Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Gujarati

(C) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોત (ઇનપુટ) તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંક (એક્ઝોસ્ટ) તાપમાન છે જે કેલ્વિન એકમમાં હોય છે.
એન્જિન $100 \%$ કાર્યક્ષમ બને તે માટે,$\eta$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણમાં $\eta = 1$ મૂકતા: $1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{T_2}{T_1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 0 \, K$.
તેથી,હીટ એન્જિન ત્યારે જ $100 \%$ કાર્યક્ષમ હોઈ શકે જો તેનું એક્ઝોસ્ટ તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્ય $(0 \, K)$ હોય.

(B) કાર્નોટના પ્રમેય મુજબ,સમાન બે તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા તમામ રિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા સમાન હોય છે.
વધુમાં,સમાન બે તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા કોઈપણ ઇરરિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા હંમેશા રિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કરતા ઓછી હોય છે.
તેથી,રિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા ઇરરિવર્સિબલ એન્જિન કરતા વધારે હોય છે.

(A) $P-V$ આલેખ પર દર્શાવેલ પ્રમાણિત કાર્નોટ ચક્રમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $A B$ એ ઊંચા તાપમાન $T_1$ પર સમતાપી વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B C$ એ સમોષ્મી વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C D$ એ નીચા તાપમાન $T_2$ પર સમતાપી સંકોચન દર્શાવે છે.
$4$. પ્રક્રિયા $D A$ એ સમોષ્મી સંકોચન દર્શાવે છે.
તેથી,ભાગ $A B$ એ સમતાપી વિસ્તરણ દર્શાવે છે.

(A) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_1 = 427^{\circ} C = 700\,K$ અને $T_2 = 27^{\circ} C = 300\,K$ છે.
$\eta = 1 - \frac{300}{700} = \frac{4}{7}$.
કાર્યક્ષમતાની વ્યાખ્યા મુજબ $\eta = \frac{W}{Q_1}$,જ્યાં $W$ એ દર સેકન્ડે થતું કાર્ય $(1.0\,kW = 1000\,J/s)$ છે અને $Q_1$ એ દર સેકન્ડે શોષાતી ઉષ્મા છે.
$Q_1 = \frac{W}{\eta} = \frac{1000}{4/7} = 1750\,J/s$.
$J/s$ ને $kcal/s$ માં ફેરવવા માટે,$1\,kcal = 4184\,J$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Q_1 = \frac{1750}{4184} \approx 0.418\,kcal/s$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0.417\,kcal/s$ છે.

(A) કિસ્સો $1$: એન્જિન $T_H = 200^{\circ} C = 473 \ K$ અને $T_L = 0^{\circ} C = 273 \ K$ વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{273}{473} = \frac{200}{473} \approx 0.4228$ છે.
કિસ્સો $2$: એન્જિન $T_H = 0^{\circ} C = 273 \ K$ અને $T_L = -200^{\circ} C = 73 \ K$ વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{73}{273} = \frac{200}{273} \approx 0.7326$ છે.
કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200/473}{200/273} = \frac{273}{473} \approx 0.577$ થાય છે.

