Rotational Kinetic Energy Questions in Hindi

(B) $X$-अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ $i$-वें कण की $X$-अक्ष से लंबवत दूरी है।
$Y$-अक्ष पर दिए गए द्रव्यमान और उनकी स्थितियाँ:
$m_1 = 4.00 \, kg$,$y_1 = 3.00 \, m$ पर,इसलिए $r_1 = 3.00 \, m$।
$m_2 = 2.00 \, kg$,$y_2 = -2.00 \, m$ पर,इसलिए $r_2 = 2.00 \, m$।
$m_3 = 3.00 \, kg$,$y_3 = -4.00 \, m$ पर,इसलिए $r_3 = 4.00 \, m$।
जड़त्व आघूर्ण की गणना:
$I = (4.00 \, kg)(3.00 \, m)^2 + (2.00 \, kg)(2.00 \, m)^2 + (3.00 \, kg)(4.00 \, m)^2$
$I = (4.00 \times 9) + (2.00 \times 4) + (3.00 \times 16) = 36 + 8 + 48 = 92 \, kg \cdot m^2$।
घूर्णी गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\omega = 2 \, rad/s$ दिया गया है:
$K.E. = \frac{1}{2} \times 92 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 92 \times 4 = 184 \, J$।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K E_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,$\omega = \frac{v}{R}$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$K E_{R} = \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।
एक ठोस गोले का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^{2}$ होता है।
समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $K E_{R} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m R^{2}\right) \frac{v^{2}}{R^{2}} = \frac{1}{5} m v^{2}$।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K E_{T} = \frac{1}{2} m v^{2}$ है।
अतः अनुपात $\frac{K E_{R}}{K E_{T}} = \frac{\frac{1}{5} m v^{2}}{\frac{1}{2} m v^{2}} = \frac{2}{5}$ है।

(D) किसी पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का सूत्र $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
हम जानते हैं कि कोणीय वेग $\omega$ और आवर्तकाल $(T)$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
इस मान को घूर्णन गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $K_r = \frac{1}{2} I \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2$।
इसे सरल करने पर,$K_r = \frac{1}{2} I \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{2\pi^2 I}{T^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि एक निश्चित अक्ष के परितः घूमते हुए पिंड के लिए $I$ और $\pi$ नियतांक हैं,इसलिए $K_r \propto \frac{1}{T^2}$ होता है।
अतः,$K_r \propto (Time\ period)^{-2}$।

(C) किसी पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
दिया गया है कि पिंड $T = \pi \ s$ में एक चक्कर पूरा करता है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ rad/s$ है।
$\omega$ का मान गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} I (2)^2 = \frac{1}{2} I (4) = 2I$.
अतः,$I = \frac{K}{2}$,जिसका अर्थ है कि जड़त्व आघूर्ण घूर्णन गतिज ऊर्जा का आधा है।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच संबंध $E = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
इसका अर्थ है $L = \sqrt{2IE}$,इसलिए $L \propto \sqrt{E}$ है।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ है।
नई गतिज ऊर्जा $E_2$ में $300\ \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $E_2 = E + 300\% \text{ of } E = E + 3E = 4E$ है।
नए कोणीय संवेग $L_2$ और प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1$ का अनुपात $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{\frac{4E}{E}} = 2$ है।
अतः,$L_2 = 2L_1$ है।
कोणीय संवेग में प्रतिशत वृद्धि $\frac{L_2 - L_1}{L_1} \times 100\ \% = \frac{2L_1 - L_1}{L_1} \times 100\ \% = 100\ \%$ होगी।

(C) एक कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ होता है।
हम जानते हैं कि रैखिक संवेग $P = Mv$,इसलिए $v = \frac{P}{M}$ होता है।
इस मान को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} M \left(\frac{P}{M}\right)^2 = \frac{P^2}{2M}$।
जब कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में घूमता है,तो कोणीय संवेग $L = MvR = PR$ होता है।
इसलिए,$P = \frac{L}{R}$ प्राप्त होता है।
अब $P = \frac{L}{R}$ को गतिज ऊर्जा के सूत्र $K.E. = \frac{P^2}{2M}$ में रखने पर:
$K.E. = \frac{(L/R)^2}{2M} = \frac{L^2}{2MR^2}$।

