Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Gujarati

(D) હીટ એન્જિન એ એક એવું ઉપકરણ છે જે ચક્રીય પ્રક્રિયા દ્વારા ઉષ્મા ઉર્જાનું યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતર કરે છે.
$1$. તે ઉચ્ચ તાપમાનના સ્ત્રોત $(T_H)$ માંથી ગરમીનું શોષણ કરે છે.
$2$. તે અમુક માત્રામાં કાર્ય $(W)$ કરે છે.
$3$. તે બાકીની ગરમીને નીચા તાપમાનના સિંક $(T_L)$ માં મુક્ત કરે છે.
$4$. તે ચક્રીય પ્રક્રિયામાં કાર્ય કરતું હોવાથી, એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ શૂન્ય હોય છે $(\Delta U = 0)$.
તેથી, ઉલ્લેખિત તમામ લાક્ષણિકતાઓ હીટ એન્જિનની છે.

(N/A) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એટલે એન્જિન દ્વારા પ્રતિ ચક્ર કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $(W)$ અને ગરમ રિઝર્વોયર (સ્ત્રોત) માંથી પ્રતિ ચક્ર શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $(Q_H)$ નો ગુણોત્તર.
તે ઉપયોગી કાર્યમાં રૂપાંતરિત થયેલી ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ દર્શાવે છે.
કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\eta = \frac{W}{Q_H}$
કારણ કે $W = Q_H - Q_L$ (જ્યાં $Q_L$ એ ઠંડા રિઝર્વોયર અથવા સિંકને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે), તેથી સૂત્રને આ રીતે પણ દર્શાવી શકાય છે:
$\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$
કાર્યક્ષમતાને સામાન્ય રીતે પરિણામને $100\%$ વડે ગુણીને ટકાવારીમાં દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) હીટ એન્જિનની સૈદ્ધાંતિક કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે બે તાપમાન $T_1$ (સ્ત્રોત) અને $T_2$ (સિંક) વચ્ચે કાર્યરત કોઈપણ હીટ એન્જિન માટે મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા દર્શાવે છે.
કાર્નોટ કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $T_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ કાર્યક્ષમતા કાર્યકારી પદાર્થથી સ્વતંત્ર છે અને માત્ર સ્ત્રોત અને સિંકના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(D) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા એટલે સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા અને કરેલા કાર્યનો ગુણોત્તર. ચક્ર પૂર્ણ કરતા આદર્શ વાયુ માટે,કાર્યક્ષમતા સ્ત્રોત $(T_H)$ અને સિંક $(T_L)$ ના તાપમાન પર આધાર રાખે છે. કાર્નોટ પ્રમેય મુજબ,બે તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત કોઈપણ હીટ એન્જિનની મહત્તમ કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,આદર્શ વાયુ માટે કાર્યક્ષમતા કોઈ નિશ્ચિત અચળાંક નથી,પરંતુ તે થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં સામેલ રિઝર્વોયરના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(N/A) કાર્નોટ ચક્ર એ સાદી કાર્નોટ દ્વારા પ્રસ્તાવિત એક સૈદ્ધાંતિક થર્મોડાયનેમિક ચક્ર છે. તે $T_{1}$ (સ્ત્રોત) અને $T_{2}$ (સિંક) તાપમાન ધરાવતા બે ઉષ્મા ભંડારો વચ્ચે કાર્યરત સૌથી કાર્યક્ષમ ઉષ્મા એન્જિનનું વર્ણન કરે છે,જ્યાં $T_{1} > T_{2}$ છે.
આ ચક્ર ચાર પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયાઓનો બનેલો છે:
$1$. પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ: વાયુ $T_{1}$ તાપમાને વિસ્તરણ પામે છે અને સ્ત્રોતમાંથી $Q_{1}$ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે.
$2$. પ્રતિવર્તી સમોષ્મી વિસ્તરણ: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વગર વધુ વિસ્તરણ પામે છે અને તેનું તાપમાન $T_{1}$ થી ઘટીને $T_{2}$ થાય છે.
$3$. પ્રતિવર્તી સમતાપી સંકોચન: વાયુ $T_{2}$ તાપમાને સંકોચન પામે છે અને સિંકને $Q_{2}$ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે.
$4$. પ્રતિવર્તી સમોષ્મી સંકોચન: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વગર વધુ સંકોચન પામે છે અને તેનું તાપમાન $T_{2}$ થી વધીને ફરીથી $T_{1}$ થાય છે.
કાર્નોટ ચક્ર માટેનો $P-V$ આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) કાર્નો એન્જિન એ નિકોલસ લિયોનાર્ડ સાદી કાર્નો દ્વારા પ્રસ્તાવિત એક સૈદ્ધાંતિક થર્મોડાયનેમિક ચક્ર છે. તે $T_H$ (ઉષ્મા પ્રાપ્તિ સ્થાન) અને $T_L$ (ઠારણ વ્યવસ્થા) તાપમાન ધરાવતા બે ઉષ્મા ભંડારો વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
$1$. કાર્નો એન્જિનના ઘટકો:
- અવાહક દીવાલ અને સુવાહક તળિયું ધરાવતો નળાકાર.
- ઘર્ષણરહિત,અવાહક પિસ્ટન.
- કાર્યકારી પદાર્થ (આદર્શ વાયુ).
- ઊંચા તાપમાન $T_H$ વાળું ઉષ્મા પ્રાપ્તિ સ્થાન.
- નીચા તાપમાન $T_L$ વાળી ઠારણ વ્યવસ્થા.
- એક અવાહક સ્ટેન્ડ.
$2$. કાર્નો ચક્રના તબક્કા:
- તબક્કો $I$: સમતાપી વિસ્તરણ: વાયુને ઉષ્મા પ્રાપ્તિ સ્થાન પર મૂકવામાં આવે છે. તે $T_H$ તાપમાને સમતાપી રીતે વિસ્તરણ પામે છે અને ઉષ્મા પ્રાપ્તિ સ્થાનમાંથી $Q_H$ જેટલી ઉષ્માનું શોષણ કરે છે.
- તબક્કો $II$: એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) વિસ્તરણ: નળાકારને અવાહક સ્ટેન્ડ પર મૂકવામાં આવે છે. વાયુનું તાપમાન $T_L$ ન થાય ત્યાં સુધી તે એડિબેટિક રીતે વિસ્તરણ પામે છે.
- તબક્કો $III$: સમતાપી સંકોચન: નળાકારને ઠારણ વ્યવસ્થા પર મૂકવામાં આવે છે. વાયુનું $T_L$ તાપમાને સમતાપી સંકોચન થાય છે અને તે ઠારણ વ્યવસ્થાને $Q_L$ જેટલી ઉષ્મા મુક્ત કરે છે.
- તબક્કો $IV$: એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) સંકોચન: નળાકારને ફરીથી અવાહક સ્ટેન્ડ પર મૂકવામાં આવે છે. વાયુનું તાપમાન ફરીથી $T_H$ ન થાય ત્યાં સુધી તેનું એડિબેટિક સંકોચન કરવામાં આવે છે,જેથી ચક્ર પૂર્ણ થાય છે.