(B) શરૂઆતમાં,કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 50\,\% = 0.5$ છે. સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 600\,K$ છે.
કાર્નો કાર્યક્ષમતાના સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{600}$
$\frac{T_2}{600} = 0.5$
$T_2 = 300\,K$ (આ સિંકનું તાપમાન છે).
હવે,કાર્યક્ષમતા વધારીને $\eta_2 = 70\,\% = 0.7$ કરવામાં આવે છે,જ્યારે સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300\,K$ અચળ રહે છે. ધારો કે સ્ત્રોતનું નવું તાપમાન $T_1'$ છે.
ફરીથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_1'}$
$\frac{300}{T_1'} = 1 - 0.7 = 0.3$
$T_1' = \frac{300}{0.3} = 1000\,K$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ કોલ્ડ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ હોટ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
જેમ $T_2$ ઘટે છે,તેમ ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1}$ ઘટે છે,જે કાર્યક્ષમતા $\eta$ માં વધારો કરે છે.
કોલ્ડ રિઝર્વોયર માટે શક્ય સૌથી નીચું તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્ય છે,જે $-273.15^{\circ} C$ (ઘણીવાર $-273^{\circ} C$ તરીકે લેવામાં આવે છે) છે.
$T_2 = 0 \ K$ પર,કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $1 - 0 = 1$ અથવા $100\%$ થાય છે,જે મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા છે.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ કાર્યક્ષમતા માટેનું સૂત્ર યોગ્ય રીતે જણાવે છે અને સમજાવે છે કે તે બંને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,જે $T_2$ ઘટાડવાથી કાર્યક્ષમતા કેમ વધે છે તેનું કારણ આપે છે.
આમ,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_H = 99^{\circ} C = 99 + 273 = 372 K$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\eta_1 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_C}{372}$.
$\frac{T_C}{372} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$T_C = \frac{2}{3} \times 372 = 248 K$.
બીજા કિસ્સા માટે,ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન $x$ જેટલું વધારવામાં આવે છે,તેથી $T_C' = T_C + x = 248 + x$.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{248 + x}{372}$ છે.
$\frac{248 + x}{372} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$248 + x = \frac{5}{6} \times 372 = 5 \times 62 = 310$.
$x = 310 - 248 = 62 K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400\,K$ અને $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$.
વળી,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે કે $W = 2\,kJ$,તેથી $0.25 = \frac{2\,kJ}{Q_1}$.
તેથી,$Q_1 = \frac{2}{0.25} = 8\,kJ$.

(A) તાપમાન $T_1 = 373 \text{ K}$ (ઉત્કલનબિંદુ) અને $T_2 = 273 \text{ K}$ (ઠારબિંદુ) છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{273}{373} \approx 0.268$ અથવા $26.8 \%$ છે.
આ બે તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત કોઈપણ વાસ્તવિક એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ $(\eta < 26.8 \%)$.
તેથી,કાર્યક્ષમતા $26.8 \%$ થી ઓછી છે,જેનો અર્થ છે કે તે $27 \%$ થી ઓછી છે.
આમ,વિધાન $2$ અને $4$ સાચા છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$
આપેલ કાર્યક્ષમતા $\eta = 50\% = 0.5$ છે.
સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_{\text{source}} = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600\,K$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.5 = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{600}$
$\frac{T_{\text{sink}}}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$
$T_{\text{sink}} = 0.5 \times 600 = 300\,K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે:
$T_{\text{sink}}(^{\circ}C) = 300 - 273 = 27^{\circ}C$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એન્જિન $E$ માટે: $\eta_{12} = 1 - \frac{273}{473} = \frac{200}{473} \approx 0.423$.
એન્જિન $E_1$ માટે: $\eta_1 = 1 - \frac{373}{473} = \frac{100}{473} \approx 0.211$.
એન્જિન $E_2$ માટે: $\eta_2 = 1 - \frac{273}{373} = \frac{100}{373} \approx 0.268$.
સરવાળો કરતા: $\eta_1 + \eta_2 = 0.211 + 0.268 = 0.479$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.423 < 0.479$,તેથી $\eta_{12} < \eta_1 + \eta_2$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{5}$,તેથી $\frac{1}{5} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{4}{5}$ અથવા $T_2 = 0.8 T_1$.
જ્યારે $T_2$ ને $45 \ K$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_2' = T_2 - 45$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 45}{T_1}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_2 - 45}{T_1} = \frac{1}{2}$ અથવા $T_2 - 45 = 0.5 T_1$ મળે છે.
$T_2 = 0.8 T_1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.8 T_1 - 45 = 0.5 T_1$.
$0.3 T_1 = 45$,જે આપણને $T_1 = \frac{45}{0.3} = 150 \ K$ આપે છે.
હવે,$T_2$ શોધીએ: $T_2 = 0.8 \times 150 = 120 \ K$.
આમ,તાપમાન $150 \ K$ અને $120 \ K$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
કિસ્સો $1$: $\eta_1 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6} T_1$.
કિસ્સો $2$: $\eta_2 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 57}{T_1} \implies \frac{T_2 - 57}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies T_2 - 57 = \frac{2}{3} T_1$.
બીજા સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ મૂકતા:
$\frac{5}{6} T_1 - 57 = \frac{2}{3} T_1$
$\frac{5}{6} T_1 - \frac{4}{6} T_1 = 57$
$\frac{1}{6} T_1 = 57$
$T_1 = 57 \times 6 = 342 \ K$.
આમ,સોર્સનું તાપમાન $342 \ K$ છે.