(A) $m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान पतली छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ml^2$ होता है।
कोणीय वेग $\omega$ को आवृत्ति $f$ के संदर्भ में $\omega = 2\pi f$ के रूप में लिखा जा सकता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
इस सूत्र में $I$ और $\omega$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3}ml^2) \times (2\pi f)^2$
$K = \frac{1}{6}ml^2 \times 4\pi^2 f^2$
$K = \frac{2}{3}\pi^2 f^2 ml^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) किसी अक्ष के परितः घूर्णन कर रही वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली रिंग के लिए उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
दिया गया है: $M = 10 \,kg$,$R = 0.5 \,m$,और $\omega = 20 \,rad/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25 \,kg \cdot m^2$.
अब,गतिज ऊर्जा की गणना करते हैं:
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times (20)^2$
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 400$
$K = 1.25 \times 200 = 250 \,J$.

(B) घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच संबंध $E = \frac{L^2}{2I}$ है।
चूंकि $I$ स्थिर रहता है,इसलिए $E \propto L^2$,जिसका अर्थ है $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2$।
दिया गया है कि कोणीय संवेग $200\ \%$ बढ़ जाता है,इसलिए नया कोणीय संवेग $L_2 = L_1 + 200\% \text{ of } L_1 = L_1 + 2L_1 = 3L_1$ होगा।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{3L_1}{L_1} \right)^2 = 3^2 = 9$।
अतः,$E_2 = 9E_1$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\% = \frac{9E_1 - E_1}{E_1} \times 100\% = 8 \times 100\% = 800\%$ होगी।

(C) किसी वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$ का सूत्र $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ होता है।
दिया गया है:
जड़त्व आघूर्ण $I = 0.32 \ kg \cdot m^2$
कोणीय वेग $\omega = 120 \ rad/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$K_R = \frac{1}{2} \times 0.32 \times (120)^2$
$K_R = 0.16 \times 14400$
$K_R = 2304 \ J$.

(A) कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का योग है।
दिया गया है कि $K_r = 50\% \text{ of } K_{total}$,जिसका अर्थ है $K_r = K_t$.
हम जानते हैं कि $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ और $K_t = \frac{1}{2} mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} mv^2$.
चूंकि $v = \omega r$,इसलिए $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} m(\omega r)^2$.
सरल करने पर,$I \omega^2 = m \omega^2 r^2$,जिससे $I = mr^2$ प्राप्त होता है।
जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ एक वलय (रिंग) के लिए होता है।

(C) कोणीय वेग $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
यहाँ $T = 1 \ s$ दिया गया है,इसलिए $\omega = 2\pi \ rad/s$ प्राप्त होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
$\omega$ का मान रखने पर: $E_R = \frac{1}{2} I (2\pi)^2 = \frac{1}{2} I (4\pi^2) = 2\pi^2 I$.
अतः,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{E_R}{2\pi^2}$ होगा।

(C) दिया गया है: $I_1 = I$ और $I_2 = 2I$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
चूंकि घूर्णन गतिज ऊर्जाएँ समान हैं,इसलिए $K_1 = K_2$।
अतः,$\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} (I) \omega_1^2 = \frac{1}{2} (2I) \omega_2^2$।
समीकरण को सरल करने पर: $\omega_1^2 = 2 \omega_2^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{\frac{2}{1}} = \frac{\sqrt{2}}{1}$।
इस प्रकार,उनके कोणीय वेगों का अनुपात $\sqrt{2}:1$ है।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
$m$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक पतली छड़ के लिए,एक सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ होता है।
कोणीय वेग $\omega$ को $n$ चक्कर प्रति सेकंड के रूप में लिखने पर,$\omega = 2 \pi n$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{mL^2}{3} \right) (2 \pi n)^2$
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{mL^2}{3} \right) (4 \pi^2 n^2)$
$K_{rot} = \frac{2}{3} mL^2 \pi^2 n^2$.

