Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Gujarati

(A) આદર્શ (કાર્નોટ) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
અહીં,$T_1$ એ સ્રોતનું તાપમાન (પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ) છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન (પાણીનું ઠારબિંદુ) છે.
પાણીનું ઠારબિંદુ,$T_2 = 0^{\circ}C = 273\,K$.
પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ,$T_1 = 100^{\circ}C = (100 + 273)\,K = 373\,K$.
આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{273}{373} = \frac{373 - 273}{373} = \frac{100}{373}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે:
$\% \eta = \left( \frac{100}{373} \right) \times 100 \approx 26.8\%$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે (કેલ્વિનમાં).
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં રૂપાંતરિત કરો:
$T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$
$T_2 = 87 + 273 = 360 \text{ K}$
હવે,આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકો:
$\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{400 - 360}{400}$
$\eta = \frac{40}{400} = 0.1$
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\eta = 0.1 \times 100 = 10\%$

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
અહીં,$T_1$ એ ઊંચું તાપમાન છે અને $T_2$ એ નીચું તાપમાન છે (કેલ્વિનમાં).
$T_1 = 227 + 273 = 500\,K$.
$T_2 = 127 + 273 = 400\,K$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$ હોવાથી,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ ઊંચા તાપમાને શોષાયેલી ઉષ્મા છે:
$W = \eta \times Q_1 = 0.2 \times 6\,kcal = 1.2\,kcal$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 1/6$,તેથી $1/6 = 1 - T_2/T_1$,જેનો અર્થ છે કે $T_2/T_1 = 5/6$ અથવા $T_2 = \frac{5}{6}T_1$.
જ્યારે ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન $62 \ K$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2$ મૂળ કાર્યક્ષમતા કરતા બમણી થાય છે,એટલે કે $\eta_2 = 2 \times (1/6) = 1/3$.
તેથી,$1/3 = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ મૂકતા: $1/3 = 1 - \frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1}$.
$1/3 = 1 - (5/6 - 62/T_1) = 1 - 5/6 + 62/T_1 = 1/6 + 62/T_1$.
$62/T_1 = 1/3 - 1/6 = 1/6$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K$.
આમ,પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન $372 \ K$ અને ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન $310 \ K$ છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500\ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300\ K$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.6$,$T_2 = 300\ K$ (સમાન સિંક તાપમાન).
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4 \implies T_1' = \frac{300}{0.4} = 750\ K$.
તેથી,જરૂરી ઇનટેક તાપમાન $750\ K$ છે.

(C) ધારો કે $Q_h$ એ પ્રથમ એન્જિન દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા છે અને $Q_m$ એ પ્રથમ એન્જિન દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા છે,જે બીજા એન્જિન દ્વારા શોષાય છે. ધારો કે $Q_c$ એ બીજા એન્જિન દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા છે.
પ્રથમ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\epsilon_1 = \frac{W_1}{Q_h} \implies W_1 = \epsilon_1 Q_h$ છે. મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_m = Q_h - W_1 = Q_h(1 - \epsilon_1)$ છે.
બીજા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\epsilon_2 = \frac{W_2}{Q_m} \implies W_2 = \epsilon_2 Q_m = \epsilon_2 Q_h(1 - \epsilon_1)$ છે.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_1 + W_2 = \epsilon_1 Q_h + \epsilon_2 Q_h(1 - \epsilon_1) = Q_h(\epsilon_1 + \epsilon_2 - \epsilon_1 \epsilon_2)$ છે.
કુલ કાર્યક્ષમતા $\epsilon_{net} = \frac{W_{net}}{Q_h} = \frac{Q_h(\epsilon_1 + \epsilon_2 - \epsilon_1 \epsilon_2)}{Q_h} = \epsilon_1 + \epsilon_2 - \epsilon_1 \epsilon_2$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન ચક્રીય પ્રક્રિયા પર કાર્ય કરે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
પ્રક્રિયા ચક્રીય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $W$ એ શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉષ્મા જેટલું હોય છે,જે સ્ત્રોતમાંથી લીધેલી ઉષ્મા $(Q_1)$ અને સિંકને આપેલી ઉષ્મા $(Q_2)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આમ,$W = Q_1 - Q_2$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $\eta = 30\% = 0.3$.
ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $T_1 = 727 + 273 = 1000 \text{ K}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.3 = 1 - \frac{T_2}{1000}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{T_2}{1000} = 1 - 0.3 = 0.7$.
$T_2 = 0.7 \times 1000 = 700 \text{ K}$.
તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T_2(^{\circ}C) = 700 - 273 = 427^{\circ}C$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{Q_r}{Q_i}$ છે,જ્યાં $Q_r$ એ ત્યાગ કરેલી ઉષ્મા છે અને $Q_i$ એ મેળવેલી ઉષ્મા છે.
અહીં $\eta = 0.6$ અને $Q_r = 20 \ J$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = 1 - \frac{20}{Q_i}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{20}{Q_i} = 1 - 0.6 = 0.4$.
તેથી,$Q_i = \frac{20}{0.4} = 50 \ J$.
એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = Q_i - Q_r$ છે.
$W = 50 \ J - 20 \ J = 30 \ J$.

