Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Gujarati

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W}{Q}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે,$T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે,$W$ એ કાર્ય આઉટપુટ છે અને $Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે: $T_1 = 600\,K$,$T_2 = 300\,K$,અને $W = 800\,J$.
$Q$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $Q = \left( \frac{T_1}{T_1 - T_2} \right) W$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \left( \frac{600}{600 - 300} \right) \times 800$.
$Q = \left( \frac{600}{300} \right) \times 800 = 2 \times 800 = 1600\,J$.
આમ,પ્રતિ ચક્ર આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઉર્જા $1600\,J$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ અને $T_2$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \, K$ અને $T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \, K$.
$\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$ અથવા $\frac{1}{5}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$ હોવાથી,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ ઊંચા તાપમાને શોષાયેલી ઉષ્મા છે:
$W = \eta \times Q_1 = \frac{1}{5} \times (6 \times 10^4 \, J) = 1.2 \times 10^4 \, J$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $\eta = 30\% = 0.3$,$T_2 = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350\,K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.3 = 1 - \frac{350}{T_1}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{350}{T_1} = 1 - 0.3 = 0.7$.
$T_1$ માટે ઉકેલતા: $T_1 = \frac{350}{0.7} = 500\,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 500 - 273 = 227^{\circ}C$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
કાર્યક્ષમતા $100\%$ હોવા માટે,આપણે $\eta = 1$ લઈએ છીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
આના પરથી $\frac{T_2}{T_1} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 0\, K$ (પરમ શૂન્ય તાપમાન).
તેથી,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા ત્યારે જ $100\%$ થાય જો સિંકનું તાપમાન પરમ શૂન્ય હોય.

(C) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
અહીં,ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન $T_1 = 411 + 273 = 684 \, K$ અને ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન $T_2 = 69 + 273 = 342 \, K$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{342}{684} = 1 - 0.5 = 0.5$.
દરેક ચક્રમાં થયેલું કાર્ય એ $PV$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે $W = \eta \times Q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = 1000 \, J$ છે,તેથી $W = 0.5 \times 1000 = 500 \, J$ મળે છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ સિંક $(T_2)$ અને સ્ત્રોત $(T_1)$ ના તાપમાનના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
અહીં આપેલ છે કે,$T_1 = T$ અને $T_2 = T/3$.
તેથી,$\eta = 1 - \frac{T/3}{T} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
વળી,કાર્યક્ષમતાની વ્યાખ્યા મુજબ $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$,જ્યાં $Q_1$ એ શોષાયેલી ઉષ્મા છે અને $Q_2$ એ મુક્ત થયેલી ઉષ્મા છે.
કાર્યક્ષમતાના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{2}{3} = 1 - \frac{Q_2}{Q}$
$\frac{Q_2}{Q} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$Q_2 = \frac{Q}{3}$.
આમ,મુક્ત થતી ઉષ્માનો જથ્થો $Q/3$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ માટેનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
આપેલ છે: સિંકનું તાપમાન $T_2 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 25\% = 0.25$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $\frac{300}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$.
$T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 400 - 273 = 127^\circ C$.

(A) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે: $\eta = 70\% = 0.7$ અને $T_1 = 1000 \ K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.7 = 1 - \frac{T_2}{1000}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{T_2}{1000} = 1 - 0.7 = 0.3$.
તેથી,$T_2 = 0.3 \times 1000 = 300 \ K$.

(A) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ અને $T_2$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રથમ,તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવો: $T(K) = T(^oC) + 273$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $T_1 = 200 + 273 = 473 \ K$ અને $T_2 = 0 + 273 = 273 \ K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $T_1 = 0 + 273 = 273 \ K$ અને $T_2 = -200 + 273 = 73 \ K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરો: $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200/473}{200/273} = \frac{273}{473} \approx 0.577$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$.
પ્રથમ, તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં રૂપાંતરિત કરો:
$T_{source} = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$T_{sink} = -123^{\circ}C = -123 + 273 = 150 \ K$.
હવે, આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકો:
$\eta = 1 - \frac{150}{300} = 1 - 0.5 = 0.5$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે, $100$ વડે ગુણો:
$\eta = 0.5 \times 100 = 50\%$.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે (કેલ્વિનમાં).
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_2 = 27 + 273 = 300 \ K$
હવે,આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકો:
$\eta = 1 - \frac{300}{500}$
$\eta = 1 - 0.6 = 0.4$
તેથી,એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $0.4$ થશે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ સોર્સનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તાપમાન $T_H = 800 \ K$ અને $T_L = 500 \ K$ છે. તેથી,$\eta_1 = 1 - \frac{500}{800} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
બીજા કિસ્સામાં,તાપમાન $T_H = x \ K$ અને $T_L = 600 \ K$ છે. તેથી,$\eta_2 = 1 - \frac{600}{x}$.
કાર્યક્ષમતા સમાન હોવાથી,$\eta_1 = \eta_2$,તેથી $\frac{3}{8} = 1 - \frac{600}{x}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{600}{x} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{600 \times 8}{5} = 120 \times 8 = 960 \ K$ મળે છે.

