Mix Examples-Oscillations Questions in Hindi

(B) सरल आवर्त गति में एक कण का त्वरण $a = \omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $y$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
दिया गया है: आयाम $A = 6\, cm$,विस्थापन $y = 2\, cm$,और त्वरण $a = 8\, cm/s^2$।
सूत्र $a = \omega^2 y$ का उपयोग करने पर:
$8 = \omega^2 \times 2$
$\omega^2 = 4$
$\omega = 2\, rad/s$।
सरल आवर्त गति में कण की अधिकतम चाल $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $v_{\max} = 6\, cm \times 2\, rad/s = 12\, cm/s$।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रही वस्तु के लिए,अधिकतम वेग $v_{max} = a\omega = 16 \, m/s$ है।
अधिकतम त्वरण $a_{max} = a\omega^2 = 24 \, m/s^2$ है।
आयाम $a$ ज्ञात करने के लिए,हम अधिकतम वेग के वर्ग को अधिकतम त्वरण से विभाजित करते हैं:
$\frac{(v_{max})^2}{a_{max}} = \frac{(a\omega)^2}{a\omega^2} = \frac{a^2\omega^2}{a\omega^2} = a$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$a = \frac{16^2}{24} = \frac{256}{24}$.
अंश और हर को $8$ से विभाजित करने पर:
$a = \frac{32}{3} \, m$.

(D) $K$ नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान की सरल आवर्त गति के लिए:
$1$. निकाय की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}KA^2$ होती है,जो गति के दौरान स्थिर रहती है।
$2$. कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ होती है,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{m}}$ होती है।
$3$. वेग $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है। वेग तब अधिकतम होता है जब $x = 0$ हो,जहाँ $v_{max} = \omega A$ होता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(C) बल $F_1$ के प्रभाव में,कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ है,जहाँ $F_1 = m\omega_1^2 y$ है। आवर्तकाल $T_1 = 4/5 \, s$ है।
बल $F_2$ के प्रभाव में,कोणीय आवृत्ति $\omega_2$ है,जहाँ $F_2 = m\omega_2^2 y$ है। आवर्तकाल $T_2 = 3/5 \, s$ है।
जब दोनों बल एक साथ कार्य करते हैं,तो कुल बल $F = F_1 + F_2 = m\omega^2 y$ होता है।
अतः,$m\omega^2 y = m\omega_1^2 y + m\omega_2^2 y$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2$।
$\omega = 2\pi/T$ रखने पर,हमें $(2\pi/T)^2 = (2\pi/T_1)^2 + (2\pi/T_2)^2$ प्राप्त होता है।
यह $1/T^2 = 1/T_1^2 + 1/T_2^2$ या $T = \sqrt{\frac{T_1^2 T_2^2}{T_1^2 + T_2^2}}$ में सरल हो जाता है।
मान रखने पर: $T = \sqrt{\frac{(4/5)^2 \times (3/5)^2}{(4/5)^2 + (3/5)^2}} = \sqrt{\frac{(16/25) \times (9/25)}{16/25 + 9/25}} = \sqrt{\frac{144/625}{25/25}} = \sqrt{\frac{144}{625}} = \frac{12}{25} = 0.48 \, s$।

(A) वस्तु के प्लेटफॉर्म से अलग न होने के लिए,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$ का मान शून्य या उससे अधिक होना चाहिए। वस्तु के अपने दोलन के उच्चतम बिंदु पर अलग होने की संभावना सबसे अधिक होती है जहाँ त्वरण नीचे की ओर निर्देशित होता है।
$m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए उच्चतम बिंदु पर न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने पर:
$mg - R = ma\omega^2$
क्रांतिक स्थिति के लिए जहाँ वस्तु अलग होने वाली है,अभिलंब प्रतिक्रिया $R = 0$ होगी।
अतः,$mg = ma\omega^2$
$g = a\omega^2$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{a}}$
यहाँ $g = 9.8 \, m/s^2$ और आयाम $a = 3.92 \times 10^{-3} \, m$ दिया गया है:
$\omega = \sqrt{\frac{9.8}{3.92 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{9800}{3.92}} = \sqrt{2500} = 50 \, rad/s$
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \times 3.14159}{50} = 0.1256 \, s$
अतः,दोलन का न्यूनतम आवर्तकाल $0.1256 \, s$ है।

(B) इस प्रणाली में दो द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m = 0.1 \ kg$ हैं जो $k = 0.1 \ N/m$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंग से जुड़े हैं।
जब गेंदें दोलन करती हैं,तो स्प्रिंग संकुचित और विस्तारित होती हैं। छोटे कोणीय विस्थापन $\Delta\theta$ के लिए,चाप पर प्रत्येक गेंद का विस्थापन $x = R\Delta\theta$ है,जहाँ $R = 0.06 \ m$ है।
प्रत्येक गेंद पर दो स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल $F = -k(x_1 + x_2) = -2kx$ है।
अतः,प्रत्येक द्रव्यमान के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 2k = 0.2 \ N/m$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{0.2}{0.1}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{2} \ Hz$।
हालाँकि,इस विशिष्ट प्रश्न की मानक व्याख्या को देखते हुए,जहाँ दो स्प्रिंग श्रेणी/समांतर विन्यास में कार्य करती हैं,दोलन आवृत्ति $f = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{0.1}{0.1}} = \frac{1}{\pi} \ Hz$ प्राप्त होती है।

(D) माना कि दोनों कणों को संदर्भ वृत्तों द्वारा दर्शाया गया है। कण $1$ के लिए,$t=0$ पर,$y_1 = A \sin(\phi_1) = A$,इसलिए $\phi_1 = \pi/2$। कण $2$ के लिए,$t=0$ पर,$y_2 = A \sin(\phi_2) = -A/2$,इसलिए $\phi_2 = -\pi/6$ या $11\pi/6$। चूंकि वे एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं,कण $1$ माध्य स्थिति की ओर बढ़ता है (कोण $\pi/2$ से घटता है) और कण $2$ माध्य स्थिति की ओर बढ़ता है (कोण $-\pi/6$ से बढ़ता है)।
वे तब मिलते हैं जब उनके विस्थापन समान होते हैं: $A \sin(\theta_1) = A \sin(\theta_2)$।
समय $t$ पर,$\theta_1 = \pi/2 - \omega t$ और $\theta_2 = -\pi/6 + \omega t$।
तय की जाने वाली सापेक्ष कोणीय दूरी $\pi/2 - (-\pi/6) = 2\pi/3$ है। सापेक्ष कोणीय वेग $2\omega$ है। इसलिए,$2\omega t = 2\pi/3$,जिससे $\omega t = \pi/3$ प्राप्त होता है। चूंकि $\omega = 2\pi/T$,हमारे पास $(2\pi/T) t = \pi/3$ है,इसलिए $t = T/6$।