(C) ધારો કે પ્રથમ એન્જિનને આપવામાં આવતી ગરમી $Q_1$ છે અને તેના દ્વારા થતું કાર્ય $W_1$ છે. પ્રથમ એન્જિન દ્વારા મુક્ત થતી ગરમી $Q_2 = Q_1(1 - \eta_1)$ છે.
આ $Q_2$ બીજા એન્જિન માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે. બીજા એન્જિન દ્વારા થતું કાર્ય $W_2 = Q_2 \eta_2 = Q_1(1 - \eta_1)\eta_2$ છે.
સંયોજન દ્વારા થતું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_1 + W_2 = Q_1 \eta_1 + Q_1(1 - \eta_1)\eta_2$ છે.
કુલ કાર્યક્ષમતા $\eta_{net} = \frac{W_{net}}{Q_1} = \frac{Q_1 \eta_1 + Q_1(1 - \eta_1)\eta_2}{Q_1}$ છે.
તેથી,$\eta_{net} = \eta_1 + (1 - \eta_1)\eta_2$ મળે છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને થયેલ કાર્ય $W = Q_{source} - Q_{sink} = Q_{source} \eta$ છે.
પ્રથમ એન્જિન માટે: $W_1 = Q_1 - Q_2 = Q_1 \left(1 - \frac{T}{1100}\right)$.
બીજા એન્જિન માટે: આકૃતિ મુજબ,બીજા એન્જિનમાં પ્રવેશતી ઉષ્મા $Q_2/2$ છે,તેથી $W_2 = \frac{Q_2}{2} - Q_3 = \frac{Q_2}{2} \left(1 - \frac{200}{T}\right)$.
આપેલ છે કે $W_1 = W_2$,તેથી $Q_1 - Q_2 = \frac{Q_2}{2} - Q_3$.
કાર્નોટ સાયકલ માટે,$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{1100}{T}$ અને $\frac{Q_2/2}{Q_3} = \frac{T}{200} \implies Q_3 = \frac{Q_2}{2} \cdot \frac{200}{T} = \frac{100 Q_2}{T}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $Q_2 \left(\frac{1100}{T}\right) - Q_2 = \frac{Q_2}{2} - \frac{100 Q_2}{T}$.
$Q_2$ વડે ભાગતા: $\frac{1100}{T} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{100}{T}$.
$\frac{1100}{T} + \frac{100}{T} = 1 + 0.5$.
$\frac{1200}{T} = 1.5 \implies T = \frac{1200}{1.5} = 800 \ K$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ અને $T_2$ એ અનુક્રમે સ્રોત અને સિંકનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે: $T_1 = 227 + 273 = 500\,K$ અને $T_2 = 127 + 273 = 400\,K$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$.
વળી,કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ ઊંચા તાપમાને શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે $Q_1 = 6.0 \times 10^4\,cal$.
તેથી,$W = \eta \times Q_1 = 0.2 \times 6.0 \times 10^4\,cal = 1.2 \times 10^4\,cal$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન અને $T_1$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 7 + 273 = 280\,K$ અને પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 0.5$.
$0.5 = 1 - \frac{280}{T_1} \Rightarrow \frac{280}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 560\,K$.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 0.7$ માટે,સમાન ઠંડા રિઝર્વોયર તાપમાન $T_2 = 280\,K$ સાથે:
$0.7 = 1 - \frac{280}{T_1'} \Rightarrow \frac{280}{T_1'} = 0.3 \Rightarrow T_1' = \frac{280}{0.3} = 933.33\,K$.
તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = T_1' - T_1 = 933.33 - 560 = 373.33\,K \approx 373\,K$ થાય.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ રિઝર્વોયરનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 927\ ^oC = 927 + 273 = 1200 \ K$ અને $T_2 = 27\ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K.$
આ કિંમતો મૂકતા,$\eta = 1 - \frac{300}{1200} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75.$
કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ રિઝર્વોયરમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે કે $W = 12.6 \times 10^6 \ J,$ તેથી $0.75 = \frac{12.6 \times 10^6}{Q_1}.$
તેથી,$Q_1 = \frac{12.6 \times 10^6}{0.75} = 16.8 \times 10^6 \ J.$