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच का संबंध $K = \frac{L^2}{2I}$ है, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है。
चूँकि एक स्थिर अक्ष के परितः घूमने वाले पिंड के लिए $I$ नियत रहता है, इसलिए $K \propto L^2$ होगा。
माना प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = L$ है, तो नया कोणीय संवेग $L_2 = L + 0.10L = 1.10L$ होगा。
गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2 = (1.10)^2 = 1.21$ होगा。
इसका अर्थ है कि $K_2 = 1.21 K_1$ है。
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि = $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100\% = (1.21 - 1) \times 100\% = 0.21 \times 100\% = 21\%$。

(D) माना प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = L$ है।
चूंकि कोणीय संवेग में $200\%$ की वृद्धि की गई है,इसलिए नया कोणीय संवेग $L_2 = L + 2.00L = 3L$ होगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच संबंध $E = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
यदि $I$ स्थिर रहता है,तो गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2} = \frac{(3L)^2}{L^2} = 9$ होगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{E_2 - E_1}{E_1} \right) \times 100\% = \left( \frac{E_2}{E_1} - 1 \right) \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$(9 - 1) \times 100\% = 8 \times 100\% = 800\%$ प्राप्त होता है।
अतः,घूर्णन गतिज ऊर्जा में $800\%$ की वृद्धि होगी।

(A) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$,कोणीय संवेग $L$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ के बीच संबंध $K = \frac{L^2}{2I}$ है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_A = K_B$ है।
अतः,$\frac{L_A^2}{2I_A} = \frac{L_B^2}{2I_B}$ होगा।
इससे $\frac{L_A^2}{L_B^2} = \frac{I_A}{I_B}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{L_A}{L_B} = \sqrt{\frac{I_A}{I_B}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिया गया है कि $I_B > I_A$,इसलिए $\frac{I_A}{I_B} < 1$ होगा।
अतः,$\frac{L_A}{L_B} < 1$,जिसका अर्थ है कि $L_A < L_B$ या $L_B > L_A$।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
व्यास के परितः घूमते हुए ठोस गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} m R^2$ है।
ज्यामितीय अक्ष के परितः घूमते हुए ठोस बेलन के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2} m R^2$ है।
दिया गया है कि बेलन की कोणीय चाल गोले की कोणीय चाल की दोगुनी है,इसलिए $\omega_c = 2 \omega_s$ है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात:
$\frac{E_{sphere}}{E_{cylinder}} = \frac{\frac{1}{2} I_s \omega_s^2}{\frac{1}{2} I_c \omega_c^2} = \frac{I_s \omega_s^2}{I_c (2 \omega_s)^2} = \frac{I_s}{4 I_c}$.
$I_s$ और $I_c$ के मान रखने पर:
$\frac{E_{sphere}}{E_{cylinder}} = \frac{\frac{2}{5} m R^2}{4 \times \frac{1}{2} m R^2} = \frac{2/5}{2} = \frac{1}{5}$.
अतः,अनुपात $1:5$ है।

(C) एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करने वाली वस्तु की घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय चाल है।
दिया गया है:
गतिज ऊर्जा $(K)$ = $360 \ J$
कोणीय चाल $(\omega)$ = $30 \ rad/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$360 = \frac{1}{2} \times I \times (30)^2$
$360 = \frac{1}{2} \times I \times 900$
$360 = 450 \times I$
$I = \frac{360}{450}$
$I = 0.8 \ kg \ m^2$
अतः,पहिये का जड़त्व आघूर्ण $0.8 \ kg \ m^2$ है।

(C) घूर्णन करती हुई वस्तु की घूर्णीय गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{L^2}{2I}$ होता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
$L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L^2 = 2EI$
$L = \sqrt{2EI}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का कोणीय संवेग $(L)$ और जड़त्व आघूर्ण $(I)$ के साथ संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{L^2}{2I}$।
चूंकि घूर्णन गतिज ऊर्जा समान है $(KE_1 = KE_2)$:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
दिए गए मान $I_1 = I$ और $I_2 = 2I$ रखने पर:
$\frac{L_1^2}{2I} = \frac{L_2^2}{2(2I)}$
$\frac{L_1^2}{I} = \frac{L_2^2}{2I}$
$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,उनके कोणीय संवेग का अनुपात $1:\sqrt{2}$ है।

(D) वलय (रिंग) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
दिया है: $M = 10 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,$\omega = 20 \ rad/s$.
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25 \ kg \cdot m^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times (20)^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 400 = 1.25 \times 200 = 250 \ J$.