(A) હીટ એન્જિનની મહત્તમ સૈદ્ધાંતિક કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta_{\max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં રૂપાંતરિત કરો: $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ અને $T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta_{\max} = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ અથવા $25\%$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,સમાન બે તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા કોઈપણ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં,તેથી $26\%$ કાર્યક્ષમતા અશક્ય છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ સોર્સનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $T_H = 200 + 273 = 473 \ K$ અને $T_L = 0 + 273 = 273 \ K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $T_H = 0 + 273 = 273 \ K$ અને $T_L = -200 + 273 = 73 \ K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$.
કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200/473}{200/273} = \frac{273}{473} \approx \frac{1}{1.73}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1.73$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં,$\eta_1 = 0.5$ અને $T_2 = 500 \ K$ છે.
$0.5 = 1 - \frac{500}{T_1} \implies \frac{500}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = 1000 \ K$.
હવે,સોર્સનું તાપમાન $T_1 = 1000 \ K$ અચળ રાખીને કાર્યક્ષમતા વધારીને $\eta_2 = 0.6$ કરવામાં આવે છે.
$0.6 = 1 - \frac{T_2'}{1000} \implies \frac{T_2'}{1000} = 1 - 0.6 = 0.4$.
$T_2' = 0.4 \times 1000 = 400 \ K$.
તેથી,સિંકનું જરૂરી તાપમાન $400 \ K$ થશે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
$100\%$ કાર્યક્ષમતા મેળવવા માટે,આપણે $\eta = 1$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 0$.
આ સ્થિતિ ત્યારે જ પૂરી થઈ શકે જો $T_2 = 0 \text{ K}$ (પરમ શૂન્ય તાપમાન) હોય.
થર્મોડાયનેમિક્સના ત્રીજા નિયમ મુજબ,મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓમાં પરમ શૂન્ય તાપમાન સુધી પહોંચવું અશક્ય છે.
વધુમાં,જો $T_2 = 0 \text{ K}$ હોય,તો સ્ત્રોતમાંથી લેવામાં આવેલી તમામ ગરમી કાર્યમાં રૂપાંતરિત થઈ જશે,જે થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમ (કેલ્વિન-પ્લાન્ક વિધાન) નું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,આપણે પરમ શૂન્ય તાપમાન સુધી પહોંચી શકતા નથી.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $T_1 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \, \text{K}$,$T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, \text{K}$,અને $Q_1 = 3 \times 10^6 \, \text{cal}$.
ઉષ્માને જૂલમાં ફેરવતા: $Q_1 = 3 \times 10^6 \times 4.2 \, \text{J} = 12.6 \times 10^6 \, \text{J}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
કારણ કે $\eta = \frac{W}{Q_1}$,તેથી થયેલ કાર્ય $W = \eta \times Q_1 = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \, \text{J} = 2 \times 4.2 \times 10^6 \, \text{J} = 8.4 \times 10^6 \, \text{J}$ થાય.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને મહત્તમ કરવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1}$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
ચાલો દરેક વિકલ્પ માટે ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$(a)$ $\frac{60}{80} = 0.75$
$(b)$ $\frac{80}{100} = 0.80$
$(c)$ $\frac{40}{60} \approx 0.667$
$(d)$ $\frac{20}{40} = 0.50$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(d)$ માટે ગુણોત્તર સૌથી ઓછો છે. તેથી,$40 K$ અને $20 K$ ના સંયોજન માટે કાર્યક્ષમતા સૌથી વધુ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ એ એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય અને સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે.
ઉલટાવી શકાય તેવા (reversible) કાર્નોટ ચક્ર માટે,કાર્યક્ષમતા માત્ર સ્ત્રોત અને સિંકના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$
જ્યાં:
$T_1$ એ સ્ત્રોતનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે (કેલ્વિનમાં).
$T_2$ એ સિંકનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે (કેલ્વિનમાં).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આદર્શ ઉષ્મા એન્જિન (કાર્નોટ એન્જિન) ની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_1' = 2T_1$ અને નવું સિંક તાપમાન $T_2' = 2T_2$ છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta'$ આ મુજબ મળે છે: $\eta' = \frac{T_1' - T_2'}{T_1'} = \frac{2T_1 - 2T_2}{2T_1}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\eta' = \frac{2(T_1 - T_2)}{2T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \eta$.
તેથી,કાર્યક્ષમતામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
અહીં,$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \text{ K}$ અને $T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ છે.
ઊંચા તાપમાને શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1 = 6 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.
સૂત્ર $W = Q_1 \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{500 - 400}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{100}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times 0.2 = 1.2 \times 10^4 \text{ cal}$.
આમ,કાર્યમાં રૂપાંતરિત થયેલી ઉષ્માનું પ્રમાણ $1.2 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન $A$ માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_A = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W_A}{Q_1}$ છે.
કાર્નોટ એન્જિન $B$ માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_B = \frac{T_2 - T_3}{T_2} = \frac{W_B}{Q_2}$ છે.
એન્જિન $A$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા એ એન્જિન $B$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા હોવાથી,$Q_2 = Q_1(1 - \eta_A) = Q_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ મળે.
આપેલ છે કે બંને એન્જિનનું કાર્ય સમાન છે,$W_A = W_B$,જેનો અર્થ છે કે $Q_1 \eta_A = Q_2 \eta_B$.
પદો મૂકતા: $Q_1 \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1} \right) = Q_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right) \left( \frac{T_2 - T_3}{T_2} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$T_1 - T_2 = T_2 - T_3$ મળે.
તેથી,$2T_2 = T_1 + T_3$,જે પરથી $T_2 = \frac{T_1 + T_3}{2}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T_2 = \frac{800 + 300}{2} = \frac{1100}{2} = 550 \ K$.