(B) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ એ આઉટપુટ પાવર $(P_{\text{out}})$ અને ઇનપુટ પાવર $(P_{\text{in}})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$
અહીં,$\eta = 20 \% = 0.20$ અને $P_{\text{in}} = 2 \text{ kW} = 2000 \text{ W}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.20 = \frac{P_{\text{out}}}{2000 \text{ W}}$
$P_{\text{out}} = 0.20 \times 2000 \text{ W} = 400 \text{ W}$.
તેથી,એન્જિનનો આઉટપુટ પાવર $400 \text{ W}$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_H V_1^{\gamma-1} = T_C V_2^{\gamma-1}$,જ્યાં $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_C$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વાયુ દ્વિ-પરમાણ્વિક છે,તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ છે.
કદ $V_1 = V$ થી બદલાઈને $V_2 = 32V$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_C}{T_H} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V}{32V}\right)^{1.4-1} = \left(\frac{1}{32}\right)^{0.4}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,આપણને મળે છે $\left(\frac{1}{2^5}\right)^{0.4} = \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ છે.
$\eta = 1 - 0.25 = 0.75$.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ અને $T_{H1} = 600 \ K$:
$0.4 = 1 - \frac{T_L}{600}$
$\frac{T_L}{600} = 1 - 0.4 = 0.6$
$T_L = 0.6 \times 600 = 360 \ K$.
હવે,ઇચ્છિત કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ માટે,સમાન સિંક તાપમાન $T_L = 360 \ K$ સાથે:
$0.6 = 1 - \frac{360}{T_{H2}}$
$\frac{360}{T_{H2}} = 1 - 0.6 = 0.4$
$T_{H2} = \frac{360}{0.4} = 900 \ K$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ નું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ છે.
આપેલ કિંમતો $T_H = 600 \ K$ અને $T_C = 300 \ K$ મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$.
કાર્યક્ષમતા એ કરેલા કાર્ય $(W)$ અને સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q)$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\eta = \frac{W}{Q}$.
અહીં $W = 1.5 \ kJ$ આપેલ છે,તેથી $Q$ શોધતા:
$0.5 = \frac{1.5}{Q}$.
$Q = \frac{1.5}{0.5} = 3.0 \ kJ$.
આમ,એન્જિનને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $3.0 \ kJ$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = \frac{1}{6}$,તેથી $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$,અથવા $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ (સમીકરણ $i$).
જ્યારે $T_2$ માં $62 \ K$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવું તાપમાન $(T_2 - 62) \ K$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
ગોઠવતા,$\frac{T_2 - 62}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આ સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K$.

