Position of a Particle in SHM, Displacement and Phase Questions in Hindi

(A) $SHM$ कर रहे एक कण की किसी भी समय $t$ पर कला $\theta = \omega t + \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ प्रारंभिक कला है।
एक पूर्ण दोलन $2\pi$ रेडियन के कला परिवर्तन के बराबर होता है।
$n$ दोलनों के बाद,कुल कला परिवर्तन $2\pi n$ होता है।
यहाँ दोलनों की संख्या $n = 10$ और प्रारंभिक कला $\phi = \frac{\pi}{4}$ दी गई है।
अंतिम कला $\theta = 2\pi n + \phi$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $\theta = 2\pi(10) + \frac{\pi}{4}$.
$\theta = 20\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{80\pi + \pi}{4} = \frac{81\pi}{4} \text{ rad}$.

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले ऑसिलेटर के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
चरण (phase) $\theta$ का मान $\theta = \omega t = \left(\frac{2\pi}{T}\right)t$ होता है।
$(a)$ $t = \frac{T}{8}$ के लिए,चरण $\theta = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \times \left(\frac{T}{8}\right) = \frac{\pi}{4}$ है। अतः,$(a-iii)$।
$(b)$ $t = \frac{5T}{8}$ के लिए,चरण $\theta = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \times \left(\frac{5T}{8}\right) = \frac{5\pi}{4}$ है। अतः,$(b-i)$।
इसलिए,सही मिलान $(a-iii, b-i)$ है।

(N/A) $SHM$ के विस्थापन-समय ग्राफ में,शृंग (crest) और गर्त (trough) अधिकतम विस्थापन के बिंदुओं को दर्शाते हैं,जहाँ दोलक का वेग शून्य होता है।
$(i)$ बिंदुओं $A$,$C$,$E$ और $G$ पर विस्थापन अपने चरम मान पर है,इसलिए वेग शून्य है।
$(ii)$ माध्य स्थिति (जहाँ विस्थापन शून्य है) पर दोलक की चाल अधिकतम होती है। अतः,बिंदुओं $B$,$D$,$F$ और $H$ पर चाल अधिकतम है।

(A) मान लीजिए कि दो लोलकों का कोणीय विस्थापन इस प्रकार है:
$\theta_1 = \theta_0 \sin(\omega t + \phi_1)$
$\theta_2 = \theta_0 \sin(\omega t + \phi_2)$
जहाँ $\theta_0$ आयाम है। चूंकि लोलक समान हैं और समान आयाम के साथ दोलन करते हैं,$\theta_0 = 2^o$ है।
पहले लोलक के लिए उसकी चरम दाईं स्थिति पर:
$\theta_1 = +\theta_0 = 2^o$
$2^o = 2^o \sin(\omega t + \phi_1) \implies \sin(\omega t + \phi_1) = 1 \implies \omega t + \phi_1 = \pi/2$
दूसरे लोलक के लिए बाईं ओर $1^o$ पर:
$\theta_2 = -1^o = -\theta_0/2 = -2^o/2$
$-2^o/2 = 2^o \sin(\omega t + \phi_2) \implies \sin(\omega t + \phi_2) = -1/2$
अतः,$\omega t + \phi_2 = -\pi/6$ या $7\pi/6$ है।
$\omega t + \phi_2 = -\pi/6$ लेने पर,कलांतर $\Delta \phi = |(\omega t + \phi_1) - (\omega t + \phi_2)| = |\pi/2 - (-\pi/6)| = |\pi/2 + \pi/6| = |3\pi/6 + \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{A}{2}$,इसलिए:
$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$
$\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$
$\omega t = \frac{\pi}{6}$
चूँकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T = 2 \ s$ आवर्तकाल है:
$\frac{2\pi}{T} \cdot t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{T}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \ s$.
इस समय की तुलना $\frac{1}{a} \ s$ से करने पर,हमें $a = 6$ प्राप्त होता है।