(D) माना कणों का विस्थापन $x_P = A \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_Q = A \sin(\omega t + \phi_2)$ द्वारा दिया गया है। वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
स्थिति $1$: जब $P$ और $Q$ समान दूरी पर विपरीत पक्षों पर होते हैं,तो $x_P = -x_Q = x.$ उनके वेग $v_P = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ और $v_Q = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ हैं। दिया गया है $v_P = v_Q = 1.2 \, m/s,$ जिसका अर्थ है $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = 1.2.$ फेजर आरेख का उपयोग करते हुए,यह वेग सदिश के ऊर्ध्वाधर घटक के अनुरूप है,$v = v_{max} \cos \theta = 1.2.$
स्थिति $2$: जब विस्थापन समान होते हैं,तो $x_P = x_Q = x',$ उनके वेग $v_P = \omega \sqrt{A^2 - (x')^2}$ और $v_Q = -\omega \sqrt{A^2 - (x')^2}$ (विपरीत दिशाओं में) हैं। दिया गया है $|v_P| = |v_Q| = 1.6 \, m/s,$ जो $v = v_{max} \sin \theta = 1.6$ के अनुरूप है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $(v_{max} \cos \theta)^2 + (v_{max} \sin \theta)^2 = (1.2)^2 + (1.6)^2.$
$v_{max}^2 = 1.44 + 2.56 = 4.0.$
$v_{max} = \sqrt{4} = 2 \, m/s.$

(D) सरल आवर्त गति के लिए,विस्थापन $x = A \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin \omega t = -\omega^2 x$ है।
त्वरण के समीकरण से,हमें $x = -\frac{a}{\omega^2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को वेग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2) = \omega^2 (A^2 - (-\frac{a}{\omega^2})^2) = \omega^2 A^2 - \omega^2 (\frac{a^2}{\omega^4}) = \omega^2 A^2 - \frac{a^2}{\omega^2}$।
यह समीकरण $v^2 = -\frac{1}{\omega^2} a^2 + \omega^2 A^2$ के रूप में है,जो एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा को दर्शाता है ($y = mx + c$,जहाँ $y = v^2$,$x = a^2$,$m = -\frac{1}{\omega^2}$,और $c = \omega^2 A^2$)।
अतः,$v^2$ बनाम $a^2$ का ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(B) यह प्रणाली एक भौतिक लोलक के रूप में कार्य करती है। आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MgL}}$ है,जहाँ $I$ धुरी $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ कुल द्रव्यमान है,और $L$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र $G$ तक की दूरी है।
$1$. कुल द्रव्यमान $M = 2m$.
$2$. प्रत्येक छड़ का उसके सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = \frac{ml^2}{3}$ है। दो छड़ें होने के कारण,$I = 2 \times \frac{ml^2}{3} = \frac{2ml^2}{3}$.
$3$. प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान केंद्र $G$ उसके मध्य बिंदु पर ($P$ से $l/2$ दूरी पर) है। प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र $G$ की धुरी $P$ से लंबवत दूरी $L = \frac{l}{2} \cos(45^{\circ}) = \frac{l}{2\sqrt{2}}$ है।
$4$. इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2ml^2 / 3}{(2m)g(l / 2\sqrt{2})}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2ml^2 / 3}{mgl / \sqrt{2}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2l}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2\sqrt{2}l}{3g}}$

(C) ग्राफ से हम देख सकते हैं कि $x < 0$ के लिए,कण स्प्रिंग की तरह सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है। $x > 0$ के लिए,कण गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करता है,जैसे कि ऊपर की ओर फेंका गया कोई कण।
हम कुल आवर्तकाल $T$ को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $T_1$ और $T_2$.
$x < 0$ के लिए,गति एक पूर्ण $SHM$ चक्र का आधा हिस्सा है। पूर्ण $SHM$ का आवर्तकाल $2\pi \sqrt{m/k}$ होता है,इसलिए $T_1 = \pi \sqrt{m/k}$.
$x = 0$ पर,कुल ऊर्जा $E$ पूरी तरह से गतिज ऊर्जा है,इसलिए $E = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$. इससे अधिकतम वेग $v_{\max} = \sqrt{2E/m}$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए,कण प्रारंभिक वेग $v_{\max}$ के साथ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध गति करता है। अधिकतम ऊंचाई तक पहुँचने और वापस $x = 0$ पर आने में लगा समय $T_2$ है। गति के समीकरण $v = u - gt$ का उपयोग करते हुए,अधिकतम ऊंचाई पर $v = 0$ होता है,इसलिए $0 = v_{\max} - gt_{up}$,जिससे $t_{up} = v_{\max}/g$ प्राप्त होता है। कुल समय $T_2 = 2t_{up} = 2v_{\max}/g = 2\sqrt{2E/m}/g = 2\sqrt{2E/mg^2}$.
कुल आवर्तकाल $T = T_1 + T_2 = \pi \sqrt{m/k} + 2\sqrt{2E/mg^2}$ है।