(N/A) કાર્નોટ એન્જિન ચાર પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયાઓના ચક્ર દ્વારા કાર્ય કરે છે:
$(1)$ સમતાપી પ્રસરણ $(A \rightarrow B)$: વાયુ અચળ તાપમાન $T_1$ પર વિસ્તરે છે. શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1 = \mu RT_1 \ln(V_2/V_1)$ છે. થયેલ કાર્ય $W_1 = Q_1 = \mu RT_1 \ln(V_2/V_1)$ છે.
$(2)$ સમોષ્મી પ્રસરણ $(B \rightarrow C)$: વાયુ $(P_2, V_2, T_1)$ થી $(P_3, V_3, T_2)$ સુધી સમોષ્મી રીતે વિસ્તરે છે. થયેલ કાર્ય $W_2 = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
$(3)$ સમતાપી સંકોચન $(C \rightarrow D)$: વાયુ અચળ તાપમાન $T_2$ પર સંકોચાય છે. મુક્ત થયેલી ઉષ્મા $Q_2 = \mu RT_2 \ln(V_3/V_4)$ છે. વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W_3 = \mu RT_2 \ln(V_3/V_4)$ છે.
$(4)$ સમોષ્મી સંકોચન $(D \rightarrow A)$: વાયુ $(P_4, V_4, T_2)$ થી $(P_1, V_1, T_1)$ સુધી સમોષ્મી રીતે સંકોચાય છે. વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W_4 = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
તંત્ર દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય: $W = W_1 + W_2 - W_3 - W_4 = W_1 - W_3 = \mu RT_1 \ln(V_2/V_1) - \mu RT_2 \ln(V_3/V_4)$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.

