Rotational Kinetic Energy Questions in Hindi

(D) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान है,$v$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है,$R$ त्रिज्या है,और $I$ वस्तु का जड़त्व आघूर्ण है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $KE_{\text{trans}} = \frac{1}{2} mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़क रही है,$v = \omega R$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
इस मान को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$।
दिया गया है कि $KE_{\text{trans}} = KE_{\text{rot}}$,इसलिए $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$।
इससे $m = \frac{I}{R^2}$ या $I = mR^2$ प्राप्त होता है।
जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ एक रिंग (या पतले खोखले बेलन) के लिए उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः होता है।

(D) घूर्णन करते हुए पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $x = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
पिंड का कोणीय संवेग $y = I \omega$ द्वारा दिया जाता है।
हम गतिज ऊर्जा को कोणीय संवेग के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{(I \omega)^2}{2 I} = \frac{y^2}{2 I}$.
जड़त्व आघूर्ण $I$ के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{y^2}{2 x}$.

(B) कोणीय वेग $\omega$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ के साथ घूम रहे पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग $L = I \omega$ द्वारा दिया जाता है।
हम गतिज ऊर्जा को कोणीय संवेग के पदों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$K = \frac{1}{2} I \left( \frac{L}{I} \right)^2 = \frac{L^2}{2I}$.
दिया गया है कि $K = x$ और $L = y$,इसलिए $x = \frac{y^2}{2I}$.
जड़त्व आघूर्ण $I$ के लिए हल करने पर,हमें $I = \frac{y^2}{2x}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} mR^2$ है।
ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2} mR^2$ है।
मान लीजिए गोले की कोणीय गति $\omega$ है। तो बेलन की कोणीय गति $2\omega$ होगी।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
गोले की गतिज ऊर्जा: $K_s = \frac{1}{2} I_s \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} mR^2 \omega^2$.
बेलन की गतिज ऊर्जा: $K_c = \frac{1}{2} I_c (2\omega)^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (4\omega^2) = mR^2 \omega^2$.
गोले और बेलन की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{5} mR^2 \omega^2}{mR^2 \omega^2} = \frac{1}{5}$ है।
अतः,अनुपात $1: 5$ है।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस बेलन के लिए उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2} M R^2$ है।
माना बेलन की कोणीय चाल $\omega_c = \omega$ है।
अतः,$K_c = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2$ है।
ठोस गोले के लिए उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} M R^2$ है।
गोले की कोणीय चाल $\omega_s = \frac{\omega}{2}$ है।
अतः,$K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{\omega}{2})^2 = \frac{1}{5} M R^2 (\frac{\omega^2}{4}) = \frac{1}{20} M R^2 \omega^2$ है।
गोले और बेलन की घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{20} M R^2 \omega^2}{\frac{1}{4} M R^2 \omega^2} = \frac{1}{20} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ होगा।

(B) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_S = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_C = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
मान लीजिए बेलन की कोणीय गति $\omega_C$ है और गोले की कोणीय गति $\omega_S$ है।
दिया गया है कि $\omega_S = \frac{\omega_C}{2}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
गोले की गतिज ऊर्जा और बेलन की गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{1}{2} I_S \omega_S^2}{\frac{1}{2} I_C \omega_C^2} = \frac{I_S}{I_C} \times \left( \frac{\omega_S}{\omega_C} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{2}{5} M R^2}{\frac{1}{2} M R^2} \times \left( \frac{\omega_C / 2}{\omega_C} \right)^2 = \frac{2/5}{1/2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.
अतः,अनुपात $1: 5$ है।

(D) दिया गया है कि घूर्णन गतिज ऊर्जाएँ समान हैं:
$(K.E.)_A = (K.E.)_B$
$\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} \implies \frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} \quad ...(i)$
साथ ही,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि गतिज ऊर्जाएँ समान हैं:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2}$
कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{3}$ होगा।
अतः,$\frac{I_2}{I_1} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
इस प्रकार,$I_2 = 3 I_1$.