(C) विस्थापन समीकरण $Y = A \sin (\omega t + \phi_{0})$ है।
$t = 0$ पर,$Y = A \sin(\phi_{0}) = \frac{A}{2}$.
इसका अर्थ है $\sin(\phi_{0}) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\phi_{0}$ का मान $\frac{\pi}{6}$ या $\frac{5 \pi}{6}$ हो सकता है।
कण का वेग $v = \frac{dY}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi_{0})$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,$v = A \omega \cos(\phi_{0})$.
चूंकि कण ऋणात्मक दिशा में गति कर रहा है,$v < 0$,जिसका अर्थ है $\cos(\phi_{0}) < 0$.
$\phi_{0} = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.
$\phi_{0} = \frac{5 \pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{5 \pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$.
इसलिए,प्रारंभिक कला कोण $\phi_{0} = \frac{5 \pi}{6}$ है।

(C) विस्थापन फलन $x(t) = A \sin (\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$x(0) = A \sin \phi = 2 \dots (1)$.
वेग फलन $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos (\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$v(0) = A \omega \cos \phi = 2 \omega \implies A \cos \phi = 2 \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A \sin \phi}{A \cos \phi} = \frac{2}{2} \implies \tan \phi = 1 \implies \phi = 45^{\circ}$.
समीकरण $(1)$ में $\phi = 45^{\circ}$ रखने पर:
$A \sin 45^{\circ} = 2 \implies A \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \implies A = 2 \sqrt{2} \, cm$.
$A = 2 \sqrt{2} \, cm$ की तुलना $x \sqrt{2} \, cm$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले सरल आवर्त दोलक के लिए विस्थापन का समीकरण $X = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है कि $t = 3 \; s$ पर,विस्थापन $X = \frac{A}{2}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{A}{2} = A \sin(3\omega)$.
दोनों पक्षों को $A$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin(3\omega) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $3\omega = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\omega = \frac{\pi}{18}$.
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
$\omega$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{18}$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = 2 \times 18 = 36 \; s$.

(C) चरम स्थिति से शुरू होने वाले $SHM$ में कण के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है।
दिया गया आयाम $A = 8 \,cm$ और आवर्तकाल $T = 6 \,s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \,rad/s$ है।
हमें $x = \frac{A}{2} = 4 \,cm$ तक पहुँचने के लिए समय $t$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{A}{2} = A \cos(\omega t) \implies \cos(\omega t) = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,हमें $\frac{\pi}{3} t = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है,जिससे $t = 1 \,s$ मिलता है।

(D) सरल आवर्त गति में,कण का विस्थापन $x(t) = x_0 \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = x_0 \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
कण को $(x, x + dx)$ अंतराल में खोजने की प्रायिकता $P(x) dx$ उस अंतराल में बिताए गए समय $dt$ के समानुपाती होती है,जो $P(x) \propto \frac{dt}{dx} = \frac{1}{|v|}$ है।
चूंकि $v = \omega \sqrt{x_0^2 - x^2}$,इसलिए $P(x) \propto \frac{1}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}$ है।
यह फलन माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर न्यूनतम है और चरम स्थितियों $(x = \pm x_0)$ पर अनंत की ओर जाता है।
ग्राफ $D$ दिखाता है कि घटनाओं की संख्या (जो प्रायिकता घनत्व के समानुपाती है) केंद्र में सबसे कम है और चरम स्थितियों की ओर बढ़ती है,जो $P(x) \propto \frac{1}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}$ फलन के व्यवहार से मेल खाती है।

(D) कण माध्य स्थिति से गति शुरू करता है।
$\frac{5}{8}$ दोलन का अर्थ है कि इसने $\frac{1}{2}$ दोलन पूरा कर लिया है जिसमें $\frac{T}{2}$ समय लगता है।
अब इसे अतिरिक्त $\frac{1}{8}$ दोलन पूरा करना है।
माध्य स्थिति से $\frac{1}{8}$ दोलन के लिए लगा समय $\Delta t$ ज्ञात करने हेतु,$x = A \sin(\omega t)$ का उपयोग करने पर,$\Delta t = \frac{T}{12}$ प्राप्त होता है।
कुल समय $= \frac{T}{2} + \frac{T}{12} = \frac{6T + T}{12} = \frac{7T}{12}$.