(A) કાર્નોટ ચક્ર ચાર પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયાઓનું બનેલું છે:
$1$. સમતાપી વિસ્તરણ: વાયુ ઉચ્ચ તાપમાન $T_H$ પર સ્ત્રોતમાંથી ઉષ્મા $Q_H$ શોષીને વિસ્તરણ પામે છે.
$2$. નિરુદ્ધોષ્મ વિસ્તરણ: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વગર વિસ્તરણ પામે છે અને તેનું તાપમાન ઘટીને $T_L$ થાય છે.
$3$. સમતાપી સંકોચન: વાયુ નીચા તાપમાન $T_L$ પર સંકોચન પામે છે અને સિંકને ઉષ્મા $Q_L$ મુક્ત કરે છે.
$4$. નિરુદ્ધોષ્મ સંકોચન: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વગર તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો આવે છે અને તેનું તાપમાન વધીને ફરીથી $T_H$ થાય છે.
તેથી,પ્રથમ પ્રક્રિયા સમતાપી વિસ્તરણ છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 50 \% = 0.5$ અને સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_{H1} = 600 \ K$ આપેલ છે.
$0.5 = 1 - \frac{T_C}{600} \implies \frac{T_C}{600} = 0.5 \implies T_C = 300 \ K$.
હવે,સિંકનું તાપમાન $T_C = 300 \ K$ અચળ રાખીને કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 70 \% = 0.7$ કરવામાં આવે છે.
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_{H2}}$.
$\frac{300}{T_{H2}} = 1 - 0.7 = 0.3$.
$T_{H2} = \frac{300}{0.3} = 1000 \ K$.
આમ,સ્ત્રોતનું નવું તાપમાન $1000 \ K$ હશે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સા $(i)$ માટે,સિંકનું તાપમાન $T_C = 100 \ K$ અને સોર્સનું તાપમાન $T_H = 600 \ K$ છે.
તેથી,$\eta_1 = 1 - \frac{100}{600} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
કિસ્સા $(ii)$ માટે,સિંકનું તાપમાન $T_C = T \ K$ અને સોર્સનું તાપમાન $T_H = 960 \ K$ છે.
તેથી,$\eta_2 = 1 - \frac{T}{960}$.
બંને કિસ્સામાં કાર્યક્ષમતા સમાન હોવાથી,$\eta_1 = \eta_2$.
$\frac{5}{6} = 1 - \frac{T}{960}$.
$\frac{T}{960} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
$T = \frac{960}{6} = 160 \ K$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
અહીં,સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \ K$.
સિંકનું તાપમાન $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ અથવા $\frac{2}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ આપેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે કે $Q_1 = 50 \ kJ$,તેથી $W = \eta \times Q_1$.
$W = 0.4 \times 50 \ kJ = 20 \ kJ$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
વિકલ્પ $A$ $(T_1 = 60 \ K, T_2 = 40 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{40}{60} = 1 - 0.667 = 0.333$.
વિકલ્પ $B$ $(T_1 = 40 \ K, T_2 = 20 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{20}{40} = 1 - 0.5 = 0.5$.
વિકલ્પ $C$ $(T_1 = 80 \ K, T_2 = 60 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{60}{80} = 1 - 0.75 = 0.25$.
વિકલ્પ $D$ $(T_1 = 100 \ K, T_2 = 80 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{80}{100} = 1 - 0.8 = 0.2$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$T_1 = 100 \ K$ અને $T_2 = 80 \ K$ ના સંયોજન માટે કાર્યક્ષમતા સૌથી ઓછી છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\eta = \left(1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}\right) \times 100 \%$.
આપેલ છે: $T_{1} = 500 \ K$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન) અને $T_{2} = 300 \ K$ (સિંકનું તાપમાન).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \left(1 - \frac{300}{500}\right) \times 100 \%$.
$\eta = \left(1 - 0.6\right) \times 100 \%$.
$\eta = 0.4 \times 100 \% = 40 \%$.
આમ,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $40 \%$ છે.