(D) ब्लॉक तख्ते के साथ संपर्क तब खो देता है जब अभिलंब बल शून्य हो जाता है। ऊर्ध्वाधर $SHM$ कर रहे तख्ते पर एक ब्लॉक के लिए,अभिलंब बल $N = m(g - a)$ होता है,जहाँ $a$ तख्ते का त्वरण है। सबसे ऊपरी बिंदु पर,त्वरण $a = -\omega^2 A$ (नीचे की ओर) होता है। ब्लॉक संपर्क खो देता है जब $N = 0$,जिसका अर्थ है $g - a = 0$,इसलिए $a = g$। चरम स्थिति पर $a = \omega^2 A$ होने के कारण,हमारे पास $\omega^2 A = g$ है। $A = 0.4 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ दिए गए हैं,इसलिए $\omega^2 = 10/0.4 = 25$,जिससे $\omega = 5 \, rad/s$। आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega = 2\pi/5 \, s$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
सबसे निचले बिंदु पर,त्वरण $a = +\omega^2 A = g$ (ऊपर की ओर) होता है। अभिलंब बल $N = m(g + a) = m(g + g) = 2mg$ होता है। अतः,ब्लॉक सबसे निचले स्थान पर अपने वजन का दोगुना वजन डालता है। विकल्प $B$ सही है।
माध्य स्थिति से आधे नीचे,विस्थापन $y = A/2$ है। त्वरण $a = -\omega^2 y = -\omega^2 (A/2) = -g/2$ है। अभिलंब बल $N = m(g - a) = m(g - (-g/2)) = 1.5mg$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि $A, B,$ और $C$ सही हैं,इसलिए विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) ग्राफ से,कण $t=0$ पर धनात्मक चरम स्थिति से शुरू होता है।
$t=T/2$ पर,कण ऋणात्मक चरम स्थिति पर है $(y = -A)$।
चरम स्थिति पर,वेग $v=0$ होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K.E. = 0$ होती है। चूंकि कुल ऊर्जा $E = K.E. + P.E.$ होती है,चरम स्थिति पर $P.E. = E$ होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$t=T$ पर,कण फिर से धनात्मक चरम स्थिति पर है $(y = +A)$। त्वरण $a = -\omega^2 y$ का परिमाण चरम स्थितियों पर अधिकतम होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$t=3T/4$ पर,कण माध्य स्थिति पर है $(y=0)$। प्रत्यानयन बल $F = -ky$ माध्य स्थिति पर शून्य होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले $SHM$ करने वाले कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}.$
दिया गया है $x = A/2,$ इसलिए $A/2 = A \sin(\omega t) \Rightarrow \sin(\omega t) = 1/2 = \sin(\pi/6).$
अतः,$\omega t = \pi/6 \Rightarrow \frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = T/12.$
अधिकतम त्वरण $a_0 = \omega^2 A$ और अधिकतम वेग $v_0 = \omega A$ है।
किसी भी समय $t$ पर त्वरण $a = -\omega^2 x = -\omega^2 (A/2) = -a_0/2$ होता है। इसका परिमाण $a = a_0/2$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $v = \omega A \cos(\omega t) = v_0 \cos(\pi/6) = v_0 \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
चूँकि $t = T/12$ और $a = a_0/2$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) दिया गया आयाम $A = 10 \, cm$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $K.E. = 0.64 \, K.E._{\max}$. चूँकि $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ और $K.E._{\max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होता है,इसलिए $A^2 - x^2 = 0.64 A^2$ होगा,जिससे $x^2 = 0.36 A^2$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0.6 A = 6 \, cm$। यह सही है।
विकल्प $B$ के लिए: जब $x = 5 \, cm = A/2$ हो,तो $P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A/2)^2 = \frac{1}{4} P.E._{\max}$। कुल ऊर्जा $T.E. = K.E. + P.E. = P.E._{\max}$ होती है,इसलिए $K.E. = P.E._{\max} - 0.25 P.E._{\max} = 0.75 P.E._{\max}$। यह भी सही है।
विकल्प $C$ के लिए: $SHM$ में,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है और यह अधिकतम $K.E.$ (माध्य स्थिति पर) या अधिकतम $P.E.$ (चरम स्थिति पर) के बराबर होती है। यह सही है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) $S.H.M.$ में एक कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ है।
$1$. $v-x$ ग्राफ के लिए: चूँकि $x = A \sin(\omega t + \phi)$ और $v = A \omega \cos(\omega t + \phi)$,हमारे पास $(x/A)^2 + (v/A\omega)^2 = 1$ है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
$2$. $a-x$ ग्राफ के लिए: चूँकि $a = -\omega^2 x$,यह $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$3$. $a-v$ ग्राफ के लिए: चूँकि $v = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ और $a = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi)$,हमारे पास $(v/A\omega)^2 + (a/A\omega^2)^2 = 1$ है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) ग्राफ से हम देख सकते हैं कि अधिकतम वेग $V_{\max} = 10 \, cm/s$ और आयाम $A = 2.5 \, cm$ है।
हम जानते हैं कि $V_{\max} = A\omega$ है।
मान रखने पर: $10 = 2.5 \omega \Rightarrow \omega = 4 \, s^{-1}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{3.14}{2} = 1.57 \, s$ है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A\omega^2 = 2.5 \times 4^2 = 2.5 \times 16 = 40 \, cm/s^2$ है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
विस्थापन $x$ पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 1 \, cm$ के लिए,$v = 4 \sqrt{2.5^2 - 1^2} = 4 \sqrt{6.25 - 1} = 4 \sqrt{5.25} = 4 \sqrt{\frac{525}{100}} = 4 \times \frac{\sqrt{21 \times 25}}{10} = 4 \times \frac{5\sqrt{21}}{10} = 2\sqrt{21} \, cm/s$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
चूंकि सभी विकल्प सही हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(D) एक अवमंदित-रहित सरल आवर्त गति में,कुल ऊर्जा $E = PE + KE$ गति के दौरान स्थिर रहती है।
माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,स्थितिज ऊर्जा $PE = 0$ होती है,इसलिए कुल ऊर्जा $E$ अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\max})$ के बराबर होती है।
चूंकि कुल ऊर्जा स्थिर है,इसलिए प्रति चक्र औसत कुल ऊर्जा किसी भी बिंदु पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है,जो $KE_{\max}$ है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
वेग के लिए,यदि $x = A \sin(\omega t)$ है,तो $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ होगा।
अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega$ है।
रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वेग $v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\langle A^2\omega^2 \cos^2(\omega t) \rangle} = A\omega \sqrt{\langle \cos^2(\omega t) \rangle}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक चक्र के दौरान $\cos^2(\theta)$ का औसत मान $\frac{1}{2}$ होता है,इसलिए हमें $v_{\text{rms}} = A\omega \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{v_{\max}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $(C)$ भी सही है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) $SHM$ में एक कण के लिए,$y = A \sin(\omega t)$.
$(a)$ वेग $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$. अतः,$(a) \rightarrow (ii)$.
$(b)$ स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$. अतः,$(b) \rightarrow (iii)$.
$(c)$ कुल ऊर्जा $TE = PE + KE = \frac{1}{2} k A^2$,जो कि नियत है। अतः,$(c) \rightarrow (i)$.
$(d)$ त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = -\omega^2 y$. अतः,$(d) \rightarrow (iv)$.
इसलिए,सही मिलान $(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i), (d)-(iv)$ है।