(D) $S.H.M.$ के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
$x = +A/2$ के लिए,$A/2 = A \sin(\omega t + \phi)$,जिसका अर्थ है $\sin(\omega t + \phi) = 1/2$.
कला कोण $\theta = \omega t + \phi$ के संभावित मान $30^{\circ}$ (या $\pi/6$ रेडियन) और $150^{\circ}$ (या $5\pi/6$ रेडियन) हैं।
$30^{\circ}$ पर,कण धनात्मक दिशा में गति कर रहा है (वेग $v = A\omega \cos(30^{\circ}) > 0$)।
$150^{\circ}$ पर,कण ऋणात्मक दिशा में गति कर रहा है (वेग $v = A\omega \cos(150^{\circ}) < 0$)।
चूंकि कण $x = +A/2$ पर विपरीत दिशाओं में गति करते हुए मिलते हैं,इसलिए एक की कला $30^{\circ}$ और दूसरे की $150^{\circ}$ होनी चाहिए।
कलांतर $|150^{\circ} - 30^{\circ}| = 120^{\circ}$ है।
रेडियन में बदलने पर,$120^{\circ} = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन।

(D) पहले कण की कला $\theta_1 = \frac{\pi}{2} t + \phi$ है।
$t = 1 \, s$ पर,$\theta_1 = \frac{\pi}{2}(1) + \phi = \frac{\pi}{2} + \phi$ होगा।
दूसरे कण की कला $\theta_2 = \frac{2 \pi}{3} t + \phi$ है।
$t = 1 \, s$ पर,$\theta_2 = \frac{2 \pi}{3}(1) + \phi = \frac{2 \pi}{3} + \phi$ होगा।
कलांतर $\Delta \theta = |\theta_2 - \theta_1|$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \theta = |(\frac{2 \pi}{3} + \phi) - (\frac{\pi}{2} + \phi)| = |\frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi}{2}| = |\frac{4 \pi - 3 \pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$।

(C) आवर्तकाल $T = 8 \,s$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ है।
चूंकि कण माध्य स्थिति से शुरू होता है,विस्थापन समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है।
पहली सेकंड ($t=0$ से $t=1$) में तय की गई दूरी: $d_1 = x(1) - x(0) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) - 0 = A \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दूसरी सेकंड ($t=1$ से $t=2$) में तय की गई दूरी: $d_2 = x(2) - x(1) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) - A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \sin(\frac{\pi}{2}) - A \frac{1}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}+1$.

(D) सरल आवर्त गति में कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण को $x = 0$ से $x = A/2$ तक जाने में लगा समय $t_1 = 2 \, s$ है:
$A/2 = A \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = 1/2 \implies \omega t_1 = \pi/6$.
अतः,$\omega(2) = \pi/6 \implies \omega = \pi/12 \, rad/s$.
कण को $x = A/2$ से $x = A$ तक जाने में लगा समय $t_2$ है:
$x = A/2$ पर,कला $\phi_1 = \pi/6$ है।
$x = A$ पर,कला $\phi_2 = \pi/2$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \pi/2 - \pi/6 = \pi/3$ है।
चूंकि $\Delta \phi = \omega t_2$,इसलिए $\pi/3 = (\pi/12) t_2$.
$t_2$ के लिए हल करने पर,हमें $t_2 = (\pi/3) \times (12/\pi) = 4 \, s$ प्राप्त होता है।