(D) આપેલ છે,કાર્યક્ષમતા,$\eta = 70 \% = 0.7$.
સિંકનું તાપમાન,$T_2 = 27^{\circ}C = 273 + 27 = 300 \ K$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.7 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{300}{T_1} = 1 - 0.7 = 0.3$.
સ્ત્રોતના તાપમાન $T_1$ માટે ઉકેલતા: $T_1 = \frac{300}{0.3} = 1000 \ K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 1000 - 273 = 727^{\circ}C$.
તેથી,જરૂરી સ્ત્રોતનું તાપમાન $727^{\circ}C$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
$p-V$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $AB$ એ $T_1$ તાપમાને સમતાપી વિસ્તરણ છે અને $CD$ એ $T_2$ તાપમાને સમતાપી સંકોચન છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$pV = \text{અચળ}$.
બિંદુ $A$ પર: $p_A = 1600 \ kPa$,$V_A = 2.5 \ cm^3$. તેથી,$p_A V_A = 1600 \times 2.5 = 4000$.
બિંદુ $C$ પર: $p_C = 400 \ kPa$,$V_C = 6.25 \ cm^3$. તેથી,$p_C V_C = 400 \times 6.25 = 2500$.
$pV = \mu RT$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_C V_C}{p_A V_A} = \frac{2500}{4000} = \frac{5}{8} = 0.625$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - 0.625 = 0.375$ છે.
આપેલી ઉષ્મા $Q_1 = 8000 \ J$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = \eta \times Q_1 = 0.375 \times 8000 = 3000 \ J$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$
જ્યાં $T_{L}$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_{H}$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
નિશ્ચિત ઠંડા રિઝર્વોયર તાપમાન $T_{L}$ માટે,જેમ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $T_{H}$ વધે છે,તેમ ગુણોત્તર $\frac{T_{L}}{T_{H}}$ ઘટે છે.
પરિણામે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ એ $T_{H}$ વધવાની સાથે વધે છે.
જ્યારે $T_{H} = T_{L}$ હોય,ત્યારે કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{L}} = 0$ થાય છે.
જેમ $T_{H} \to \infty$ થાય,તેમ કાર્યક્ષમતા $\eta \to 1$ થાય છે.
$\eta$ વિરુદ્ધ $T_{H}$ નો આલેખ $T_{H} = T_{L}$ પર $0$ થી શરૂ થાય છે અને $1$ ના મૂલ્ય તરફ ઘટતા ઢાળ સાથે વધે છે.
આ વર્તણૂક વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) આપેલ છે: સ્ત્રોતમાંથી લીધેલી ઉષ્મા,$Q_{1} = 300$ કેલરી; સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_{1} = 500 \,K$; સિંકને આપેલી ઉષ્મા,$Q_{2} = 150$ કેલરી.
આપણે સિંકનું તાપમાન,$T_{2}$ શોધવાનું છે.
કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને ઉષ્માના વિનિમયના ગુણોત્તર તરીકે $\eta = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$ અને તાપમાનના ગુણોત્તર તરીકે $\eta = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કાર્યક્ષમતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{300 - 150}{300} = \frac{500 - T_{2}}{500}$
$\frac{150}{300} = 1 - \frac{T_{2}}{500}$
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_{2}}{500}$
$\frac{T_{2}}{500} = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{T_{2}}{500} = \frac{1}{2}$
$T_{2} = 500 \times \frac{1}{2} = 250 \,K$.
આમ,સિંકનું તાપમાન $250 \,K$ છે.

(B) આપેલ છે:
સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_1 = 400 \ K$
સિંકનું તાપમાન,$T_2 = 300 \ K$
થયેલ ઉપયોગી કાર્ય,$W = 800 \ J$
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,કાર્યક્ષમતાની વ્યાખ્યા $\eta = \frac{W}{Q_1}$ છે,જ્યાં $Q_1$ એ પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા છે.
બંનેને સરખાવતા,$1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 - \frac{300}{400} = \frac{800}{Q_1}$.
$\frac{100}{400} = \frac{800}{Q_1}$.
$\frac{1}{4} = \frac{800}{Q_1}$.
$Q_1 = 800 \times 4 = 3200 \ J$.
આમ,એન્જિનને સ્ત્રોતમાંથી આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જા $3200 \ J$ છે.

(D) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\eta_A = 1 - \frac{400}{600} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\eta_B = 1 - \frac{200}{400} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.500$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\eta_C = 1 - \frac{300}{500} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0.400$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\eta_D = 1 - \frac{100}{300} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.667$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$\eta_D$ એ મહત્તમ કાર્યક્ષમતા છે.
તેથી,સાચું સંયોજન $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 100 \ K$ છે.