(D) दोनों स्प्रिंग ब्लॉक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ी हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K_1 + K_2 = 200 + 160 = 360\, Nm^{-1}$ होगा।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{360}{10}} = \sqrt{36} = 6\, rad/s$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \, s$ है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
ब्लॉक को दिया गया आवेग $J$ उसे प्रारंभिक वेग $v_0$ प्रदान करता है,जहाँ $J = m v_0$ है। इसलिए,$v_0 = \frac{J}{m} = \frac{50}{10} = 5\, ms^{-1}$ है।
चूंकि ब्लॉक संतुलन स्थिति से गति शुरू करता है,इसलिए यह प्रारंभिक वेग ही दोलन का अधिकतम वेग है $(v_{max} = v_0 = 5\, ms^{-1})$। अतः,विकल्प $(B)$ भी सही है।
इस प्रकार,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(C) संतुलन की स्थिति में, गैस का दाब $P_0$ पिस्टन के भार को संतुलित करता है: $P_0 A = Mg$.
चूंकि निकाय अलग-थलग है, प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है: $P V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए पिस्टन को नीचे की ओर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है। नया आयतन $V = A(x_0 + x)$ है, जहाँ $V_0 = Ax_0$.
नया दाब $P = P_0 \left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma} = P_0 \left(\frac{Ax_0}{A(x_0 + x)}\right)^{\gamma} = P_0 \left(1 + \frac{x}{x_0}\right)^{-\gamma}$.
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर: $P \approx P_0 \left(1 - \frac{\gamma x}{x_0}\right)$.
पिस्टन पर कार्य करने वाला शुद्ध प्रत्यानयन बल $F = (P_0 - P)A = P_0 A \left(1 - (1 - \frac{\gamma x}{x_0})\right) = \frac{P_0 A \gamma x}{x_0}$.
चूंकि $V_0 = Ax_0$, हमारे पास $x_0 = V_0/A$ है, इसलिए $F = \frac{P_0 A^2 \gamma}{V_0} x$.
$F = kx$ के साथ तुलना करने पर, प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{\gamma P_0 A^2}{V_0}$ है।
सरल आवर्त गति की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\gamma P_0 A^2}{M V_0}}$ है।

(B) स्प्रिंग-आधारित घड़ी $S$ की आवृत्ति $f_S = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है। यह आवृत्ति केवल स्प्रिंग नियतांक $k$ और द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती है,और गुरुत्वीय त्वरण $g$ से स्वतंत्र है।
लोलक-आधारित घड़ी $P$ की आवृत्ति $f_P = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है। यह आवृत्ति गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करती है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G}{R^2} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \rho G R$ है।
चूंकि घनत्व $\rho$ समान रहता है और त्रिज्या $R$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $2g$ हो जाएगा।
परिणामस्वरूप,लोलक घड़ी $P$ की आवृत्ति $f_P' = \sqrt{2} f_P$ हो जाएगी,जबकि स्प्रिंग घड़ी $S$ की आवृत्ति अपरिवर्तित रहेगी।
इसलिए,लोलक घड़ी $P$,स्प्रिंग घड़ी $S$ की तुलना में तेज चलेगी।

(C) मान लीजिए कि पेंडुलम का आवर्तकाल $T$ है। गोलक को चरम स्थिति से माध्य स्थिति तक जाने में लगा समय $T/4$ है।
$t = 0$ पर,गोलक $A$ को चरम स्थिति से छोड़ा जाता है। यह $t = T/4$ पर माध्य स्थिति में पहुँचता है।
$t = T/4$ पर,गोलक $A$ की गोलक $B$ के साथ प्रत्यास्थ टक्कर होती है। चूंकि गोलक समान हैं,वे वेग का आदान-प्रदान करते हैं। इस प्रकार,गोलक $A$ स्थिर हो जाता है और गोलक $B$ गोलक $A$ का वेग प्राप्त कर लेता है।
इसलिए,$t = T/4$ पर गोलक $A$ की ऊर्जा शून्य हो जाती है और तब तक शून्य रहती है जब तक गोलक $B$ वापस माध्य स्थिति में नहीं आ जाता।
गोलक $B$ अपनी चरम स्थिति तक जाता है और $t = 3T/4$ पर माध्य स्थिति में वापस आता है।
$t = 3T/4$ पर,गोलक $B$ माध्य स्थिति में गोलक $A$ से टकराता है। वे फिर से वेग का आदान-प्रदान करते हैं,इसलिए गोलक $A$ अपनी प्रारंभिक ऊर्जा वापस पा लेता है और गोलक $B$ स्थिर हो जाता है।
इस प्रकार,गोलक $A$ की ऊर्जा $0 \leqslant t < T/4$ के लिए अधिकतम,$T/4 \leqslant t < 3T/4$ के लिए शून्य,और $3T/4 < t \leqslant T$ के लिए फिर से अधिकतम होती है। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले प्लेटफॉर्म का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = 2\pi f$ है।
यहाँ $f = \frac{2}{\pi}\ Hz$ और $A = 0.1\ m$ दिया गया है,इसलिए $\omega = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4\ rad/s$ है।
अतः,$a_{max} = (4)^2 \times 0.1 = 16 \times 0.1 = 1.6\ m/s^2$ है।
व्यक्ति पर कार्य करने वाला अधिकतम छद्म बल (pseudo-force) $F_{max} = m \cdot a_{max} = 60\ kg \times 1.6\ m/s^2 = 96\ N$ है।
$kgf$ में वजन के संदर्भ में,$F_{max} = \frac{96\ N}{9.8\ m/s^2} \approx 9.8\ kgf \approx 10\ kgf$ है।
ऊपरी चरम स्थिति पर,प्लेटफॉर्म नीचे की ओर त्वरित होता है,इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया $N = m(g - a_{max}) = 60 - 10 = 50\ kgf$ है।
निचली चरम स्थिति पर,प्लेटफॉर्म ऊपर की ओर त्वरित होता है,इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया $N = m(g + a_{max}) = 60 + 10 = 70\ kgf$ है।
इसलिए,स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग $50\ kg$ और $70\ kg$ के बीच उतार-चढ़ाव करती है।