(A) विस्थापन समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t + \delta)$ है।
$t = 0$ पर,स्थिति $x = \frac{A}{2}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega(0) + \delta) \Rightarrow \sin \delta = \frac{1}{2}$.
यह $[0, 2\pi)$ अंतराल में $\delta$ के लिए दो संभावित मान देता है: $\delta = \frac{\pi}{6}$ या $\delta = \frac{5\pi}{6}$।
कण का वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \delta)$ है।
$t = 0$ पर,$v(0) = A\omega \cos \delta$।
चूंकि कण धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में गति करता है,इसलिए वेग धनात्मक $(v > 0)$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\cos \delta > 0$।
$\delta = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (मान्य)।
$\delta = \frac{5\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (अमान्य)।
अतः,सही मान $\delta = \frac{\pi}{6}$ है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले विस्थापन का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है $T = 6 \pi \text{ s}$,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{6 \pi} = \frac{1}{3} \text{ rad/s}$ है।
$x = A$ पर,कण चरम स्थिति पर है। $x=A$ से माध्य स्थिति $(x=0)$ तक पहुँचने में लगा समय $T/4 = (6 \pi)/4 = 1.5 \pi \text{ s}$ है।
हालाँकि,प्रश्न में $x=A$ से $x=\frac{\sqrt{3}}{2} A$ तक जाने में लगा समय पूछा गया है।
फेजर आरेख का उपयोग करते हुए,स्थिति $x = A \sin(\theta)$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर प्रक्षेप के अनुरूप है।
$x = A$ पर,कला कोण $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ है।
$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ पर,$\sin(\theta_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$ है।
कला में परिवर्तन $\Delta \theta = \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ है।
चूँकि $\Delta \theta = \omega \Delta t$,इसलिए $\frac{\pi}{6} = \frac{1}{3} \Delta t$ है।
अतः,$\Delta t = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{\pi}{x} \text{ s}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(C) कण विरामावस्था से शुरू होता है,जिसका अर्थ है कि यह चरम स्थिति (extreme position) से शुरू होता है। विस्थापन का समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{A}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = A \cos(\omega t)$.
यह समीकरण $\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$ में बदल जाता है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
$T = 24 \ sec$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2\pi}{24} t = \frac{\pi}{3}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $\frac{\pi}{12} t = \frac{\pi}{3}$,जिससे $t = \frac{12}{3} = 4 \ sec$ प्राप्त होता है।

(D) $\text{SHM}$ में कण का विस्थापन $x = A \sin(\phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\phi$ चरण है।
प्रारंभिक चरण $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$ के लिए,स्थिति $x_1 = A \sin(\frac{\pi}{6}) = A \times \frac{1}{2} = \frac{A}{2}$ है।
अंतिम चरण $\phi_2 = \frac{5\pi}{6}$ के लिए,स्थिति $x_2 = A \sin(\frac{5\pi}{6}) = A \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = A \sin(\frac{\pi}{6}) = A \times \frac{1}{2} = \frac{A}{2}$ है।
चूंकि कण $x_1 = \frac{A}{2}$ से चरम स्थिति $x = A$ तक जाता है और फिर वापस $x_2 = \frac{A}{2}$ पर आता है,इसलिए तय की गई कुल दूरी इन दो भागों में तय की गई दूरियों का योग है।
दूरी = $(A - \frac{A}{2}) + (A - \frac{A}{2}) = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} = A$.

(D) सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कण के विस्थापन का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है: $T = 8 \ s$,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$. आयाम $A = 4\sqrt{2} \ m$.
अतः,$x(t) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} t)$.
पहले सेकंड ($t=0$ से $t=1$) में तय की गई दूरी: $x(1) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \ m$.
दूसरे सेकंड ($t=1$ से $t=2$) में तय की गई दूरी: $x(2) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{2\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = 4\sqrt{2} \times 1 = 4\sqrt{2} \ m$.
दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = x(2) - x(1) = 4\sqrt{2} - 4 = 4(\sqrt{2} - 1) \ m$.
पहले सेकंड और दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{4(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ है।

(C) $S.H.M.$ का आवर्तकाल $T = 16 \ s$ दिया गया है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ है।
किसी भी समय $t$ पर कला $\phi = \omega t$ द्वारा दी जाती है।
$t_1 = 2 \ s$ पर कला $\phi_1 = \omega t_1 = \frac{\pi}{8} \times 2 = \frac{\pi}{4}$ है।
$t_2 = 4 \ s$ पर कला $\phi_2 = \omega t_2 = \frac{\pi}{8} \times 4 = \frac{\pi}{2}$ है।
कलान्तर $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ होगा।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले $S.H.M.$ में कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = 2\pi/T$ है। दिया गया है $T = 8 \ s$,इसलिए $\omega = 2\pi/8 = \pi/4 \ rad/s$ है।
$t=0$ पर,$x(0) = 0$ है।
$t=1 \ s$ पर,$x(1) = A \sin(\pi/4 \times 1) = A/\sqrt{2}$ है। पहले सेकंड में तय की गई दूरी $d_1 = |x(1) - x(0)| = A/\sqrt{2}$ है।
$t=2 \ s$ पर,$x(2) = A \sin(\pi/4 \times 2) = A \sin(\pi/2) = A$ है। दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = |x(2) - x(1)| = |A - A/\sqrt{2}| = A(1 - 1/\sqrt{2}) = A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}$ है।
अनुपात $d_1/d_2 = (A/\sqrt{2}) / [A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}] = 1/(\sqrt{2}-1)$ है।