(A) બે તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા હીટ એન્જિનની મહત્તમ કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ અને $T_2$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં રૂપાંતરિત કરો:
$T_1 = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_2 = 227 + 273 = 500 \ K$
હવે,આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકો:
$\eta = 1 - \frac{500}{1000}$
$\eta = 1 - 0.5 = 0.5$
$\eta = 1/2$

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\eta = 80\% = 0.8$,તેથી $0.8 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 0.2 = \frac{1}{5}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma-1}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{T_1}{T_2} = 5$,તેથી $5 = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma-1}$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$,તેથી $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$.
આમ,$5 = (\frac{V_2}{V_1})^{2/5}$.
બંને બાજુ $5/2$ ઘાત લેતા,આપણને $(\frac{V_2}{V_1}) = 5^{5/2}$ મળે છે.
તેથી,પ્રારંભિક કદ અને અંતિમ કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = (\frac{1}{5})^{5/2}$ છે.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4 = 7/5$ છે. એડિબેટિક વિસ્તરણ પ્રક્રિયા $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વિસ્તરણ ગુણોત્તર $V_2/V_1 = 32$ હોવાથી, આપણને $T_1/T_2 = (V_2/V_1)^{\gamma-1}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T_1/T_2 = (32)^{7/5 - 1} = (32)^{2/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$, તેથી $T_1/T_2 = (2^5)^{2/5} = 2^2 = 4$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = (1 - T_2/T_1) \times 100 \%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_2/T_1 = 1/4$ મૂકતા, આપણને $\eta = (1 - 1/4) \times 100 \% = (3/4) \times 100 \% = 75 \%$ મળે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \; K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \; K$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.5$,$T_2 = 300 \; K$ (સમાન એક્ઝોસ્ટ તાપમાન).
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = \frac{300}{0.5} = 600 \; K$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ અથવા $\frac{2}{5}$.
કાર્યક્ષમતાને કરેલા કાર્ય $W$ અને સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $Q$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\eta = \frac{W}{Q}$.
અહીં $W = 1\,kJ = 1000\,J$ આપેલ છે,તેથી $Q = \frac{W}{\eta}$ દ્વારા શોધી શકાય.
$Q = \frac{1000}{2/5} = 1000 \times \frac{5}{2} = 2500\,J$.
આમ,એન્જિનને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $2500\,J$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = \frac{1}{6}$,તેથી $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6}T_1$ $...(i)$
જ્યારે $T_2$ ને $62\, K$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું તાપમાન $(T_2 - 62)$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{2}{3}$
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$
$T_1 = 62 \times 6 = 372\, K$
હવે,સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને $T_2$ શોધો:
$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 5 \times 62 = 310\, K$
આમ,$T_1 = 372\, K$ અને $T_2 = 310\, K$ છે.

(C) આપેલ છે: કાર્ય આઉટપુટ $W = 1200 \, J$,સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 800 \, K$,સિંકનું તાપમાન $T_2 = 400 \, K$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_1$ એ સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઉર્જા છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 - \frac{400}{800} = \frac{1200}{Q_1}$.
$1 - 0.5 = \frac{1200}{Q_1} \Rightarrow 0.5 = \frac{1200}{Q_1}$.
$Q_1 = \frac{1200}{0.5} = 2400 \, J$.
આમ,પ્રતિ ચક્ર એન્જિનને આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઉર્જા $2400 \, J$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = 25\% = 0.25$ અને $T_1 - T_2 = 80\,K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = \frac{80}{T_1}$.
$T_1$ માટે ઉકેલતા: $T_1 = \frac{80}{0.25} = 320\,K$.
હવે,નીચા તાપમાનના રિઝર્વોયર $T_2$ નું તાપમાન શોધો: $T_2 = T_1 - 80 = 320 - 80 = 240\,K$.
તાપમાનને કેલ્વિનમાંથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$.
$T_2 = 240 - 273.15 = -33.15^{\circ}C$,જે આશરે $-33^{\circ}C$ થાય છે.