(A) કાર્નો હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ છે.
આપેલ છે કે $\eta = 0.5$, તેથી $0.5 = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_{2}}{T_{1}} = 0.5$, અથવા $T_{1} = 2T_{2}$.
બીજા કાર્નો એન્જિન માટે સમાન કાર્યક્ષમતા $0.5$ મેળવવા માટે, સિંક અને સોર્સના તાપમાનનો ગુણોત્તર સમાન રહેવો જોઈએ, એટલે કે $\frac{T_{2}'}{T_{1}'} = 0.5$.
જો આપણે સોર્સ અને સિંક બંનેના તાપમાનને સમાન અવયવ $k$ વડે ગુણીએ, તો નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{k T_{2}}{k T_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} = 0.5$ થાય છે.
તેથી, જો સોર્સનું તાપમાન $2T_{1}$ અને સિંકનું તાપમાન $2T_{2}$ હોય, તો કાર્યક્ષમતા $0.5$ જ રહે છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
આપેલ છે: $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $T_2 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ અથવા $\frac{1}{4}$.
કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા છે.
$Q_1 = 40 \ kJ$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{4} = \frac{W}{40 \ kJ}$.
તેથી,$W = \frac{40}{4} \ kJ = 10 \ kJ$.

(C) પગલું $1$: તે તાપમાન શોધો જ્યાં સેલ્સિયસ અને ફેરનહીટ સ્કેલ એકબીજા સાથે મળે છે.
ધારો કે તાપમાન $T_1$ છે. સંબંધ $\frac{C}{5} = \frac{F-32}{9}$ છે. $C = F = T_1$ લેતા:
$\frac{T_1}{5} = \frac{T_1-32}{9} \Rightarrow 9T_1 = 5T_1 - 160 \Rightarrow 4T_1 = -160 \Rightarrow T_1 = -40^{\circ}C$.
કેલ્વિનમાં,$T_1 = -40 + 273.15 = 233.15 \ K$.
પગલું $2$: તે તાપમાન શોધો જ્યાં કેલ્વિન અને ફેરનહીટ સ્કેલ એકબીજા સાથે મળે છે.
ધારો કે તાપમાન $T_2$ છે. સંબંધ $\frac{K-273.15}{5} = \frac{F-32}{9}$ છે. $K = F = T_2$ લેતા:
$\frac{T_2-273.15}{5} = \frac{T_2-32}{9} \Rightarrow 9T_2 - 2458.35 = 5T_2 - 160 \Rightarrow 4T_2 = 2298.35 \Rightarrow T_2 \approx 574.59 \ K$.
પગલું $3$: કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ ની ગણતરી કરો.
$\eta = 1 - \frac{T_{cold}}{T_{hot}} = 1 - \frac{233.15}{574.59} \approx 1 - 0.405 = 0.595 \approx 60 \%$.

(C) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.60$, $T_1 = 600 \text{ K}$.
$0.60 = 1 - \frac{T_2}{600} \implies \frac{T_2}{600} = 0.40 \implies T_2 = 240 \text{ K}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.80$, $T_2 = 240 \text{ K}$.
$0.80 = 1 - \frac{240}{T_1'} \implies \frac{240}{T_1'} = 0.20 \implies T_1' = \frac{240}{0.20} = 1200 \text{ K}$.
આમ, સ્ત્રોતનું નવું જરૂરી તાપમાન $1200 \text{ K}$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિન માટે,વિનિમય પામેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર એ સ્ત્રોત અને સિંકના નિરપેક્ષ તાપમાનના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે: $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
આપેલ છે:
સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા,$Q_1 = 600 \ J$.
સિંકને મુક્ત કરેલી ઉષ્મા,$Q_2 = 400 \ J$.
સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{600}{400} = \frac{400}{T_2}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $1.5 = \frac{400}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = \frac{400}{1.5} = 266.67 \ K \approx 266.7 \ K$.