(C) कण $A$ द्वारा दो दोलन पूरा करने में लिया गया समय $t = 2T$ है।
कण $A$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega_A = \frac{2\pi}{T}$ है।
समय $t = 2T$ पर कण $A$ की कला $\phi_A = \omega_A t = \left(\frac{2\pi}{T}\right)(2T) = 4\pi$ है।
कण $B$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega_B = \frac{2\pi}{(3T/2)} = \frac{4\pi}{3T}$ है।
समय $t = 2T$ पर कण $B$ की कला $\phi_B = \omega_B t = \left(\frac{4\pi}{3T}\right)(2T) = \frac{8\pi}{3}$ है।
उनके बीच का कलांतर $\Delta\phi = |\phi_A - \phi_B| = |4\pi - \frac{8\pi}{3}| = |\frac{12\pi - 8\pi}{3}| = \frac{4\pi}{3}$ होगा।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कणों के लिए गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$X_A = A_1 \sin(\omega_A t) = A_1 \sin(\frac{2\pi}{T} t)$
$X_B = A_2 \sin(\omega_B t) = A_2 \sin(\frac{2\pi}{3T/2} t) = A_2 \sin(\frac{4\pi}{3T} t)$
कण '$A$' की कला $\phi_A = \frac{2\pi}{T} t$ है और कण '$B$' की कला $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} t$ है।
जब कण '$A$' एक दोलन पूरा करता है,तो लगा समय $t = T$ है।
$t = T$ पर,कण '$A$' की कला $\phi_A = \frac{2\pi}{T} \times T = 2\pi$ है।
$t = T$ पर,कण '$B$' की कला $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} \times T = \frac{4\pi}{3}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_A - \phi_B| = |2\pi - \frac{4\pi}{3}| = \frac{2\pi}{3}$।

(D) धनात्मक चरम स्थिति $(x = +A)$ से शुरू होने वाले कण के लिए,विस्थापन समीकरण इस प्रकार है:
$x = A \cos(\omega t)$
दिया गया है: $A = 6 \ cm$,$T = 3 \ s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब कण धनात्मक चरम स्थिति से $3 \ cm$ की दूरी तय करता है। इसका मतलब है कि नई स्थिति $x = A - 3 = 6 - 3 = 3 \ cm$ है।
विस्थापन समीकरण में मान रखने पर:
$3 = 6 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\omega t = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$
$\omega = \frac{2\pi}{3}$ रखने पर:
$(\frac{2\pi}{3}) t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3} \times \frac{3}{2\pi} = 0.5 \ s$
अतः,आवश्यक समय $0.5 \ s$ है।

(B) माध्य स्थिति से शुरू होकर सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ कोणीय आवृत्ति है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$.
यह सरल होकर $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
चूँकि $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर,$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{T}{12}$ प्राप्त होता है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन का समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है,आवर्तकाल $T = 3 \ s$,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $y = \frac{A}{2}$ हो।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
कोणों की तुलना करने पर: $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} t$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{12} = 0.25 \ s = \frac{1}{4} \ s$.

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए कण का विस्थापन समीकरण $y = a \sin(\omega t)$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ कोणीय आवृत्ति है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $y = \frac{a}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{a}{2} = a \sin(\frac{2\pi}{T} t)$.
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin(\frac{2\pi}{T} t) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन का समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
दिया गया है $T = 4 \,s$,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,rad/s$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $y = \frac{A}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
चूँकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,कोणों की तुलना करने पर:
$\frac{\pi}{2} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \,s$.
अतः,लिया गया समय $\frac{1}{3} \,s$ है।

(B) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आयाम $A = 0.2 \,m$,आवर्तकाल $T = 24 \,s$,और विस्थापन $x = 0.1 \,m$ दिया गया है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \,rad/s$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$0.1 = 0.2 \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{0.1}{0.2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{\pi}{12} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{12}{6} = 2 \,s$.
अतः,आवश्यक समय $2 \,s$ है।

(B) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन समीकरण $y = a \sin(\omega t)$ है, जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
यहाँ कण माध्य स्थिति $(y = 0)$ से आयाम के आधे $(y = a/2)$ तक जाता है, इसलिए:
$\frac{a}{2} = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
चूँकि $\sin(\pi/6) = 1/2$, इसलिए:
$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{T}{12}$
दिया गया आवर्तकाल $T = 6 \,s$ है, अतः:
$t = \frac{6}{12} = 0.5 \,s = \frac{1}{2} \,s$.