(D) એન્જિન $A$ ની કાર્યક્ષમતા,$\eta_A = \frac{T_1 - T}{T_1} = \frac{600 - T}{600}$.
એન્જિન $B$ ની કાર્યક્ષમતા,$\eta_B = \frac{T - T_3}{T} = \frac{T - 100}{T}$.
અહીં મધ્યવર્તી તાપમાન $T = \frac{T_1 + T_3}{2} = \frac{600 + 100}{2} = 350\,K$ લેતા:
$\eta_A = \frac{600 - 350}{600} = \frac{250}{600} = \frac{5}{12}$.
$\eta_B = \frac{350 - 100}{350} = \frac{250}{350} = \frac{5}{7}$.
તેથી,$\frac{\eta_A}{\eta_B} = \frac{5/12}{5/7} = \frac{7}{12}$.

(B) આપેલ છે: $Q_1 = 1000\,J$,$Q_2 = 600\,J$,$T_1 = 127\,^oC = 400\,K$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = (1 - Q_2/Q_1) \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta = (1 - 600/1000) \times 100\% = (1 - 0.6) \times 100\% = 40\%$.
કાર્નોટ ચક્ર માટે,ઉષ્મા વિનિમયનો ગુણોત્તર તાપમાનના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે: $Q_2/Q_1 = T_2/T_1$.
$600/1000 = T_2/400$.
$T_2 = (600 \times 400) / 1000 = 240\,K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતરિત કરતા: $T_2 = 240 - 273 = -33\,^oC$.
આમ,કાર્યક્ષમતા $40\%$ છે અને સિંકનું તાપમાન $-33\,^oC$ છે.

(D) પાણીના ઉત્કલનબિંદુ $(T_1 = 373 \ K)$ અને ઠારબિંદુ $(T_2 = 273 \ K)$ વચ્ચે કાર્યરત કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{273}{373} = 1 - 0.732 = 0.268$ અથવા $26.8\%$.
મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા (કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા) $26.8\%$ હોવાથી,$30\%$ કાર્યક્ષમતા ધરાવતું એન્જિન અશક્ય છે. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ એ થર્મોડાયનેમિક્સનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત (કાર્નોટનું પ્રમેય) છે,જે જણાવે છે કે સમાન બે તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત કાર્નોટ એન્જિન કરતાં કોઈ પણ એન્જિન વધુ કાર્યક્ષમ હોઈ શકે નહીં. આ પ્રમેય સમજાવે છે કે શા માટે વિધાન $1$ માં શોધકનો દાવો અશક્ય છે. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્ય $W = Q_1 - Q_2 = Q_1(1 - T_2/T_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
એન્જિન શ્રેણીમાં હોવાથી,એન્જિન $A$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા એ એન્જિન $B$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા છે।
ધારો કે $Q_1$ એ $A$ ને આપેલી ઉષ્મા છે,$Q_2$ એ $A$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા છે,અને $Q_3$ એ $B$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા છે।
એન્જિન $A$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_1 = Q_1 - Q_2$ છે।
એન્જિન $B$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_2 = Q_2 - Q_3$ છે।
આપેલ છે કે $W_1 = W_2,$ તેથી $Q_1 - Q_2 = Q_2 - Q_3.$
કાર્નોટ એન્જિનના ગુણધર્મ મુજબ,$Q_1/T_1 = Q_2/T_2 = Q_3/T_3 = k.$
તેથી,$Q_1 = kT_1,$ $Q_2 = kT_2,$ અને $Q_3 = kT_3.$
આ કિંમતો કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $kT_1 - kT_2 = kT_2 - kT_3.$
$T_1 - T_2 = T_2 - T_3 \Rightarrow 2T_2 = T_1 + T_3.$
$T_2 = (T_1 + T_3) / 2 = (600 + 400) / 2 = 1000 / 2 = 500 \, K.$