(B) કાર્નોટ એન્જિન માટે, કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $\eta = 1 - \frac{T_{low}}{T_{high}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધુમાં, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ $W = Q_{in} \cdot \eta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_{in}$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
એન્જિન $A$ માટે: $W_A = Q_A \left(1 - \frac{T}{600}\right)$.
એન્જિન $B$ માટે: $W_B = Q_B \left(1 - \frac{400}{T}\right)$.
એન્જિન શ્રેણીમાં હોવાથી, એન્જિન $A$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા એ એન્જિન $B$ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા છે, તેથી $Q_B = Q_A \left(\frac{T}{600}\right)$.
$W_A = W_B$ આપેલ હોવાથી, આપણી પાસે $Q_A \left(1 - \frac{T}{600}\right) = Q_A \left(\frac{T}{600}\right) \left(1 - \frac{400}{T}\right)$ છે.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - \frac{T}{600} = \frac{T}{600} - \frac{400}{600}$.
$1 + \frac{400}{600} = \frac{2T}{600}$.
$1 + \frac{2}{3} = \frac{T}{300} \implies \frac{5}{3} = \frac{T}{300}$.
$T = \frac{5 \times 300}{3} = 500 \ K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનમાં,સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $(W_{exp})$ $W_{exp} = nRT_H \ln(V_2/V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને સમતાપી સંકોચન દરમિયાન થયેલ કાર્ય $(W_{comp})$ $W_{comp} = nRT_L \ln(V_2/V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $W_{exp} = W_{comp} + 0.25 W_{comp} = 1.25 W_{comp}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $nRT_H \ln(V_2/V_1) = 1.25 nRT_L \ln(V_2/V_1)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T_H = 1.25 T_L$,અથવા $T_L/T_H = 1/1.25 = 0.8$ મળે છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - (T_L/T_H)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$\eta = 1 - 0.8 = 0.2$.
આમ,કાર્યક્ષમતા $20 \%$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1$ એ સિંકના તાપમાન $T_2$ કરતા $25 \%$ વધારે છે,તેથી: $T_1 = T_2 + 0.25 T_2 = 1.25 T_2$.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં $T_1$ ની કિંમત મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_2}{1.25 T_2} = 1 - \frac{1}{1.25}$.
કારણ કે $1.25 = \frac{5}{4}$,તેથી: $\eta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
આને ટકામાં ફેરવતા: $\eta = \frac{1}{5} \times 100 \% = 20 \%$.

(D) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
ધારો કે $\Delta T = T_1 - T_2$ એ તાપમાનનો તફાવત છે,જે બંને એન્જિન માટે સમાન છે.
આમ,$\eta = \frac{\Delta T}{T_1}$.
કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર $\frac{\eta_A}{\eta_B} = 1.25 = \frac{5}{4}$ આપેલ છે.
કારણ કે $\eta_A = \frac{\Delta T}{T_{1A}}$ અને $\eta_B = \frac{\Delta T}{T_{1B}}$,તેથી $\frac{\eta_A}{\eta_B} = \frac{T_{1B}}{T_{1A}} = \frac{5}{4}$.
તેથી,સોર્સના નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણોત્તર $T_{1A} : T_{1B} = 4 : 5$ થાય છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = \frac{1}{3}$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3} \implies T_1 = 1.5 T_2$.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન $50 \ K$ ઘટાડવામાં આવે અને સિંકનું તાપમાન $25 \ K$ વધારવામાં આવે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{3}{16}$ થાય છે.
તેથી,$1 - \frac{T_2 + 25}{T_1 - 50} = \frac{3}{16} \implies \frac{T_2 + 25}{T_1 - 50} = \frac{13}{16}$.
સમીકરણમાં $T_1 = 1.5 T_2$ મૂકતા:
$\frac{T_2 + 25}{1.5 T_2 - 50} = \frac{13}{16}$.
ગુણાકાર કરતા: $16(T_2 + 25) = 13(1.5 T_2 - 50)$.
$16 T_2 + 400 = 19.5 T_2 - 650$.
$1050 = 3.5 T_2$.
$T_2 = \frac{1050}{3.5} = 300 \ K$.

(D) ધારો કે સિંકનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T_2 = T$ છે.
સોર્સનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T_1$ એ સિંકના તાપમાન કરતાં $25 \%$ વધારે છે,તેથી $T_1 = T + 0.25T = 1.25T$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\eta = 1 - \frac{T}{1.25T} = 1 - \frac{1}{1.25} = 1 - \frac{100}{125} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવતા,$\eta = \frac{1}{5} \times 100 \% = 20 \%$.