(A) विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \theta)$ द्वारा दिया गया है।
विस्थापन को अधिकतम होने के लिए,साइन फलन का मान $1$ होना चाहिए (मान लें कि $A > 0$)।
इसलिए,$\sin(\omega t + \theta) = 1$।
हम जानते हैं कि $\sin(\pi/2) = 1$,इसलिए $\omega t + \theta = \pi/2$।
$t$ के लिए हल करने पर:
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \theta$
$t = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}$।
अतः,वह न्यूनतम समय जिस पर विस्थापन अधिकतम होता है,$\left[\frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}\right]$ है।

(C) $SHM$ के लिए विस्थापन समीकरण $y = A \sin (2t + \phi)$ है।
वेग,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dy}{dt} = 2A \cos (2t + \phi)$।
$t = 0$ पर,$y = 2 \ m$ और $v = 4 \ ms^{-1}$ है।
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$2 = A \sin (0 + \phi) \implies A \sin \phi = 2 \quad (i)$
$4 = 2A \cos (0 + \phi) \implies A \cos \phi = 2 \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A \sin \phi}{A \cos \phi} = \frac{2}{2}$
$\tan \phi = 1$
$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए कण का विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\omega = \frac{\pi}{4} \text{ rad s}^{-1}$ दिया गया है।
$t = 1 \text{ s}$ पर विस्थापन $y_1 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
$t = 2 \text{ s}$ पर विस्थापन $y_2 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A$.
पहली सेकंड में तय की गई दूरी $d_1 = y_1 = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
दूसरी सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = y_2 - y_1 = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
दूरियों का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.
अतः,अनुपात $(\sqrt{2}+1): 1$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कण की गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
$x = 0$ पर,समय $t_0 = 0$ है।
$x = A/2$ पर,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin(\omega t_1) = 1/2$। अतः,$\omega t_1 = \pi/6$,यानी $t_1 = \frac{T}{12}$।
इसलिए,$T_1 = t_1 - t_0 = \frac{T}{12}$।
$x = A$ पर,$A = A \sin(\omega t_2)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin(\omega t_2) = 1$। अतः,$\omega t_2 = \pi/2$,यानी $t_2 = \frac{T}{4}$।
इसलिए,$T_2 = t_2 - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T - T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$।
दोनों की तुलना करने पर,$T_1 = \frac{T}{12}$ और $T_2 = \frac{T}{6}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{T}{12} < \frac{T}{6}$,इसलिए $T_1 < T_2$ सही है।

(A) $SHM$ में,एक पूर्ण दोलन $4A$ की पथ लंबाई के अनुरूप होता है (जहाँ $A$ आयाम है)। हम पथ को $8$ समान भागों में विभाजित करते हैं,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $A/2$ है। इन खंडों को तय करने में लगा समय चित्र में दिखाया गया है।
चरम स्थिति से दोलन के $\frac{3}{8}$ विस्थापन के लिए,कण $x = A$ से $x = 0$ तक यात्रा करता है (जो दोलन का $1/4$ भाग है) और फिर अगले $1/8$ दोलन के लिए आगे बढ़ता है।
लिया गया समय $T/4 + T/12 = T/3$ है।
दिया गया है कि यह समय $x$ है,इसलिए $T/3 = x$,जिसका अर्थ है $T = 3x$।
अब,माध्य स्थिति $(x = 0)$ से दोलन के $\frac{5}{8}$ भाग के लिए,कण पथ के $1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 5/8$ भाग की यात्रा करता है।
लिया गया समय $T/12 + T/12 + T/12 + T/12 + T/12 = 5T/12$ है।
$T = 3x$ प्रतिस्थापित करने पर,समय $5(3x)/12 = 15x/12 = 5x/4$ प्राप्त होता है।