(B) કાર્નોટ એન્જિન સમાન કાર્યક્ષમતા ધરાવે તે માટે,તેમની કાર્યક્ષમતા સમાન હોવી જોઈએ: $\eta_1 = \eta_2 = \eta_3 = \eta$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી:
$1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_3}{T_2} = 1 - \frac{T_4}{T_3} = \eta$.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનનો ગુણોત્તર સમાન છે:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_4}{T_3} = k$ (જ્યાં $k = 1 - \eta$).
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$T_2 = k T_1$,$T_3 = k T_2 = k^2 T_1$,અને $T_4 = k T_3 = k^3 T_1$.
આમ,$k = (T_4 / T_1)^{1/3}$.
$k$ ની કિંમત $T_2$ અને $T_3$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$T_2 = T_1 (T_4 / T_1)^{1/3} = T_1^{2/3} T_4^{1/3} = (T_1^2 T_4)^{1/3}$.
$T_3 = T_1 (T_4 / T_1)^{2/3} = T_1^{1/3} T_4^{2/3} = (T_1 T_4^2)^{1/3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 1/6$,તેથી:
$\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} \implies \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} = \frac{5}{6} \quad ...(i)$
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62\,^{\circ}C$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે કાર્યક્ષમતા બમણી થાય છે,એટલે કે $\eta_2 = 2 \times (1/6) = 1/3$. તેથી:
$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_{\text{sink}} - 62}{T_{\text{source}}} \implies \frac{T_{\text{sink}} - 62}{T_{\text{source}}} = \frac{2}{3} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} = \frac{5}{6}$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} - \frac{62}{T_{\text{source}}} = \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6} - \frac{62}{T_{\text{source}}} = \frac{4}{6}$
$\frac{62}{T_{\text{source}}} = \frac{1}{6} \implies T_{\text{source}} = 372\,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_{\text{source}} = 372 - 273 = 99\,^{\circ}C$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$T_{\text{sink}} = \frac{5}{6} \times 372 = 310\,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_{\text{sink}} = 310 - 273 = 37\,^{\circ}C$.
આમ,સોર્સ અને સિંકનું તાપમાન અનુક્રમે $99\,^{\circ}C$ અને $37\,^{\circ}C$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 0.25$,તેથી $0.25 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $58\,^{\circ}C$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 58$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 2 \times 0.25 = 0.50$ છે.
તેથી,$0.50 = 1 - \frac{T_2 - 58}{T_1}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$ કિંમત મૂકતા,$0.50 = 1 - (\frac{T_2}{T_1} - \frac{58}{T_1})$.
$0.50 = 1 - 0.75 + \frac{58}{T_1}$.
$0.50 = 0.25 + \frac{58}{T_1}$.
$0.25 = \frac{58}{T_1} \Rightarrow T_1 = \frac{58}{0.25} = 232\,K$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T$ સેલ્સિયસ અને કેલ્વિન બંનેમાં સમાન હોવાથી,સોર્સનું તાપમાન $T_1 = 232\,^{\circ}C$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન અને $T_H$ એ સોર્સનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $\eta = 30\% = 0.3$,$T_L = 77 + 273 = 350\,K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.3 = 1 - \frac{350}{T_H}$.
$\frac{350}{T_H} = 1 - 0.3 = 0.7$.
$T_H = \frac{350}{0.7} = 500\,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_H(^{\circ}C) = 500 - 273 = 227\,^{\circ}C$.

(D) આપેલ છે,સિંકનું તાપમાન,$T_2 = 500\,K$.
કાર્યક્ષમતા,$\eta_1 = 50\% = 0.5$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 1 - \frac{500}{T_1} \implies \frac{500}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = 1000\,K$.
હવે,સોર્સનું તાપમાન $T_1$ અચળ એટલે કે $1000\,K$ રાખવામાં આવે છે.
નવી કાર્યક્ષમતા,$\eta_2 = 60\% = 0.6$.
ધારો કે સિંકનું નવું તાપમાન $T_2'$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\eta_2 = 1 - \frac{T_2'}{T_1}$.
$0.6 = 1 - \frac{T_2'}{1000}$.
$\frac{T_2'}{1000} = 1 - 0.6 = 0.4$.
$T_2' = 0.4 \times 1000 = 400\,K$.

(D) પ્રતિવર્તી ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે. કારણ કે વિવિધ પ્રતિવર્તી ચક્રો અલગ-અલગ સ્રોત અને સિંક તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરી શકે છે,તેથી તેમની કાર્યક્ષમતા સમાન હોવી જરૂરી નથી. તેથી,એવું વિધાન કે તમામ પ્રતિવર્તી ચક્રોની કાર્યક્ષમતા સમાન હોય છે,તે ખોટું છે.

