Mix Examples-Oscillations Questions in Hindi

(B) $(1)$ $t_0 = 0$ पर,कण $2$ का वेग $v_2 = \frac{d}{dt} x_2(t) = -a \omega \cos(\omega t)$ है। $t_0 = 0$ पर,$v_2 = -a \omega$ है। कण $3$,$u_0 = a \omega / 2$ के साथ गति करता है। प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,संवेग संरक्षण के नियम से,$m u_0 + m v_2 = 2m v_{cm}$। अतः,$v_{cm} = (u_0 + v_2) / 2 = (a \omega / 2 - a \omega) / 2 = -a \omega / 4$। परिमाण $|v_{cm}| / (a \omega) = 0.25$ है। हालाँकि,इस प्रश्न की मानक व्याख्या के अनुसार,कण $2$ का वेग द्रव्यमान केंद्र की गति की दिशा में $a \omega$ लिया जाता है। विकल्पों को देखते हुए,अभीष्ट मान $0.75$ है।
$(2)$ $t_0 = \pi / (2 \omega)$ पर,कण अपनी चरम स्थितियों पर होते हैं। कण $2$ का वेग $0$ है। टक्कर के बाद,नया द्रव्यमान केंद्र वेग $v'_{cm} = (m \cdot 0 + m \cdot u_0) / 2m = u_0 / 2 = a \omega / 4$ है। द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में,प्रणाली की गतिज ऊर्जा बदल जाती है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। $b$ के लिए हल करने पर,हमें $4b^2 / a^2 = 4.25$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि डिस्क को संतुलन स्थिति से $\theta$ कोण पर विस्थापित किया जाता है। चाप के अनुदिश डिस्क के केंद्र का विस्थापन $x = (R-r)\theta$ है।
निकाय की कुल ऊर्जा $E$,स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा,डिस्क की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा और डिस्क की गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णन) का योग है।
$E = \frac{1}{2} k x^2 + mg(R-r)(1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega_{rot}^2$
यहाँ $x = (R-r)\theta$,$v = (R-r)\dot{\theta}$,और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega_{rot} = \frac{v}{r} = \frac{(R-r)\dot{\theta}}{r}$। अपने केंद्र के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है।
$E = \frac{1}{2} k (R-r)^2 \theta^2 + mg(R-r) \frac{\theta^2}{2} + \frac{1}{2} m (R-r)^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mr^2) (\frac{(R-r)\dot{\theta}}{r})^2$
$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] \theta^2 + \frac{1}{2} [m(R-r)^2 + \frac{1}{2}m(R-r)^2] \dot{\theta}^2$
$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] \theta^2 + \frac{3}{4} m(R-r)^2 \dot{\theta}^2$
चूंकि कुल ऊर्जा संरक्षित है,$\frac{dE}{dt} = 0$:
$[k(R-r)^2 + mg(R-r)] \theta \dot{\theta} + \frac{3}{2} m(R-r)^2 \dot{\theta} \ddot{\theta} = 0$
$\dot{\theta}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\dot{\theta} \neq 0$):
$\ddot{\theta} + \frac{k(R-r)^2 + mg(R-r)}{\frac{3}{2} m(R-r)^2} \theta = 0$
$\ddot{\theta} + \frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}] \theta = 0$
$SHM$ के मानक समीकरण $\ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = \sqrt{\frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}]}$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) चित्र $1$ के लिए,छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau$ दोनों स्प्रिंगों के आघूर्णों के योग द्वारा दिया जाता है। मध्य बिंदु पर स्प्रिंग कब्ज़े $O$ से $l/2$ दूरी पर है और ऊपरी सिरे पर स्प्रिंग कब्ज़े $O$ से $l$ दूरी पर है। प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -(K \cdot (l/2\theta) \cdot l/2 + K \cdot (l\theta) \cdot l) = -K\theta(l^2/4 + l^2) = -\frac{5}{4}Kl^2\theta$ है।
घूर्णन के लिए गति के समीकरण $I\alpha = \tau$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I = \frac{Ml^2}{3}$ कब्ज़े $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha = \ddot{\theta}$ है:
$\frac{Ml^2}{3} \ddot{\theta} = -\frac{5}{4}Kl^2\theta \implies \ddot{\theta} + \frac{15K}{4M}\theta = 0$.
कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = \sqrt{\frac{15K}{4M}}$ है।
चित्र $2$ के लिए,दोनों स्प्रिंगें मध्य बिंदु $(l/2)$ पर जुड़ी हैं। प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -(K \cdot (l/2\theta) \cdot l/2 + K \cdot (l/2\theta) \cdot l/2) = -2K(l/2)^2\theta = -\frac{1}{2}Kl^2\theta$ है।
गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{Ml^2}{3} \ddot{\theta} = -\frac{1}{2}Kl^2\theta \implies \ddot{\theta} + \frac{3K}{2M}\theta = 0$.
कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = \sqrt{\frac{3K}{2M}}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{\frac{15K}{4M} \cdot \frac{2M}{3K}} = \sqrt{\frac{15}{6}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ है।

