$SHM$ कण के अधिकतम त्वरण और अधिकतम वेग का अनुपात ज्ञात कीजिए।

जब कोई पिंड $S.H.M.$ में हो,तो निम्नलिखित का मिलान करें:

List-$I$	List-$II$
$A$. वेग अधिकतम है	$I$. त्वरण अधिकतम है
$B$. $K.E.$ कुल ऊर्जा का $\left(\frac{3}{4}\right)^{\text{th}}$ है	$II$. माध्य स्थिति पर
$C$. $P.E.$ कुल ऊर्जा का $\left(\frac{3}{4}\right)^{\text{th}}$ है	$III$. आयाम के आधे पर
$D$. त्वरण अधिकतम है	$IV$. आयाम के $\frac{\sqrt{3}}{2}$ गुना पर

एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार पात्र में बंद एक आदर्श गैस $M$ द्रव्यमान के स्वतंत्र रूप से चलने वाले पिस्टन को सहारा देती है। पिस्टन और बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान है। जब पिस्टन संतुलन में होता है, तो गैस का आयतन $V_0$ और उसका दाब $P_0$ होता है। पिस्टन को संतुलन स्थिति से थोड़ा विस्थापित करके छोड़ दिया जाता है। यह मानते हुए कि निकाय अपने परिवेश से पूरी तरह से अलग है, पिस्टन किस आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति करता है?

एक ब्लॉक को एक क्षैतिज तख्ते पर रखा गया है। तख्ता $40 \, cm$ के आयाम के साथ एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर $SHM$ कर रहा है। ब्लॉक तख्ते के साथ संपर्क तब खो देता है जब तख्ता क्षण भर के लिए स्थिर होता है। तो:

फेज स्पेस आरेख सभी प्रकार की गतिशील समस्याओं के विश्लेषण में उपयोगी उपकरण हैं। जब प्रारंभिक स्थिति और संवेग बदलते हैं तो गति में होने वाले परिवर्तनों का अध्ययन करने में ये विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यहाँ हम एक आयाम में कुछ सरल गतिशील प्रणालियों पर विचार करते हैं। ऐसी प्रणालियों के लिए, फेज स्पेस एक तल है जिसमें स्थिति को क्षैतिज अक्ष पर और संवेग को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आलेखित किया जाता है। फेज स्पेस आरेख इस तल में $x(t)$ बनाम $p(t)$ वक्र है। वक्र पर तीर समय के प्रवाह को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, स्थिर वेग से गति करने वाले कण के लिए फेज स्पेस आरेख चित्र में दिखाए अनुसार एक सीधी रेखा है। हम उस चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं जिसमें ऊपर की ओर (या दाईं ओर) स्थिति या संवेग धनात्मक है और नीचे की ओर (या बाईं ओर) ऋणात्मक है।
$1.$ जमीन से ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
$2.$ सरल आवर्त गति के लिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है। चित्र में, दो वृत्त एक ही ऑसिलेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियों के लिए, और $E_1$ और $E_2$ क्रमशः कुल यांत्रिक ऊर्जाएं हैं। तो:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ पानी में डूबे हुए द्रव्यमान के साथ स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस प्रणाली के एक चक्र के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

$Assertion :$ सरल आवर्त गति में,जब त्वरण न्यूनतम होता है तब वेग अधिकतम होता है।
$Reason :$ $S.H.M.$ के विस्थापन और वेग में $\frac{\pi }{2}$ का कलांतर होता है।