(D) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 17 + 273 = 290 \, K$ અને પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 0.50$ છે.
$0.50 = 1 - \frac{290}{T_1} \Rightarrow \frac{290}{T_1} = 0.50 \Rightarrow T_1 = 580 \, K$.
સમાન સિંક તાપમાન સાથે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 0.60$ માટે:
$0.60 = 1 - \frac{290}{T_1'} \Rightarrow \frac{290}{T_1'} = 0.40 \Rightarrow T_1' = \frac{290}{0.40} = 725 \, K$.
સોર્સના તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_1' - T_1 = 725 - 580 = 145 \, K$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 17 + 273 = 290 \, K$ અને $\eta = 0.5$.
$0.5 = 1 - \frac{290}{T_1} \implies \frac{290}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = 580 \, K$.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન $145 \, ^{\circ}C$ જેટલું વધારવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_1' = 580 + 145 = 725 \, K$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{T_2}{T_1'} = 1 - \frac{290}{725} = 1 - 0.4 = 0.6$.
આમ,નવી કાર્યક્ષમતા $60\%$ થશે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{6}$,તેથી $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$ અથવા $T_2 = \frac{5}{6}T_1$. (સમીકરણ $1$)
જ્યારે $T_2$ ને $60\,K$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $(T_2 - 60)$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 60}{T_1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_2 - 60}{T_1} = \frac{2}{3}$ મળે છે. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6}T_1 - 60}{T_1} = \frac{2}{3}$
$\frac{5}{6} - \frac{60}{T_1} = \frac{2}{3}$
$\frac{60}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$
$T_1 = 60 \times 6 = 360\,K$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6}T_1 = \frac{5}{6} \times 360 = 300\,K$ મેળવી શકાય.
આમ,$T_1 = 360\,K$ અને $T_2 = 300\,K$ છે.

(D) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $T_1 = 200 + 273 = 473\,K$ અને $T_2 = 0 + 273 = 273\,K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $T_1 = 0 + 273 = 273\,K$ અને $T_2 = -200 + 273 = 73\,K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$.
ગુણોત્તર $\frac{\eta_2}{\eta_1} = \frac{200/273}{200/473} = \frac{473}{273} \approx 1.73$.
આમ,ગુણોત્તર આશરે $1.73:1$ છે.

(C) રિઝર્વોયરના તાપમાન $T_{1} = 100^{\circ}C$ અને $T_{2} = -23^{\circ}C$ આપેલા છે.
સૌ પ્રથમ,આ તાપમાનને કેલ્વિન સ્કેલમાં ફેરવો:
$T_{1} = 100 + 273 = 373\,K$
$T_{2} = -23 + 273 = 250\,K$
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ માટેનું સૂત્ર:
$\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} = \frac{373 - 250}{373}$

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે: $T_1 = 600\, K$,$T_2 = 300\, K$,અને કાર્ય આઉટપુટ $W = 800\, J$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$.
વધુમાં,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ સ્ત્રોતમાંથી આપવામાં આવતી ઉષ્મા છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.5 = \frac{800}{Q}$.
તેથી,$Q = \frac{800}{0.5} = 1600\, J$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે.
અહીં,$T_H = 227 + 273 = 500\, \text{K}$ અને $T_L = 127 + 273 = 400\, \text{K}$ છે.
$\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$.
કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_H}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $Q_H$ એ ઊંચા તાપમાને શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે કે $Q_H = 6 \times 10^4\, \text{cal}$.
$W = \eta \times Q_H = 0.2 \times 6 \times 10^4\, \text{cal} = 1.2 \times 10^4\, \text{cal}$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ છે.
એન્જિન $A$ માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_A = 1 - \frac{T}{T_1}$ છે.
એન્જિન $B$ માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_B = 1 - \frac{T_2}{T}$ છે.
આપેલ છે કે બંને એન્જિનની કાર્યક્ષમતા સમાન છે,તેથી $\eta_A = \eta_B$.
તેથી,$1 - \frac{T}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{T}{T_1} = \frac{T_2}{T}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $T^2 = T_1 T_2$ મળે છે.
આમ,$T = \sqrt{T_1 T_2}$.

(A) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
અહીં $T_1 = 500\, K$ અને $T_2 = 375\, K$ આપેલ છે,તેથી $\eta = 1 - \frac{375}{500} = 1 - 0.75 = 0.25$ મળે.
પ્રતિ ચક્ર થયેલ કાર્ય $W$ અને શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1$ વચ્ચેનો સંબંધ $W = \eta \times Q_1$ છે.
અહીં $Q_1 = 25 \times 10^5\, J$ આપેલ હોવાથી,$W = 0.25 \times 25 \times 10^5\, J = 6.25 \times 10^5\, J$ થાય.