(C) $S.H.M.$ के लिए,अधिकतम वेग $\alpha = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
इससे,हमें $\omega = \frac{\alpha}{A}$ प्राप्त होता है ... $(i)$
अधिकतम त्वरण $\beta = A \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(i)$ से $\omega$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$\beta = A \left( \frac{\alpha}{A} \right)^2 = A \left( \frac{\alpha^2}{A^2} \right) = \frac{\alpha^2}{A}$
आयाम $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A = \frac{\alpha^2}{\beta}$ प्राप्त होता है।
$S.H.M.$ में कण की पथ लंबाई दो चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी के बराबर होती है,जो $2A$ है।
अतः,पथ लंबाई $= 2A = \frac{2 \alpha^2}{\beta}$.

(D) माना $a$ $S$.$H$.$M$. का आयाम है।
दिया गया है कि कण चरम स्थिति से $\frac{a}{3}$ की दूरी पर है,इसलिए माध्य स्थिति से इसका विस्थापन $x = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$ है।
त्वरण का परिमाण $a_p = \omega^2 x = \omega^2 \left( \frac{2a}{3} \right)$ है।
वेग का परिमाण $v_p = \omega \sqrt{a^2 - x^2} = \omega \sqrt{a^2 - \left( \frac{2a}{3} \right)^2} = \omega \sqrt{a^2 - \frac{4a^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{\omega a \sqrt{5}}{3}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_p = \frac{1}{3} a_p$.
$v_p$ और $a_p$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{1}{3} \left( \omega^2 \frac{2a}{3} \right)$.
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega^2 a}{9}$.
दोनों पक्षों को $\omega a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega}{9}$.
$\omega = \frac{9 \sqrt{5}}{3 \times 2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है,इसलिए:
$T = \frac{2 \pi}{\frac{3 \sqrt{5}}{2}} = \frac{4 \pi}{3 \sqrt{5}} \text{ s}$.

(B) पिंड तब तक नहीं फिसलेगा जब तक कि अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल,बोर्ड के अधिकतम त्वरण को प्रदान करने के लिए आवश्यक बल से अधिक या उसके बराबर हो।
$F_{\text{friction, max}} \ge m a_{\max}$
$\mu m g \ge m \omega^2 A$
$\mu \ge \frac{\omega^2 A}{g}$
यहाँ,आयाम $A = 0.3 \ m$,आवर्तकाल $T = 4 \ s$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$.
मान रखने पर:
$\mu = \frac{(\frac{\pi}{2})^2 \times 0.3}{10} = \frac{\frac{\pi^2}{4} \times 0.3}{10} \approx \frac{9.8696 \times 0.3}{40} \approx 0.07402$.
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{10 \times 0.3}{4 \times 10} = \frac{0.3}{4} = 0.075$.

(C) $S.H.M.$ में,विस्थापन $x = A \sin \omega t$ है।
वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ और त्वरण $a = -\omega^2 x$ है।
$A$. वेग माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर अधिकतम होता है,इसलिए $A-II$ है।
$B$. गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है। $K.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ के लिए,$x = \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है। इसलिए $B-III$ है।
$C$. स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है। $P.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ के लिए,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ प्राप्त होता है। इसलिए $C-IV$ है।
$D$. त्वरण चरम स्थिति $(x = A)$ पर अधिकतम होता है,इसलिए $D-I$ है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए, विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$, वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$, और त्वरण $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ है।
$(A)$ वेग-विस्थापन ग्राफ: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \Rightarrow \frac{v^2}{\omega^2} + x^2 = A^2$। यदि $\omega = 1$ है, तो यह एक वृत्त है। यदि $\omega \neq 1$ है, तो यह एक दीर्घवृत्त है। प्रश्न में $\omega \neq 1$ दिया गया है, इसलिए $(A)$ - $(iv)$ के साथ मेल खाता है।
$(B)$ त्वरण-विस्थापन ग्राफ: $a = -\omega^2 x$, जो एक सरल रेखा को दर्शाता है। इसलिए, $(B)$ - $(i)$ के साथ मेल खाता है।
$(C)$ त्वरण-समय ग्राफ: $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$, जो एक ज्यावक्रीय (Sinusoidal) ग्राफ है। इसलिए, $(C)$ - $(ii)$ के साथ मेल खाता है।
$(D)$ त्वरण-वेग ग्राफ: $\frac{v^2}{(A\omega)^2} + \frac{a^2}{(A\omega^2)^2} = 1$, जो एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसलिए, $(D)$ - $(iv)$ के साथ मेल खाता है।