(A) मान लीजिए कि पहले बेलन को $x$ दूरी से नीचे की ओर विस्थापित किया जाता है। तो दूसरा बेलन भी उतनी ही दूरी $x$ से ऊपर की ओर विस्थापित होगा क्योंकि वे घिरनियों पर एक डोरी से जुड़े हुए हैं।
पहले बेलन पर उत्प्लावन बल में परिवर्तन $\Delta F_1 = \rho_1 s x g$ है।
जब पहला बेलन $x$ नीचे जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल $\rho_1 s x g$ बढ़ जाता है (ऊपर की ओर)। जब दूसरा बेलन $x$ ऊपर जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल $\rho_2 s x g$ घट जाता है (ऊपर की ओर)।
निकाय पर कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = -(\rho_1 s x g + \rho_2 s x g) = -(\rho_1 + \rho_2) s g x$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $2m = 2\rho_0 v$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$2m a = F_{net} \implies 2\rho_0 v a = -(\rho_1 + \rho_2) s g x$.
$a = -\left[ \frac{(\rho_1 + \rho_2) s g}{2 \rho_0 v} \right] x$.
इसे $SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{(\rho_1 + \rho_2) s g}{2 \rho_0 v}}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2 \rho_0 v}{(\rho_1 + \rho_2) s g}}$ है।

(B) दोलक अपनी साम्यावस्था स्थिति $x = X$ पर है। मान लीजिए $n$ टक्करों के बाद निकाय का द्रव्यमान $M_n$ है।
प्रारंभ में,$M_0 = M = 10$ है। कण का द्रव्यमान $m = 5$ और चाल $u = 1$ है।
$1^{st}$ टक्कर के लिए: $m u = (M + m) v_1 \Rightarrow 5(1) = (10 + 5) v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$।
$1^{st}$ टक्कर के बाद,निकाय दोलन करता है। यह फिर से साम्यावस्था स्थिति को पार करता है। चूँकि यह एक हार्मोनिक दोलक है,यह $v_1$ चाल से लेकिन विपरीत दिशा में (बाईं ओर) साम्यावस्था स्थिति में वापस आता है।
$2^{nd}$ टक्कर के लिए: कण दाईं ओर से $u=1$ चाल से आता है। निकाय का संवेग $M_1(-v_1) = 15(-\frac{1}{3}) = -5$ है। कण का संवेग $m u = 5(1) = 5$ है। कुल संवेग $= -5 + 5 = 0$।
$2^{nd}$ टक्कर के बाद,निकाय साम्यावस्था स्थिति में स्थिर है। द्रव्यमान $M_2 = M + 2m = 10 + 10 = 20$ है।
यह पैटर्न दोहराया जाता है: हर सम संख्या की टक्कर के बाद,निकाय साम्यावस्था स्थिति में स्थिर हो जाता है।
$12$ टक्करों के बाद,निकाय $M_{12} = M + 12m = 10 + 12(5) = 70$ द्रव्यमान के साथ स्थिर है।
$13^{th}$ टक्कर के लिए: $m u = (M_{12} + m) v_{13} \Rightarrow 5(1) = (70 + 5) v_{13} \Rightarrow v_{13} = \frac{5}{75} = \frac{1}{15}$।
$13$ टक्करों के बाद कुल द्रव्यमान $M_{13} = 75$ है।
दोलक की ऊर्जा $E = \frac{1}{2} M_{13} v_{13}^2 = \frac{1}{2} k A^2$ है।
$\frac{1}{2} (75) (\frac{1}{15})^2 = \frac{1}{2} (1) A^2$।
$A^2 = \frac{75}{225} = \frac{1}{3} \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(C) $1$. द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ ज्ञात करें: मान लें कि निलंबन बिंदु से द्रव्यमान $m$ की दूरी $x_1$ है और $m/2$ की दूरी $x_2$ है। दिया गया है $x_1 + x_2 = l$। $CM$ के लिए,$m x_1 = (m/2) x_2 \implies x_2 = 2x_1$। अतः,$3x_1 = l \implies x_1 = l/3$ और $x_2 = 2l/3$।
$2$. निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$: $I = m(l/3)^2 + (m/2)(2l/3)^2 = m(l^2/9) + (m/2)(4l^2/9) = ml^2/9 + 2ml^2/9 = ml^2/3$।
$3$. कोणीय आवृत्ति $\omega$: $\omega = \sqrt{\frac{k}{I}} = \sqrt{\frac{k}{ml^2/3}} = \sqrt{\frac{3k}{ml^2}}$।
$4$. अधिकतम कोणीय वेग $\omega_{max}$: ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}I\omega_{max}^2 = \frac{1}{2}k\theta_0^2 \implies \omega_{max} = \theta_0 \sqrt{\frac{k}{I}} = \theta_0 \omega$।
$5$. माध्य स्थिति पर तनाव $T$: तनाव किसी भी द्रव्यमान पर अभिकेंद्री बल द्वारा प्रदान किया जाता है। $l/3$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान $m$ के लिए,$T = m \omega_{max}^2 (l/3) = m (\theta_0^2 \frac{k}{I}) (l/3) = m \theta_0^2 \frac{k}{ml^2/3} \frac{l}{3} = \frac{k\theta_0^2}{l}$।

(A) $SHM$ में एक कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2$ होती है। इसे $E = Ax^2 + Bv^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{k}{2}$ और $B = \frac{m}{2}$ प्राप्त होता है।
$1$. अधिकतम विस्थापन $(x = A_{amp})$ पर,वेग $v = 0$ होता है। अतः,$E = A(A_{amp})^2$,जिससे $A_{amp} = \sqrt{\frac{E}{A}}$ प्राप्त होता है। (विकल्प $A$ सही है)।
$2$. माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,वेग अधिकतम $(v_{max})$ होता है। अतः,$E = B(v_{max})^2$,जिससे $v_{max} = \sqrt{\frac{E}{B}}$ प्राप्त होता है। (विकल्प $B$ सही है)।
$3$. कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2A}{2B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$ होती है। आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{B}{A}}$ है। (विकल्प $C$ सही है)।
$4$. अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A_{amp} = \left(\frac{A}{B}\right) \sqrt{\frac{E}{A}} = \frac{\sqrt{AE}}{B}$ होता है।
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया आयाम का मान गलत है।