(C) किसी पिण्ड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$,उसके कोणीय संवेग $L$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ से इस सूत्र द्वारा सम्बन्धित है: $K = \frac{L^2}{2I}$।
चूंकि कोणीय संवेग बराबर हैं $(L_A = L_B = L)$,इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K \propto \frac{1}{I}$।
चूंकि $I_A > I_B$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{I_A} < \frac{1}{I_B}$ होगा।
अतः,$K_A < K_B$ प्राप्त होता है।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ का सूत्र $\frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ ठोस गोले के लिए $I = \frac{2}{5} mR^2$ और $\omega = v/R$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{5} mv^2$ प्राप्त होता है।
स्थानान्तरण गतिज ऊर्जा $(K_{trans})$ का सूत्र $\frac{1}{2} mv^2$ है।
अतः,घूर्णन गतिज ऊर्जा और स्थानान्तरण गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{\frac{1}{5} mv^2}{\frac{1}{2} mv^2} = \frac{2}{5}$ है।

(C) किसी निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन कर रही वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$
जहाँ $I$ वस्तु का जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ इसका कोणीय वेग है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक $\frac{1}{2} I \omega^2$ है।

(B) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$ का सूत्र $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस वृत्ताकार डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
कोणीय वेग $\omega$ (रेडियन/सेकंड में) $\omega = 2 \pi n$ है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड चक्करों की आवृत्ति है।
यहाँ $M = 72 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,और $n = \frac{70}{60} \ rev/s$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 72 \times (0.5)^2 = 36 \times 0.25 = 9 \ kg \cdot m^2$.
$\omega = 2 \pi \times \frac{70}{60} = \frac{7 \pi}{3} \ rad/s$.
$K_R = \frac{1}{2} \times 9 \times \left( \frac{7 \pi}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{49 \pi^2}{9} = \frac{49 \pi^2}{2} \approx 241.8 \ J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $240 \ J$ है।

(A) घूर्णन करती हुई वस्तु की घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ का सूत्र $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
यहाँ $I = 3 \ kg \cdot m^2$ और $\omega = 3 \ rad/s$ दिया गया है,अतः:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \times 3 \times (3)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 9 = 13.5 \ J$.
दूसरी वस्तु की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $(K_{trans})$ का सूत्र $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^2$ है।
यहाँ $m = 27 \ kg$ और $K_{trans} = K_{rot} = 13.5 \ J$ दिया गया है,अतः:
$\frac{1}{2} \times 27 \times v^2 = 13.5$.
$v^2 = \frac{13.5 \times 2}{27} = \frac{27}{27} = 1$.
इसलिए,$v = 1 \ m/s$.

(D) किसी पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$ का सूत्र $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2$ होता है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वलय के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ होता है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $I$ का मान रखने पर:
$K_R = \frac{1}{2}(mr^2)\omega^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$ का सूत्र $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
दिया गया है: $M = 1 \, kg$,$R = 3 \, cm = 0.03 \, m$,और $\omega = 50 \, rad/s$।
मान रखने पर:
$I = \frac{2}{5} \times 1 \times (0.03)^2 = \frac{2}{5} \times 0.0009 = 0.00036 \, kg \cdot m^2$।
अब,$K_R = \frac{1}{2} \times 0.00036 \times (50)^2$।
$K_R = \frac{1}{2} \times 0.00036 \times 2500$।
$K_R = 0.00018 \times 2500 = 0.45 \, J$।
चूंकि $0.45 = 45/100 = 9/20$,इसलिए घूर्णन गतिज ऊर्जा $9/20 \, J$ है।