(D) પ્રતિવર્તી એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
શરૂઆતમાં,$\eta = \frac{1}{6}$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6}T_1$ ...$(i)$
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^\circ C$ (જે $62 \ K$ ને સમાન છે) ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 2\eta = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ છે.
આમ,$\eta' = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ મૂકતા: $1 - \frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$1 - (\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1}) = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{5}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K = (372 - 273)^\circ C = 99^\circ C$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K = (310 - 273)^\circ C = 37^\circ C$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 7 + 273 = 280 \, K$ અને પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 0.5$.
$0.5 = 1 - \frac{280}{T_1} \implies \frac{280}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = 560 \, K$.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 0.7$ માટે,સમાન ઠંડા રિઝર્વોયર તાપમાન $T_2 = 280 \, K$ સાથે:
$0.7 = 1 - \frac{280}{T_1'} \implies \frac{280}{T_1'} = 0.3 \implies T_1' = \frac{280}{0.3} = 933.33 \, K$.
ઊંચા તાપમાનના રિઝર્વોયરમાં તાપમાનનો વધારો $\Delta T = T_1' - T_1 = 933.33 - 560 = 373.33 \, K$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,તાપમાનમાં વધારો આશરે $380 \, K$ છે.

(D) $1$. $P-V$ આલેખમાં બંધ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન ગેસ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય દર્શાવે છે. ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ધન છે (ગેસ દ્વારા થયેલ કાર્ય). તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
$2$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta W + \Delta U$. સંપૂર્ણ ચક્ર માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે કારણ કે આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે અને તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
$3$. $\Delta U = 0$ હોવાથી,પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta W$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે ગેસ દ્વારા શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા એ ગેસ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય જેટલી છે,જે ચક્ર $ABCD$ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલી છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $I, II$ અને $III$ ત્રણેય સાચા છે.