(C) कण के लिए चरम स्थिति $(x=A)$ से आयाम के आधे $(x=A/2)$ तक जाने के लिए:
$x = A \cos(\omega t_1) \implies A/2 = A \cos(\omega t_1) \implies \cos(\omega t_1) = 1/2$.
अतः,$\omega t_1 = \pi/3$,जिससे $t_1 = \pi / (3\omega)$ प्राप्त होता है।
कण के लिए माध्य स्थिति $(x=0)$ से आयाम के आधे $(x=A/2)$ तक जाने के लिए:
$x = A \sin(\omega t_2) \implies A/2 = A \sin(\omega t_2) \implies \sin(\omega t_2) = 1/2$.
अतः,$\omega t_2 = \pi/6$,जिससे $t_2 = \pi / (6\omega)$ प्राप्त होता है।
दोनों समयों की तुलना करने पर: $t_1 / t_2 = (\pi / 3\omega) / (\pi / 6\omega) = 6/3 = 2$.
इसलिए,$t_1 = 2 t_2$.

(C) चरम स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति में कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
मान लीजिए कि $t=1, 2, 3$ सेकंड पर विस्थापन क्रमशः $a, b, c$ हैं।
$a = A \cos(\omega)$
$b = A \cos(2\omega)$
$c = A \cos(3\omega)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(3\theta) + \cos(\theta) = 2 \cos(2\theta) \cos(\theta)$ का उपयोग करते हुए:
$a + c = A \cos(\omega) + A \cos(3\omega) = A [\cos(\omega) + \cos(3\omega)]$
$a + c = A [2 \cos(2\omega) \cos(\omega)]$
चूंकि $b = A \cos(2\omega)$,हम लिख सकते हैं:
$a + c = 2b \cos(\omega)$
$\cos(\omega) = \frac{a+c}{2b}$
$\omega = \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$
चूंकि $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f$ आवृत्ति है:
$f = \frac{1}{2\pi} \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$.

(B) दिया गया है: सरल आवर्त दोलक की आवृत्ति $f = 1 \ Hz$ और कला $\theta = 1 \ \text{रेडियन}$ है।
सरल आवर्त दोलक की कला $\theta = \omega t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $t$ समय है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 1 = 2 \pi \ \text{rad/s}$ है।
कला को शून्य करने के लिए,हमें समय के मूल बिंदु को $\Delta t$ से स्थानांतरित करना होगा ताकि नई कला शून्य हो जाए।
$\theta = \omega \Delta t$ रखने पर,$1 = (2 \pi) \Delta t$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\Delta t = \frac{1}{2 \pi} \ s$।
चूंकि हमें मौजूदा कला को रद्द करने के लिए मूल बिंदु को पीछे की ओर स्थानांतरित करना होगा,इसलिए विस्थापन $-\frac{1}{2 \pi} \ s$ होना चाहिए।

(B) सरल आवर्त गति के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$x_{1}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
$x_{2}=A \cos (\omega t)$
कलांतर ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों समीकरणों को एक ही त्रिकोणमितीय फलन (साइन) में व्यक्त करना होगा।
सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करते हुए,हम $x_{2}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x_{2}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$
अब,पहली गति की कला $\phi_{1} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है और दूसरी गति की कला $\phi_{2} = \omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1}$
$\Delta \phi = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
अतः,कलांतर $\frac{\pi}{3}$ है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए सामान्य समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
प्रारंभिक स्थिति $x = A$ पर,हमारे पास $A = A \cos(\omega t_1)$ है,जिसका अर्थ है $\cos(\omega t_1) = 1$,इसलिए $t_1 = 0$ है।
स्थिति $x = A/\sqrt{2}$ पर,हमारे पास $A/\sqrt{2} = A \cos(\omega t_2)$ है,जो सरल होकर $\cos(\omega t_2) = 1/\sqrt{2}$ हो जाता है।
इससे $\omega t_2 = \pi/4$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि आवर्तकाल $T = 5 \text{ sec}$ है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi/T = 2\pi/5 \text{ rad/sec}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $(2\pi/5) t_2 = \pi/4$ प्राप्त होता है।
$t_2$ के लिए हल करने पर,हमें $t_2 = (5 \times \pi) / (4 \times 2\pi) = 5/8 \text{ sec}$ प्राप्त होता है।
$x = A$ से $x = A/\sqrt{2}$ तक जाने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = 5/8 - 0 = 5/8 \text{ sec}$ है।