(N/A) કાર્નોટનું પ્રમેય બે મુખ્ય ભાગો ધરાવે છે:
$(a)$ $T_{1}$ અને $T_{2}$ તાપમાન ધરાવતા બે ઉષ્મા ભંડારો વચ્ચે કાર્યરત કોઈ પણ ઉષ્મા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા તે જ બે ભંડારો વચ્ચે કાર્યરત રિવર્સિબલ (પ્રતિવર્તી) કાર્નોટ એન્જિન કરતાં વધુ હોઈ શકે નહીં.
$(b)$ સમાન બે ઉષ્મા ભંડારો વચ્ચે કાર્યરત તમામ રિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા સમાન હોય છે,પછી ભલે ગમે તે કાર્યકારી પદાર્થનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હોય.
ભાગ $(a)$ સાબિત કરવા માટે,$T_{1}$ તાપમાનના પ્રાપ્તિસ્થાન અને $T_{2}$ તાપમાનના ઠારણ વ્યવસ્થા વચ્ચે કાર્યરત એક ઈરિવર્સિબલ (અપ્રતિવર્તી) એન્જિન $I$ અને એક રિવર્સિબલ કાર્નોટ એન્જિન $R$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $I$ પ્રાપ્તિસ્થાનમાંથી $Q_{1}$ ઉષ્મા શોષે છે,$W'$ કાર્ય કરે છે અને $Q_{1} - W'$ ઉષ્મા ઠારણ વ્યવસ્થાને આપે છે. $R$ ને $I$ સાથે એવી રીતે જોડો કે જેથી $R$ રેફ્રિજરેટર તરીકે કાર્ય કરે,જે ઠારણ વ્યવસ્થામાંથી $Q_{2}$ ઉષ્મા લે અને પ્રાપ્તિસ્થાનને $Q_{1}$ ઉષ્મા પાછી આપવા માટે $W$ કાર્યની જરૂર પડે.
જો આપણે ધારીએ કે $\eta_{I} > \eta_{R}$,તો પ્રાપ્તિસ્થાનમાંથી શોષાયેલી સમાન ઉષ્મા $Q_{1}$ માટે,$I$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W' > W$ થાય. સંયુક્ત સિસ્ટમનું કુલ કાર્ય $W' - W$ છે અને ઠંડા ભંડારમાંથી લેવાયેલી કુલ ઉષ્મા $(Q_{1} - W) - (Q_{1} - W') = W' - W$ છે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ અન્ય કોઈ અસર વિના ઉષ્માનું સીધું કાર્યમાં રૂપાંતર કરે છે,જે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમના કેલ્વિન-પ્લાન્ક વિધાનનું ઉલ્લંઘન કરે છે. તેથી,$\eta_{I} \leq \eta_{R}$.
ભાગ $(b)$ માટે,જો આપણી પાસે બે રિવર્સિબલ એન્જિન $R_{1}$ અને $R_{2}$ હોય,તો આપણે એકને ઉલટું ચલાવીને સંયુક્ત સિસ્ટમ બનાવી શકીએ છીએ. જો એક વધુ કાર્યક્ષમ હોય,તો તે બીજા નિયમનું ઉલ્લંઘન કરશે. તેથી,તમામ રિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા સમાન હોવી જોઈએ,જે $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે કાર્યકારી પદાર્થથી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) કાર્નોટ ચક્ર એ $1824$ માં નિકોલસ લિયોનાર્ડ સાદી કાર્નોટ દ્વારા પ્રસ્તાવિત એક સૈદ્ધાંતિક થર્મોડાયનેમિક ચક્ર છે. તે $T_H$ (ગરમ) અને $T_C$ (ઠંડા) તાપમાન ધરાવતા બે ઉષ્મા ભંડારો વચ્ચે કાર્યરત સૌથી કાર્યક્ષમ ઉષ્મા એન્જિનનું વર્ણન કરે છે. આ ચક્ર ચાર પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયાઓનું બનેલું છે:
$1$. પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ: વાયુ અચળ ઊંચા તાપમાન $T_H$ પર વિસ્તરણ પામે છે અને સ્ત્રોતમાંથી ઉષ્મા $Q_H$ શોષે છે.
$2$. પ્રતિવર્તી સમોષ્મી વિસ્તરણ: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વિના વિસ્તરણ કરવાનું ચાલુ રાખે છે,અને તેનું તાપમાન $T_H$ થી ઘટીને $T_C$ થાય છે.
$3$. પ્રતિવર્તી સમતાપી સંકોચન: વાયુ અચળ નીચા તાપમાન $T_C$ પર સંકોચાય છે અને સિંકને ઉષ્મા $Q_C$ મુક્ત કરે છે.
$4$. પ્રતિવર્તી સમોષ્મી સંકોચન: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વિના સંકોચાય છે,અને તેનું તાપમાન $T_C$ થી વધીને ફરીથી $T_H$ થાય છે,આમ ચક્ર પૂર્ણ થાય છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિન એ $1824$ માં સાદી કાર્નોટ દ્વારા પ્રસ્તાવિત હીટ એન્જિનનું એક સૈદ્ધાંતિક મોડેલ છે.
તે કાર્નોટ ચક્ર તરીકે ઓળખાતા પ્રતિવર્તી ચક્ર પર કાર્ય કરે છે,જેમાં બે સમતાપી પ્રક્રિયાઓ અને બે એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.
તે બે આપેલ તાપમાન,$T_H$ (ગરમ રિઝર્વોયર) અને $T_L$ (ઠંડા રિઝર્વોયર) વચ્ચે કાર્ય કરતા કોઈપણ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા માટે સૈદ્ધાંતિક ઉપલી મર્યાદા પૂરી પાડે છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં હોય છે.
તે પ્રતિવર્તી ચક્ર હોવાથી,તે બે હીટ રિઝર્વોયર વચ્ચે શક્ય સૌથી વધુ કાર્યક્ષમ એન્જિન છે.

(A) કાર્નો એન્જિન એ ફ્રેન્ચ ભૌતિકશાસ્ત્રી $Nicolas$ $Léonard$ $Sadi$ $Carnot$ દ્વારા $1824$ માં પ્રસ્તાવિત એક સૈદ્ધાંતિક થર્મોડાયનેમિક ચક્ર છે.
તેમણે આ મોડેલ એ નક્કી કરવા માટે વિકસાવ્યું હતું કે જ્યારે કોઈ હીટ એન્જિન બે અલગ-અલગ તાપમાન ધરાવતા થર્મલ રિઝર્વોયર વચ્ચે કાર્ય કરે ત્યારે તે મહત્તમ કેટલી કાર્યક્ષમતા પ્રાપ્ત કરી શકે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $Nicolas$ $Léonard$ $Sadi$ $Carnot$ છે.