(B) किसी वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ होता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूँकि कोणीय वेग समान हैं $(\omega_1 = \omega_2 = \omega)$,इसलिए घूर्णन गतिज ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के सीधे समानुपाती होती है: $E \propto I$.
चूँकि $I_1 > I_2$ दिया गया है,इसलिए $E_1 > E_2$ होगा।

(B) दिया गया है कि घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$,रैखिक गतिज ऊर्जा $K_T$ का $50\%$ है।
$K_R = 0.5 K_T$
सूत्रों $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (Mk^2) (v/R)^2 = \frac{1}{2} Mv^2 (k^2/R^2)$ और $K_T = \frac{1}{2} Mv^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} Mv^2 (k^2/R^2) = 0.5 \times \frac{1}{2} Mv^2$
$\frac{k^2}{R^2} = 0.5 = \frac{1}{2}$
एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2} R^2$,जिसका अर्थ है $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$।
अतः,वह वस्तु एक ठोस बेलन है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 6 \ kg$,त्रिज्या $R = 40 \ cm = 0.4 \ m$,आवृत्ति $f = 300 \ rpm = \frac{300}{60} \ rps = 5 \ Hz$.
रिम (वलय) के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2 = 6 \times (0.4)^2 = 6 \times 0.16 = 0.96 \ kg \cdot m^2$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$.
मान रखने पर: $K_R = \frac{1}{2} \times 0.96 \times (10\pi)^2$.
$K_R = 0.48 \times 100\pi^2 = 48\pi^2 \ J$.

(A) एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन करने वाली दृढ़ वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वलय के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m r^{2}$ होता है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $I$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} (m r^{2}) \omega^{2} = \frac{1}{2} m r^{2} \omega^{2}$.

(A) चक्कर प्रति मिनट $N = \frac{3000}{\pi} \ rpm$ दिया गया है।
आवृत्ति $n$ हर्ट्ज़ में,$n = \frac{N}{60} = \frac{3000}{60 \times \pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n = 2 \pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \ rad/s$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I = 400 \ kg \ m^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
मान रखने पर: $K = \frac{1}{2} \times 400 \times (100)^2 = 200 \times 10000 = 2 \times 10^6 \ J$.

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K.E._{rot})$ का सूत्र है: $K.E._{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$।
एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $(M)$ = $1\,kg$,त्रिज्या $(R)$ = $30\,cm = 0.3\,m$,कोणीय वेग $(\omega)$ = $50\,rad/s$।
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{2}{5} \times 1 \times (0.3)^2 = 0.4 \times 0.09 = 0.036\,kg \cdot m^2$।
$K.E._{rot} = \frac{1}{2} \times 0.036 \times (50)^2$।
$K.E._{rot} = 0.5 \times 0.036 \times 2500$।
$K.E._{rot} = 0.018 \times 2500 = 45\,J$।

(B) घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K.E._{rot})$ का सूत्र है: $K.E._{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$।
सबसे पहले,ठोस वृत्ताकार डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की गणना करें: $I = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \times 72 \times (0.5)^{2} = 36 \times 0.25 = 9 \ kg \cdot m^{2}$।
इसके बाद,कोणीय वेग $(\omega)$ को $r.p.m.$ से $rad/s$ में बदलें: $\omega = \frac{70 \times 2 \pi}{60} = \frac{7 \pi}{3} \approx 7.33 \ rad/s$।
अब,इन मानों को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखें: $K.E._{rot} = \frac{1}{2} \times 9 \times (7.33)^{2} \approx 0.5 \times 9 \times 53.72 \approx 241.7 \ J$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,ऊर्जा लगभग $240 \ J$ है।