(D) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2$ है। घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{sphere}} = \frac{1}{2} I_{\text{sphere}} \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ है।
ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2$ है। दिया गया है कि $\omega_{\text{cylinder}} = 2 \omega_{\text{sphere}}$,अतः घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} I_{\text{cylinder}} \omega_{\text{cylinder}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} M R^2 (2 \omega_{\text{sphere}})^2 = \frac{1}{4} M R^2 (4 \omega_{\text{sphere}}^2) = M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_{\text{sphere}}}{K_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2}{M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2} = \frac{1}{5}$ होगा।

(C) मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
$I$ का मान रखने पर,$K = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2 \omega^2}{4}$ प्राप्त होता है।
$\omega^2$ के लिए हल करने पर,$\omega^2 = \frac{4K}{md^2}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4K}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{K}{m}}$ प्राप्त होता है।

(A) एक दृढ़ पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$m$ द्रव्यमान और $d$ दूरी पर स्थित दो परमाणुओं वाले अणु के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega^2$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
वर्गमूल लेने पर: $\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(C) पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$।
यहाँ कोणीय वेग $\omega = 1 \ rad/s$ दिया गया है,इसलिए: $K = \frac{1}{2} I (1)^2 = \frac{1}{2} I$।
प्रश्न के अनुसार,जड़त्व आघूर्ण $(I)$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K)$ के '$P$' गुना के बराबर है: $I = P \cdot K$।
$K$ का मान रखने पर: $I = P \cdot (\frac{1}{2} I)$।
दोनों पक्षों को $I$ से विभाजित करने पर: $1 = P \cdot \frac{1}{2}$।
अतः,$P = 2$।

(A) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
ठोस गोले के लिए उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} MR^2$ है।
मान लीजिए गोले की कोणीय गति $\omega_s = \omega$ है।
अतः,गोले की गतिज ऊर्जा $K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2$ है।
डिस्क के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ है।
डिस्क की कोणीय गति $\omega_d = 2\omega$ दी गई है।
अतः,डिस्क की गतिज ऊर्जा $K_d = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (2\omega)^2 = \frac{1}{4} MR^2 (4\omega^2) = MR^2 \omega^2$ है।
डिस्क की गतिज ऊर्जा और गोले की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_d}{K_s} = \frac{MR^2 \omega^2}{\frac{1}{5} MR^2 \omega^2} = 5$ है।
इसलिए,अनुपात $5: 1$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $d$ दूरी पर स्थित दो परमाणुओं से बने द्विपरमाणुक अणु का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = m(d/2)^2 + m(d/2)^2 = 2m(d^2/4) = \frac{md^2}{2}$.
घूर्णी गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
$\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 3 \ kg \ m^{2}$,कोणीय वेग $\omega = 3 \ rad \ s^{-1}$,और द्रव्यमान $m = 27 \ kg$.
घूर्णन करते पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ है।
दूसरे पिंड की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$K_{rot} = K_{trans}$.
अतः,$\frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$.
$I \omega^{2} = m v^{2}$.
$v^{2} = \frac{I \omega^{2}}{m}$.
$v = \omega \sqrt{\frac{I}{m}}$.
मान रखने पर: $v = 3 \times \sqrt{\frac{3}{27}} = 3 \times \sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \times \frac{1}{3} = 1 \ m \ s^{-1}$.