(C) ग्राफ से,विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
$t = \frac{3T}{4}$ पर,$x = A \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{3T}{4}) = A \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$। चूँकि $x=0$ है,प्रत्यानयन बल $F = -kx = 0$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$t = T$ पर,$x = A \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot T) = A \cos(2\pi) = A$। त्वरण $a = -\omega^2 x = -\omega^2 A$,जो परिमाण में अधिकतम है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$t = \frac{T}{2}$ पर,$x = A \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2}) = A \cos(\pi) = -A$। चरम स्थितियों पर,गतिज ऊर्जा शून्य होती है और स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है। अतः,$t = \frac{T}{2}$ पर स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बराबर नहीं है। विकल्प $C$ गलत है।
$t = \frac{3T}{4}$ पर,$x = 0$,जो माध्य स्थिति है। माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
इसलिए,गलत कथन $C$ है।

(C) आयाम और $\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ $SHM$ कर रहे कण के लिए:
$1$. अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. अधिकतम वेग $v_{\max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. अधिकतम त्वरण और अधिकतम वेग का अनुपात $\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $SHM$ में,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है। वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है और त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ है।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $a = 0$ (न्यूनतम परिमाण) है। इस बिंदु पर,वेग $v = A\omega$ (अधिकतम परिमाण) होता है। अतः,कथन सही है।
$x = A \sin(\omega t)$ और $v = A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि वेग विस्थापन से $\frac{\pi}{2}$ के कलांतर से आगे है। अतः,कारण भी सही है और यह स्पष्ट करता है कि जब विस्थापन (और इसलिए त्वरण) शून्य होता है तो वेग अधिकतम क्यों होता है।

(N/A) दिया गया है: आयाम $A = 5\; cm = 0.05\; m$,आवर्तकाल $T = 0.2\; s$. कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi\; rad/s$.
$(a)$ विस्थापन $x = 5\; cm = 0.05\; m$ के लिए:
त्वरण $a = -\omega^2 x = -(10\pi)^2 \times 0.05 = -100\pi^2 \times 0.05 = -5\pi^2\; m/s^2$.
वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\pi \sqrt{(0.05)^2 - (0.05)^2} = 0\; m/s$.
$(b)$ विस्थापन $x = 3\; cm = 0.03\; m$ के लिए:
त्वरण $a = -\omega^2 x = -(10\pi)^2 \times 0.03 = -100\pi^2 \times 0.03 = -3\pi^2\; m/s^2$.
वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\pi \sqrt{(0.05)^2 - (0.03)^2} = 10\pi \sqrt{0.0025 - 0.0009} = 10\pi \sqrt{0.0016} = 10\pi \times 0.04 = 0.4\pi\; m/s$.
$(c)$ विस्थापन $x = 0\; m$ के लिए:
त्वरण $a = -\omega^2 x = 0\; m/s^2$.
वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\pi \sqrt{(0.05)^2 - 0} = 10\pi \times 0.05 = 0.5\pi\; m/s$.

(D) आयाम और $\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ $SHM$ करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है। अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ है।
त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$ है। अधिकतम त्वरण $a_{max} = A\omega^2$ है।
अधिकतम त्वरण और अधिकतम वेग का अनुपात $\frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$ है।

(C) $SHM$ में,वेग $v$ को $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $x$ विस्थापन है। चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर वेग शून्य होता है।
त्वरण $a$ को $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर त्वरण शून्य होता है।
चूंकि ऐसा कोई एक बिंदु नहीं है जहाँ वेग और त्वरण दोनों एक साथ शून्य हों,इसलिए सही उत्तर यह है कि $SHM$ में यह स्थिति कभी प्राप्त नहीं होती है।

(A) $1.$ गति सरल आवर्त गति $(SHM)$ है।
$2.$ $1$ दोलन $= 2\pi \ rad$ कला परिवर्तन के बराबर है,इसलिए $\frac{1}{2\pi}$ दोलन $= \frac{1}{2\pi} \times 2\pi = 1 \ rad$ होगा।
$3.$ कला $\theta = \omega t + \phi$ द्वारा दी जाती है। कला परिवर्तन की दर $\frac{d\theta}{dt} = \omega$ है। अतः,प्रति सेकंड कला $\omega$ बढ़ती है।
$4.$ यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है। दिया गया है $\frac{k_1}{k_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{E_1}{E_2} = \frac{2}{9}$।
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2} \times \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \Rightarrow \frac{2}{9} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2$।
$\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 = \frac{2}{9} \times 2 = \frac{4}{9}$।
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{3}$।

(A) $1.$ असत्य। माध्य स्थिति पर विस्थापन $x = 0$ होता है,इसलिए त्वरण $a = -\omega^2 x = 0$ होता है। त्वरण माध्य स्थिति पर शून्य और चरम स्थितियों पर अधिकतम होता है।
$2.$ सत्य। $SHO$ की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ अधिकतम विस्थापन (आयाम) है। अतः,यह आयाम के वर्ग पर निर्भर करती है।
$3.$ असत्य। सेकंड लोलक वह लोलक है जिसका आवर्तकाल $2 \, s$ होता है (प्रत्येक दोलन के लिए एक सेकंड)।
$4.$ असत्य। यदि $SHM$ की आवृत्ति $v$ है,तो गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 + \cos(2\omega t))$ के अनुसार दोलन करती है। कोणीय आवृत्ति $2\omega$ होने के कारण,गतिज ऊर्जा की आवृत्ति $2v$ होती है।

(A-D) $1.$ असत्य। जब एक स्प्रिंग को दो बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक दोगुना हो जाता है $(k' = 2k)$।
$2.$ असत्य। $SHO$ में,त्वरण $a = -\omega^2 x$ होता है। जैसे-जैसे विस्थापन का परिमाण $|x|$ बढ़ता है,त्वरण का परिमाण $|a|$ भी बढ़ता है।
$3.$ सत्य। जटिल निकाय (जैसे युग्मित दोलक या कंपन करती डोरियाँ) एक से अधिक प्राकृतिक आवृत्तियाँ रख सकते हैं।
$4.$ असत्य। एक आदर्श $SHM$ का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ आयाम,ऊर्जा और कला नियतांक से स्वतंत्र होता है।

(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 50\, kg$,आवृत्ति $\nu = 2.0\, s^{-1}$,आयाम $A = 5.0\, cm = 0.05\, m$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi\nu = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$.
अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A = (4\pi)^2 \times 0.05 = 16 \times 9.8696 \times 0.05 \approx 7.896\, m/s^2$.
$(a)$ हाँ,वजन बदलता है क्योंकि प्लेटफॉर्म त्वरित गति कर रहा है।
$(b)$ आभासी वजन $N$ को $N = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्लेटफॉर्म का त्वरण है (ऊपर की ओर धनात्मक)।
सबसे निचले बिंदु पर,त्वरण ऊपर की ओर होता है: $a = +\omega^2 A$.
$N_{max} = m(g + \omega^2 A) = 50(9.8 + 7.896) = 50(17.696) = 884.8\, N$.
सबसे ऊपरी बिंदु पर,त्वरण नीचे की ओर होता है: $a = -\omega^2 A$.
$N_{min} = m(g - \omega^2 A) = 50(9.8 - 7.896) = 50(1.904) = 95.2\, N$.