(D) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
दिया गया है: $M = 10\,kg$,$R = 30\,cm = 0.3\,m$ (गणना के लिए संशोधित),और $\omega = 50\,rad/s$.
जड़त्व आघूर्ण की गणना:
$I = \frac{2}{5} \times 10\,kg \times (0.3\,m)^2 = 4 \times 0.09\,kg \cdot m^2 = 0.36\,kg \cdot m^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
$K_R = \frac{1}{2} \times 0.36\,kg \cdot m^2 \times (50\,rad/s)^2$.
$K_R = 0.18 \times 2500\,J = 450\,J$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच संबंध $E = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
मान लीजिए प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = L$ है।
दिया गया है कि कोणीय संवेग में $200\,\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नया कोणीय संवेग $L_2$:
$L_2 = L + 200\% \text{ of } L = L + 2L = 3L$.
चूंकि $E \propto L^2$,नई गतिज ऊर्जा $E_2$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ का अनुपात:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right)^2 = \left(\frac{3L}{L}\right)^2 = 9$.
अतः,$E_2 = 9E_1$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left(\frac{E_2 - E_1}{E_1}\right) \times 100\% = \left(\frac{9E_1 - E_1}{E_1}\right) \times 100\% = 8 \times 100\% = 800\%$.

(N/A) दिया गया है:
बेलन का द्रव्यमान,$m = 20 \; kg$
कोणीय चाल,$\omega = 100 \; rad \; s^{-1}$
बेलन की त्रिज्या,$r = 0.25 \; m$
ठोस बेलन का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$:
$I = \frac{1}{2} m r^2$
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.25)^2 = 10 \times 0.0625 = 0.625 \; kg \; m^2$
$1$. घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K)$:
$K = \frac{1}{2} I \omega^2$
$K = \frac{1}{2} \times 0.625 \times (100)^2$
$K = 0.5 \times 0.625 \times 10000 = 3125 \; J$
$2$. कोणीय संवेग $(L)$:
$L = I \omega$
$L = 0.625 \times 100 = 62.5 \; kg \; m^2 \; s^{-1}$ (या $J \; s$)

(N/A) एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे दृढ़ पिंड की घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$
जहाँ:
$I$ घूर्णन अक्ष के परितः पिंड का जड़त्व आघूर्ण है।
$\omega$ पिंड का कोणीय वेग है।

(C) मान लीजिए कि पहिये $Q$ की त्रिज्या $R$ है और पहिये $P$ की त्रिज्या $3R$ है। चूंकि वे एक बेल्ट से जुड़े हैं,इसलिए रिम पर उनकी स्पर्शरेखीय गति समान है,अतः $v = \omega_{P} (3R) = \omega_{Q} R$।
इसका अर्थ है $\omega_{P} = \frac{\omega_{Q}}{3}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि घूर्णन गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए:
$\frac{1}{2} I_{P} \omega_{P}^{2} = \frac{1}{2} I_{Q} \omega_{Q}^{2}$
$I_{P} \left(\frac{\omega_{Q}}{3}\right)^{2} = I_{Q} \omega_{Q}^{2}$
$I_{P} \left(\frac{1}{9}\right) = I_{Q}$
$\frac{I_{P}}{I_{Q}} = 9$।
अतः,अनुपात $9: 1$ है,और $x$ का मान $9$ है।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः घूमने वाली $\ell$ लंबाई की एक पतली एकसमान छड़ के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m \ell^2}{12}$ होता है।
छड़ का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = d \times (A \ell) = d A \ell$ है।
$I$ के व्यंजक में $m$ का मान रखने पर,$I = \frac{(d A \ell) \ell^2}{12} = \frac{d A \ell^3}{12}$ प्राप्त होता है।
अब,गतिज ऊर्जा के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{d A \ell^3}{12} \right) \omega^2 = \frac{d A \ell^3}{24} \omega^2$।
यहाँ $\ell = 2 \ m$ दिया गया है,इसलिए $E = \frac{d A (2)^3}{24} \omega^2 = \frac{8 d A}{24} \omega^2 = \frac{d A}{3} \omega^2$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,$\omega^2 = \frac{3 E}{d A}$,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{3 E}{d A}}$।
दिए गए समीकरण $\omega = \sqrt{\frac{\alpha E}{Ad}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 60\,rpm = 60 \times \frac{2\pi}{60} = 2\pi\,rad/s$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 360\,rpm = 360 \times \frac{2\pi}{60} = 12\pi\,rad/s$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E. = \frac{1}{2} I (\omega_f^2 - \omega_i^2) = 484\,J$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} I ((12\pi)^2 - (2\pi)^2) = 484$.
$\frac{1}{2} I (144\pi^2 - 4\pi^2) = 484$.
$\frac{1}{2} I (140\pi^2) = 484$.
$70\pi^2 I = 484$.
$\pi^2 \approx 9.86$ का उपयोग करने पर,$70 \times 9.86 \times I = 484$.
$690.2 I = 484$.
$I = \frac{484}{690.2} \approx 0.701\,kg\cdot m^2$.