(A) $T-S$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ પ્રક્રિયામાં થતી ઉષ્માની આપ-લે દર્શાવે છે.
આપેલ ચક્ર માટે, શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_{in})$ એ ઉપરની ત્રાંસી રેખાની નીચે $S_0$ થી $2S_0$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ અને એક ત્રિકોણનો સરવાળો છે: $Q_{in} = (T_0 \times S_0) + \frac{1}{2} \times (2T_0 - T_0) \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0 + \frac{1}{2} T_0 S_0 = 1.5 T_0 S_0$.
મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_{out})$ એ નીચેની આડી રેખાની નીચે $2S_0$ થી $S_0$ સુધીનું $T_0$ તાપમાને ક્ષેત્રફળ છે: $Q_{out} = T_0 \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{1.5 T_0 S_0} = 1 - \frac{1}{1.5} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.

(B) તાપમાન $T_{1} = 627 + 273 = 900 \text{ K}$ અને $T_{2} = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{1} = 3 \times 10^{6} \text{ cal} = 3 \times 10^{6} \times 4.2 \text{ J} = 12.6 \times 10^{6} \text{ J}$.
એન્જિન વડે થયેલું કાર્ય $W = \eta \times Q_{1} = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^{6} \text{ J} = 8.4 \times 10^{6} \text{ J}$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
$\eta$ ને મહત્તમ કરવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1}$ લઘુતમ હોવો જોઈએ.
દરેક વિકલ્પ માટે ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$A: \frac{60}{80} = 0.75$
$B: \frac{80}{100} = 0.80$
$C: \frac{40}{60} \approx 0.67$
$D: \frac{20}{40} = 0.50$
અહીં વિકલ્પ $D$ માટે ગુણોત્તર સૌથી ઓછો હોવાથી,$T_1 = 40 \ K$ અને $T_2 = 20 \ K$ માટે કાર્યક્ષમતા સૌથી વધુ હશે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્માપ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $T_1 = 227 + 273 = 500 \, K$ અને $T_2 = 127 + 273 = 400 \, K$.
ઉષ્માપ્રાપ્તિસ્થાનમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1 = 6 \times 10^{4} \, cal$.
કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ એન્જિન દ્વારા થતું ચોખ્ખું કાર્ય છે.
તેથી,$W = Q_1 \left( 1 - \frac{T_2}{T_1} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 6 \times 10^{4} \left( 1 - \frac{400}{500} \right)$.
$W = 6 \times 10^{4} \left( 1 - 0.8 \right) = 6 \times 10^{4} \times 0.2$.
$W = 1.2 \times 10^{4} \, cal$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે。
તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ અને $T_2 = -123 + 273 = 150 \, K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{150}{300}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\eta = 1 - 0.5 = 0.5$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\eta = 0.5 \times 100 = 50\%$.

(A) આપેલ છે: પ્રાપ્તીસ્થાન દ્વારા અપાતી ઉષ્મા $Q_1 = 200 \, cal$,ઠારણ વ્યવસ્થામાં મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_2 = 150 \, cal$,પ્રાપ્તીસ્થાનનું તાપમાન $T_1 = 400 \, K$.
ઉષ્મા એન્જિન માટે,ઉષ્માનો ગુણોત્તર તાપમાનના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે: $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
ઠારણ વ્યવસ્થાના તાપમાન $T_2$ ને શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $T_2 = \frac{Q_2}{Q_1} \times T_1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T_2 = \frac{150}{200} \times 400$.
$T_2 = 0.75 \times 400 = 300 \, K$.
તેથી,ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન $300 \, K$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્મા-પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણ-વ્યવસ્થાનું તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
આપેલ છે: $\eta = 25\% = 0.25$ અને $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $\frac{300}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$.
$T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 400 - 273 = 127^{\circ}C$.

(A) ઉષ્મા-એન્જિનની મહત્તમ સૈદ્ધાંતિક કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta_{max} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$.
અહીં,ઉષ્મા-પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન $T_H = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$.
ઠારણ-વ્યવસ્થાનું તાપમાન $T_L = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\eta_{max} = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ અથવા $25\%$.
વૈજ્ઞાનિક $26\%$ કાર્યક્ષમતાનો દાવો કરે છે,જે મહત્તમ શક્ય કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા $25\%$ કરતા વધારે છે,તેથી આ દાવો ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,આ બાબત અશક્ય છે.

