$'n'$ કણોનાં બનેલાં તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર લખો અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતાં બળ માટેનું સૂત્ર મેળવો.

' $n$ ' કણોના બનેલાં તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ,

$\overrightarrow{v_{ cm }}$ or $\overrightarrow{ V }=\frac{m_{1} \overrightarrow{v_{1}}+m_{2} \overrightarrow{v_{2}}+\ldots m_{n} \overrightarrow{v_{n}}}{m_{1}+m_{2}+\ldots m_{n}}$

$\therefore \quad MV =m_{1} \overrightarrow{v_{1}}+m_{2} \overrightarrow{v_{2}}+\ldots m_{n} \overrightarrow{v_{n}} \ldots$

જ્યાં $1 =m_{1}+m_{2}+\ldots, m_{n}$ તંત્રનું કુલ દળ

દ્રવ્યમાનોનું મૂલ્ય સમય સાથે બદલાતું નથી એમ ધારીને સમીકરણ $(1)$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,

$M \frac{d \overrightarrow{ V }}{d t}=m_{1} \frac{d \overrightarrow{v_{1}}}{d t}+m_{2} \frac{d \overrightarrow{v_{2}}}{d t}+\ldots m_{n} \frac{d \overrightarrow{v_{n}}}{d t}$

પણ $\frac{d \overrightarrow{ V }}{d t}=\overrightarrow{ A }$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ

$\frac{d \overrightarrow{v_{1}}}{d t}=\overrightarrow{a_{1}}$ પ્રથમ કણનો પ્રવેગ

$\frac{d \overrightarrow{v_{2}}}{d t}=\overrightarrow{a_{2}}$ બીજા કણનો પ્રવેગ અને

$\frac{d \overrightarrow{v_{n}}}{d t}=\overrightarrow{a_{n}}^{\prime} n^{\prime}$ માં કણનો પ્રવેગ છે.

$\therefore MA$

$=m_{1} \vec{a}_{1}+m_{2} \overrightarrow{a_{2}}+\ldots m_{n} \overrightarrow{a_{n}}$

અથવા

$\vec{a}_{ cm } \text { or } \overrightarrow{ A }=\frac{m_{1} \vec{a}_{1}+m_{2} \overrightarrow{a_{2}}+\ldots m_{n} \overrightarrow{a_{n}}}{m_{1}+m_{2}+\ldots m_{n}}$

જે તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનું સમીકરણ છે.

હવે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી, $\overrightarrow{ F }_{i}=m_{i} \vec{a}_{i}$ પરથી $MA =\overrightarrow{ F _{1}}+\overrightarrow{ F _{2}}+\ldots \overrightarrow{ F _{n}}$

આમ, કણોના તંત્રના બધા કણો પર લાગતાં બધા પ્રકારના બળોનો સદિશ સરવાળો અને કણોના તંત્રના કુલ દ્રવ્યમાન અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.