(D) एक दृढ़ पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ और उसके कोणीय संवेग $L$ तथा जड़त्व आघूर्ण $I$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K = \frac{L^2}{2I}$.
इससे, हम कोणीय संवेग को $L = \sqrt{2KI}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = L$ है।
यदि गतिज ऊर्जा को चार गुना कर दिया जाए, तो नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K$ होगी।
नया कोणीय संवेग $L_2$ इस प्रकार होगा:
$L_2 = \sqrt{2 K_2 I} = \sqrt{2(4K)I} = \sqrt{4(2KI)} = 2\sqrt{2KI}$.
चूंकि $L = \sqrt{2KI}$, इसलिए $L_2 = 2L$ होगा।

(C) माध्य स्थिति से गुजरते समय छड़ की गतिज ऊर्जा घूर्णी गतिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ,$I$ निलंबन बिंदु (एक सिरा) के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एकसमान छड़ का एक सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m l^2}{3}$ होता है।
इस मान को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2} \times \left( \frac{m l^2}{3} \right) \times \omega^2$
$K.E. = \frac{m l^2 \omega^2}{6}$

(A) घूर्णन गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ होता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = I \omega$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $L^2 = I^2 \omega^2$।
गतिज ऊर्जा के समीकरण में $\omega^2 = \frac{L^2}{I^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{2} I \left( \frac{L^2}{I^2} \right) = \frac{L^2}{2I}$ प्राप्त होता है।
'$r$' त्रिज्या के वृत्त में गति कर रहे '$m$' द्रव्यमान के कण के लिए,केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ होता है।
गतिज ऊर्जा के व्यंजक में $I = mr^2$ रखने पर,हमें $E = \frac{L^2}{2(mr^2)} = \frac{L^2}{2 mr^2}$ प्राप्त होता है।

(C) वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूँकि $I$ स्थिर रहता है,इसलिए $KE \propto \omega^2$ होगा।
कोणीय वेग में $20 \%$ की वृद्धि होने पर,नया कोणीय वेग $\omega_2 = \omega_1 + 0.20 \omega_1 = 1.2 \omega_1$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $(KE_2)$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_1)$ का अनुपात:
$\frac{KE_2}{KE_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = \frac{(1.2 \omega_1)^2}{\omega_1^2} = (1.2)^2 = 1.44$।
अतः,$KE_2 = 1.44 KE_1$।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left( \frac{KE_2 - KE_1}{KE_1} \right) \times 100 = (1.44 - 1) \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूँकि गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_P = K_Q$ होगा।
अतः,$\frac{L_P^2}{2I_P} = \frac{L_Q^2}{2I_Q}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_Q^2}{L_P^2} = \frac{I_Q}{I_P}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{L_Q}{L_P} = \sqrt{\frac{I_Q}{I_P}}$।
यह दिया गया है कि $I_Q > I_P$,इसलिए $\frac{I_Q}{I_P} > 1$ होगा।
इस प्रकार,$\sqrt{\frac{I_Q}{I_P}} > 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_Q}{L_P} > 1$।
अतः,$L_Q > L_P$।

(C) किसी वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^{2}}{2I}$ होता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के कोणीय संवेग समान हैं $(L_{A} = L_{B} = L)$,इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $K \propto \frac{1}{I}$।
यह दिया गया है कि $I_{A} > I_{B}$,इसलिए $\frac{1}{I_{A}} < \frac{1}{I_{B}}$ होगा।
अतः,$K_{A} < K_{B}$ प्राप्त होता है।