(D) એક આદર્શ એન્જિન,ખાસ કરીને કાર્નોટ એન્જિન,કાર્નોટ ચક્ર પર કાર્ય કરે છે.
આ ચક્ર ચાર પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયાઓનું બનેલું છે:
$1$. પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ.
$2$. પ્રતિવર્તી એડિયાબેટિક વિસ્તરણ.
$3$. પ્રતિવર્તી સમતાપી સંકોચન.
$4$. પ્રતિવર્તી એડિયાબેટિક સંકોચન.
તેથી,આદર્શ એન્જિનમાં સમતાપી અને એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાઓનું મિશ્રણ સામેલ હોય છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કાર્યક્ષમતા માત્ર સ્ત્રોત અને સિંકના તાપમાન ($T_1$ અને $T_2$) પર જ આધાર રાખે છે.
તે એન્જિનમાં વપરાતા કાર્યકારી પદાર્થના સ્વભાવ અને એન્જિનની રચનાથી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_L$ એ ઠંડા રિઝર્વોયર (સિંક) નું નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $T_H$ એ ગરમ રિઝર્વોયર (સ્ત્રોત) નું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને $100\%$ (અથવા $1$) થવા માટે,$\frac{T_L}{T_H}$ પદ $0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $T_L = 0 \ K$ (પરમ શૂન્ય) હોવું જોઈએ અથવા $T_H = \infty$ હોવું જોઈએ.
થર્મોડાયનેમિક્સના ત્રીજા નિયમ મુજબ,મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાં દ્વારા પરમ શૂન્ય $(0 \ K)$ તાપમાન પ્રાપ્ત કરવું અશક્ય છે.
વધુમાં,અનંત તાપમાન ધરાવતો ઉષ્મા સ્ત્રોત હોવો ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,આદર્શ કાર્નોટ એન્જિન સહિત કોઈપણ ઉષ્મા એન્જિન માટે $100\%$ કાર્યક્ષમતા મેળવવી અશક્ય છે.

(N/A) કાર્નોટનું પ્રમેય ઉષ્મા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા અંગે બે મુખ્ય મુદ્દાઓ જણાવે છે:
$1$. સમાન બે તાપમાન ($T_1$ અને $T_2$) વચ્ચે કાર્યરત તમામ પ્રતિવર્તી (reversible) ઉષ્મા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા સમાન હોય છે,પછી ભલે ગમે તે કાર્યકારી પદાર્થનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હોય.
$2$. બે આપેલા તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત કોઈ પણ અપ્રતિવર્તી (irreversible) ઉષ્મા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા તે જ બે તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત પ્રતિવર્તી ઉષ્મા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં.
ગાણિતિક રીતે,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાન (source) નું તાપમાન છે અને $T_2$ એ ઉષ્મા ઠારણ (sink) નું તાપમાન છે.

(N/A) આદર્શ હીટ એન્જિન,જેને ઘણીવાર કાર્નોટ એન્જિન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,તે પ્રતિવર્તી ચક્ર પર કાર્ય કરે છે. તેની બે આવશ્યક લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ ઉષ્માના સ્ત્રોતની ઉષ્મા ધારિતા અનંત હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે તેના તાપમાનમાં ફેરફાર કર્યા વિના ગમે તેટલી ઉષ્મા આપી શકે છે.
$(ii)$ સિંકની ઉષ્મા ધારિતા અનંત હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે તેના તાપમાનમાં ફેરફાર કર્યા વિના ગમે તેટલી ઉષ્મા શોષી શકે છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને $100 \%$ (અથવા $1$) બનાવવા માટે,પદ $\frac{T_2}{T_1}$ નું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ.
આ સ્થિતિ ત્યારે જ સંતોષાય છે જો સિંકનું તાપમાન $T_2$ એ $0 \ K$ (પરમ શૂન્ય) હોય,જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1$ એ $0 \ K$ કરતા વધારે અને મર્યાદિત હોય.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અચળ રહે છે,એટલે કે $T_1 = T_2$.
આ કિંમત કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_1}{T_1} = 1 - 1 = 0$.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ શૂન્ય હોવાથી,એન્જિન ઉષ્માનું ઉપયોગી કાર્યમાં રૂપાંતર કરી શકતું નથી. તેથી,કોઈ ઉપયોગી કાર્ય થતું નથી.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ સોર્સનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
પાણી માટે,ઉત્કલન બિંદુ $100^{\circ}C = 373.15 \ K$ અને ઠારણ બિંદુ $0^{\circ}C = 273.15 \ K$ છે.
અહીં,$T_H = 373.15 \ K$ અને $T_L = 273.15 \ K$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{273.15}{373.15} = \frac{373.15 - 273.15}{373.15} = \frac{100}{373.15} \approx 0.268$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$\eta \approx 26.8\%$ મળે છે.