(D) ग्राफ से,विस्थापन $x$ एक कोसाइन फलन का पालन करता है जो $t = 0$ पर $x = A$ से शुरू होता है,इसलिए $x(t) = A \cos(\omega t)$।
$(A)$ $t = \frac{3T}{4}$ पर,विस्थापन $x = A \cos(\omega \cdot \frac{3T}{4}) = A \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$। चूंकि $F = -m\omega^2 x$,यदि $x = 0$ है,तो $F = 0$ होगा। अतः,$(A)$ सत्य है।
$(B)$ $t = T$ पर,$x = A \cos(\omega T) = A \cos(2\pi) = A$। त्वरण $a = -\omega^2 x = -\omega^2 A$। त्वरण का परिमाण चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर अधिकतम होता है। अतः,$(B)$ सत्य है।
$(C)$ $t = \frac{T}{4}$ पर,$x = A \cos(\omega \cdot \frac{T}{4}) = A \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$। गति $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ तब अधिकतम होती है जब $x = 0$ होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ $t = \frac{T}{2}$ पर,$x = A \cos(\omega \cdot \frac{T}{2}) = A \cos(\pi) = -A$। $x = -A$ पर,$P.E.$ अधिकतम है और $K.E. = 0$ है। इसलिए,$P.E. \neq K.E.$। अतः,$(D)$ असत्य है।
इसलिए,कथन $(A), (B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(C) स्थितिज ऊर्जा वक्र से,अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\max} = 10\, {J}$ है और आयाम $A = 2\, {m}$ है (क्योंकि संतुलन स्थिति $x = 2\, {m}$ पर है और अधिकतम विस्थापन $4\, {m} - 2\, {m} = 2\, {m}$ है)।
सूत्र $U_{\max} = \frac{1}{2} k A^2$ का उपयोग करने पर,$10 = \frac{1}{2} k (2)^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $10 = 2k$,अतः स्प्रिंग नियतांक $k = 5\, {N/m}$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T_{\text{spring}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{5}{5}} = 2\pi\, {s}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T_{\text{pendulum}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है।
चूंकि $T_{\text{spring}} = T_{\text{pendulum}}$ दिया गया है,हम $2\pi \sqrt{\frac{5}{5}} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$ को बराबर करते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{4}{g}$ प्राप्त होता है,जिससे $g = 4\, {m/s^2}$ मिलता है।

(D) अनुनाद पर,आवधिक आवेग (चलने) की आवृत्ति को पानी के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाना चाहिए।
मान लीजिए चलने की आवृत्ति $f_{w} = \frac{v}{L}$ है,जहाँ $L$ कदम की विशिष्ट लंबाई है।
उथले पात्र में पानी के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{gh}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{h}}$,सूत्र से देखा जा सकता है कि $T \propto \sqrt{R}$ है।
अनुनाद पर,$f_{w} = f_{osc} = \frac{1}{T}$ होता है।
इसलिए,$\frac{v}{L} \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$।
यदि कदम की लंबाई $L$ स्थिर है,तो $v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,उथले पानी में तरंग गति के लिए आयामी विश्लेषण पर विचार करते हुए,आवृत्ति $f \propto \frac{\sqrt{gh}}{R}$ होती है।
$\frac{v}{L} \propto \frac{\sqrt{gh}}{R}$ की तुलना करने पर,और चूँकि $h$ स्थिर है,हमें $v \propto \frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।

(B) स्प्रिंग-आधारित घड़ी का आवर्तकाल $T_S = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जो गुरुत्वीय त्वरण $g$ से स्वतंत्र है।
लोलक-आधारित घड़ी का आवर्तकाल $T_P = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जो $g$ पर निर्भर करता है।
मान लीजिए पृथ्वी का घनत्व $\rho$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ है।
नए ग्रह के लिए,घनत्व $\rho' = \rho$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है। नया गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{4}{3} \pi G \rho (2R) = 2g$ होगा।
चूंकि $T_S$,$g$ से स्वतंत्र है,इसलिए घड़ी $S$ की दर अपरिवर्तित रहेगी।
घड़ी $P$ के लिए,नया आवर्तकाल $T_P' = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{2g}} = \frac{T_P}{\sqrt{2}}$ होगा।
चूंकि $T_P' < T_P$,लोलक घड़ी $P$ अपने दोलन कम समय में पूरे करेगी,जिसका अर्थ है कि यह घड़ी $S$ की तुलना में तेज चलेगी।

(B) ब्लॉक $P$ उनके बीच कार्य करने वाले स्थैतिक घर्षण बल के कारण ब्लॉक $Q$ के साथ चलता है। उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_P g$ है,जहाँ $m_P$ ब्लॉक $P$ का द्रव्यमान है।
प्रणाली का त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। ब्लॉक $P$ को ब्लॉक $Q$ के साथ गतिमान रखने के लिए आवश्यक बल $F = m_P a = -m_P \omega^2 x$ है।
ब्लॉक $P$ तब फिसलेगा जब आवश्यक बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण से अधिक हो जाएगा,अर्थात $|m_P \omega^2 x| > \mu m_P g$,या $|x| > \frac{\mu g}{\omega^2}$।
चूंकि त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 |x|$ चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर अधिकतम होता है,इसलिए आवश्यक बल इन बिंदुओं पर अधिकतम होता है। इसलिए,ब्लॉक $P$ के चरम स्थितियों $x = +A$ या $x = -A$ पर फिसलने की संभावना सबसे अधिक है।

(A) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$m_2 u = (m_1 + m_2) v$
$0.5 \times 3 = (1 + 0.5) v$
$1.5 = 1.5 v \Rightarrow v = 1\,m/s$
टक्कर के बाद,संयुक्त द्रव्यमान $(M = m_1 + m_2 = 1.5\,kg)$ स्प्रिंग के साथ दोलन करता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} k A^2$
$A = v \sqrt{\frac{M}{k}} = 1 \times \sqrt{\frac{1.5}{600}} = \sqrt{\frac{1}{400}} = \frac{1}{20}\,m = 0.05\,m = 5\,cm$
दोलन का आवर्तकाल इस प्रकार है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.5}{600}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{400}} = 2\pi \times \frac{1}{20} = \frac{\pi}{10}\,s$
अतः,आयाम $5\,cm$ है और आवर्तकाल $\frac{\pi}{10}\,s$ है।