(A) કાર્નોટ ચક્ર એ આદર્શ ઉષ્મા એન્જિનની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,જે ઉષ્મા ઉર્જાનું યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતર કરવા માટે મહત્તમ કાર્યક્ષમતા સાથે કાર્ય કરે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_L$ અને $T_H$ અનુક્રમે સિંક અને સોર્સના તાપમાન છે. આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે મહત્તમ કાર્યક્ષમતા સંપૂર્ણપણે રિઝર્વોયરના તાપમાન પર આધારિત છે. આમ,કારણ સાચું છે અને તે વિધાન માટે યોગ્ય સમજૂતી આપે છે કે શા માટે કાર્નોટ ચક્ર ઉષ્મા એન્જિનના પ્રદર્શનને સમજવા માટે ઉપયોગી છે.

(C) પ્રથમ કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_{1} = 1 - \frac{T}{T_{1}}$ છે. થયેલું કાર્ય $W_{1} = Q_{H1} \eta_{1} = Q_{H1} \left(1 - \frac{T}{T_{1}}\right)$ છે.
બીજા કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_{2} = 1 - \frac{T_{2}}{T}$ છે. થયેલું કાર્ય $W_{2} = Q_{H2} \eta_{2} = Q_{L1} \left(1 - \frac{T_{2}}{T}\right)$ છે.
પ્રથમ એન્જિન દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા એ બીજા એન્જિન દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા હોવાથી,$Q_{L1} = Q_{H2}$ થાય.
પ્રથમ એન્જિન પરથી,$Q_{L1} = Q_{H1} \left(\frac{T}{T_{1}}\right)$.
આપેલ છે કે $W_{1} = W_{2}$,તેથી $Q_{H1} \left(1 - \frac{T}{T_{1}}\right) = Q_{H1} \left(\frac{T}{T_{1}}\right) \left(1 - \frac{T_{2}}{T}\right)$.
સાદું રૂપ આપતા,$1 - \frac{T}{T_{1}} = \frac{T}{T_{1}} - \frac{T_{2}}{T_{1}}$.
$1 + \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{2T}{T_{1}}$.
$T_{1}$ વડે ગુણતા,આપણને $T_{1} + T_{2} = 2T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{T_{1} + T_{2}}{2}$.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,ઉષ્મા વિનિમયનો ગુણોત્તર એ રિઝર્વોયરના તાપમાનના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}$
અહીં,$T_1 = 900 \; K$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન),$T_2 = 300 \; K$ (સિંકનું તાપમાન),અને $W = 1200 \; J$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,થયેલ કાર્ય $W = Q_1 - Q_2$ છે,તેથી $Q_1 = Q_2 + W$.
ધારો કે $Q_2 = Q$. તો $Q_1 = Q + 1200$.
આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{Q + 1200}{Q} = \frac{900}{300}$
$\frac{Q + 1200}{Q} = 3$
$Q + 1200 = 3Q$
$2Q = 1200$
$Q = 600 \; J$.
આમ,ઓછા તાપમાનવાળા રિઝર્વોયરને આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઉર્જા $600 \; J$ છે.

(N/A) સ્ટીમ એન્જિન દ્વારા પ્રતિ મિનિટ કરવામાં આવેલ કાર્ય,$W = 5.4 \times 10^{8} \;J$.
બોઈલર દ્વારા આપવામાં આવતી ઉષ્મા,$H = 3.6 \times 10^{9} \;J$.
એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{\text{આઉટપુટ ઉર્જા}}{\text{ઇનપુટ ઉર્જા}}$.
$\therefore \eta = \frac{W}{H} = \frac{5.4 \times 10^{8}}{3.6 \times 10^{9}} = 0.15$.
આમ,એન્જિનની ટકાવારી કાર્યક્ષમતા $15 \%$ છે.
વ્યય થતી ઉષ્માનું પ્રમાણ $= H - W = 3.6 \times 10^{9} - 0.54 \times 10^{9} = 3.06 \times 10^{9} \;J$.
તેથી,પ્રતિ મિનિટ વ્યય થતી ઉષ્માનું પ્રમાણ $3.06 \times 10^{9} \;J$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$.
કાર્યક્ષમતાને કરેલા કાર્ય $(W)$ અને ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_1)$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\eta = \frac{W}{Q_1}$.
અહીં $W = 1 \ kJ$ આપેલ છે,તેથી $0.4 = \frac{1}{Q_1}$.
તેથી,$Q_1 = \frac{1}{0.4} = 2.5 \ kJ$.
આમ,ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનમાંથી એન્જિન દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $2.5 \ kJ$ છે.