(A) સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 500\, K$ છે અને સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300\, K$ છે.
પ્રતિ ચક્ર થતું કાર્ય $W = 1\, kJ = 1000\, J$ છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$ હોવાથી,સ્ત્રોતમાંથી એન્જિનને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_1 = \frac{W}{\eta}$ થાય.
$Q_1 = \frac{1000\, J}{0.4} = 2500\, J$.
સિંકને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_2 = Q_1 - W = 2500\, J - 1000\, J = 1500\, J$ થાય.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$
જ્યાં $T_{1}$ એ સ્ત્રોતનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $T_{2}$ એ સિંકનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા સ્ત્રોત અને સિંક બંનેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે અંતિમ કદ $V_2 = 3V_1$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{3}$ થાય.
$\gamma = 1.5$ અને $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{3}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1.5-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{0.5} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કાર્નોટ ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા,આપણને $\eta = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(A) કાર્નોટ ચક્રની કાર્યક્ષમતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_{cold}}{T_{hot}}$
અહીં,ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન $T_{cold} = 4^{\circ} C = 273 + 4 = 277 \ K$ છે.
ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $T_{hot} = 15^{\circ} C = 273 + 15 = 288 \ K$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{277}{288}$
$\eta = 1 - 0.9618$
$\eta \approx 0.0382$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\eta = 0.038$ મળે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,ઉષ્મા વિનિમયનો ગુણોત્તર નિરપેક્ષ તાપમાનના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{Q_{\text{source}}}{Q_{\text{sink}}} = \frac{T_{\text{source}}}{T_{\text{sink}}}$
આપેલ છે:
$T_{\text{source}} = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_{\text{sink}} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
$Q_{\text{source}} = 500 \ J$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{500}{Q_{\text{sink}}} = \frac{400}{300}$
$\frac{500}{Q_{\text{sink}}} = \frac{4}{3}$
$Q_{\text{sink}} = \frac{500 \times 3}{4} = 125 \times 3 = 375 \ J$

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1 = 800\, K$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન) અને $T_2 = 400\, K$ (સિંકનું તાપમાન) છે.
$\eta = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0.5 = 0.5$.
વધુમાં,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય આઉટપુટ છે અને $Q_1$ એ આપેલી ઉષ્મા છે.
અહીં $W = 1200\, J$ આપેલ છે,તેથી $0.5 = \frac{1200}{Q_1}$.
આથી,$Q_1 = \frac{1200}{0.5} = 2400\, J$.

(A) આદર્શ (કાર્નોટ) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $\eta = 60\, \% = 0.60$ અને $T_H = 127\,^{\circ} C = 127 + 273 = 400\, K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.60 = 1 - \frac{T_L}{400}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{T_L}{400} = 1 - 0.60 = 0.40$.
$T_L = 0.40 \times 400 = 160\, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_L(^{\circ} C) = 160 - 273 = -113\,^{\circ} C$.

(B) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{1}{4} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$,એટલે કે $T_2 = 0.75 T_1$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $52 \, K$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 2 \times \eta = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 52$ છે.
નવી સ્થિતિ માટે કાર્યક્ષમતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 52}{T_1}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_2 - 52}{T_1} = \frac{1}{2}$,અથવા $T_2 - 52 = 0.5 T_1$ મળે છે.
$T_2 = 0.75 T_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $0.75 T_1 - 52 = 0.5 T_1$.
$0.25 T_1 = 52$,જે આપણને $T_1 = \frac{52}{0.25} = 208 \, K$ આપે છે.

(B) આપેલ છે: ગરમ રિઝર્વોયર પાસેથી મેળવેલ ઉષ્મા $Q_{\text{in}} = 300 \, J$.
ઠંડા રિઝર્વોયરને આપેલી ઉષ્મા $Q_{\text{out}} = 240 \, J$.
ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન $T_{2} = 400 \, K$.
ઉલટાવી શકાય તેવા હીટ એન્જિન (કાર્નોટ એન્જિન) માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{240}{300} = 1 - 0.8 = 0.2$.
વળી,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ છે.
કાર્યક્ષમતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $0.2 = 1 - \frac{400}{T_{1}}$.
$\frac{400}{T_{1}} = 1 - 0.2 = 0.8$.
$T_{1} = \frac{400}{0.8} = 500 \, K$.
આમ,ગરમ રિઝર્વોયરનું લઘુત્તમ તાપમાન $500 \, K$ હોવું જોઈએ.

(A) ધારો કે $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{1}{4} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4} \dots (i)$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $58^{\circ}C$ ઘટાડવામાં આવે છે (જે તાપમાનના તફાવત તરીકે $58 \ K$ છે),ત્યારે નવું સિંકનું તાપમાન $T_2' = T_2 - 58$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા બમણી થાય છે,તેથી $\eta' = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 58}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2 - 58}{T_1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{4} - \frac{58}{T_1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{58}{T_1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow T_1 = 58 \times 4 = 232 \ K$.
હવે,$T_2 = \frac{3}{4} \times 232 = 174 \ K$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$\eta_1 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$ (સમીકરણ $i$).
બીજા કિસ્સામાં,સિંકનું તાપમાન $62^{\circ}C$ જેટલું ઘટાડવામાં આવે છે (જે તાપમાનના તફાવતમાં $62 K$ જેટલું છે),તેથી નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
આમ,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ માંથી સમીકરણ $ii$ બાદ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3}$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$T_1 = 62 \times 6 = 372 K$.
કેલ્વિનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T(^{\circ}C) = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.