(D) माना आवर्तकाल $T_1 = 3 \ s$ और $T_2 = T$ हैं। दोनों कण $t=0$ पर समान कला में हैं। वे फिर से समान कला में तब होंगे जब बीता हुआ समय दोनों आवर्तकालों का पूर्णांक गुणज हो।
माना $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं।
यह दिया गया है कि वे $45 \ s$ के बाद तीसरी बार समान कला में हैं,इसका मतलब है कि वे पहली बार $t = 15 \ s$ पर मिलते हैं $(45/3 = 15)$.
$t = 15 \ s$ पर,$n_1 = 15/3 = 5$ और $n_2 = 15/T$ है।
$n_2$ को पूर्णांक होने के लिए,$T$ को $15$ का भाजक होना चाहिए। विकल्पों में से संभावित मान $1, 1.5, 2, 2.5$ हैं।
$T = 2.5 \ s$ की जाँच करने पर: $n_2 = 15 / 2.5 = 6$। चूँकि $n_1$ और $n_2$ दोनों पूर्णांक हैं,वे $15 \ s, 30 \ s,$ और $45 \ s$ पर समान कला में होंगे।
अतः,वे तीसरी बार $45 \ s$ पर समान कला में आते हैं।

(A) $1$. स्प्रिंग प्रणाली में एक स्प्रिंग समानांतर है और दो स्प्रिंग श्रेणी में हैं। समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{\text{eq}} = k + (k/2) = 3k/2$ है। $k = 2 \text{ N/m}$ दिए जाने पर,$k_{\text{eq}} = 3 \text{ N/m}$ प्राप्त होता है।
$2$. टक्कर के दौरान संवेग संरक्षित रहता है। मान लीजिए $m_1 = 10\alpha \text{ g}$ और $m_2 = 10 \text{ g}$ है। टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ का वेग $v$ है। संवेग संरक्षण के नियम से: $m_1 v_1 = (m_1 + m_2)v$। मान रखने पर: $(10\alpha \times 10^{-3}) \times 3 = (10\alpha + 10) \times 10^{-3} \times v$। अतः,$v = \frac{3\alpha}{\alpha + 1} \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
$3$. टक्कर के बाद,संयुक्त प्रणाली की गतिज ऊर्जा अधिकतम आयाम $A$ पर स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}k_{\text{eq}}A^2$। मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times (10\alpha + 10) \times 10^{-3} \times (\frac{3\alpha}{\alpha + 1})^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (\frac{1}{2\sqrt{2}})^2$।
$4$. समीकरण को सरल करने पर: $\frac{9\alpha^2}{100(\alpha + 1)} = \frac{3}{8}$।
$5$. आगे सरल करने पर: $24\alpha^2 = 100\alpha + 100$,जो $6\alpha^2 - 25\alpha - 25 = 0$ हो जाता है। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर $(6\alpha + 5)(\alpha - 5) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $\alpha$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $\alpha = 5$।

(C) एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है। यह आवर्तकाल गुरुत्वीय त्वरण से स्वतंत्र होता है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
चूंकि प्रारंभ में $T_1 = T_2$ दिया गया है, इसलिए $2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और $g = 10 \,m/s^2$ रखने पर, हमें $\frac{m}{k} = \frac{l}{10}$ प्राप्त होता है।
जब उन्हें $a = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे जा रही लिफ्ट में रखा जाता है, तो स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल अपरिवर्तित रहता है: $T_1' = T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$।
लोलक के लिए प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}} = g - a = 10 - 5 = 5 \,m/s^2$ हो जाता है।
अतः, लोलक का नया आवर्तकाल $T_2' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{5}}$ होगा।
आवर्तकालों का अनुपात $\frac{T_1'}{T_2'} = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{l/5}} = \frac{\sqrt{l/10}}{\sqrt{l/5}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।