(A) सरल लोलक के लिए,आवर्तकाल $T_p = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ कम हो जाता है,इसलिए आवर्तकाल $T_p$ बढ़ जाएगा।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,आवर्तकाल $T_s = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है। यह व्यंजक गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए आवर्तकाल $T_s$ समान रहता है।
चूंकि $T_p$ बढ़ता है और $T_s$ स्थिर रहता है,इसलिए चंद्रमा पर सरल लोलक का आवर्तकाल स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की तुलना में अधिक होगा।

(A) सुमेलन इस प्रकार है:
$(a) \rightarrow (iv)$: ग्राफ अवमंदित दोलनों को दर्शाता है जहाँ वायु घर्षण के कारण समय के साथ आयाम कम हो जाता है।
$(b) \rightarrow (iii)$: ग्राफ एक रैखिक संबंध $y = -kx$ को दर्शाता है,जो स्प्रिंग के प्रत्यानयन बल $(F = -kx)$ के अनुरूप है।
$(c) \rightarrow (ii)$: ग्राफ स्थिर आयाम के साथ सरल आवर्त गति को दर्शाता है,जो नगण्य वायु घर्षण के तहत दोलन करने वाले एक आदर्श लोलक के अनुरूप है।
$(d) \rightarrow (i)$: ग्राफ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाता है,जहाँ उनका योग (कुल यांत्रिक ऊर्जा) स्थिर रहता है।
अतः,सही सुमेलन $(a)-(iv), (b)-(iii), (c)-(ii), (d)-(i)$ है।

(A) दिया गया है $v = c_1 \sqrt{c_2 - x^2}$। यह सरल आवर्त गति का वेग समीकरण है $(v = \omega \sqrt{A^2 - x^2})$। अतः,$(A) \rightarrow (p)$।
$(B)$ दिया गया है $v = -kx$। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$v$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है। वस्तु मूल बिंदु की ओर बढ़ती है और $x=0$ पर रुक जाती है। यह कभी दिशा नहीं बदलती। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$v$ घटता है,इसलिए गतिज ऊर्जा घटती है। अतः,$(B) \rightarrow (q) \& (r)$।
$(C)$ ऊपर की ओर त्वरित लिफ्ट में,वस्तु पर एक छद्म बल कार्य करता है। संतुलन स्थिति बदल जाती है,लेकिन गति नई संतुलन स्थिति के सापेक्ष सरल आवर्त गति ही रहती है। अतः,$(C) \rightarrow (p)$।
$(D)$ पलायन वेग $\sqrt{2GM_e/R_e}$ है। प्रक्षेपण चाल $\sqrt{2}$ गुना है। इसलिए यह वापस नहीं आएगी और दिशा नहीं बदलेगी। जैसे-जैसे यह दूर जाती है,चाल कम होती है,इसलिए गतिज ऊर्जा घटती है। अतः,$(D) \rightarrow (r) \& (q)$।

(D) सरल लोलक की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जो ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। यह ग्राफ $(p)$ से मेल खाता है।
$(B)$ निरंतर त्वरण $a$ के साथ एक-आयामी गति के लिए,$x = ut + \frac{1}{2} a t^2$। यदि $a=0$ है,तो $x=ut$ (रैखिक,ग्राफ $(q)$)। यदि $a \neq 0$ है,तो यह एक परवलय है (ग्राफ $(s)$)। अतः,$(B) \rightarrow q \& s$।
$(C)$ प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। चूंकि $\theta$ निश्चित है,$R \propto v^2$। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,जो ग्राफ $(s)$ है।
$(D)$ सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है,इसलिए $T^2 = \frac{4\pi^2}{g} L$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक ग्राफ $y = mx$ है,जो ग्राफ $(q)$ है।

(D) $1.$ ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए, स्थिति $x$ बढ़ती है और फिर घटती है, और संवेग $p$ धनात्मक से ऋणात्मक की ओर घटता है। यह फेज स्पेस में नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के अनुरूप है, जो विकल्प $(D)$ है।
$2.$ सरल आवर्त ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है, जहाँ $A$ आयाम है। चित्र से, बाहरी वृत्त की त्रिज्या $2a$ है और आंतरिक वृत्त की $a$ है। अतः, $A_1 = 2a$ और $A_2 = a$। इसलिए, $E_1 = \frac{1}{2} k (2a)^2 = 4 (\frac{1}{2} k a^2) = 4 E_2$। यह विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।
$3.$ पानी में डूबी हुई स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली अवमंदित दोलनों से गुजरती है। दोलन का आयाम समय के साथ घटता है, इसलिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु की ओर अंदर की तरफ सर्पिल होगा। यह विकल्प $(B)$ के अनुरूप है।

(A) $1$. सबसे पहले,$t = 1 \ s$ पर ब्लॉक की स्थिति निर्धारित करें। ब्लॉक $t = 0$ पर चरम स्थिति $x = A = 0.2 \ m$ से शुरू होता है। गति का समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t)$ है।
$2$. $t = 1 \ s$ पर,$x(1) = 0.2 \cos(\frac{\pi}{3} \times 1) = 0.2 \cos(60^{\circ}) = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$। अतः,ब्लॉक $O$ से $0.1 \ m$ की दूरी पर है।
$3$. पत्थर को $P$ बिंदु से $x = 10 \ m$ पर प्रक्षेपित किया जाता है। यह $x = 0.1 \ m$ पर ब्लॉक से टकराता है। पत्थर द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $d = 10 - 0.1 = 9.9 \ m$ है।
$4$. वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
$5$. क्षैतिज दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_x} \implies 1 = \frac{9.9}{v/\sqrt{2}} \implies v = 9.9 \sqrt{2} \approx 14 \ m/s$ है।
$6$. हालाँकि,$t = 1 \ s$ पर पत्थर को जमीन के स्तर पर भी होना चाहिए। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y(t) = (v \sin 45^{\circ})t - \frac{1}{2}gt^2$ है। $y(1) = 0$ रखने पर,हमें $v \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2}g(1) = 5 \implies v = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \ m/s$ प्राप्त होता है।