(A) કાર્નોટ એન્જિન $A$ માટે: કાર્યક્ષમતા $\eta_A = 1 - \frac{T}{T_1} = \frac{W_A}{Q_1}$. તેથી,$W_A = Q_1 \left(1 - \frac{T}{T_1}\right) = Q_1 - \frac{Q_1 T}{T_1}$.
કારણ કે $\frac{Q}{Q_1} = \frac{T}{T_1}$,તેથી $Q = \frac{Q_1 T}{T_1}$.
કાર્નોટ એન્જિન $B$ માટે: તે $T$ તાપમાને $Q_B = Q/2$ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે અને $T_3$ તાપમાને $Q_3$ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે. કાર્યક્ષમતા $\eta_B = 1 - \frac{T_3}{T} = \frac{W_B}{Q_B}$.
તેથી,$W_B = \frac{Q}{2} \left(1 - \frac{T_3}{T}\right) = \frac{Q}{2} - \frac{Q T_3}{2 T}$.
આપેલ છે કે $W_A = W_B$,તેથી $Q_1 - Q = \frac{Q}{2} - Q_3$.
$Q = \frac{Q_1 T}{T_1}$ મૂકતા,આપણને મળે $Q_1 - \frac{Q_1 T}{T_1} = \frac{Q_1 T}{2 T_1} - Q_3$.
પદોને ગોઠવતા: $Q_1 + Q_3 = \frac{Q_1 T}{T_1} + \frac{Q_1 T}{2 T_1} = \frac{3 Q_1 T}{2 T_1}$.
એન્જિન $B$ માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{Q_3}{Q/2} = \frac{T_3}{T} \Rightarrow Q_3 = \frac{Q T_3}{2 T} = \frac{Q_1 T T_3}{2 T_1 T} = \frac{Q_1 T_3}{2 T_1}$.
$Q_3$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $Q_1 + \frac{Q_1 T_3}{2 T_1} = \frac{3 Q_1 T}{2 T_1}$.
$Q_1$ વડે ભાગતા: $1 + \frac{T_3}{2 T_1} = \frac{3 T}{2 T_1}$.
$\frac{2 T_1}{3}$ વડે ગુણતા: $T = \frac{2 T_1}{3} + \frac{T_3}{3} = \frac{2}{3} T_1 + \frac{1}{3} T_3$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $Q_H = 5000 \, kcal$,$T_H = 727 + 273 = 1000 \, K$,$T_L = 127 + 273 = 400 \, K$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{400}{1000} = 1 - 0.4 = 0.6$.
થયેલ કાર્ય $W = \eta \times Q_H = 0.6 \times 5000 \, kcal = 3000 \, kcal$.
કારણ કે $1 \, kcal = 4184 \, J$,તેથી $W = 3000 \times 4184 \, J = 12,552,000 \, J$.
નજીકની કિંમત લેતા,$W \approx 12.6 \times 10^{6} \, J$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_L = 27\,^{\circ} C = 300\, K$ અને $\eta = 25\% = 0.25$.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_H} \implies \frac{300}{T_H} = 0.75 \implies T_H = \frac{300}{0.75} = 400\, K$.
જો કાર્યક્ષમતામાં તેની મૂળ કિંમતના $100\%$ જેટલો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = \eta + 100\% \text{ of } \eta = 0.25 + 0.25 = 0.50$ અથવા $50\%$ થાય.
ધારો કે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_H'$ છે.
$0.50 = 1 - \frac{300}{T_H'} \implies \frac{300}{T_H'} = 0.50 \implies T_H' = \frac{300}{0.50} = 600\, K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_H' - T_H = 600\, K - 400\, K = 200\, K$.
તાપમાનમાં $1\, K$ નો ફેરફાર એ $1\,^{\circ} C$ ના ફેરફારની સમકક્ષ હોવાથી,તાપમાનમાં $200\,^{\circ} C$ નો વધારો કરવો જોઈએ.

(B) રિવર્સિબલ (કાર્નોટ) હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન,$T_L = 324 \; K$.
ગરમ રિઝર્વોયર પાસેથી લીધેલી ઉષ્મા,$Q_H = 300 \; J$.
ઠંડા રિઝર્વોયરને આપેલી ઉષ્મા,$Q_L = 180 \; J$.
રિવર્સિબલ એન્જિન માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{T_L}{T_H}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{180}{300} = \frac{324}{T_H}$.
$T_H = \frac{324 \times 300}{180}$.
$T_H = \frac{324 \times 5}{3} = 108 \times 5 = 540 \; K$.
આમ,ગરમ રિઝર્વોયરનું લઘુત્તમ તાપમાન $540 \; K$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ માટેનું સૂત્ર: $\eta = \left(1 - \frac{T_L}{T_H}\right) \times 100\,\%$ છે.
અહીં,આઈસ પોઈન્ટ $T_L = 0\,^{\circ}C = 273\,K$ અને સ્ટીમ પોઈન્ટ $T_H = 100\,^{\circ}C = 373\,K$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = \left(1 - \frac{273}{373}\right) \times 100\,\%$
$\eta = \left(\frac{373 - 273}{373}\right) \times 100\,\%$
$\eta = \left(\frac{100}{373}\right) \times 100\,\%$
$\eta \approx 0.2681 \times 100\,\% = 26.81\,\%$

(A) આપેલ છે:
રિઝર્વોયરનું તાપમાન,$T_{1} = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \; K$.
સિંકનું તાપમાન,$T_{2} = 200 \; K$.
કાર્ય,$W = 12000 \; kJ = 12 \times 10^{6} \; J$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધુમાં,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_{1}$ એ રિઝર્વોયરથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
કાર્યક્ષમતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1 - \frac{200}{800} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$1 - \frac{1}{4} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$\frac{3}{4} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$Q_{1} = \frac{12 \times 10^{6} \times 4}{3}$
$Q_{1} = 16 \times 10^{6} \; J$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $16$ છે.