(C) કાર્નોટ ચક્ર માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
કેલ્વિનમાં તાપમાન: $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ અને $T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1 = 5 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$.
કારણ કે $\eta = \frac{W}{Q_1}$,તેથી $W = \eta \times Q_1$.
$W = 0.25 \times 5 \times 10^4 \text{ cal} = 1.25 \times 10^4 \text{ cal}$.
આમ,કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ઉષ્માનું પ્રમાણ $1.25 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T_1 = 800 \ K$ અને $T_2 = 500 \ K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{500}{800} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$T_{source} = x \ K$ અને $T_{sink} = 600 \ K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{600}{x}$.
કાર્યક્ષમતા સમાન હોવાથી,$\eta_1 = \eta_2$.
$1 - \frac{600}{x} = \frac{3}{8}$.
$\frac{600}{x} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
$x = \frac{600 \times 8}{5} = 120 \times 8 = 960 \ K$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \Rightarrow T_2 = \frac{5}{6} T_1$ ....$(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,સિંકનું તાપમાન $65 \ K$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી નવું સિંક તાપમાન $(T_2 - 65)$ થાય છે.
$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 65}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2 - 65}{T_1} = \frac{2}{3}$ ....(ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6} T_1 - 65}{T_1} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{5}{6} - \frac{65}{T_1} = \frac{2}{3}$
$\frac{65}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$
$T_1 = 65 \times 6 = 390 \ K$
હવે,પ્રારંભિક સિંક તાપમાન $T_2$ ની ગણતરી કરતા:
$T_2 = \frac{5}{6} \times 390 = 325 \ K$
અંતિમ સિંક તાપમાન $T_2 - 65 = 325 - 65 = 260 \ K$ છે.
આમ,સિંકનું પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાન અનુક્રમે $325 \ K$ અને $260 \ K$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 25\% = 0.25$ અને $T_2 = 300 \ K$:
$0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.75 \implies T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
હવે,આપણે સોર્સના તાપમાનમાં $x$ જેટલો વધારો કરીને કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 50\% = 0.5$ કરવા માંગીએ છીએ:
$0.5 = 1 - \frac{300}{400 + x} \implies \frac{300}{400 + x} = 0.5 \implies 400 + x = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$.
$x = 600 - 400 = 200 \ K$.
આમ,સોર્સના તાપમાનમાં જરૂરી વધારો $200 \ K$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તાપમાન કેલ્વિનમાં હોવું જોઈએ $(K = ^{\circ}C + 273)$.
કિસ્સો $1$: $T_{source} = 200^{\circ}C = 473 \ K$ અને $T_{sink} = 0^{\circ}C = 273 \ K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$.
કિસ્સો $2$: $T_{source} = 0^{\circ}C = 273 \ K$ અને $T_{sink} = -200^{\circ}C = 73 \ K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200}{473} \times \frac{273}{200} = \frac{273}{473} \approx 0.577 \approx 0.58$.

(A) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
શરૂઆતમાં,$\eta_1 = 25 \% = 0.25$.
તેથી,$0.25 = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
આના પરથી $T_1 = \frac{4}{3} T_2$ મળે છે.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન $100 \ K$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 40 \% = 0.4$ થાય છે.
તેથી,$0.4 = 1 - \frac{T_2}{T_1 + 100}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{T_2}{T_1 + 100} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
સમીકરણમાં $T_1 = \frac{4}{3} T_2$ મૂકતા:
$\frac{T_2}{\frac{4}{3} T_2 + 100} = \frac{3}{5}$.
$5 T_2 = 3 \left( \frac{4}{3} T_2 + 100 \right)$.
$5 T_2 = 4 T_2 + 300$.
$T_2 = 300 \ K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
આપેલ છે કે $\eta = 25 \% = 0.25$ અને $T_1 = 127^{\circ} C = (127 + 273) K = 400 K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{T_2}{400}$.
$\frac{T_2}{400} = 1 - 0.25 = 0.75$.
$T_2 = 0.75 \times 400 = 300 K$.
બીજા કિસ્સામાં,સિંકનું તાપમાન $10 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી $T_2' = T_2 - 0.10 T_2 = 0.9 T_2$.
$T_2' = 0.9 \times 300 = 270 K$.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{T_2'}{T_1} = 1 - \frac{270}{400}$.
$\eta' = 1 - 0.675 = 0.325 = 32.5 \%$.