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाले और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $M = 20 \ kg$,त्रिज्या $R = 1 \ m$,कोणीय वेग $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$।
जड़त्व आघूर्ण की गणना: $I = \frac{1}{2} \times 20 \times (1)^2 = 10 \ kg \ m^2$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 5 \times 4 = 20 \ J$।

(C) छड़ की घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र है:
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली छड़ के लिए,जो अपने केंद्र से गुजरने वाले और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः घूम रही है,जड़त्व आघूर्ण है:
$I = \frac{M L^2}{12}$
इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{M L^2}{12} \right) \omega^2 = \frac{1}{24} M L^2 \omega^2$ $(i)$
छड़ का द्रव्यमान $M$ को उसके आयतन और घनत्व के पदों में व्यक्त किया जा सकता है:
$M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times L) \times \rho = A L \rho$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{24} (A L \rho) L^2 \omega^2 = \frac{1}{24} A L^3 \rho \omega^2$

(D) दिया गया है,वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान,$M = 12 \,kg$,
त्रिज्या,$R = 0.5 \,m$,
कोणीय वेग,$\omega = 100 \,rad/s$.
एक पतली वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
सूत्र में $I$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $K = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{4} MR^2 \omega^2$.
अब,दिए गए मानों को रखने पर:
$K = \frac{1}{4} \times 12 \,kg \times (0.5 \,m)^2 \times (100 \,rad/s)^2$
$K = 3 \times 0.25 \times 10000 \,J$
$K = 0.75 \times 10000 \,J = 7500 \,J$.
चूंकि $1 \,kJ = 1000 \,J$,इसलिए $K = 7.5 \,kJ$.
अतः,डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा $7.5 \,kJ$ है।

(D) किसी गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = \frac{2}{5}MR^2$ है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
चूंकि गोलों की बाहरी त्रिज्या समान है $(R_1 = R_2 = R)$ और जड़त्व आघूर्ण समान है $(I_1 = I_2)$,इसलिए $\frac{2}{5}M_1R^2 = \frac{2}{5}M_2R^2$ होगा,जिसका अर्थ है $M_1 = M_2$।
हालाँकि,यदि गोले खोखले हैं या उनकी आंतरिक संरचना अलग है,तो उनके द्रव्यमान अलग होने पर भी यदि उनका द्रव्यमान वितरण अलग है,तो उनका जड़त्व आघूर्ण समान हो सकता है।
प्रश्न में दिया गया है कि उनका जड़त्व आघूर्ण समान है,इसलिए घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का सूत्र $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
चूंकि $I_1 = I_2$ है और दोनों को समान कोणीय गति $(\omega_1 = \omega_2 = \omega)$ से घुमाया जाता है,इसलिए उनकी घूर्णन गतिज ऊर्जा समान होगी $(K_{r1} = K_{r2} = \frac{1}{2}I\omega^2)$।
अतः,विकल्प $(D)$ सही कथन है।

(B) घूर्णी गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जाएँ समान हैं,हमारे पास $I_{1} \omega_{1}^{2} = I_{2} \omega_{2}^{2} = I_{3} \omega_{3}^{2}$ है,जिसका अर्थ है $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$।
$a$ भुजा और $M$ द्रव्यमान वाली वर्गाकार प्लेट के लिए:
$1$. अक्ष $1$ के लिए (केंद्र से गुजरती हुई और भुजाओं के समानांतर),$I_{1} = \frac{Ma^{2}}{12}$।
$2$. अक्ष $2$ के लिए (केंद्र से गुजरती हुई और विकर्ण के समानांतर),$I_{2} = \frac{Ma^{2}}{12}$।
$3$. अक्ष $3$ के लिए (केंद्र से गुजरती हुई और प्लेट के तल के लंबवत),लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{3} = I_{x} + I_{y} = \frac{Ma^{2}}{12} + \frac{Ma^{2}}{12} = \frac{Ma^{2}}{6}$।
इस प्रकार,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $I_{1}: I_{2}: I_{3} = \frac{1}{12}: \frac{1}{12}: \frac{1}{6} = 1: 1: 2$ है।
कोणीय चालों का अनुपात $\omega_{1}: \omega_{2}: \omega_{3} = \frac{1}{\sqrt{I_{1}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{2}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{3}}} = \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{2}} = 1: 1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: \sqrt{2}: 1$ है।