(D) રિવર્સિબલ હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $Q_1 = 300 \, cal$ અને $Q_2 = 225 \, cal$ આપેલ છે.
સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \, K$.
સંબંધ $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{225}{300} = \frac{T_2}{500}$.
$T_2 = \frac{225 \times 500}{300} = \frac{225 \times 5}{3} = 75 \times 5 = 375 \, K$.
સિંકનું તાપમાન સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ} C) = 375 - 273 = 102^{\circ} C$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તાપમાન કેલ્વિન $(K = ^{\circ}C + 273)$ માં હોવું જોઈએ.
$\eta_{1}$ માટે:
$T_{H} = 447 + 273 = 720 \ K$
$T_{L} = 147 + 273 = 420 \ K$
$\eta_{1} = 1 - \frac{420}{720} = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
$\eta_{2}$ માટે:
$T_{H} = 947 + 273 = 1220 \ K$
$T_{L} = 47 + 273 = 320 \ K$
$\eta_{2} = 1 - \frac{320}{1220} = 1 - \frac{16}{61} = \frac{45}{61}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}$:
$\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}} = \frac{5/12}{45/61} = \frac{5}{12} \times \frac{61}{45} = \frac{61}{108} \approx 0.5648$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ગુણોત્તર $0.56$ મળે છે.

(A) પ્રથમ કિસ્સો: કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\eta = 1 - \frac{100}{300} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
બીજો કિસ્સો: બે એન્જિન શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે એન્જિનની કુલ કાર્યક્ષમતા $\eta_{\text{net}} = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$300 \, K$ અને $200 \, K$ વચ્ચે કાર્ય કરતા પ્રથમ એન્જિન $(E_1)$ માટે,$\eta_1 = 1 - \frac{200}{300} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$200 \, K$ અને $100 \, K$ વચ્ચે કાર્ય કરતા બીજા એન્જિન $(E_2)$ માટે,$\eta_2 = 1 - \frac{100}{200} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
હવે,કુલ કાર્યક્ષમતાની ગણતરી કરતા: $\eta_{\text{net}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2+3-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,બીજા કિસ્સામાં કાર્યક્ષમતા પ્રથમ કિસ્સા જેટલી જ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\eta_1 = 0.5$,તેથી $0.5 = 1 - \frac{T_L}{T_H} \implies \frac{T_L}{T_H} = 0.5 \implies T_L = 0.5 T_H$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $40 \, K$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_L' = T_L - 40$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2$ મૂળ કાર્યક્ષમતા કરતા $30 \%$ વધે છે,તેથી $\eta_2 = 0.5 + 0.3 = 0.8$.
નવી કાર્યક્ષમતા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $0.8 = 1 - \frac{T_L - 40}{T_H}$.
$T_L = 0.5 T_H$ મૂકતા: $0.8 = 1 - \frac{0.5 T_H - 40}{T_H}$.
$0.8 = 1 - 0.5 + \frac{40}{T_H}$.
$0.3 = \frac{40}{T_H} \implies T_H = \frac{40}{0.15} = 266.67 \, K$.

(D) આપેલ ચક્ર એ કાર્નોટ ચક્ર છે જે બે સમતાપી અને બે એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓનું બનેલું છે.
કાર્નોટ ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_{L}$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_{H}$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$.
એડિબેટિક સંકોચન પગલામાં $(A \to B)$, વાયુને તાપમાન $T_{L}$ થી $T_{H}$ પર કદ $V_{1}$ થી $V_{B} = 1 \; m^{3}$ સુધી સંકોચવામાં આવે છે.
તેથી, $T_{L} V_{1}^{\gamma-1} = T_{H} V_{B}^{\gamma-1}$.
$\frac{T_{L}}{T_{H}} = \left( \frac{V_{B}}{V_{1}} \right)^{\gamma-1} = \left( \frac{1}{V_{1}} \right)^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે $\eta = 3/4$, તેથી $1 - \frac{T_{L}}{T_{H}} = 3/4$, જે સૂચવે છે કે $\frac{T_{L}}{T_{H}} = 1/4$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$, તેથી $\gamma - 1 = 2/3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{1}{V_{1}} \right)^{2/3} = 1/4$.
વ્યસ્ત લેતા: $V_{1}^{2/3} = 4$.
બંને બાજુ $3/2$ ઘાત લેતા: $V_{1} = 4^{3/2} = (2^{2})^{3/2} = 2^{3} = 8 \; m^{3}$.

(A) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય $W$ અને સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_H$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,કોઈ પણ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $1$ $(100\%)$ હોઈ શકે નહીં,કારણ કે તેના માટે સિંકને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_L$ શૂન્ય હોવી જોઈએ,જે અશક્ય છે.
ઉપરાંત,કાર્યક્ષમતા ઋણ હોઈ શકે નહીં કારણ કે તેનો અર્થ એ થાય કે એન્જિન બાહ્ય કાર્ય વિના ઠંડા જળાશયમાંથી ઉષ્મા શોષીને કાર્ય કરી રહ્યું છે,જે બીજા નિયમનું ઉલ્લંઘન છે.
તેથી,કાર્યક્ષમતા $\eta$ હંમેશા $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોય છે $(0 < \eta < 1)$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સોર્સનું તાપમાન છે (કેલ્વિનમાં).
આપેલ છે:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{400}{800}$
$\eta = 1 - 0.5 = 0.5$
કાર્યક્ષમતાને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે:
$\text{કાર્યક્ષમતા} = 0.5 \times 100 = 50 \%$