(A) અહીં તાપમાન $T_2 = 27 \, ^\circ C = 300 \, K$ અને $T_1 = 927 \, ^\circ C = 1200 \, K$ છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{1200} = 1 - 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}$ થાય.
વળી,કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ ઉષ્માપ્રાપ્તિસ્થાનમાંથી શોષેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે કે $W = 12.6 \times 10^{6} \, J$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{12.6 \times 10^{6}}{Q_1}$.
તેથી,$Q_1 = \frac{4 \times 12.6 \times 10^{6}}{3} = 4 \times 4.2 \times 10^{6} = 16.8 \times 10^{6} \, J$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_2 = 227 + 273 = 500 \ K$
હવે,આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{500}{1000} = 1 - 0.5 = 0.5$
તેથી,મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા $1/2$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = (1 - \frac{T_L}{T_H}) \times 100$ છે,જ્યાં $T_L$ એ ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન અને $T_H$ એ ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $40 = (1 - \frac{T_L}{500}) \times 100$.
$0.4 = 1 - \frac{T_L}{500} \implies \frac{T_L}{500} = 0.6 \implies T_L = 300 \ K$.
બીજા કિસ્સા માટે,ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન $T_L$ અચળ $300 \ K$ રહે છે અને કાર્યક્ષમતા $\eta$ $60\%$ થાય છે:
$60 = (1 - \frac{300}{T_H'}) \times 100$.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_H'} \implies \frac{300}{T_H'} = 0.4$.
$T_H' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.