(N/A) હીટ એન્જિન એ એક એવું સાધન છે જેના દ્વારા સિસ્ટમને ચક્રીય પ્રક્રિયામાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેના પરિણામે ઉષ્માનું કાર્યમાં રૂપાંતર થાય છે.
આકૃતિમાં એક સાદું હીટ એન્જિન દર્શાવેલ છે. પિસ્ટન ધરાવતા સિલિન્ડરમાં બંધાયેલો વાયુ બર્નર પાસેથી ઉષ્મા મેળવે છે. ઉષ્મા ઉર્જાનું શોષણ કરીને વાયુ વિસ્તરણ પામે છે અને પિસ્ટનને ઉપરની તરફ ધકેલે છે,જેનાથી પૈડું ફરવા લાગે છે.
પૈડાનું પરિભ્રમણ ચાલુ રાખવા માટે હીટ એન્જિનમાં એવી વ્યવસ્થા જરૂરી છે કે જેથી પિસ્ટન સતત ઉપર અને નીચે ગતિ કરી શકે.
વાયુને એન્જિનનો કાર્યકારી પદાર્થ (working substance) કહેવામાં આવે છે. ઉષ્માનું કાર્યમાં રૂપાંતર કરવાની પદ્ધતિ અલગ-અલગ હીટ એન્જિન માટે અલગ-અલગ હોય છે.
હીટ એન્જિન બે પ્રકારના હોય છે:
$(i)$ બાહ્ય દહન એન્જિન (External combustion engine),જેમ કે સ્ટીમ એન્જિન.
$(ii)$ આંતરિક દહન એન્જિન (Internal combustion engines),જેમ કે ડીઝલ,પેટ્રોલ અને ગેસ એન્જિન.

(N/A) હીટ એન્જિનની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ એ છે કે એન્જિન $T_{1}$ તાપમાને રહેલા ગરમ પરિસર (hot reservoir) માંથી $Q_{1}$ જેટલી ઉષ્મા મેળવે છે,$T_{2}$ તાપમાને રહેલા ઠંડા પરિસર (cold reservoir) માં $Q_{2}$ જેટલી ઉષ્મા મુક્ત કરે છે અને આસપાસના વાતાવરણ પર $W$ જેટલું કાર્ય કરે છે. આ એન્જિનની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયા હોવાથી,કાર્યકારી પદાર્થની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે. તેથી,કાર્યકારી પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉષ્મા $Q = W$ થાય,જ્યાં $W = Q_{1} - Q_{2}$ છે.
એન્જિન દ્વારા પ્રતિ ચક્ર કરવામાં આવેલા ચોખ્ખા કાર્ય અને કાર્યકારી પદાર્થ દ્વારા સ્ત્રોતમાંથી પ્રતિ ચક્ર શોષાયેલી કુલ ઉષ્માના ગુણોત્તરને એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ કહેવામાં આવે છે.
$\therefore \text{કાર્યક્ષમતા} = \frac{\text{પ્રતિ ચક્ર થયેલ ચોખ્ખું કાર્ય}}{\text{પ્રતિ ચક્ર શોષાયેલી ઉષ્મા}}$
$\therefore \eta = \frac{W}{Q_{1}} = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$
$\therefore \eta = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1}}$
ઉપરનું સમીકરણ સૂચવે છે કે જો $Q_{2} = 0$ હોય,તો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $100 \%$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ આવા એન્જિનને નકારતો નથી,પરંતુ $\eta = 1$ ($100 \%$ કાર્યક્ષમતા) ધરાવતું આદર્શ એન્જિન ક્યારેય શક્ય નથી,ભલે આપણે વાસ્તવિક હીટ એન્જિન સાથે સંકળાયેલા વિવિધ પ્રકારના વ્યયને દૂર કરી શકીએ.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો બીજો નિયમ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા પર મૂળભૂત મર્યાદા મૂકે છે.

(N/A) હીટ એન્જિન એ એક એવું સાધન છે જે ઉષ્મા ઉર્જાનું યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતર કરે છે. તે ઉચ્ચ તાપમાન ધરાવતા રિઝર્વોયર (સ્ત્રોત) માંથી ઉષ્મા મેળવીને,આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે અને બાકીની વધેલી ઉષ્માને નીચા તાપમાન ધરાવતા રિઝર્વોયર (સિંક) માં મુક્ત કરે છે. હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાને સ્ત્રોતમાંથી મેળવેલી ઉષ્મા અને કરેલા કાર્યના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે,$Q_H$ એ સ્ત્રોતમાંથી મેળવેલી ઉષ્મા છે અને $Q_L$ એ સિંકને આપેલી ઉષ્મા છે.