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
અહીં,$T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે સિંકનું તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્ય છે,તેથી $T_2 = 0 \ K$.
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{0}{T_1} = 1 - 0 = 1$.
કાર્યક્ષમતાને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\eta = 1 \times 100\% = 100\%$.
તેથી,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $100\%$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 300 \, K$ અને પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta = 0.5$.
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 600 \, K$.
હવે,નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 0.7$ છે અને સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300 \, K$ સમાન રહે છે.
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_1'} \Rightarrow \frac{300}{T_1'} = 0.3 \Rightarrow T_1' = \frac{300}{0.3} = 1000 \, K$.
સ્ત્રોતના તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = T_1' - T_1 = 1000 \, K - 600 \, K = 400 \, K$ થશે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \, K$ અને $T_2 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$ છે.
સ્ત્રોતમાંથી લેવામાં આવેલી ઉષ્મા $Q_1 = 6000 \, cal = 6 \, kcal$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
કારણ કે $\eta = \frac{W}{Q_1}$,તેથી થયેલ કાર્ય $W = \eta \times Q_1$.
$W = \frac{2}{3} \times 6 \, kcal = 4 \, kcal$.

(B) સાચો જવાબ $(B)$ છે.
કાર્નોટ એન્જિન પ્રતિવર્તી ચક્ર પર કાર્ય કરે છે,જે એક આદર્શ સૈદ્ધાંતિક મોડેલ છે.
વાસ્તવિક દુનિયામાં,તમામ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓમાં ઘર્ષણ,અશાંતિ અને આસપાસના વાતાવરણમાં ગરમીનો વ્યય થાય છે,જે તેમને સ્વાભાવિક રીતે અપ્રતિવર્તી બનાવે છે.
વ્યવહારમાં સંપૂર્ણ પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા પ્રાપ્ત કરી શકાતી ન હોવાથી,વાસ્તવિક હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા હંમેશા સમાન બે તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા સૈદ્ધાંતિક કાર્નોટ એન્જિન કરતા ઓછી હોય છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
કાર્નોટ પ્રમેય મુજબ,બે આપેલા તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત રિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા એ તે જ તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત કોઈપણ એન્જિન માટે મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા છે.
ઇરિવર્સિબલ એન્જિનમાં ઘર્ષણ,ટર્બ્યુલન્સ અને ઉષ્માનો વ્યય જેવી અસરો જોવા મળે છે,જે કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ઉષ્માના જથ્થાને ઘટાડે છે.
તેથી,રિવર્સિબલ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા હંમેશા સમાન બે ઉષ્માના સંગ્રાહકો (reservoirs) વચ્ચે કાર્યરત ઇરિવર્સિબલ એન્જિન કરતા વધારે હોય છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
કાર્નોટ સાયકલ એ થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમનો એક પાયો છે,અને સાદી કાર્નોટને ઘણીવાર થર્મોડાયનેમિક્સના પિતા માનવામાં આવે છે. તેઓ એવા અગ્રણીઓમાંના એક હતા જેમણે સૌપ્રથમ ઉષ્મા ઉર્જાને કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરવાની આદર્શ રીત નક્કી કરી હતી. કાર્નોટ સાયકલ સૌથી કાર્યક્ષમ હીટ એન્જિન સાયકલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
કાર્નોટ સાયકલમાં નીચેની ચાર પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$I.$ સમતાપી વિસ્તરણ (Isothermal expansion): વાયુ ઊંચા તાપમાન $T_{\text{high}}$ પર સમતાપી વિસ્તરણ અનુભવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,વાયુ સ્ત્રોતમાંથી $q_{\text{in}}$ જેટલી ઉષ્મા શોષે છે અને આસપાસના વાતાવરણ પર $w_1$ જેટલું કાર્ય કરે છે.
$II.$ પ્રતિવર્તી એડિબેટિક વિસ્તરણ (Reversible adiabatic expansion): ત્યારબાદ વાયુ પ્રતિવર્તી એડિબેટિક વિસ્તરણમાંથી પસાર થાય છે. પરિણામે,વાયુનું તાપમાન ઘટીને નીચા તાપમાન $T_{\text{low}}$ પર આવે છે.
$III.$ સમતાપી સંકોચન (Isothermal compression): ત્યારબાદ વાયુને નીચા તાપમાન $T_{\text{low}}$ પર સમતાપી રીતે સંકુચિત કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,વાયુ સિંકને $q_{\text{out}}$ જેટલી ઉષ્મા મુક્ત કરે છે,અને આસપાસના વાતાવરણ દ્વારા વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે.
$IV.$ પ્રતિવર્તી એડિબેટિક સંકોચન (Reversible adiabatic compression): અંતે,વાયુ પ્રતિવર્તી એડિબેટિક સંકોચનમાંથી પસાર થાય છે,જેના કારણે તાપમાન ફરીથી વધીને $T_{\text{high}}$ થાય છે.
આમ,કાર્નોટ સાયકલમાં બે સમતાપી અને બે એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે,જે કુલ ચાર તબક્કાઓ બનાવે છે.

(D) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ પ્રમેય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે જણાવે છે કે બે તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત કોઈપણ હીટ એન્જિન માટે મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા એ કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
જ્યાં:
$T_1$ એ સ્ત્રોતનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$T_2$ એ સિંકનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આમ,મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા સ્ત્રોત અને સિંકના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.