(C) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક સૂચકાંક $\gamma = 1.4 = 7/5$ છે.
કાર્નોટ ચક્રમાં,સમોષ્મી વિસ્તરણ તાપમાન $T_1$ (સ્ત્રોત) અને $T_2$ (સિંક) વચ્ચે થાય છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટેનું સૂત્ર $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_B^{\gamma - 1} = T_2 V_C^{\gamma - 1}$,જ્યાં $V_B = V$ અને $V_C = 32V$ છે.
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_B}{V_C} \right)^{\gamma - 1} = \left( \frac{V}{32V} \right)^{1.4 - 1} = \left( \frac{1}{32} \right)^{0.4} = \left( \frac{1}{32} \right)^{2/5}$ છે.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $\frac{T_2}{T_1} = (2^{-5})^{2/5} = 2^{-2} = 1/4 = 0.25$ મળે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta = 1 - 0.25 = 0.75$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 7^{\circ}C = 280 \ K$ અને $\eta_1 = 0.5$.
$0.5 = 1 - \frac{280}{T_1} \Rightarrow \frac{280}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 560 \ K$.
હવે,સમાન સિંક તાપમાન $T_2 = 280 \ K$ સાથે $\eta_2 = 0.7$ માટે:
$0.7 = 1 - \frac{280}{T_1'} \Rightarrow \frac{280}{T_1'} = 0.3 \Rightarrow T_1' = \frac{280}{0.3} = 933.33 \ K$.
સોર્સના તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_1' - T_1 = 933.33 - 560 = 373.33 \ K$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,તાપમાનમાં થતો વધારો આશરે $380 \ K$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\eta = 1/6$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_1 = \frac{6}{5}T_2$.
જ્યારે ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન $62^{\circ}C$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ થાય.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 2\eta = 2(1/6) = 1/3$ થાય.
તેથી,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
સમીકરણમાં $T_1 = \frac{6}{5}T_2$ મૂકતા: $\frac{T_2 - 62}{(6/5)T_2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{5(T_2 - 62)}{6T_2} = \frac{2}{3} \implies 15(T_2 - 62) = 12T_2 \implies 15T_2 - 930 = 12T_2$.
$3T_2 = 930 \implies T_2 = 310 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ}C$.
હવે,$T_1 = \frac{6}{5} \times 310 = 6 \times 62 = 372 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \quad \dots(i)$
જ્યારે ઠારણ-વ્યવસ્થાનું તાપમાન $T_2$ ને $62^{\circ}C$ જેટલું ઘટાડવામાં આવે છે (જે નિરપેક્ષ માપક્રમમાં $62 K$ જેટલું છે),ત્યારે નવું તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = 2\eta$ થાય છે.
$\eta = 1/6$ મૂકતા,$\eta' = 2 \times (1/6) = 1/3$ મળે છે.
તેથી,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3} \quad \dots(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6}T_1$.
$T_2$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા: $\frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6} \implies T_1 = 62 \times 6 = 372 K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ}C$.
આમ,ઠારણ-વ્યવસ્થાનું તાપમાન $37^{\circ}C$ અને ઉષ્મા-પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન $99^{\circ}C$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ ઠારણ-વ્યવસ્થાનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = 0.40$ અને $T_2 = 300 \ K$,તેથી $0.40 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
$\frac{300}{T_1} = 0.60 \implies T_1 = \frac{300}{0.60} = 500 \ K$.
હવે,કાર્યક્ષમતામાં તેની મૂળ કિંમત કરતાં $50\%$ નો વધારો થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = \eta + 0.50 \times \eta = 0.40 + 0.20 = 0.60$.
ઠારણ-વ્યવસ્થાનું તાપમાન $T_2 = 300 \ K$ અચળ રાખીને,નવું પ્રાપ્તિસ્થાન તાપમાન $T_1'$ નીચે મુજબ મળે: $\eta' = 1 - \frac{T_2}{T_1'}$.
$0.60 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.40$.
$T_1' = \frac{300}{0.40} = 750 \ K$.
પ્રાપ્તિસ્થાનના તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = T_1' - T_1 = 750 \ K - 500 \ K = 250 \ K$ થાય.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્માપ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણવ્યવસ્થાનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = 0.5$ અને $T_2 = 500 \ K$,તેથી $0.5 = 1 - \frac{500}{T_1}$,જે પરથી $\frac{500}{T_1} = 0.5$ મળે,એટલે કે $T_1 = 1000 \ K$.
હવે,ઉષ્માપ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન $T_1 = 1000 \ K$ અચળ રાખીને,આપણે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 0.6$ મેળવવા માટે ઠારણવ્યવસ્થાનું તાપમાન $T_2'$ બદલવું છે.
સૂત્ર $\eta' = 1 - \frac{T_2'}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$0.6 = 1 - \frac{T_2'}{1000}$ મળે.
પદોની ગોઠવણી કરતા,$\frac{T_2'}{1000} = 1 - 0.6 = 0.4$.
તેથી,$T_2' = 0.4 \times 1000 = 400 \ K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ ઇન્ટેક તાપમાન છે અને $T_2$ એ એક્ઝોસ્ટ તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
બીજા કિસ્સા માટે એક્ઝોસ્ટ તાપમાન $T_2$ સમાન રહેતું હોવાથી:
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.5$,$T_2 = 300 \ K$.
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.5 \implies T_1' = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$.
આમ,નવું ઇન્ટેક તાપમાન $600 \ K$ થશે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_L = 300 \ K$ અને $T_H = 600 \ K$ છે.
$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$.
કાર્યક્ષમતાને થતા કાર્ય $W$ અને અપાતી ઉષ્મા $Q_H$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\eta = \frac{W}{Q_H}$.
અહીં $W = 800 \ J$ આપેલ છે,તેથી $0.5 = \frac{800}{Q_H}$.
આમ,$Q_H = \frac{800}{0.5} = 1600 \ J/cycle$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ શોધવાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
આપેલ છે: $T_1 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \ K$ અને $T_2 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{500}{900} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\eta = \frac{4}{9} \times 100 \% \approx 44.44 \%$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = 40\% = 0.4$ અને $T_2 = 300\, K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.6 \implies T_1 = \frac{300}{0.6} = 500\, K$.
કાર્યક્ષમતામાં તેની મૂળ કાર્યક્ષમતાના $50\%$ જેટલો વધારો કરવાનો છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = \eta + 0.5 \times \eta = 0.4 + 0.5(0.4) = 0.4 + 0.2 = 0.6 = 60\%$.
ધારો કે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_1'$ છે.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4 \implies T_1' = \frac{300}{0.4} = 750\, K$.
સ્ત્રોતના તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = T_1' - T_1 = 750 - 500 = 250\, K$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 1/6$,તેથી $1/6 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 5/6$ અથવા $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ $...(i)$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^{\circ}C$ (જે $62 \ K$ ના ફેરફારને સમકક્ષ છે) ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 2 \times \eta_1 = 2 \times (1/6) = 1/3$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/3 = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\frac{T_2 - 62}{T_1} = 1 - 1/3 = 2/3$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = 2/3$.
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = 2/3$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = 1/6$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતરિત કરતા: $T(^{\circ}C) = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.