कम होती है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
कार्नोट प्रमेय के अनुसार,दो दिए गए तापमानों के बीच कार्य करने वाले एक उत्क्रमणीय इंजन की दक्षता,उन्हीं तापमानों के बीच कार्य करने वाले किसी भी इंजन के लिए अधिकतम संभव दक्षता होती है।
एक अनुत्क्रमणीय इंजन में घर्षण,अशांति (turbulence) और ऊष्मा की हानि जैसे प्रभाव शामिल होते हैं,जो कार्य में परिवर्तित होने वाली ऊष्मा की मात्रा को कम कर देते हैं।
इसलिए,एक उत्क्रमणीय इंजन की दक्षता हमेशा समान दो ऊष्मा भंडारों (heat reservoirs) के बीच कार्य करने वाले अनुत्क्रमणीय इंजन की तुलना में अधिक होती है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
कार्नोट चक्र ऊष्मागतिकी (thermodynamics) के दूसरे नियम की नींव में से एक है,और सादी कार्नोट को अक्सर ऊष्मागतिकी का जनक माना जाता है। वे उन अग्रदूतों में से एक थे जिन्होंने सबसे पहले ऊष्मीय ऊर्जा को कार्य में बदलने का एक आदर्श तरीका निर्धारित किया था। कार्नोट चक्र सबसे कुशल हीट इंजन चक्र का प्रतिनिधित्व करता है।
कार्नोट चक्र में निम्नलिखित चार प्रक्रियाएं शामिल हैं:
$I.$ समतापीय प्रसार (Isothermal expansion): गैस उच्च तापमान $T_{\text{high}}$ पर समतापीय प्रसार से गुजरती है। इस प्रक्रिया में,गैस स्रोत से $q_{\text{in}}$ मात्रा में ऊष्मा अवशोषित करती है और परिवेश पर $w_1$ मात्रा में कार्य करती है।
$II.$ उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार (Reversible adiabatic expansion): इसके बाद गैस एक उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार से गुजरती है। परिणामस्वरूप,गैस का तापमान घटकर निचले तापमान $T_{\text{low}}$ तक आ जाता है।
$III.$ समतापीय संपीड़न (Isothermal compression): फिर गैस को निचले तापमान $T_{\text{low}}$ पर समतापीय रूप से संकुचित किया जाता है। इस प्रक्रिया में,गैस सिंक को $q_{\text{out}}$ मात्रा में ऊष्मा छोड़ती है,और परिवेश द्वारा गैस पर कार्य किया जाता है।
$IV.$ उत्क्रमणीय रुद्धोष्म संपीड़न (Reversible adiabatic compression): अंत में,गैस एक उत्क्रमणीय रुद्धोष्म संपीड़न से गुजरती है,जिससे तापमान वापस बढ़कर $T_{\text{high}}$ हो जाता है।
इस प्रकार,कार्नोट चक्र में दो समतापीय और दो रुद्धोष्म प्रक्रियाएं शामिल होती हैं,जो कुल चार चरण बनाती हैं।

(D) हीट इंजन की दक्षता को कार्नोट प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है,जो यह बताता है कि दो तापमानों के बीच काम करने वाले किसी भी हीट इंजन के लिए अधिकतम संभव दक्षता एक कार्नोट इंजन की दक्षता होती है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
जहाँ:
$T_1$ स्रोत का परम तापमान है।
$T_2$ सिंक का परम तापमान है।
इस प्रकार,अधिकतम संभव दक्षता स्रोत और सिंक के तापमान पर निर्भर करती है।